जेकोबियन आव्यूह और निर्धारक

"Jacobian matrix" redirects here. For the operator, see Jacobi matrix (operator).

सदिश कलन में, जेकोबियन आव्यूह (/dʒəˈkoʊbiən/, /dʒɪ-, jɪ-/) कई चरों के सदिश-मूल्यवान फ़ंक्शन का मैट्रिक्स (गणित) है जो इसके सभी प्रथम-क्रम आंशिक डेरिवेटिव का है। जब यह मैट्रिक्स वर्गाकार मैट्रिक्स होता है, अर्थात, जब फ़ंक्शन यूक्लिडियन_वेक्टर # इसके आउटपुट के अपघटन की संख्या के रूप में इनपुट के रूप में चर की एक ही संख्या लेता है, तो इसके निर्धारक को जैकबियन निर्धारक के रूप में संदर्भित किया जाता है। दोनों मैट्रिक्स और (यदि लागू हो) निर्धारक को अक्सर साहित्य में जैकबियन के रूप में संदर्भित किया जाता है। मान लीजिए f : Rⁿ → R^m एक ऐसा कार्य है जिस पर इसके प्रत्येक प्रथम-क्रम आंशिक डेरिवेटिव मौजूद हैं Rⁿ. यह फ़ंक्शन एक बिंदु लेता है x ∈ Rⁿ इनपुट के रूप में और वेक्टर का उत्पादन करता है f(x) ∈ R^m आउटपुट के रूप में। फिर का जैकोबियन मैट्रिक्स f एक के रूप में परिभाषित किया गया है m×n मैट्रिक्स, द्वारा निरूपित J, किसका (i,j)वें प्रवेश है ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$, या स्पष्ट रूप से

$\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathrm {T} }f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathrm {T} }f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$

कहां $\nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}$ के ढाल का स्थानान्तरण (पंक्ति वेक्टर) है $i$ अवयव।

जेकोबियन आव्यूह, जिसकी प्रविष्टियाँ निम्नलिखित के फलन हैं x, विभिन्न तरीकों से निरूपित किया जाता है; सामान्य अंकन शामिल हैं Df, J_f, $\nabla \mathbf {f}$, और ${\frac {\partial (f_{1},..,f_{m})}{\partial (x_{1},..,x_{n})}}$. कुछ लेखक जैकोबियन को ऊपर दिए गए रूप के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित करते हैं।

जेकोबियन मैट्रिक्स मैट्रिक्स_(गणित)#रैखिक_रूपांतरण का कुल व्युत्पन्न f हर बिंदु पर जहां f अवकलनीय है। विस्तार से अगर h एक कॉलम मैट्रिक्स, मैट्रिक्स उत्पाद द्वारा दर्शाया गया एक विस्थापन वेक्टर है J(x) ⋅ h एक अन्य विस्थापन सदिश है, जो कि परिवर्तन का सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन है f के एक पड़ोस (गणित) में x, यदि f(x) पर अवकलनीय फलन है x. इसका मतलब है कि वह फ़ंक्शन जो मैप करता है y को f(x) + J(x) ⋅ (y – x) का सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन है f(y) सभी बिंदुओं के लिए y पास में x. इस रेखीय फलन (कैलकुलस) को व्युत्पन्न या कुल व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है f पर x.

कब m = n, जेकोबियन मैट्रिक्स वर्गाकार है, इसलिए इसका निर्धारक एक अच्छी तरह से परिभाषित कार्य है xके जैकबियन निर्धारक के रूप में जाना जाता है f. यह के स्थानीय व्यवहार के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी वहन करती है f. विशेष रूप से समारोह f एक बिंदु के पड़ोस में एक अलग-अलग उलटा कार्य होता है x अगर और केवल अगर जैकबियन निर्धारक गैर-शून्य है x (वैश्विक उलटापन की संबंधित समस्या के लिए जैकोबियन अनुमान देखें)। जेकोबियन निर्धारक कई इंटीग्रल में चर बदलते समय भी प्रकट होता है (देखें इंटीग्रेशन_बाय_सबस्टीट्यूशन#सबस्टिट्यूशन_फॉर_मल्टीपल_वेरिएबल्स)।

कब m = 1, तभी f : Rⁿ → R एक अदिश क्षेत्र है। अदिश-मूल्यवान फ़ंक्शन, जैकोबियन मैट्रिक्स पंक्ति वेक्टर को कम करता है $\nabla ^{\mathrm {T} }f$; के सभी प्रथम-क्रम आंशिक डेरिवेटिव का यह पंक्ति सदिश f की प्रवणता का स्थानान्तरण है f, अर्थात। $\mathbf {J} _{f}=\nabla ^{T}f$. आगे विशेषज्ञता, जब m = n = 1, तभी f : R → R एक स्केलर फ़ील्ड है | एकल चर का स्केलर-वैल्यू फ़ंक्शन, जैकोबियन मैट्रिक्स में एक प्रविष्टि है; यह प्रविष्टि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है f.

इन अवधारणाओं का नाम गणितज्ञ कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी (1804-1851) के नाम पर रखा गया है।

जैकबियन मैट्रिक्स

कई वेरिएबल्स में एक वेक्टर-वैल्यूड फ़ंक्शन का जेकोबियन एक स्केलर (गणित) के ग्रेडिएंट को कई वेरिएबल्स में सामान्यीकृत करता है, जो बदले में एकल वैरिएबल के स्केलर-वैल्यूड फ़ंक्शन के डेरिवेटिव को सामान्यीकृत करता है। दूसरे शब्दों में, एक अदिश-मूल्यवान बहुभिन्नरूपी फलन का जैकोबियन आव्यूह इसकी प्रवणता (का स्थानान्तरण) है और एक चर के अदिश-मूल्यवान फलन की प्रवणता इसका व्युत्पन्न है।

प्रत्येक बिंदु पर जहां एक फ़ंक्शन अलग-अलग होता है, इसके जैकबियन मैट्रिक्स को उस बिंदु के पास स्थानीय रूप से लगाए जाने वाले खिंचाव, घूर्णन या परिवर्तन की मात्रा का वर्णन करने के बारे में भी सोचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि (x′, y′) = f(x, y) एक छवि, जेकोबियन मैट्रिक्स को सुचारू रूप से बदलने के लिए उपयोग किया जाता है J_f(x, y), वर्णन करता है कि कैसे के पड़ोस में छवि (x, y) रूपांतरित है।

यदि एक बिंदु पर एक समारोह अलग-अलग होता है, तो इसका अंतर जैकबियन मैट्रिक्स द्वारा निर्देशांक में दिया जाता है। हालाँकि किसी फ़ंक्शन को उसके जैकोबियन मैट्रिक्स को परिभाषित करने के लिए अलग-अलग होने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि केवल इसके पहले-क्रम के आंशिक डेरिवेटिव मौजूद होने की आवश्यकता है।

यदि f एक बिंदु पर व्युत्पन्न है p में Rⁿ, तो इसका कुल व्युत्पन्न#कुल व्युत्पन्न को एक रेखीय मानचित्र के रूप में दर्शाया जाता है J_f(p). इस मामले में, द्वारा प्रतिनिधित्व रैखिक परिवर्तन J_f(p) का सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन है f बिंदु के पास p, इस अर्थ में कि

$\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),$

कहां o(‖x − p‖) एक Big_O_notation#Little-o_notation है जो यूक्लिडियन दूरी की तुलना में बहुत तेजी से शून्य तक पहुंचता है x और p के रूप में करता है x दृष्टिकोण p. यह सन्निकटन डिग्री एक के अपने टेलर बहुपद द्वारा एकल चर के एक स्केलर फ़ंक्शन के सन्निकटन के लिए माहिर है, अर्थात्

$f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)$.

इस अर्थ में, जैकोबियन को एक प्रकार का व्युत्पन्न माना जा सकता है। कई चर के वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन के पहले क्रम के व्युत्पन्न। विशेष रूप से, इसका मतलब यह है कि कई चरों के स्केलर-वैल्यू फ़ंक्शन का ग्रेडियेंट भी इसके प्रथम-क्रम व्युत्पन्न के रूप में माना जा सकता है।

संगत अलग-अलग कार्य f : Rⁿ → R^m और g : R^m → R^k चैन_नियम#सामान्य_नियम को संतुष्ट करें, अर्थात् $\mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )$ के लिए x में Rⁿ.

कई वेरिएबल्स के स्केलर फ़ंक्शन के ढाल के जैकबियन का एक विशेष नाम है: हेसियन मैट्रिक्स, जो एक अर्थ में प्रश्न में फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न है।

जैकबियन निर्धारक

एक अरेखीय नक्शा $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ एक विकृत समांतर चतुर्भुज (दाएं, लाल रंग में) को एक छोटा वर्ग (बाएं, लाल रंग में) भेजता है। एक बिंदु पर जेकोबियन उस बिंदु के पास विकृत समानांतर चतुर्भुज का सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन देता है (दाएं, पारभासी सफेद रंग में), और जेकोबियन निर्धारक मूल वर्ग के सन्निकट समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का अनुपात देता है।

यदि m = n, तब f से एक समारोह है Rⁿ जैकोबियन मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है। इसके बाद हम इसका निर्धारक बना सकते हैं, जिसे जैकबियन निर्धारक के रूप में जाना जाता है। जैकबियन निर्धारक को कभी-कभी केवल जैकोबियन कहा जाता है।

किसी दिए गए बिंदु पर जेकोबियन निर्धारक के व्यवहार के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी देता है f उस बिंदु के पास। उदाहरण के लिए, निरंतर भिन्न कार्य f एक बिंदु के पास उलटा है p ∈ Rⁿ यदि जैकबियन निर्धारक पर p गैर-शून्य है। यह उलटा कार्य प्रमेय है। इसके अलावा, यदि जैकोबियन निर्धारक पर p सकारात्मक संख्या है, तो f ओरिएंटेशन को पास रखता है p; यदि यह ऋणात्मक संख्या है, f अभिविन्यास को उलट देता है। जेकोबियन निर्धारक का निरपेक्ष मान p हमें वह कारक देता है जिसके द्वारा कार्य करता है f पास के मात्रा को बढ़ाता या सिकोड़ता है p; यही कारण है कि यह सामान्य प्रतिस्थापन नियम में होता है।

जैकोबियन निर्धारक का उपयोग प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण करते समय किया जाता है # एकाधिक चर के लिए प्रतिस्थापन जब अपने डोमेन के भीतर किसी क्षेत्र पर किसी फ़ंक्शन के एकाधिक अभिन्न का मूल्यांकन करते हैं। निर्देशांक के परिवर्तन के लिए समायोजित करने के लिए जैकबियन निर्धारक का परिमाण अभिन्न के भीतर गुणक कारक के रूप में उत्पन्न होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि nआयामी dV तत्व सामान्य रूप से नई समन्वय प्रणाली में एक समानांतर चतुर्भुज है, और nसमानांतर चतुर्भुज का आयतन इसके किनारे वाले वैक्टर का निर्धारक है।

एक संतुलन बिंदु के निकट व्यवहार का अनुमान लगाकर मैट्रिक्स अंतर समीकरण के लिए संतुलन बिंदु की स्थिरता निर्धारित करने के लिए जैकोबियन का भी उपयोग किया जा सकता है। इसके अनुप्रयोगों में रोग मॉडलिंग में रोग मुक्त संतुलन की स्थिरता का निर्धारण करना शामिल है।

उलटा

व्युत्क्रम फलन प्रमेय के अनुसार, व्युत्क्रम फलन के जैकोबियन आव्यूह का व्युत्क्रमणीय आव्यूह व्युत्क्रम फलन का जकोबियन आव्यूह होता है। यही है, अगर फ़ंक्शन का जैकोबियन f : Rⁿ → Rⁿ बिंदु पर निरंतर और निरर्थक है p में Rⁿ, तब f के कुछ पड़ोस तक सीमित होने पर उलटा होता है p और

$\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}={\mathbf {J} _{\mathbf {f} }}^{-1}.$

दूसरे शब्दों में, यदि एक बिंदु पर जेकोबियन निर्धारक शून्य नहीं है, तो इस बिंदु के पास फलन स्थानीय रूप से व्युत्क्रमणीय होता है, अर्थात इस बिंदु का एक पड़ोस (गणित) होता है जिसमें फलन व्युत्क्रमणीय होता है।

(अप्रमाणित) जेकोबियन अनुमान एक बहुपद समारोह के मामले में वैश्विक उलटापन से संबंधित है, जो कि n चर में n बहुपदों द्वारा परिभाषित एक कार्य है। यह दावा करता है कि, यदि जेकोबियन निर्धारक एक गैर-शून्य स्थिरांक है (या, समतुल्य रूप से, कि इसमें कोई जटिल शून्य नहीं है), तो फलन व्युत्क्रमणीय है और इसका व्युत्क्रम एक बहुपद फलन है।

महत्वपूर्ण बिंदु

Main article: Critical point

यदि f : Rⁿ → R^m एक अलग करने योग्य कार्य है, का एक महत्वपूर्ण बिंदु है f एक बिंदु है जहां जेकोबियन मैट्रिक्स का रैंक (रैखिक बीजगणित) अधिकतम नहीं है। इसका मतलब यह है कि महत्वपूर्ण बिंदु पर रैंक कुछ पड़ोसी बिंदु पर रैंक से कम है। दूसरे शब्दों में, चलो k की छवि में निहित खुली गेंदों का अधिकतम आयाम हो f; तो एक बिंदु महत्वपूर्ण है यदि रैंक के सभी नाबालिग (रैखिक बीजगणित)। k का f शून्य हैं।

मामले में जहां m = n = k, यदि जेकोबियन निर्धारक शून्य है तो एक बिंदु महत्वपूर्ण है।

उदाहरण

उदाहरण 1

समारोह पर विचार करें f : R² → R², साथ (x, y) ↦ (f₁(x, y), f₂(x, y)), के द्वारा दिया गया

$\mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.$

तो हमारे पास हैं

$f_{1}(x,y)=x^{2}y$

और

$f_{2}(x,y)=5x+\sin y$

और जैकोबियन मैट्रिक्स f है

$\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}$

और याकूब निर्धारक है

$\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.$

उदाहरण 2: ध्रुवीय-कार्टेशियन परिवर्तन

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली से परिवर्तन (r, φ) कार्तीय निर्देशांक प्रणाली (x, y) को फलन द्वारा दिया जाता है F: R⁺ × [0, 2π) → R² घटकों के साथ:

${\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}$

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}$

जेकोबियन निर्धारक के बराबर है r. इसका उपयोग दो समन्वय प्रणालियों के बीच इंटीग्रल को बदलने के लिए किया जा सकता है:

$\iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .$

उदाहरण 3: गोलाकार-कार्टेशियन परिवर्तन

गोलाकार समन्वय प्रणाली से परिवर्तन (ρ, φ, θ) कार्तीय निर्देशांक प्रणाली (x, y, z) को फलन द्वारा दिया जाता है F: R⁺ × [0, π) × [0, 2π) → R³ घटकों के साथ:

${\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta ;\\z&=\rho \cos \varphi .\end{aligned}}$

इस समन्वय परिवर्तन के लिए जेकोबियन मैट्रिक्स है

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.$

निर्धारक है ρ² sin φ. तब से dV = dx dy dz एक आयताकार अंतर आयतन तत्व के लिए आयतन है (क्योंकि एक आयताकार प्रिज्म का आयतन इसके पक्षों का गुणनफल है), हम व्याख्या कर सकते हैं dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ गोलाकार विभेदक आयतन तत्व के आयतन के रूप में। आयताकार विभेदक आयतन तत्व के आयतन के विपरीत, यह विभेदक आयतन तत्व का आयतन स्थिर नहीं है, और निर्देशांक के साथ बदलता रहता है (ρ और φ). इसका उपयोग दो समन्वय प्रणालियों के बीच इंटीग्रल को बदलने के लिए किया जा सकता है:

$\iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .$

उदाहरण 4

फ़ंक्शन का जैकोबियन मैट्रिक्स F : R³ → R⁴ घटकों के साथ

${\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}$

है

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.$

इस उदाहरण से पता चलता है कि जेकोबियन मैट्रिक्स को वर्ग मैट्रिक्स होने की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण 5

फलन का जैकबियन निर्धारक F : R³ → R³ घटकों के साथ

${\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}$

है

${\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.$

इससे हम देखते हैं F उन बिंदुओं में रिवर्स ओरिएंटेशन जहां x₁ और x₂ एक ही चिन्ह है; निकट बिंदुओं को छोड़कर फ़ंक्शन स्थानीय रूप से हर जगह उलटा होता है x₁ = 0 या x₂ = 0. सहज रूप से, अगर कोई बिंदु के चारों ओर एक छोटी वस्तु से शुरू होता है (1, 2, 3) और आवेदन करें F उस वस्तु के लिए, लगभग एक परिणामी वस्तु प्राप्त होगी 40 × 1 × 2 = 80 ओरिजिनल रिवर्स के साथ, ओरिजिनल वॉल्यूम का गुना।

अन्य उपयोग

प्रतिगमन और कम से कम कटाव फिटिंग

जेकोबियन सांख्यिकीय प्रतिगमन विश्लेषण और वक्र फिटिंग में एक रैखिक डिजाइन मैट्रिक्स के रूप में कार्य करता है; गैर रेखीय कम से कम वर्ग देखें।

डायनेमिक सिस्टम

प्रपत्र की एक गतिशील प्रणाली पर विचार करें ${\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )$, कहां ${\dot {\mathbf {x} }}$ (घटक-वार) का व्युत्पन्न है $\mathbf {x}$ विकास पैरामीटर के संबंध में $t$ (समय और $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ अवकलनीय है। यदि $F(\mathbf {x} _{0})=0$, तब $\mathbf {x} _{0}$ एक स्थिर बिंदु है (जिसे स्थिर अवस्था भी कहा जाता है)। हार्टमैन-ग्रोबमैन प्रमेय द्वारा, एक स्थिर बिंदु के निकट प्रणाली का व्यवहार किसके eigenvalue से संबंधित है $\mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)$, के जैकोबियन $F$ स्थिर बिंदु पर। विशेष रूप से, यदि eigenvalues ​​​​में सभी वास्तविक भाग हैं जो नकारात्मक हैं, तो सिस्टम स्थिर बिंदु के पास स्थिर है, यदि किसी eigenvalue का वास्तविक भाग सकारात्मक है, तो बिंदु अस्थिर है। यदि eigenvalues ​​​​का सबसे बड़ा वास्तविक हिस्सा शून्य है, तो जेकोबियन मैट्रिक्स स्थिरता के मूल्यांकन की अनुमति नहीं देता है।

न्यूटन की विधि

युग्मित अरेखीय समीकरणों की एक वर्ग प्रणाली को न्यूटन की विधि #नॉनलाइनियर समीकरणों की प्रणाली|न्यूटन की विधि द्वारा पुनरावृत्त रूप से हल किया जा सकता है। यह विधि समीकरणों की प्रणाली के जैकोबियन मैट्रिक्स का उपयोग करती है।

यह भी देखें

• केंद्र कई गुना
• हेसियन मैट्रिक्स
• पुशफॉरवर्ड (अंतर)

आगे की पढाई

• Gandolfo, Giancarlo (1996). "Comparative Statics and the Correspondence Principle". Economic Dynamics (Third ed.). Berlin: Springer. pp. 305–330. ISBN 3-540-60988-1.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1985). "Transformations and Jacobians". Intermediate Calculus (Second ed.). New York: Springer. pp. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.

बाहरी कड़ियाँ

• "Jacobian", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Mathworld A more technical explanation of Jacobians