|
|
| Line 1: |
Line 1: |
| {{Short description|Area of mathematics}} | | {{Infobox person |
| {{about||the kind of algebraic structure|Algebra over a field|other uses}}
| | | name = बीजगणित |
| {{pp-move-indef}}
| | | image = Quadratic root.svg |
| {{pp-semi-indef}}
| | | alt = बीजगणित |
| [[File:Quadratic formula.svg|thumb| [[ द्विघात सूत्र ]] समीकरण के हल को व्यक्त करता है {{math|1=''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' = 0}}, कहाँ पे {{mvar|a}} शून्य नहीं है, इसके गुणांकों के संदर्भ में {{math|''a'', ''b''}} और {{mvar|c}}. ]]
| | }} |
|
| |
|
| '''बीजगणित'''{{etymology|ar|''{{wikt-lang|ar|جبر|الجبر}}''{{transl|ar|al-jabr}}) | टूटे हुए हिस्सों का पुनर्मिलन<ref name=oed>{{cite Lexico|algebra|access-date=2013-11-20}} {{Cite web |url=http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/english/algebra |title=Archived copy |access-date=2013-11-20 |archive-date=2013-12-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131231173558/http://www.oxforddictionaries.com/us/definition/english/algebra |url-status=bot: unknown }}</ref> [[ बोनेसेटर | बोनसेटिंग ]] }}<ref name="CRC Press">{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=3mlQDwAAQBAJ&q=bonesetting+algebra&pg=PA722 |title=Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment |last1=Menini|first1=Claudia |last2=Oystaeyen|first2=Freddy Van |date=2017-11-22 |publisher=[[CRC Press]] |isbn=978-1-4822-5817-2 |language=en |access-date=2020-10-15 |archive-date=2021-02-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210221075950/https://books.google.com/books?id=3mlQDwAAQBAJ&q=bonesetting+algebra&pg=PA722 |url-status=live}}</ref> गणित के [[ क्षेत्रों में से एक है | व्यापक क्षेत्र ]] [[ गणित ]]। मोटे तौर पर, बीजगणित [[ गणितीय प्रतीक ]] एस का अध्ययन है और [[ सूत्र ]] एस में इन प्रतीकों में हेरफेर करने के नियमों का अध्ययन है।<ref>देखो {{harvnb|Herstein|1964}}, पृष्ठ 1: एक बीजीय प्रणाली को वस्तुओं के एक समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है, साथ ही उन्हें संयोजित करने के लिए कुछ संक्रियाओं के साथ</ref> यह लगभग सभी गणित का एक एकीकृत सूत्र है<ref>देखो {{harvnb|Herstein|1964}}, पृष्ठ 1: ...यह एकीकृत सूत्र के रूप में भी कार्य करता है जो लगभग सभी गणित को जोड़ता है</ref> | | '''बीजगणित :''' बीजगणित <ref>[[Algebra]]</ref> गणित के व्यापक क्षेत्रों में से एक है। बीजगणित के विज्ञान का हिंदू नाम बीजगणित है। बीज का अर्थ है "तत्व" या "विश्लेषण" और गणित का अर्थ है "गणना का विज्ञान"। बीजगणित का शाब्दिक अर्थ है "तत्वों के साथ गणना का विज्ञान या विश्लेषणात्मक गणना का विज्ञान। |
|
| |
|
| [[ प्रारंभिक बीजगणित ]] [[ चर (गणित) | चर ]] के हेरफेर से संबंधित है जैसे कि वे संख्याएँ थीं (चित्र देखें), और इसलिए गणित के सभी अनुप्रयोगों में आवश्यक है। [[ सार बीजगणित ]], [[ शिक्षा ]] में [[ बीजीय संरचना ]] के अध्ययन के लिए दिया गया नाम है जैसे [[ समूह (गणित) | समूह ]], [[ वलय (गणित) | छल्ले ]], और [[ क्षेत्र (गणित) | क्षेत्र ]] . [[ रेखीय बीजगणित ]], जो [[ रैखिक समीकरण ]] एस और [[ रैखिक मानचित्रण ]] एस से संबंधित है, का उपयोग [[ ज्यामिति ]] की आधुनिक प्रस्तुतियों के लिए किया जाता है,<!-- बर्जर की 'ज्यामिति' को यहां उद्धृत किया जाना चाहिए --> और इसमें कई हैं व्यावहारिक अनुप्रयोग (उदाहरण के लिए [[ मौसम पूर्वानुमान ]] में)। गणित के ऐसे कई क्षेत्र हैं जो बीजगणित से संबंधित हैं, कुछ में उनके नाम पर बीजगणित है, जैसे [[ कम्यूटेटिव बीजगणित ]] और कुछ नहीं, जैसे [[ गैलोइस सिद्धांत ]]।
| | [[ब्रह्मगुप्त]] (628) बीजगणित को ''कुट्टुका-गणित'' या ''कुट्टुका'' कहते हैं। ''कुट्टुका'' का अर्थ है चूर्ण करने वाला। बीजगणित को ''अव्यक्त-गणिता'' या अज्ञात के साथ गणना का विज्ञान भी कहा जाता है (''अव्यक्त'' का अर्थ अज्ञात है) नाम के विपरीत ''व्यक्त-गणिता'' ज्यामिति और क्षेत्रमिति सहित अंकगणित के लिए ज्ञात (''व्यक्त'' का अर्थ ज्ञात) के साथ गणना का विज्ञान है। |
| | ==परिभाषा== |
| | [[भास्कर द्वितीय]] (1150) ने बीजगणित को "विश्लेषण (बीज) के रूप में परिभाषित किया है, निश्चित रूप से विभिन्न प्रतीकों (वर्ण) द्वारा समर्थित जन्मजात बुद्धि है, जो,मंद बुद्धि के निर्देश के लिए, प्राचीन ऋषियों द्वारा समझाया गया है जो गणितज्ञों को प्रबुद्ध करते हैं जैसे सूर्य कमल को विकिरण करता है;जिसने अब बीजगणित (bījagaṇita) नाम ले लिया है"। |
|
| |
|
| 'बीजगणित' शब्द का प्रयोग केवल गणित के एक क्षेत्र और कुछ उपक्षेत्रों के नामकरण के लिए नहीं किया जाता है; इसका उपयोग कुछ प्रकार की बीजीय संरचनाओं के नामकरण के लिए भी किया जाता है, जैसे कि ]] क्षेत्र पर [[ बीजगणित, जिसे आमतौर पर ''बीजगणित'' कहा जाता है। कभी-कभी, उपक्षेत्र और इसकी मुख्य बीजीय संरचनाओं के लिए एक ही वाक्यांश का उपयोग किया जाता है; उदाहरण के लिए, [[ बूलियन बीजगणित ]] और [[ बूलियन बीजगणित (संरचना) | बूलियन बीजगणित ]]। बीजगणित में विशेषज्ञता रखने वाले गणितज्ञ को बीजगणित विज्ञानी कहा जाता है।
| | उस बीजगणितीय विश्लेषण के लिए गहरी बुद्धि की आवश्यकता होती है और एक से अधिक अवसरों पर उनके द्वारा विचक्षणता देखी गई है। |
| | [[File:Algebraic equation notation.svg|thumb|बीजीय समीकरण]] |
| | "न तो विश्लेषण में प्रतीकों का समावेश होता है, न ही विभिन्न प्रकार के विश्लेषण होते हैं; केवल विचक्षणता ही विश्लेषण है, क्योंकि व्यापक कल्पना है। "विश्लेषण निश्चित रूप से स्पष्ट बुद्धि है।" "या केवल बुद्धि ही विश्लेषण है"। इस प्रश्न के उत्तर में, "यदि (अज्ञात मात्राओं) की खोज केवल बुद्धि द्वारा ही की जानी है, तो विश्लेषण की क्या आवश्यकता है?"वे कहते हैं, "क्योंकि बुद्धि निश्चित रूप से वास्तविक विश्लेषण है; प्रतीक इसके सहायक हैं। जिस सहज बुद्धि को प्राचीन ऋषियों ने मंदबुद्धि के लिए व्यक्त किया है, जो गणितज्ञों को सूर्य के रूप में विभिन्न प्रतीकों की सहायता से कमल को प्रकाशित करते हैं, उन्हें अब बीजगणित का नाम मिला है। |
|
| |
|
| == व्युत्पत्ति ==
| | इस प्रकार, भास्कर द्वितीय के अनुसार, बीजगणित को विज्ञान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो प्रतीकों के माध्यम से व्यक्त की गई संख्याओं सा व्यवहार करता है, और जिसमें बुद्धिमान कलाकृतियों और सरल उपकरणों की परिधि/व्यापकता और प्राथमिक आवश्यकता होती है। |
| [[ फाइल: मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी.पीएनजी | अंगूठा | सीधा=0.8<ref>एस्पोसिटो, जॉन एल। (2000-04-06)। ''द ऑक्सफोर्ड हिस्ट्री ऑफ इस्लाम''। ऑक्सफोर्ड यूनिवरसिटि प्रेस। पी। 188. {{ISBN|978-0-19-988041-6}}</ref>]]
| |
|
| |
|
| 'बीजगणित' शब्द से आया है {{lang-ar|الجبر|lit=reunion of broken parts,<ref name="oed" /> [[bonesetting]]<ref name="CRC Press" />|translit=al-jabr}} 9वीं शताब्दी की शुरुआत की किताब '' [[ द कम्पेंडिअस बुक ऑन कैलकुलेशन बाय कंप्लीशन एंड बैलेंसिंग | <sup>c</sup>इल्म अल-जबर वा एल-मुकाबाला ]] '' द साइंस ऑफ रिस्टोरिंग एंड बैलेंसिंग बाय द [[ के शीर्षक से फारसी लोग | फारसी ]] गणितज्ञ और खगोलशास्त्री [[ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी | अल-ख्वारिज्मी ]]। अपने काम में, 'अल-जबर' शब्द एक समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ एक शब्द को स्थानांतरित करने के संचालन को संदर्भित करता है, المقابلة ''अल-मुकाबाला'' संतुलन को दोनों पक्षों में समान शब्दों को जोड़ने के लिए संदर्भित किया जाता है। लैटिन में केवल ''बीजगणित'' या ''बीजगणित'' तक संक्षिप्त किया गया, यह शब्द अंततः 15वीं शताब्दी के दौरान स्पेनिश, इतालवी या [[ मध्यकालीन लैटिन ]] से अंग्रेजी भाषा में प्रवेश कर गया। यह मूल रूप से [[ टूटी हुई हड्डी | टूटी हुई ]] या [[ विस्थापित | अव्यवस्थित हड्डियों ]] को स्थापित करने की शल्य प्रक्रिया को संदर्भित करता है। गणितीय अर्थ पहली बार (अंग्रेज़ी में) 16वीं सदी में दर्ज किया गया था<ref>{{cite encyclopedia|title=Algebra|editor=T. F. Hoad|encyclopedia=The Concise Oxford Dictionary of English Etymology|publisher=Oxford University Press|location=Oxford|year=2003|url=https://archive.org/details/conciseoxforddic00tfho|url-access=subscription|doi=10.1093/acref/9780192830982.001.0001|isbn=978-0-19-283098-2}}</ref> | | बीजगणित का अर्थ है '''बीज''<nowiki/>'। अज्ञात राशियाँ एक बीज की तरह होती हैं और समीकरणों को हल करने पर उनके मूल्य स्पष्ट हो जाते हैं। चूँकि बीजगणित अज्ञात मात्राओं से संबंधित है, इसलिए इसे संस्कृत में ''बीजगणित'' कहा जाता है। 16वीं शताब्दी के प्रसिद्ध गणितज्ञ ''कृष्ण दैवज्ञ'' ने भास्कर द्वितीय के बीजगणित (1150 सीई) पर एक भाष्य ''बीजपल्लव'' लिखा था। कृष्ण दैवज्ञ, नीचे के रूप में बीजगणित नाम की व्याख्या करते हैं: |
|
| |
|
| == बीजगणित के विभिन्न अर्थ ==
| | ''अव्यक्तत्वादिदं बीजमित्युक्तं शास्त्रकर्तृभिः'' |
| बीजगणित शब्द के गणित में एक शब्द के रूप में या क्वालीफायर के साथ कई संबंधित अर्थ हैं।
| |
| * एक लेख के बिना एक शब्द के रूप में, बीजगणित गणित के एक व्यापक हिस्से का नाम देता है।
| |
| * एक लेख के साथ या बहुवचन में एक शब्द के रूप में, एक बीजगणित या बीजगणित एक विशिष्ट गणितीय संरचना को दर्शाता है, जिसकी सटीक परिभाषा संदर्भ पर निर्भर करती है। आमतौर पर, संरचना में एक जोड़, गुणा और अदिश गुणन होता है (देखें [[ बीजगणित एक क्षेत्र ]] पर)। जब कुछ लेखक बीजगणित शब्द का उपयोग करते हैं, तो वे निम्नलिखित अतिरिक्त मान्यताओं का एक सबसेट बनाते हैं: [[ सहयोगी संपत्ति | सहयोगी ]], [[ कम्यूटेटिव संपत्ति | कम्यूटेटिव ]], [[ यूनिटल बीजगणित | यूनिटल ]], और/या परिमित-आयामी। [[ सार्वभौमिक बीजगणित ]] में, बीजगणित शब्द उपरोक्त अवधारणा के सामान्यीकरण को संदर्भित करता है, जो [[ ऑपरेशन (गणित) | एन-आर्य संचालन ]] की अनुमति देता है।
| |
| * एक क्वालीफायर के साथ, एक ही भेद है:
| |
| ** एक लेख के बिना, इसका मतलब बीजगणित का एक हिस्सा है, जैसे [[ रैखिक बीजगणित ]], [[ प्रारंभिक बीजगणित ]] ( [[ प्राथमिक शिक्षा | प्राथमिक ]] और [[ माध्यमिक शिक्षा ]] के भाग के रूप में गणित के प्राथमिक पाठ्यक्रमों में पढ़ाए जाने वाले प्रतीक-हेरफेर नियम) ), या [[ अमूर्त बीजगणित ]] (स्वयं के लिए बीजीय संरचनाओं का अध्ययन)।
| |
| ** एक लेख के साथ, इसका अर्थ कुछ बीजीय संरचना का एक उदाहरण है, जैसे [[ झूठ बीजगणित ]], [[ सहयोगी बीजगणित ]], या [[ वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित ]]।
| |
| ** कभी-कभी दोनों अर्थ एक ही क्वालीफायर के लिए मौजूद होते हैं, जैसा कि वाक्य में है: '' [[ कम्यूटेटिव बीजगणित ]] [[ कम्यूटेटिव रिंग ]] एस का अध्ययन है, जो [[ बीजगणित (रिंग थ्योरी) | कम्यूटेटिव बीजगणित ]] पूर्णांकों पर है''।
| |
|
| |
|
| == बीजगणित गणित की एक शाखा के रूप में == | | "चूंकि यह (मात्रा) अज्ञात है, इसे विज्ञान के निर्माताओं द्वारा बीज कहा जाता था," |
| | ==उत्पत्ति== |
| | [[File:Hindu astronomer, 19th-century illustration.jpg|thumb|ब्रह्मगुप्त]] |
| | हिंदू बीजगणित की उत्पत्ति निश्चित रूप से ''शुल्बा'' (800-500 ईसा पूर्व) और ब्राह्मण (सी 2000) की अवधि में देखी जा सकती है। |
|
| |
|
| बीजगणित की शुरुआत [[ अंकगणित ]] के समान गणनाओं के साथ हुई, जिसमें संख्याओं के लिए अक्षर खड़े थे<ref name=citeboyer /> इसने उन संपत्तियों के प्रमाणों की अनुमति दी जो सत्य हैं चाहे कोई भी संख्या शामिल हो। उदाहरण के लिए, [[ द्विघात समीकरण ]] . में<math>ax^2+bx+c=0,</math>
| | "अज्ञात को निरूपित करने के लिए वर्णमाला के अक्षरों का व्यवस्थित उपयोग करने वाले पहले हिंदू थे। वे समीकरणों का वर्गीकरण और विस्तृत अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति भी थे। इस प्रकार कहा जा सकता है कि उन्होंने बीजगणित के आधुनिक विज्ञान को जन्म दिया।"<ref>Datta, 1938, Vol.2, Preface</ref> |
| <math>a, b, c</math> can be any numbers whatsoever (except that <math>a</math> cannot be <math>0</math>), and the [[quadratic formula]] can be used to quickly and easily find the values of the unknown quantity <math>x</math> जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं। अर्थात् समीकरण के सभी हल ज्ञात करना।
| |
|
| |
|
| ऐतिहासिक रूप से, और वर्तमान शिक्षण में, बीजगणित का अध्ययन समीकरणों को हल करने से शुरू होता है, जैसे कि ऊपर द्विघात समीकरण। फिर अधिक सामान्य प्रश्न, जैसे कि क्या किसी समीकरण का कोई हल है? एक समीकरण के कितने हल होते हैं? , समाधान की प्रकृति के बारे में क्या कहा जा सकता है? माना जाता है। इन सवालों ने बीजगणित को गैर-संख्यात्मक वस्तुओं तक बढ़ाया, जैसे कि [[ क्रमचय ]] एस, [[ वेक्टर (गणित) | वैक्टर ]], [[ मैट्रिक्स (गणित) | मैट्रिक्स ]], और [[ बहुपद ]] एस। इन गैर-संख्यात्मक वस्तुओं के संरचनात्मक गुणों को तब [[ बीजगणितीय संरचना ]] में औपचारिक रूप दिया गया था जैसे कि [[ समूह (गणित) | समूह ]], [[ रिंग (गणित) | रिंग ]], और [[ फ़ील्ड (गणित) | फ़ील्ड ]]।
| | ''शुलबसूत्र'' में चर मात्रा का उल्लेख है। [[आर्यभट्ट|आर्यभट]] के ''आर्यभटीय'' ने रैखिक और द्विघात समीकरणों के समाधान का उल्लेख किया है। ब्रह्मगुप्त ने अपने ''ब्रह्म-स्फुण-सिद्धांत'' में प्रतीकों का उपयोग करके अज्ञात पर किए गए कार्यों का उल्लेख किया है। ''कुट्टकाध्याय:'' (अध्याय 18) अव्यक्त (या बीजगणितीय प्रतीकों) के साथ ''परिक्रमा'' (गणना) की व्याख्या करता है। इसलिए ब्रह्मगुप्त को बीजगणित का जनक माना जाता है। बीजगणित पर अन्य ग्रंथों में आर्यभट द्वितीय के ''महासिद्धांत'', श्रीपति के ''सिद्धांतशेखर'', भास्कर द्वितीय के ''बीजगणित,'' [[गणित का विकास|नारायण पंडित]] के ''बीजगणितवत्स'' शामिल हैं। |
|
| |
|
| 16वीं शताब्दी से पहले, गणित को केवल दो उपक्षेत्रों में विभाजित किया गया था, [[ अंकगणित ]] और [[ ज्यामिति ]]। भले ही कुछ तरीके, जो बहुत पहले विकसित किए गए थे, उन्हें आजकल बीजगणित, बीजगणित के उद्भव और इसके तुरंत बाद, गणित के उपक्षेत्रों के रूप में [[ इनफिनिट्सिमल कैलकुलस ]] के रूप में माना जा सकता है, जो केवल 16वीं या 17वीं शताब्दी के हैं। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से, गणित के कई नए क्षेत्र सामने आए, जिनमें से अधिकांश ने अंकगणित और ज्यामिति दोनों का उपयोग किया, और लगभग सभी ने बीजगणित का उपयोग किया।
| | ब्रह्मगुप्त ने ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत के ''कुट्टकाध्याय:'' में धनात्मक संख्याओं, ऋणात्मक संख्याओं और शून्य के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम दिए हैं। इसके अलावा ''एक अज्ञात के साथ समीकरण, कई अज्ञात के साथ समीकरण, अज्ञात के गुणनफल के साथ समीकरण और पहले और दूसरे क्रम/अनुक्रम के अनिश्चित समीकरण (कुट्टक और वर्ग-प्रकृति) ब्रह्मगुप्त द्वारा वर्णन किया जाता है ।'' |
| | ==तकनीकी शब्द== |
| | ===अज्ञात मात्रा=== |
| | अज्ञात मात्रा को ''स्थानंग-सूत्र'' (300 ईसा पूर्व से पहले) ''यावत -तावत'' (जितना या इतना, अर्थ एक यादृच्छिक/मनमाना मात्रा) में बुलाया गया था। तथाकथित ''बख्शाली'' ग्रंथ में, इसे ''यदृच्छा'' , ''वाञ्च'' या ''कामिका'' (कोई भी वांछित मात्रा) कहा जाता था। आर्यभट प्रथम (499) अज्ञात मात्रा को ''गुलिक'' (''शॉट)'' कहते हैं। यह शब्द दृढ़ता से किसी को संदेह की ओर ले जाता है कि ''शॉट'' का इस्तेमाल शायद अज्ञात का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया गया था। सातवीं शताब्दी की शुरुआत से हिंदू बीजगणितविदों ने ''अव्यक्त'' (अज्ञात) शब्द को अधिक सामान्यतः प्रयुक्त किया है। |
| | ===समीकरण=== |
| | समीकरण को ब्रह्मगुप्त (628) ''समा-करण'' या ''सम-करण'' (समान बनाना) या अधिक सरलता से ''समा'' (समीकरण) कहते हैं। पृथिदाकस्वामी (860) ने ''साम्य'' (समानता या समीकरण) शब्द का भी प्रयोग किया है; और श्रीपति (1039) ''सद्रुष्य-करण'' (समान बनाना)। नारायण (1350) ''समी -करण'', ''साम्य'' और ''समत्व'' (समानता) शब्दों का प्रयोग करते हैं। एक समीकरण में हमेशा दो ''पक्ष'' (पक्ष) होते हैं। |
| | ===सुनिश्चित पद=== |
| | ''बख्शाली'' ग्रंथ में सुनिश्चित शब्द को ''दृश्य'' (दृश्यमान) कहा गया है।बाद के हिंदू बीजगणित में, इसे लगभग संबद्ध शब्द ''रूप'' (उपस्थिति) से बदल दिया गया है, हालांकि इसे अंकगणित पर ग्रंथों में नियोजित करना जारी रखा गया है। इस प्रकार एक बीजीय समीकरण में सुनिश्चित पद के लिए हिंदू नाम का सही महत्व स्पष्ट है। यह समीकरण के दृश्य या ज्ञात भाग का प्रतिनिधित्व करता है जबकि इसका दूसरा भाग व्यावहारिक रूप से अदृश्य या अज्ञात है। |
| | ===घात=== |
| | ज्ञात या अज्ञात मात्रा की घात के लिए सबसे पुराना हिंदू शब्द ''उत्तराध्यायन-सूत्र'' (सी। 300 ईसा पूर्व या उससे पहले) में पाए जाते हैं। इसमें, दूसरी घात को (''वर्ग''), तीसरी घात (''घन''), चौथी घात (''वर्ग-वर्ग''), छठी घात (''घन-वर्ग'') , और बारहवीं घात (घन-वर्ग-वर्ग), योगात्मक सिद्धांत के बजाय गुणक का उपयोग करते हुए कहा जाता है। इस कार्य में हमें तीसरे से अधिक विषम घातों को इंगित करने की कोई विधि नहीं मिलती है। बाद के समय में, पांचवीं घात को ''वर्ग-घन-घात'' (घन और वर्ग का गुणन, घात = उत्पाद), सातवीं घात ''वर्ग-वर्ग-घन-घात'' (वर्ग-वर्ग और घन का गुणन) आदि कहा जाता है। ब्रह्मगुप्त की चौथे से अधिक घातों को व्यक्त करने की प्रणाली वैज्ञानिक रूप से बेहतर है। वह पाँचवीं घात को ''पंच-घात'' (शाब्दिक रूप से पाँचवें तक बढ़ा हुआ), छठी घात को ''षड-घात'' (छठे तक बढ़ा हुआ) कहते हैं; इसी प्रकार किसी भी घात के लिए शब्द उस घात को इंगित करने वाली संख्या के नाम में प्रत्यय घात जोड़कर अनुयोजित किया जाता है। भास्कर द्वितीय ने कभी-कभी एक और ऊपर की घातों के लिए लगातार इसका अनुगमन किया है। ''अनुयोगद्वार-सूत्र'' में, ईसाई युग की शुरुआत से पहले लिखी गई एक रचना, हमें उच्च घातों, अभिन्न और साथ ही आंशिक, विशेष रूप से क्रमिक वर्ग (''वर्ग'') और वर्ग-मूल (''वर्ग-मूल'') के लिए कुछ दिलचस्प शब्द मिलते हैं। |
|
| |
|
| आज, बीजगणित काफी बढ़ गया है और इसमें गणित की कई शाखाएँ शामिल हैं, जैसा कि [[ गणित विषय वर्गीकरण में देखा जा सकता है]<ref>{{cite web|url=https://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html|title=2010 Mathematics Subject Classification|access-date=2014-10-05|archive-date=2014-06-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20140606010248/http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html|url-status=live}}</ref>
| | इसके अनुसार एक मात्रा का ''प्रथम-वर्ग'' (प्रथम वर्ग), मान लीजिए a<sup>2</sup> का अर्थ है a; ''द्वितीय -वर्ग'' (दूसरा वर्ग) = (a<sup>2</sup>)<sup>2</sup> = a<sup>4</sup>; ''तृतीया-वर्ग'' (तीसरा वर्ग) = ((a<sup>2</sup>)<sup>2</sup> )<sup>2</sup> = a<sup>8</sup> और इसी तरह सामान्य तौर पर, a का nवां वर्ग = a<sup>2x2x2x ……. n</sup> <sup>पदों के लिए</sup> =a<sup>2ⁿ</sup> । इसी तरह, ''प्रथम-वर्ग-मूल'' (प्रथम वर्गमूल) का अर्थ है √a; ''द्वितीय'' -''वर्ग-मूल'' (दूसरा वर्गमूल) =√ (√a) = a<sup>1/4</sup>; और सामान्य तौर पर nth ''वर्ग-मूल'' के लिए a = a<sup>1/2ⁿ</sup> फिर से हम (a<sup>1/23</sup>)3 = a<sup>3/8</sup> के लिए ''तृतीया-वर्ग'' -''मूल'' -''घना'' (तीसरे वर्गमूल का घन) पद पाते हैं। |
| जहां प्रथम स्तर के किसी भी क्षेत्र (दो अंकों की प्रविष्टियां) को ''बीजगणित'' नहीं कहा जाता है। आज बीजगणित में खंड 08-सामान्य बीजगणितीय प्रणाली, 12- [[ क्षेत्र सिद्धांत (गणित) | क्षेत्र सिद्धांत ]] और [[ बहुपद ]] एस, 13- [[ कम्यूटेटिव बीजगणित ]], 15- [[ रैखिक बीजगणित | रैखिक ]] और [[ बहुरेखीय बीजगणित ]] शामिल हैं; [[ मैट्रिक्स सिद्धांत ]], 16- [[ सहयोगी बीजगणित | सहयोगी छल्ले और बीजगणित ]], 17- [[ गैर-सहयोगी अंगूठी ]] एस और [[ गैर-सहयोगी बीजगणित | बीजगणित ]], 18- [[ श्रेणी सिद्धांत ]]; [[ समरूप बीजगणित ]], 19- [[ के-सिद्धांत ]] और 20- [[ समूह सिद्धांत ]]। 11- [[ संख्या सिद्धांत ]] और 14- [[ बीजगणितीय ज्यामिति ]] में भी बीजगणित का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
| |
|
| |
|
| == इतिहास == | | "''वर्ग''" के लिए वर्गा शब्द का एक विशुद्ध रूप से ठोस अवधारणा में एक दिलचस्प मूल है। संस्कृत शब्द ''वर्ग'' का शाब्दिक अर्थ है "पंक्तियाँ," या "सैनिक" (इसी तरह की चीजों की)। एक गणितीय शब्द के रूप में इसका अनुप्रयोग एक वर्ग के चित्रमय निरूपण में उत्पन्न हुआ, जिसे कई वर्ग या छोटे वर्गों के सैनिकों में विभाजित किया गया था, क्योंकि पक्ष में कुछ माप की इकाइयाँ थीं। |
| {{Main|History of algebra|Timeline of algebra}}
| | ===गुणांक / गुणक=== |
| | हिंदू बीजगणित में गुणांक के लिए किसी विशेष शब्द का व्यवस्थित उपयोग नहीं है। साधारणतया अज्ञात की घात का उल्लेख उस घात के गुणांक के संदर्भ में किया जाता है। अपने भाष्यकार ब्रह्मगुप्त द्वारा इसी तरह के प्रयोग की व्याख्या करते हुए, पृथिदकस्वामी लिखते हैं, "अज्ञात के वर्ग का गुणांक जो संख्या (''अंक'') है, उसे 'वर्ग' कहा जाता है और वह संख्या जो (सरल) अज्ञात का गुणांक बनाती है,अज्ञात मात्रा कहलाती है । हालाँकि, कभी-कभी तकनीकी शब्द का उपयोग भी किया जाता है। ब्रह्मगुप्त एक बार गुणांक को ''सांख्य'' (संख्या) और कई अन्य अवसरों पर गुणांक, या गुणाकार (गुणक) कहते हैं। चतुर्वेद पृथुदका स्वामी (860) इसे ''अंक'' (संख्या) या ''प्रकृति'' (गुणक) कहते हैं । ये शब्द श्रीपति (1039)5 और भास्कर द्वितीय (1150) के कार्यों में फिर से प्रकट होते हैं। पूर्व में भी इसी उद्देश्य के लिए ''रूप'' का प्रयोग किया जाता था। |
| | ==प्रतीक== |
| | '''संक्रिया के प्रतीक:''' ''बख्शाली'' के काम में मौलिक कार्यों के लिए कोई विशेष प्रतीक नहीं हैं। किसी भी विशेष संक्रिया का उद्देश्य सामान्य रूप से आशुलिपि (शॉर्टहैंड) संक्षिप्त नाम, उस आयात के संस्कृत शब्द के प्रारंभिक शब्दांश,(बाद में, कभी-कभी पहले), प्रभावित मात्रा को रखकर इंगित किया जाता है। इस प्रकार जोड़ के संचालन को ''यू'' (''यूता'' से एक संक्षिप्त नाम, अर्थ जोड़ा गया), घटाव द्वारा इंगित किया जाता है, जो संभवतः ''क्ष'' से होता है (''क्षय'' से संक्षिप्त, छोटा/कम), ''गु'' द्वारा गुणा (''गुणा'' या ''गुणिता'' से, गुणा) और भाग द्वारा ''भा'' (''भाग'' या ''भजिता'' से, विभाजित)। |
|
| |
|
| | भास्कर द्वितीय (1150) कहते हैं, "वे (ज्ञात और अज्ञात संख्याएं) जो ऋणात्मक हैं, उनके ऊपर एक बिंदु (''बिंदु'') के साथ लिखा जाना चाहिए।" |
|
| |
|
| === बीजगणित का प्रारंभिक इतिहास ===
| | '''घातों और मूल के लिए प्रतीक:''' घातों और मूल के प्रतीक संस्कृत शब्दों के संक्षिप्त रूप हैं जिन्हें प्रभावित संख्या के बाद रखा गया है। इसलिए, वर्ग का प्रतिनिधित्व ''व'' (''वर्ग'' से), घन द्वारा ''घ'' (''घन'' से), चौथी घात ''व-व'' (''वर्ग-वर्ग'' से), पांचवीं घात ''वा-घा-घा'' (''वर्ग-घना-घात'' से) द्वारा किया जाता है। छठी घात ''घ-व'' (''घन-वर्ग'' से), सातवीं घात ''व-व-घ-घा'' (''वर्ग-वर्ग-घन-घात'' से) इत्यादि। |
|
| |
|
| [[ फ़ाइल: इमेज-अल-किताब अल-मुताशर फी इसाब अल-सब्र व-एल-मुकbala.jpg|thumb|upright=0.8| [[ से एक पृष्ठ :en:मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी | अल-ख्वारिज्मी ]] की ' [[ पूर्णता और संतुलन द्वारा गणना पर संकलित पुस्तक | अल-किताब अल-मुश्तर फी इसाब अल-मुकबला 22- '' ]]
| | दो या दो से अधिक अज्ञात मात्राओं के गुणनफल को अज्ञात के बाद ''भा'' (''भाविता'', गुणनफल से) लिखकर या बिना अंतःस्थापित बिंदुओं के द्वारा दर्शाया जाता है; जैसे, ''यव-काघा-भा'' या ''यवकागभा'' का अर्थ है ''(या'') <sup>2</sup> (''का'') <sup>3</sup>। बख्शाली ग्रंथ में किसी मात्रा के वर्गमूल को उसके बाद ''मू'' लिखकर दर्शाया जाता है जो ''मूल'' का संक्षिप्त रूप है। |
|
| |
|
| बीजगणित की जड़ों का पता प्राचीन [[ बेबीलोनियाई गणित | बेबीलोनियाई ]] . से लगाया जा सकता है<ref>{{cite book |last=Struik |first=Dirk J. |year=1987 |title=A Concise History of Mathematics |location=New York |publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-60255-4 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/concisehistoryof0000stru_m6j1 }}</ref> जिन्होंने एक उन्नत अंकगणितीय प्रणाली विकसित की जिसके साथ वे [[ एल्गोरिथम ]] आईसी फैशन में गणना करने में सक्षम थे। बेबीलोनियों ने [[ रैखिक समीकरण ]] एस, [[ द्विघात समीकरण ]] एस और [[ अनिश्चित समीकरण | अनिश्चित रैखिक समीकरण ]] का उपयोग करके आज आमतौर पर हल की गई समस्याओं के समाधान की गणना करने के लिए सूत्र विकसित किए। इसके विपरीत, इस युग के अधिकांश [[ प्राचीन मिस्र के गणित | मिस्रवासी ]], साथ ही [[ यूनानी गणित | यूनानी ]] और [[ चीनी गणित ]] पहली सहस्राब्दी ईसा पूर्व में, आमतौर पर ज्यामितीय तरीकों से ऐसे समीकरणों को हल करते थे, जैसे कि 'में वर्णित'। ' [[ रेंड मैथमैटिकल पेपिरस ]]', [[ यूक्लिड के तत्व | यूक्लिड के ''तत्व'' ]] , और '' [[ द नाइन चैप्टर ऑन द मैथमैटिकल आर्ट ]]''। यूनानियों के ज्यामितीय कार्य, 'तत्वों' में टाइप किए गए, विशेष समस्याओं के समाधान से परे सूत्रों को समीकरणों को बताने और हल करने की अधिक सामान्य प्रणालियों में सामान्यीकरण के लिए रूपरेखा प्रदान करते हैं, हालांकि यह [[ तक महसूस नहीं किया जाएगा मध्ययुगीन इस्लाम में गणित | गणित मध्यकालीन इस्लाम में विकसित हुआ ]]<ref>देखो {{harvnb|Boyer|1991}}</ref>
| | उदाहरण के लिए |
|
| |
|
| [[ प्लेटो ]] के समय तक, ग्रीक गणित में भारी बदलाव आया था। यूनानियों ने एक [[ ग्रीक ज्यामितीय बीजगणित | ज्यामितीय बीजगणित ]] बनाया जहां शब्दों को ज्यामितीय वस्तुओं के पक्षों द्वारा दर्शाया गया था, आमतौर पर रेखाएं, जिनमें उनके साथ जुड़े अक्षर थे<ref name=citeboyer>देखो {{harvnb|Boyer|1991}}, ''यूरोप इन द मिडिल एज'', पृ. 258: यूक्लिड के ''एलिमेंट्स'' VII-IX में अंकगणितीय प्रमेयों में, संख्याओं को उन रेखा खंडों द्वारा दर्शाया गया था जिनसे अक्षर जुड़े हुए थे, और अल-ख्वारिज्मी के ''बीजगणित'' में ज्यामितीय प्रमाणों में अक्षर आरेखों का उपयोग किया गया था; लेकिन 'बीजगणित' में प्रयुक्त समीकरणों के सभी गुणांक विशिष्ट संख्याएँ हैं, चाहे अंकों द्वारा प्रदर्शित हों या शब्दों में लिखे गए हों। सामान्यता का विचार अल-ख्वारिज्मी की व्याख्या में निहित है, लेकिन उनके पास बीजगणितीय रूप से सामान्य प्रस्तावों को व्यक्त करने की कोई योजना नहीं थी जो कि ज्यामिति में इतनी आसानी से उपलब्ध हैं।</ref> [[ डायोफैंटस ]] (तीसरी शताब्दी ई.) [[ अलेक्जेंड्रिया ]] एन ग्रीक गणितज्ञ और ' [[ अंकगणित ]]' नामक पुस्तकों की एक श्रृंखला के लेखक थे। ये ग्रंथ [[ बीजगणितीय समीकरण ]] s . को हल करने से संबंधित हैं<ref>{{cite book |author-link=Florian Cajori |first=Florian |last=Cajori |year=2010 |url=https://books.google.com/books?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA34 |title=A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching |page=34 |isbn=978-1-4460-2221-4 |access-date=2020-10-15 |archive-date=2021-02-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210221075950/https://books.google.com/books?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA34 |url-status=live }}</ref> और [[ संख्या सिद्धांत ]] में, [[ डायोफैंटाइन समीकरण ]] की आधुनिक धारणा का नेतृत्व किया है।
| | 21 ''या'' 4 ''मू'' 5 |
|
| |
|
| ऊपर चर्चा की गई पूर्व परंपराओं का ईरान के [[ इतिहास | फारसी ]] गणितज्ञ [[ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी | मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ]] (सी। 780-850) पर सीधा प्रभाव था। बाद में उन्होंने '' [[ द कम्पेंडिअस बुक ऑन कैलकुलेशन बाय कंप्लीशन एंड बैलेंसिंग ]]'' लिखा, जिसने बीजगणित को एक गणितीय अनुशासन के रूप में स्थापित किया जो [[ ज्यामिति ]] और [[ अंकगणित ]] से स्वतंत्र है।<ref>{িতে चीता पुस्तक | शीर्षक = अल खबरिजमी: टी बीजगणित की शुरुआत | लेखक = रुश्दी रशेड | प्रकाशक = साकी पुस्तकें | दिनांक = नवंबर से 09 | ईश्वर =978-0-86356-430-7}</ref>
| | 1 1 1 |
|
| |
|
| [[ हेलेनिस्टिक काल | हेलेनिस्टिक ]] गणितज्ञ [[ अलेक्जेंड्रिया के हीरो ]] और डायोफैंटु<ref>{{cite web|url=http://library.thinkquest.org/25672/diiophan.htm |title=Diophantus, Father of Algebra |access-date=2014-10-05 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20130727040815/http://library.thinkquest.org/25672/diiophan.htm |archive-date=2013-07-27}}</ref> साथ ही [[ भारतीय गणित | भारतीय गणितज्ञ ]] जैसे [[ ब्रह्मगुप्त ]], ने मिस्र और बेबीलोन की परंपराओं को जारी रखा, हालांकि डायोफैंटस ''अरिथमेटिका'' और ब्रह्मगुप्त की '' [[ ब्रह्मस्फूससिद्धांत ]]'' उच्च स्तर पर हैं।<ref>{{cite web|url=http://www.algebra.com/algebra/about/history/|title=History of Algebra|access-date=2014-10-05|archive-date=2014-11-11|archive-url=https://web.archive.org/web/2014 [[040653/http://www.algebra.com/algebra/about/history/|url-status=live}}</ref>{{Better source needed|date=October 2017}} उदाहरण के लिए, प्रतीकों के बजाय शब्दों में लिखा गया पहला पूर्ण अंकगणितीय हल<ref>मैकेंज़ी, दाना। ''द यूनिवर्स इन जीरो वर्ड्स: द स्टोरी ऑफ मैथमेटिक्स ऐज टॉल्ड थ्रू इक्वेशन'', पृ. 61 (प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, 2012)</ref> ब्रह्मगुप्त ने 628 ई. में प्रकाशित अपनी पुस्तक ''ब्रह्मस्फुटसिद्धान्त'' में द्विघात समीकरणों के शून्य और ऋणात्मक हलों का वर्णन किया है।<ref name="Bradley">ब्रैडली, माइकल। ''गणित का जन्म: प्राचीन काल से 1300 तक'', पृ. 86 (इन्फोबेस प्रकाशन 2006)</ref> बाद में, फारसी और [[ अरब | अरब ]] गणितज्ञों ने बीजगणितीय विधियों को बहुत अधिक परिष्कार के लिए विकसित किया। हालांकि डायोफैंटस और बेबीलोनियों ने समीकरणों को हल करने के लिए ज्यादातर विशेष ''तदर्थ'' तरीकों का इस्तेमाल किया, अल-ख्वारिज्मी का योगदान मौलिक था। उन्होंने बीजगणितीय प्रतीकवाद के बिना रैखिक और द्विघात समीकरणों को हल किया, [[ ऋणात्मक संख्या ]] या [[ शून्य ]], इस प्रकार उन्हें कई प्रकार के समीकरणों में अंतर करना पड़ा<ref name="Meri2004">{{cite book|first=Josef W.|last=Meri|title=Medieval Islamic Civilization|url=https://books.google.com/books?id=H-k9oc9xsuAC&pg=PA31|access-date=2012-11-25|year=2004|publisher=Psychology Press|isbn=978-0-415-96690-0|page=31|archive-date=2013-06-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20130602195207/http://books.google.com/books?id=H-k9oc9xsuAC&pg=PA31|url-status=live}}</ref>
| | से अभिप्रेत है |
|
| |
|
| उस संदर्भ में जहां बीजगणित की पहचान [[ समीकरणों के सिद्धांत ]] के साथ की जाती है, ग्रीक गणितज्ञ डायोफैंटस को पारंपरिक रूप से बीजगणित के पिता के रूप में जाना जाता है और संदर्भ में जहां इसे समीकरणों में हेरफेर और हल करने के नियमों के साथ पहचाना जाता है, फारसी गणितज्ञ अल-ख्वारिज्मी है बीजगणित का जनक माना जाता है<ref>{{Cite book|last=Corona|first=Brezina|title=Al-Khwarizmi: The Inventor Of Algebra|publisher=Rosen Pub Group|date=February 8, 2006|isbn=978-1404205130|location=New York, United States}}</ref><ref>देखो {{harvnb|Boyer|1991}}, पृष्ठ 181: यदि हम मुख्य रूप से अंकन के मामले में सोचते हैं, तो डायोफैंटस का 'बीजगणित के पिता' के रूप में जाना जाने का अच्छा दावा है, लेकिन प्रेरणा और अवधारणा के संदर्भ में, दावा कम उपयुक्त है। अंकगणित बीजगणितीय संक्रियाओं, या बीजीय फलनों या बीजीय समीकरणों के हल का व्यवस्थित विवरण नहीं है</ref><ref>देखो {{harvnb|Boyer|1991}}, पृष्ठ 230: ऊपर दिए गए समीकरणों के छह मामले रैखिक और द्विघात समीकरणों के लिए सभी संभावनाओं को समाप्त कर देते हैं ... इस अर्थ में, अल-ख्वारिज्मी को 'बीजगणित के पिता' के रूप में जाना जाता है।</ref><ref>देखो {{harvnb|Boyer|1991}}, पृष्ठ 228: डायोफैंटस को कभी-कभी बीजगणित का जनक कहा जाता है, लेकिन यह शीर्षक अधिक उपयुक्त रूप से अल-खोवारिज्मी से संबंधित है</ref><ref name="Gandz">देखो {{harvnb|Gandz|1936}}, पृष्ठ 263-277: एक अर्थ में, अल-ख्वारिज्मी डायोफैंटस की तुलना में बीजगणित के पिता कहलाने के अधिक हकदार हैं क्योंकि अल-ख्वारिज्मी प्राथमिक रूप में बीजगणित को पढ़ाने वाले पहले व्यक्ति हैं और अपने स्वयं के लिए, डायोफैंटस मुख्य रूप से संबंधित है सिद्धांत ओएफ संख्या</ref><ref>{{Cite journal |last=Christianidis |first=Jean |date=August 2007 |title=The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus' method of solution|journal=[[Historia Mathematica]]|volume=34|issue=3|pages=289–305|quote=It is true that if one starts from a conception of algebra that emphasizes the solution of equations, as was generally the case with the Arab mathematicians from al-Khwārizmī onward as well as with the Italian algebraists of the Renaissance, then the work of Diophantus appears indeed very different from the works of those algebraists|doi=10.1016/j.hm.2006.10.003|doi-access=free}}</ref><ref>{{cite journal |first=G. C. |last= Cifoletti |title= La question de l'algèbre: Mathématiques et rhétorique des homes de droit dans la France du 16e siècle |journal= Annales de l'École des Hautes Études en Sciences Sociales, 50 (6)|year= 1995 |pages= 1385–1416 |quote= Le travail des Arabes et de leurs successeurs a privilégié la solution des problèmes.Arithmetica de Diophantine ont privilégié la théorie des equations}}</ref> यह बहस के लिए खुला है कि क्या डायोफैंटस या अल-ख्वारिज्मी सामान्य अर्थों में, बीजगणित के पिता के रूप में जाने जाने के अधिक हकदार हैं। जो लोग डायोफैंटस का समर्थन करते हैं, वे इस तथ्य की ओर इशारा करते हैं कि ''अल-जबर'' में पाया गया बीजगणित ''अरिथमेटिका'' में पाए जाने वाले बीजगणित की तुलना में थोड़ा अधिक प्राथमिक है और ''अरिथमेटिका'' को ''अल-जबर'' के साथ जोड़कर देखा जाता है। 'पूरी तरह से बयानबाजी है<ref>देखो {{harvnb|Boyer|1991}}, पृष्ठ 228</ref> जो लोग अल-ख्वारिज्मी का समर्थन करते हैं, वे इस तथ्य की ओर इशारा करते हैं कि उन्होंने [[ रिडक्शन (गणित) | रिडक्शन ]] और बैलेंसिंग (एक समीकरण के दूसरी तरफ घटाए गए शब्दों का स्थानान्तरण, यानी [[ को रद्द करना ]]) के तरीकों की शुरुआत की। समीकरण के विपरीत पक्षों पर) जिसे ''अल-जबर'' शब्द मूल रूप से संदर्भित किया जाता है<ref name=Boyer-229>देखो {{harvnb|Boyer|1991}}, ''अरबी आधिपत्य'', पृ. 229: यह निश्चित नहीं है कि "अल-जबर" और "मुक़ाबला" शब्दों का क्या अर्थ है, लेकिन सामान्य व्याख्या उपरोक्त अनुवाद में निहित के समान है। शब्द ''अल-जबर'' का अर्थ संभवत: बहाली या पूर्णता जैसा कुछ है और यह समीकरण के दूसरी तरफ घटाए गए शब्दों के स्थानान्तरण को संदर्भित करता है; शब्द ''मुक़ाबला'' को कमी या संतुलन को संदर्भित करने के लिए कहा जाता है - अर्थात, समीकरण के विपरीत पक्षों पर समान शब्दों को रद्द करना</ref> और उन्होंने द्विघात समीकरणों को हल करने की विस्तृत व्याख्या की<ref>देखो {{harvnb|Boyer|1991}}, ''अरबी आधिपत्य'', पृ. 230: ऊपर दिए गए समीकरणों के छह मामले सकारात्मक मूल वाले रैखिक और द्विघात समीकरणों के लिए सभी संभावनाओं को समाप्त कर देते हैं। अल-ख्वारिज्मी की व्याख्या इतनी व्यवस्थित और संपूर्ण थी कि उसके पाठकों को समाधानों में महारत हासिल करने में थोड़ी कठिनाई हुई होगी।</ref> बीजगणित को अपने आप में एक स्वतंत्र अनुशासन के रूप में मानते हुए ज्यामितीय प्रमाणों द्वारा समर्थित<ref name="Gandz"/> उनका बीजगणित भी अब हल की जाने वाली समस्याओं की एक श्रृंखला से संबंधित नहीं था, लेकिन एक [[ एक्सपोजिटरी लेखन | प्रदर्शनी ]] जो आदिम शब्दों से शुरू होता है जिसमें संयोजनों को समीकरणों के लिए सभी संभावित प्रोटोटाइप देना चाहिए, जो आगे स्पष्ट रूप से अध्ययन की वास्तविक वस्तु का गठन करते हैं . उन्होंने अपने स्वयं के लिए और सामान्य तरीके से एक समीकरण का भी अध्ययन किया, क्योंकि यह किसी समस्या को हल करने के दौरान न केवल उभरता है, बल्कि विशेष रूप से समस्याओं के अनंत वर्ग को परिभाषित करने के लिए कहा जाता है।<ref name=Rashed-Armstrong>{{Cite book |last1= Rashed |first1= R. |last2= Armstrong |first2= Angela |year= 1994 |title= The Development of Arabic Mathematics |publisher= [[Springer Science+Business Media|Springer]] |isbn= 978-0-7923-2565-9 |oclc= 29181926 |pages= 11–12}}</ref>
| | <math>\sqrt{21 + 4} = 5</math> |
|
| |
|
| एक अन्य फारसी गणितज्ञ [[ उमर खय्याम ]] को [[ बीजगणितीय ज्यामिति ]] की नींव की पहचान करने का श्रेय दिया जाता है और उन्होंने [[ घन समीकरण ]] का सामान्य ज्यामितीय हल खोजा। उसका बोओके ''बीजगणित की समस्याओं के प्रदर्शन पर ग्रंथ'' (1070), जो बीजगणित के सिद्धांतों को निर्धारित करता है, फारसी गणित के शरीर का हिस्सा है जिसे अंततः यूरोप में प्रसारित किया गया था।<ref>{{cite book|title=Mathematical Masterpieces: Further Chronicles by the Explorers |page= 92}}</ref> फिर भी एक और फारसी गणितज्ञ, [[ शराफ अल-दीन अल-त्सī ]], ने घन समीकरणों के विभिन्न मामलों के बीजीय और संख्यात्मक समाधान पाए<ref>{{MacTutor|id=Al-Tusi_Sharaf|title=Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi}}</ref> उन्होंने [[ फंक्शन (गणित) | फंक्शन ]] . की अवधारणा भी विकसित की<ref>{{Cite journal|last1=Victor J. Katz|first1=Bill Barton|title=Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching|journal=Educational Studies in Mathematics|volume=66|issue=2|date=October 2007|doi=10.1007/s10649-006-9023-7|pages=185–201 [192]|last2=Barton|first2=Bill|s2cid=120363574}}</ref> भारतीय गणितज्ञ [[ महावीर (गणितज्ञ) | महावीर ]] और [[ भास्कर द्वितीय ]], फारसी गणितज्ञ [[ अल-काराजी ]]<ref name="Boyer al-Karkhi ax2n">देखो {{harvnb|Boyer|1991}}, ''अरबी आधिपत्य'', पृ. 239: अबुल वेफ़ा एक सक्षम बीजगणिती के साथ-साथ एक त्रिकोणमापी भी थे। ... उनके उत्तराधिकारी अल-करखी ने स्पष्ट रूप से इस अनुवाद का इस्तेमाल डायोफैंटस के अरबी शिष्य बनने के लिए किया - लेकिन डायोफैंटाइन विश्लेषण के बिना! ... विशेष रूप से, अल-कारखी को समीकरणों के पहले संख्यात्मक समाधान के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है ax<sup>2n</sup> + bx<sup>n</sup> = c (केवल सकारात्मक जड़ों वाले समीकरणों पर विचार किया गया था) ),</ref> और चीनी गणितज्ञ [[ झू शिजी ]] ने संख्यात्मक विधियों का उपयोग करते हुए क्यूबिक, [[ क्वार्टिक समीकरण | क्वार्टिक ]], [[ क्विंटिक समीकरण | क्विंटिक ]] और उच्च-क्रम [[ बहुपद ]] समीकरणों के विभिन्न मामलों को हल किया। 13वीं शताब्दी में, [[ फाइबोनैचि ]] द्वारा एक घन समीकरण का समाधान यूरोपीय बीजगणित में एक पुनरुद्धार की शुरुआत का प्रतिनिधि है। [[ अबू अल-आसन इब्न अली अल-क़लादादी ]] (1412-1486) ने बीजगणितीय प्रतीकवाद की शुरुआत की दिशा में पहला कदम उठाया। उन्होंने Σ''n''<sup>2</sup>, Σ''n''<sup>3</sup> की भी गणना की और वर्गमूलों को निर्धारित करने के लिए क्रमिक सन्निकटन की विधि का उपयोग किया<ref>{{Cite web|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Qalasadi.html|title=Al-Qalasadi biography|website=www-history.mcs.st-andrews.ac.uk|access-date=2017-10-17|archive-date=2019-10-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20191026001749/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Qalasadi.html|url-status=live}}</ref>
| | तथा |
|
| |
|
| === बीजगणित का आधुनिक इतिहास ===
| | 23 7<sup>+</sup> ''मू'' 4 |
| [[File:Gerolamo Cardano (colour).jpg|thumb|upright=0.8|इतालवी गणितज्ञ [[ गिरोलामो कार्डानो ]] ने [[ क्यूबिक समीकरण | क्यूबिक ]] और [[ क्वार्टिक समीकरण ]] एस के समाधान अपनी 1545 पुस्तक '' [[ आर्स मैग्ना (गेरोलामो कार्डानो) | आर्स मैग्ना ]]" में प्रकाशित किए। ]]
| |
|
| |
|
| [[ फ्रेंकोइस विएते ]] का [[ नए बीजगणित ]] पर 16वीं सदी के अंत में किया गया कार्य आधुनिक बीजगणित की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम था। 1637 में, [[ रेने डेसकार्टेस ]] ने ' [[ ला जियोमेट्री ]]' प्रकाशित किया, [[ विश्लेषणात्मक ज्यामिति ]] का आविष्कार किया और आधुनिक बीजगणितीय संकेतन की शुरुआत की। बीजगणित के आगे विकास में एक अन्य महत्वपूर्ण घटना घन और चतुर्थक समीकरणों का सामान्य बीजगणितीय समाधान था, जिसे 16 वीं शताब्दी के मध्य में विकसित किया गया था। [[ निर्धारक ]] का विचार [[ जापानी गणित | जापानी गणितज्ञ ]] [[ सेकी कोवा ]] द्वारा 17वीं शताब्दी में विकसित किया गया था, इसके बाद [[ मैट्रिक्स का उपयोग करते हुए एक साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उद्देश्य से [[ गॉटफ्राइड लाइबनिज ]] ने स्वतंत्र रूप से पीछा किया। (गणित) | मैट्रिक्स ]]। [[ गेब्रियल क्रैमर ]] ने भी 18वीं शताब्दी में मैट्रिक्स और निर्धारकों पर कुछ काम किया। क्रमपरिवर्तन का अध्ययन [[ जोसेफ-लुई लैग्रेंज ]] ने अपने 1770 के पेपर ''रिफ्लेक्सियंस सुर ला रिजोल्यूशन अल्जेब्रिक डेस इक्वेशन्स'' में किया था।{{-"}} बीजगणितीय समीकरणों के समाधान के लिए समर्पित, जिसमें उन्होंने [[ रेसोल्वेंट (गैलोइस सिद्धांत) | लैग्रेंज रिसोल्वेंट ]] पेश किया। [[ पाओलो रफिनी ]] [[ क्रमचय समूह ]] एस के सिद्धांत को विकसित करने वाले पहले व्यक्ति थे, और अपने पूर्ववर्तियों की तरह, बीजीय समीकरणों को हल करने के संदर्भ में भी।
| | 1 1 1 |
|
| |
|
| [[ सार बीजगणित ]] को 19वीं शताब्दी में विकसित किया गया था, जो समीकरणों को हल करने में रुचि से प्राप्त हुआ था, शुरू में उस पर ध्यान केंद्रित किया गया था जिसे अब [[ गैलोइस सिद्धांत ]] कहा जाता है, और [[ पर रचनात्मक संख्या | निर्माण क्षमता ]] मुद्दे<ref>[http://www.math.hawaii.edu/'''lee/algebra/history.html सार बीजगणित की उत्पत्ति] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100611091009/http://www.math.hawaii.edu/'''lee/algebra/history.html |date=2010-06-11 }}. हवाई गणित विभाग के विश्वविद्यालय</ref> [[ जॉर्ज पीकॉक ]] अंकगणित और बीजगणित में स्वयंसिद्ध सोच के संस्थापक थे। [[ ऑगस्टस डी मॉर्गन ]] ने अपने ''तर्क की एक प्रस्तावित प्रणाली के पाठ्यक्रम'' में [[ संबंध बीजगणित ]] की खोज की। [[ योशिय्याह विलार्ड गिब्स ]] ने त्रि-आयामी अंतरिक्ष में वैक्टर का बीजगणित विकसित किया, और [[ आर्थर केली ]] ने मैट्रिक्स का बीजगणित विकसित किया (यह एक गैर-अनुवांशिक बीजगणित है)<ref>[http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?ISBN=978-1108005043 द कलेक्टेड मैथमेटिकल पेपर्स]। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस</ref>
| | से अभिप्रेत है |
|
| |
|
| =========================================================================================================================================================================================================================================================================================================== = | | <math>\sqrt{23 - 7} = 4</math> |
| [[File:Mathematics lecture at the Helsinki University of Technology.jpg|thumb| [[ आल्टो विश्वविद्यालय में [[ रैखिक बीजगणित ]] व्याख्यान ]] ]]
| |
| बीजगणित के कुछ उपक्षेत्रों के नाम में बीजगणित शब्द है; [[ रैखिक बीजगणित ]] एक उदाहरण है। अन्य नहीं करते हैं: [[ समूह सिद्धांत ]], [[ वलय सिद्धांत ]], और [[ क्षेत्र (गणित) | क्षेत्र सिद्धांत ]] उदाहरण हैं। इस खंड में, हम गणित के कुछ क्षेत्रों को नाम में बीजगणित शब्द के साथ सूचीबद्ध करते हैं।
| |
|
| |
|
| * [[ प्रारंभिक बीजगणित ]], बीजगणित का वह भाग जो आमतौर पर गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रमों में पढ़ाया जाता है।
| | अन्य ग्रंथों में वर्गमूल का चिन्ह ''क'' (''करणी'' , मूल या surd से) होता है, जिसे आमतौर पर प्रभावित मात्रा से पहले रखा जाता है। |
| * [[ सार बीजगणित ]], जिसमें [[ बीजगणितीय संरचना ]] एस जैसे [[ समूह (गणित) | समूह ]], [[ वलय (गणित) | वलय ]] और [[ क्षेत्र (गणित) | क्षेत्र ]] [[ स्वयंसिद्ध हैं। .
| |
| * [[ रैखिक बीजगणित ]], जिसमें [[ रैखिक समीकरण ]] एस, [[ वेक्टर स्पेस ]] एस और [[ मैट्रिक्स (गणित) | मैट्रिक्स ]] के विशिष्ट गुणों का अध्ययन किया जाता है।
| |
| * [[ बूलियन बीजगणित ]], बीजगणित की एक शाखा जो [[ सत्य मान ]] एस ''गलत'' और ''सत्य'' के साथ अभिकलन को सारगर्भित करती है।
| |
| * [[ कम्यूटेटिव बीजगणित ]], [[ कम्यूटेटिव रिंग ]] एस का अध्ययन।
| |
| * [[ कंप्यूटर बीजगणित ]], [[ एल्गोरिथम ]] एस और [[ कंप्यूटर प्रोग्राम ]] एस के रूप में बीजीय विधियों का कार्यान्वयन।
| |
| * [[ होमोलॉजिकल बीजगणित ]], बीजीय संरचनाओं का अध्ययन जो [[ टोपोलॉजिकल स्पेस ]] एस का अध्ययन करने के लिए मौलिक हैं।
| |
| * [[ सार्वभौम बीजगणित ]] , जिसमें सभी बीजीय संरचनाओं के सामान्य गुणों का अध्ययन किया जाता है।
| |
| * [[ बीजगणितीय संख्या सिद्धांत ]], जिसमें बीजीय दृष्टिकोण से संख्याओं के गुणों का अध्ययन किया जाता है।
| |
| * [[ बीजगणितीय ज्यामिति ]], ज्यामिति की एक शाखा, अपने आदिम रूप में वक्रों और सतहों को [[ बहुपद समीकरण ]] एस के समाधान के रूप में निर्दिष्ट करती है।
| |
| * [[ बीजगणितीय संयोजन ]], जिसमें संयोजक प्रश्नों का अध्ययन करने के लिए बीजीय विधियों का उपयोग किया जाता है।
| |
| * [[ संबंधपरक बीजगणित ]]: [[ परिमितीय संबंध ]] एस का एक सेट जो [[ क्लोजर (गणित) | कुछ ऑपरेटरों के तहत ]] बंद हुआ।
| |
|
| |
|
| कई गणितीय संरचनाओं को '''बीजगणित''' कहा जाता है:
| | उदाहरण के लिए ''क''19 ''क'' 50 ''क'' 57 ''क'' 94 के रूप में दर्शाया गया है |
|
| |
|
| * [[ बीजगणित एक क्षेत्र पर ]] या उससे अधिक सामान्यतः [[ बीजगणित (अंगूठी सिद्धांत) | बीजगणित एक वलय पर ]] ।
| | <math>\sqrt{19}+\sqrt{50}+\sqrt{57}+\sqrt{94}</math> |
| ** [[ साहचर्य बीजगणित ]]
| |
| ** [[ असहयोगी बीजगणित ]]
| |
| ** [[ लेट बीजगणित ]]
| |
| ** [[ रचना बीजगणित ]]
| |
| ** [[ हॉप्फ़ बीजगणित ]]
| |
| ** [[ सी*-बीजगणित ]]
| |
| ** [[ सममित बीजगणित ]]
| |
| ** [[ बाहरी बीजगणित ]]
| |
| ** [[ टेंसर बीजगणित ]]
| |
| * [[ माप सिद्धांत ]] में,
| |
| ** [[ सिग्मा-बीजगणित ]]
| |
| ** [[ बीजगणित एक सेट पर ]]
| |
| * [[ श्रेणी सिद्धांत में ]]
| |
| ** [[ एफ-बीजगणित ]] और [[ एफ-कोलजेब्रा ]]
| |
| ** [[ टी-बीजगणित ]]
| |
| * [[ तर्क ]] में,
| |
| ** [[ संबंध बीजगणित ]] , एक अवशिष्ट बूलियन बीजगणित का विस्तार एक अंतर्विरोध के साथ हुआ जिसे कनवर्स कहा जाता है।
| |
| ** [[ बूलियन बीजगणित (संरचना) | बूलियन बीजगणित ]], एक [[ पूरक जाली | ]] [[ वितरणात्मक जाली ]] पूरक।
| |
| ** [[ बीजगणित ]]
| |
|
| |
|
| == प्राथमिक बीजगणित ==
| |
| {{main|Elementary algebra}}
| |
| [[File:algebraic equation notation.svg|thumb|right|बीजीय व्यंजक संकेतन:<br /> 1 - घात (घातांक)<br /> 2 - गुणांक<br /> 3 - पद<br /> 4 - ऑपरेटर<br /> 5 - स्थिर पद<br /> ''x '' ''y'' ''c''- चर/स्थिरांक ]]
| |
|
| |
|
| प्रारंभिक बीजगणित बीजगणित का सबसे बुनियादी रूप है। यह उन छात्रों को पढ़ाया जाता है जिनके बारे में माना जाता है कि उन्हें [[ अंकगणित ]] के मूल सिद्धांतों से परे [[ गणित ]] का कोई ज्ञान नहीं है। अंकगणित में, केवल [[ संख्या ]] s और उनकी अंकगणितीय संक्रियाएँ (जैसे +, -, ×, ) होती हैं। बीजगणित में, संख्याओं को अक्सर [[ चर (गणित) | चर ]] (जैसे ''a'', ''n'', ''x'', ''y'' या ''z'') नामक प्रतीकों द्वारा दर्शाया जाता है। ) यह उपयोगी है क्योंकि:
| | '''अज्ञात के लिए प्रतीक :''' |
|
| |
|
| * यह अंकगणितीय कानूनों के सामान्य निर्माण की अनुमति देता है (जैसे ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' सभी ''a'' और ''b'') के लिए, और इस प्रकार [[ वास्तविक संख्या | वास्तविक संख्या प्रणाली ]] के गुणों के व्यवस्थित अन्वेषण का पहला कदम है।
| | भास्कर द्वितीय (1150) का मानना था , "यहाँ (बीजगणित में) ज्ञात और अज्ञात के प्रारंभिक अक्षर (नाम) लिखे जाने चाहिए ताकि उन्हें सूचित किया जा सके।" यह पहले भी कहा जा चुका है कि एक समय में अज्ञात मात्रा को ''यावत-तावत'' (जितना, उतना ही) कहा जाता था। बाद के समय में इस नाम, ''या'' इसके संक्षिप्त नाम का प्रयोग अज्ञात के लिए किया जाता है। |
| * यह अज्ञात संख्याओं के संदर्भ, [[ समीकरण ]] एस के निर्माण और इन्हें हल करने के तरीके के अध्ययन की अनुमति देता है। (उदाहरण के लिए, एक संख्या ''x'' इस प्रकार खोजें कि 3''x'' + 1 = 10 या थोड़ा आगे जाकर ''x'' ऐसी संख्या ज्ञात करें कि ''ax'' + ''b'' = ''c''। यह कदम इस निष्कर्ष की ओर ले जाता है कि यह विशिष्ट संख्याओं की प्रकृति नहीं है जो हमें इसे हल करने की अनुमति देती है, बल्कि इसमें शामिल संचालन की है।)
| |
| * यह [[ फ़ंक्शन (गणित) | कार्यात्मक ]] संबंधों के निर्माण की अनुमति देता है। (उदाहरण के लिए, यदि आप ''x'' टिकट बेचते हैं, तो आपका लाभ होगा 3''x'' − 10 डॉलर, या ''f''(''x'') = 3''x'' − 10, जहां ''f'' फंक्शन है, और ''x'' वह नंबर है जिस पर फंक्शन लागू होता है।)
| |
|
| |
|
| === बहुपद ===
| |
| {{main|Polynomial}}
| |
| [[File:Polynomialdeg3.svg|एक फलन का [[ ग्राफ | घात वाले बहुपद फलन का ग्राफ ]] | अंगूठा | सीधा = 0.8 ]]
| |
|
| |
|
| एक बहुपद एक [[ व्यंजक (गणित) | व्यंजक ]] है जो गैर-शून्य [[ की एक परिमित संख्या का योग है सारांश | पद ]], प्रत्येक पद में [[ चर (गणित) | चर ]] को पूर्ण संख्या घात तक बढ़ा दिया गया है। उदाहरण के लिए, ''x''<sup>2</sup> + 2''x'' − 3 एकल चर ''x'' में एक बहुपद है। एक बहुपद व्यंजक एक व्यंजक है जिसे एक बहुपद के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जोड़ और गुणन के क्रमपरिवर्तन, साहचर्य और वितरण का उपयोग करके। उदाहरण के लिए, (''x'' − 1)(''x'' + 3) एक बहुपद व्यंजक है, जो ठीक से बोलने पर बहुपद नहीं है। एक बहुपद फलन एक ऐसा फलन है जो एक बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, या, समान रूप से, एक बहुपद व्यंजक द्वारा। पिछले दो उदाहरण समान बहुपद फलन को परिभाषित करते हैं।
| |
|
| |
|
| बीजगणित में दो महत्वपूर्ण और संबंधित समस्याएं हैं बहुपद ]] का [[ गुणनखंडन, अर्थात्, दिए गए बहुपद को अन्य बहुपदों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना, जिन्हें और अधिक गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है, और [[ बहुपद सबसे बड़े सामान्य भाजक ]] s की गणना। उपरोक्त उदाहरण बहुपद को (''x'' - 1)(''x'' + 3) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। समस्याओं का एक संबंधित वर्ग एक एकल चर में एक बहुपद के एक फ़ंक्शन | रूट ]] के [[ रूट के लिए बीजीय व्यंजक ढूंढ रहा है।
| | ''यावत्तावत् कालको नीलकोऽन्यो वर्णः पीतो लोहितश्चैतदाद्याः।'' |
|
| |
|
| === शिक्षा ===
| | ''अव्यक्तानां कल्पिता मानसंज्ञास्तत्संख्यानं कर्तुमाचार्यवर्यैः ॥''<ref>''Bījagaṇita, ch. Avyakta-kalpanā, vs.5, p.7''</ref> |
| {{see also|Mathematics education}}
| |
|
| |
|
| यह सुझाव दिया गया है कि प्रारंभिक बीजगणित को ग्यारह वर्ष से कम उम्र के छात्रों को पढ़ाया जाना चाहिए<ref>{{Cite web |title=Hull's Algebra |work=[[The New York Times]] |date=July 16, 1904 |url=https://timesmachine.nytimes.com/timesmachine/1904/07/16/101345282.pdf |access-date=2012-09-21 |archive-date=2021-02-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210221075950/https://timesmachine.nytimes.com/timesmachine/1904/07/16/101345282.pdf |url-status=live }}</ref> हालांकि हाल के वर्षों में संयुक्त राज्य अमेरिका में आठवीं कक्षा के स्तर (≈ 13 y.o. ±) पर सार्वजनिक पाठ शुरू होना आम बात है।<ref>{{Cite web |last=Quaid |first=Libby |title=Kids misplaced in algebra |publisher=[[Associated Press]] |date=2008-09-22 |url=https://www.usatoday.com/news/nation/2008-09-22-357650952_x.htm |format=Report |access-date=2012-09-23 |archive-date=2011-10-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20111027033958/http://www.usatoday.com/news/nation/2008-09-22-357650952_x.htm |url-status=live }}</ref> हालांकि, कुछ अमेरिकी स्कूलों में बीजगणित नौवीं कक्षा में शुरू होता है।
| | "महान आचार्यों ने ''यावत-तावत'' के प्रारंभिक अक्षरों और ''कालक'' (काला), ''नीलक'' (नीला), ''पीता'' (पीला), ''लोहित'' (लाल) आदि जैसे रंगों से अज्ञात का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रतीकों को ग्रहण किया।" |
|
| |
|
| == सार बीजगणित ==
| | भास्कर द्वितीय (1150) कहते हैं: "''यावत-तावत'' (इतना कि ), ''कालका'' (काला), ''नीलक'' (नीला), ''पीता'' (पीला), ''लोहित'' (लाल) और अन्य रंगों को आदरणीय प्राध्यापकों द्वारा अंकन/संकेत के रूप में लिया गया है। अज्ञात के उपाय, उनके साथ गणना करने के उद्देश्य से।" |
| {{Main|Abstract algebra|Algebraic structure}}
| |
|
| |
|
| सार बीजगणित प्रारंभिक बीजगणित में पाई जाने वाली परिचित अवधारणाओं और [[ अंक ]] के [[ अंकगणितीय ]] को अधिक सामान्य अवधारणाओं तक विस्तारित करता है। यहाँ सार बीजगणित में सूचीबद्ध मूलभूत अवधारणाएँ हैं।
| | "उन उदाहरणों में जहां दो, तीन या अधिक अज्ञात मात्राएं होती हैं, उनके लिए ''यावत-तावत'', आदि जैसे रंग ग्रहण किए जाने चाहिए। जैसा कि पिछले शिक्षकों ने माना था, वे हैं: ''यावत-तावत'' (इतना कि ), ''कालका'' (काला), ''नीलक (''नीला), ''पीतक'' (पीला), ''लोहितक'' (लाल), ''हरितक'' (हरा), ''श्वेतक'' (सफेद), ''चित्रक'' (विभिन्न), ''कपिलक'' (तावनी), ''पिंगलक'' (लाल-भूरा), ''धुम्रक'' (धुआं- रंगीन), ''पातलक'' (गुलाबी), ''शवलक'' (चित्तीदार), ''श्यामलक'' (काली), ''मेशक'' (गहरा नीला) आदि। या '<nowiki/>''क''' से शुरू होने वाले अक्षरों के अक्षरों को अज्ञात के उपाय के रूप में लिया जाना चाहिए ताकि भ्रम को रोका जा सके। |
|
| |
|
| [[ सेट (गणित) | सेट ]]: विभिन्न प्रकार के [[ नंबर ]] एस पर विचार करने के बजाय, अमूर्त बीजगणित ''सेट'' की अधिक सामान्य अवधारणा से संबंधित है: [[ तत्व (गणित) | तत्व ]] नामक वस्तुओं का संग्रह। परिचित प्रकार की संख्याओं के सभी संग्रह समुच्चय हैं। सेट के अन्य उदाहरणों में सभी टू-बाय-टू [[ मैट्रिक्स (गणित) | मैट्रिक्स ]] का सेट, सभी सेकेंड-डिग्री [[ बहुपद ]] (''ax''<sup>2</sup> + '' शामिल हैं। bx'' + ''c''), एक विमान के सभी दो आयामी [[ वेक्टर (ज्यामितीय) | वैक्टर ]] का सेट, और विभिन्न [[ परिमित समूह ]] जैसे [[ चक्रीय समूह ]] एस, जो कि समूह हैं पूर्णांक [[ मॉड्यूलर अंकगणित | मॉड्यूल ]] ''एन''। [[ सेट सिद्धांत ]] [[ तर्क ]] की एक शाखा है और तकनीकी रूप से बीजगणित की एक शाखा नहीं है।
| | इस प्रकार जैसे प्रतीकों का उपयोग अज्ञात मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। आज के संदर्भ में हम देखते हैं कि अज्ञात राशियों को दर्शाने के लिए x, y, z, आदि अक्षरों का प्रयोग किया जा रहा है। निम्न तालिका बीजगणित के प्रारंभिक कार्यों में अज्ञात मात्राओं के अर्थ के लिए उपयोग किए जाने वाले विभिन्न नामों और प्रतीकों को देती है। |
| | {| class="wikitable" |
| | |+ |
| | !Term |
| | !Symbol |
| | !Meaning |
| | !Reference |
| | |- |
| | |''यावत-तावत'' |
| | |''या'' |
| | |ज्यादा से ज्यादा |
| | |''स्थानांगसूत्र,'' |
| | भास्कर प्रथम, भास्कर द्वितीय, |
| | |- |
| | |''यदृच्छा'' , ''वाञ्च'' या ''कामिका'' |
| | |''य वा का'' |
| | |इच्छित मात्रा |
| | |''बख्शाली पाण्डुलिपि'' |
| | |- |
| | |''गुलिका'' |
| | |''गु'' |
| | |गोला |
| | |आर्यभट्ट |
| | |- |
| | |''कालक, नीलक, पिता, लोहित (लाल)'' |
| | |''का नी पी लो'' |
| | |काला नीला, |
| | पीला लाल |
| | |ब्रह्मगुप्त, भास्कर द्वितीय, |
| | |}''बख्शाली'' पाण्डुलिपि में उल्लेख है कि जहाँ पाँच अज्ञात हैं, वहाँ पहले अध्यादेशों के अक्षरों का उपयोग किया गया था। अर्थात् ''प्रथम'' से ''प्र'' (''पहला'' ), ''द्वितिय'' से ''द्वि'' (दूसरा ''),'' ''तृतीय'' से ''तृ'' (तीसरा) , ''चतुर्थ'' से ''च'' (चौथा) और ''पंचम'' से ''पं'' (पांचवें) अज्ञात का प्रतिनिधित्व करने के लिए है। |
| | ==संकेतों के नियम== |
| | कौटिल्य के अर्थशास्त्र में ऋणात्मक (''ऋण'') जैसी नकारात्मक मात्राओं का उल्लेख है। ब्रह्मगुप्त ''ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत'' में सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को निरूपित करने के लिए ''धन'' और ''ऋण'' शब्दों का उपयोग करतें है। वर्तमान काल में पूर्णांकों में धनात्मक संख्याएँ, ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य<ref>''A Primer to Bhāratīya Gaṇitam , Bhāratīya-Gaṇita-Praveśa- Part-1''. Samskrit Promotion Foundation. 2021. [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/978-81-951757-2-7|<bdi>978-81-951757-2-7</bdi>]].</ref> सम्मिलित हैं। |
| | ===योग=== |
| | ''धनयोर्धनमृणमृणयोर्धनर्णयोरन्तरं समैक्यं खम् ।'' |
|
| |
|
| [[ बाइनरी ऑपरेशन ]] एस: [[ जोड़ ]] (+) की धारणा को 'बाइनरी ऑपरेशन' की धारणा के लिए सामान्यीकृत किया गया है (यहाँ ∗ द्वारा दर्शाया गया है)। बाइनरी ऑपरेशन की धारणा उस सेट के बिना अर्थहीन है जिस पर ऑपरेशन परिभाषित किया गया है। एक सेट ''एस'' में दो तत्वों ''ए'' और ''बी'' के लिए, ''ए'' ''बी'' समुच्चय का एक अन्य तत्व है; इस स्थिति को [[ क्लोजर (गणित) | क्लोजर ]] कहा जाता है। [[ जोड़ ]] (+), [[ घटाव ]] (-), [[ गुणा ]] (×), और [[ डिवीजन (गणित) | डिवीजन ]] (÷) विभिन्न सेटों पर परिभाषित होने पर बाइनरी ऑपरेशन हो सकते हैं, जैसे कि मैट्रिक्स का जोड़ और गुणा , वैक्टर और बहुपद।
| | ''ऋणमैक्यं च धनमृणधनशून्ययोः शून्ययोः शून्यम् ॥''<ref>Brahma-sphuţa-siddhānta (ch.18, vs.30, p.309)</ref> |
|
| |
|
| [[ पहचान तत्व ]] एस: संख्या शून्य और एक को एक ऑपरेशन के लिए ''पहचान तत्व'' की धारणा देने के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। शून्य जोड़ के लिए पहचान तत्व है और एक गुणन के लिए पहचान तत्व है। एक सामान्य बाइनरी ऑपरेटर के लिए पहचान तत्व ''ई'' को ''ए'' ∗ ''ई'' = ''ए'' और ''ई'' ''ए'' = ''ए'' को संतुष्ट करना चाहिए। ', और अनिवार्य रूप से अद्वितीय है, यदि यह मौजूद है। यह जोड़ने के लिए ''a'' + 0 = ''a'' और 0 + ''a'' = ''a'' और गुणा ''a'' × 1 = ''a'' और 1 × ''ए'' = ''ए''। सभी सेट और ऑपरेटर संयोजनों में एक पहचान तत्व नहीं होता है; उदाहरण के लिए, धनात्मक प्राकृत संख्याओं (1, 2, 3, ...) के समुच्चय में जोड़ के लिए कोई पहचान तत्व नहीं है।
| | ब्रह्मगुप्त (62.8) कहते हैं: |
|
| |
|
| [[ व्युत्क्रम तत्व ]] : ऋणात्मक संख्याएं ''प्रतिलोम तत्वों'' की अवधारणा को जन्म देती हैं। इसके अतिरिक्त, ''a'' का व्युत्क्रम -''a'' लिखा जाता है, और गुणा के लिए ''a''<sup>−1</sup> लिखा जाता है। एक सामान्य दो-तरफा उलटा तत्व ''a''<sup>−1</sup> उस गुण को संतुष्ट करता है जो ''a'' ''a''<sup>−1</sup> = ''e' ' और ''a''<sup>−1</sup> ∗ ''a'' = ''e'', जहां ''e'' पहचान तत्व है।
| | "दो धनात्मक संख्याओं का योग धनात्मक होता है। दो ऋणात्मक संख्याओं का योग ऋणात्मक होता है। धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं का योग उनका अंतर होता है। यदि धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ समान हों, तो उनका योग शून्य होता है। शून्य और ऋणात्मक संख्याओं का योग है ऋणात्मक होता है। एक धनात्मक संख्या और शून्य का योग धनात्मक होता है। दो शून्यों का योग शून्य होता है।" |
| | ===घटाव=== |
| | ''ऊनमधिकाद्विशोध्यं धनं धनादृणमृणादधिकमूनम् ।'' |
|
| |
|
| [[ साहचर्यता ]] : पूर्णांकों के योग का एक गुण साहचर्य कहलाता है। अर्थात् जो संख्याएँ जोड़ी जानी हैं उनका समूहन योग को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए: {{nowrap|1=(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)}}. सामान्य तौर पर, यह (''a'' ∗ ''b'') ''c'' = ''a'' (''b'' ∗ ''c'') बन जाता है। यह गुण अधिकांश बाइनरी ऑपरेशन द्वारा साझा किया जाता है, लेकिन घटाव या विभाजन या [[ ऑक्टोनियन गुणन ]] नहीं।
| | ''व्यस्तं तदन्तरं स्यादृणं धनं धनमृणं भवति ॥<ref>Brahma-sphuta-siddhanta, ch.18, vs.31 p.309</ref>'' |
|
| |
|
| [[ कम्यूटेटिव ऑपरेशन | कम्यूटेटिविटी ]]: वास्तविक संख्याओं का जोड़ और गुणा दोनों कम्यूटेटिव हैं। यानी संख्याओं का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए: 2 + 3 = 3 + 2. सामान्य तौर पर, यह ''a'' ∗ ''b'' = ''b'' ''a''' हो जाता है। यह गुण सभी बाइनरी ऑपरेशंस के लिए नहीं है। उदाहरण के लिए, [[ मैट्रिक्स गुणन ]] और [[ क्वाटरनियन | क्वाटरनियन गुणन ]] दोनों गैर-कम्यूटेटिव हैं।
| | ब्रह्मगुप्त कहते हैं: "बड़े से छोटा घटाया जाना चाहिए; (अंतिम परिणाम है) सकारात्मक है, यदि सकारात्मक से सकारात्मक है। और नकारात्मक, यदि नकारात्मक से नकारात्मक है। यदि, हालांकि, छोटे /कम से बड़ा घटाया जाता है, तो वह अंतर उत्क्रमित/उलट जाता है (संकेत में) नकारात्मक सकारात्मक हो जाता है और सकारात्मक नकारात्मक हो जाता है। जब सकारात्मक को नकारात्मक से घटाया जाना है या सकारात्मक से नकारात्मक है तो उन्हें एक साथ जोड़ा जाना चाहिए। |
| | ===गुणा=== |
| | ''ऋणमृणधनयोर्घातो धनमृणयोर्धनवधो धनं भवति ।'' |
|
| |
|
| === समूह ===
| | ''शून्यर्णयो: खधनयो: खशून्ययोर्वा वधः शून्यम् ॥<ref>Brahma-sphuţa-siddhānta (ch.18, vs.33, p.310)</ref>'' |
| {{main|Group (mathematics)}}
| |
| {{see also|Group theory|Examples of groups}}
| |
|
| |
|
| उपरोक्त अवधारणाओं का संयोजन गणित में सबसे महत्वपूर्ण संरचनाओं में से एक देता है: एक [[ समूह (गणित) | समूह ]]। एक समूह एक सेट ''एस'' और एक [[ बाइनरी ऑपरेशन ]] का एक संयोजन है, जिसे आपके द्वारा चुने गए किसी भी तरीके से परिभाषित किया गया है, लेकिन निम्नलिखित गुणों के साथ:
| | ब्रह्मगुप्त कहते हैं: "एक धनात्मक और ऋणात्मक संख्या का गुणनफल ऋणात्मक होता है; दो ऋणात्मक का गुणनफल धनात्मक होता है; धनात्मक का गुणनफल धनात्मक होता है। शून्य और ऋणात्मक का गुणनफल, या शून्य और धनात्मक का गुणनफल शून्य होता है। दो शून्यों का गुणनफल शून्य होता है। |
| | ===विभाजन=== |
| | ''धनभक्तं धनमृणहृतमृणं धनं भवति खं खभक्तं खम्।'' |
|
| |
|
| * एक पहचान तत्व ''ई'' मौजूद है, जैसे कि ''एस'' के हर सदस्य ''ए'', ''ई'' ''ए'' और ''ए'' ''ई'' ' दोनों 'ए' के समान हैं।
| | ''भक्तमृणेन धनमृणं धनेन हृतमृणमृणं भवति ॥<ref>Brahma-sphuta-siddhanta (ch.18, vs.34, p.310)</ref>'' |
| * प्रत्येक तत्व का एक व्युत्क्रम होता है: ''S'' के प्रत्येक सदस्य ''a'' के लिए, एक सदस्य ''a''<sup>−1</sup> मौजूद होता है जैसे कि ''a'' ∗ '' a''<sup>−1</sup> और ''a''<sup>−1</sup> ∗ ''a'' दोनों ही पहचान तत्व के समान हैं।
| |
| * ऑपरेशन सहयोगी है: यदि ''ए'', ''बी'' और ''सी'' ''एस'' के सदस्य हैं, तो (''ए'' ∗ ''बी'') '' c'' ''a'' (''b'' ''c'') के समान है।
| |
|
| |
|
| यदि एक समूह भी [[ क्रमचयात्मकता | कम्यूटेटिव ]] है - अर्थात, ''एस'' के किन्हीं दो सदस्यों ''ए'' और ''बी'' के लिए ''ए'' ∗ ''बी'' समान है ''बी'' ''ए''' - तब समूह को [[ एबेलियन समूह | एबेलियन ]] कहा जाता है।
| | ब्रह्मगुप्त कहते हैं: "सकारात्मक से विभाजित सकारात्मक हो या नकारात्मक से विभाजित नकारात्मक, परिणाम सकारात्मक हो जाता है। लेकिन नकारात्मक से विभाजित सकारात्मक, नकारात्मक रहता है ; और सकारात्मक से विभाजित नकारात्मक, नकारात्मक रहता है। |
| | ===विकास और प्रतिविकास=== |
| | ब्रह्मगुप्त कहते हैं: |
|
| |
|
| उदाहरण के लिए, योग की संक्रिया के अंतर्गत पूर्णांकों का समुच्चय एक समूह होता है। इस समूह में, पहचान तत्व 0 है और किसी भी तत्व ''ए'' का व्युत्क्रम इसका निषेध है, -''ए''। संबद्धता की आवश्यकता पूरी होती है, क्योंकि किसी भी पूर्णांक ''a'', ''b'' और ''c'', (''a'' + ''b'') + ''c'' = '' के लिए ए'' + (''बी'' + ''सी'')
| | "एक धनात्मक या ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है। मूल (का चिह्न) वही होता है, जिससे वर्ग व्युत्पन्न हुआ था।" |
|
| |
|
| गैर-शून्य [[ परिमेय संख्या ]] s गुणन के तहत एक समूह बनाते हैं। यहाँ, पहचान तत्व 1 है, क्योंकि किसी भी परिमेय संख्या ''a'' के लिए 1 × ''a'' = ''a'' × 1 = ''a'' है। ''अ'' का विलोम है {{sfrac|1|''a''}}, चूँकि ''a'' × {{sfrac|1|''a''}} = 1.
| | भास्कर द्वितीय: "एक धनात्मक और ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है; एक धनात्मक संख्या का वर्गमूल धनात्मक होने के साथ-साथ ऋणात्मक भी होता है। ऋणात्मक संख्या का कोई वर्गमूल नहीं होता, क्योंकि यह अवर्गाकार होती है।" |
| | ==ऋणात्मक मात्रा== |
| | एक ऋणात्मक राशि के संबंध में, एक दिशा में चलना सकारात्मक माना जाता है, विपरीत दिशा में आगे बढ़ना नकारात्मक या ऋणात्मक माना जाता है। |
|
| |
|
| गुणन संक्रिया के तहत पूर्णांक, हालांकि, एक समूह नहीं बनाते हैं। ऐसा इसलिए है, क्योंकि सामान्य तौर पर, एक पूर्णांक का गुणन प्रतिलोम एक पूर्णांक नहीं होता है। उदाहरण के लिए, 4 एक पूर्णांक है, लेकिन इसका गुणन प्रतिलोम है {{sfrac|1|4}}, जो एक पूर्णांक नहीं है।
| | कृष्ण दैवज्ञ एक रेखा के साथ सकारात्मक और नकारात्मक दिशाओं को दर्शातें है। यदि पूर्व को सकारात्मक दिशा माना जाता है, तो पश्चिम को नकारात्मक माना जाना चाहिए। |
|
| |
|
| समूह सिद्धांत का अध्ययन [[ समूह सिद्धांत ]] में किया गया है। इस सिद्धांत का एक प्रमुख परिणाम परिमित सरल समूहों ]] का [[ वर्गीकरण है, जो ज्यादातर 1955 और 1983 के बीच प्रकाशित हुआ, जो [[ परिमित सेट | परिमित ]] [[ सरल समूह ]] को लगभग 30 मूल प्रकारों में अलग करता है।
| | कृष्ण दैवज्ञ, काल (समय) और वास्तु (वस्तु) के संदर्भ में नकारात्मक और सकारात्मक के इन विरोधों के बारे में भी बात करते हैं। समय के संबंध में, यदि भविष्य सकारात्मक को दर्शाता है, तो इसके विपरीत, अतीत नकारात्मक होगा। अगर हम कुछ उधार लेते हैं, तो हम उसे चुकाने के लिए ऋणी होते हैं। इसे ''ऋण'' (ऋणात्मक) कहते हैं। इसके विपरीत ''धन'' (सकारात्मक) है जहां हम वस्तु स्वयं हमारी है या हम कुछ प्राप्त करने के लिए बाध्य हैं। सामान्य शब्दावली में, ''धन'' और ''ऋण'' के लिए क्रमशः दो शब्द ''धन'' और ''का'' का उपयोग किया जाता है। ऋणात्मक संख्याओं का विचार अर्थशास्त्र में पुनः वापस जाता है। |
|
| |
|
| [[ अर्ध-समूह ]] एस, [[ अर्ध-समूह ]] एस, और [[ मोनॉयड ]] एस समूह के समान [[ बीजगणितीय संरचना ]] एस हैं, लेकिन संचालन पर कम बाधाओं के साथ। उनमें एक सेट और एक बंद बाइनरी ऑपरेशन शामिल है लेकिन जरूरी नहीं कि वे अन्य शर्तों को पूरा करें। एक [[ अर्ध-समूह ]] में एक ''सहयोगी'' बाइनरी ऑपरेशन होता है, लेकिन इसमें एक पहचान तत्व नहीं हो सकता है। एक [[ मोनॉयड ]] एक अर्ध-समूह है जिसकी एक पहचान है लेकिन प्रत्येक तत्व के लिए इसका व्युत्क्रम नहीं हो सकता है। एक [[ अर्ध-समूह ]] एक आवश्यकता को पूरा करता है कि किसी भी तत्व को एक अद्वितीय बाएँ-गुणा या दाएँ-गुणा द्वारा किसी अन्य में बदल दिया जा सकता है; हालांकि, बाइनरी ऑपरेशन सहयोगी नहीं हो सकता है।
| | इन सभी अवधारणाओं को कृष्ण दैवज्ञ ने अपनी टिप्पणी में संक्षेप में प्रस्तुत किया है: |
|
| |
|
| सभी समूह मोनोइड हैं, और सभी मोनोइड अर्ध-समूह हैं।
| | ''ऋणत्वमिह त्रिधा तावदस्ति देशतः कालतः वस्तुतश्चेति ..तच्च वैपरीत्यमेव। .. तत्रैकरेखा स्थिता द्वितीया दिक विपरीता दिगित्युच्यते । यथा पूर्वविपरीता पश्चिमा दिक् । यथा उत्तरदिग्विपरीता दक्षिणा दिगित्यादि । तथा च पूर्वापरदेशयोर्मध्ये एकतरस्य धनत्वे कल्पितं तं प्रति तदितरस्य ऋणत्वम्।''<ref>Bijapallava, com. on Bijaganita p.13</ref> |
|
| |
|
| {| वर्ग = विकिटेबल
| | "ऋणात्मकता या नकारात्मकता तीन प्रकार की होती है - स्थान, समय और वस्तु के अनुसार। यह संक्षेप में इसके विपरीत है। जिस प्रकार पश्चिम,पूर्व की विपरीत दिशा और दक्षिण से उत्तर की विपरीत दिशा है। इस प्रकार पूर्व और पश्चिम में स्थित दो स्थानों के बीच, यदि एक को सकारात्मक माना जाता है तो दूसरा अपेक्षाकृत नकारात्मक होता है।" |
| | +उदाहरण
| | ==मूल सिद्धान्त संक्रिया== |
| | -
| | ===संक्रिया की संख्या=== |
| !सेट
| | बीजगणित में मूल सिद्धान्त संक्रियाओं की संख्या सभी हिंदू बीजगणितों द्वारा, छह मानी जाती है, अर्थात् "जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन, वर्गकरण और वर्गमूल का निष्कर्षण। तो <u>घनफल निकालना</u> (क्यूबिंग)और घनमूल (क्यूब-रूट) का निष्कर्षण जो अंकगणित के मूलभूत कार्यों में सम्मिलित है, को बीजगणित से अपवर्जित रखा गया है। |
| | colspan=2 | [[ प्राकृत संख्या ]] s '''N'''
| |
| | colspan=2 | [[ पूर्णांक ]] s '''Z'''
| |
| | colspan=4 | [[ परिमेय संख्या ]] s '''Q'''<br> [[ वास्तविक संख्या ]] s '''R'''<br> [[ सम्मिश्र संख्या ]] s '''C'''
| |
| | colspan=2 | [[ पूर्णांक मॉड्यूल n | पूर्णांक मॉड्यूल 3 ]] <br>'''Z'''/3'''Z''' = {0, 1, 2}
| |
| | -
| |
| !कार्यवाही
| |
| | +
| |
| | ×
| |
| | +
| |
| | ×
| |
| | +
| |
| | -
| |
| | ×
| |
| |
| |
| | +
| |
| | ×
| |
| | -
| |
| !बंद किया हुआ
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | नहीं
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | -
| |
| | पहचान
| |
| | 0
| |
| | 1
| |
| | 0
| |
| | 1
| |
| | 0
| |
| | एन / ए
| |
| | 1
| |
| | एन / ए
| |
| | 0
| |
| | 1
| |
| | -
| |
| | उलटा
| |
| | एन / ए
| |
| | एन / ए
| |
| | -''ए''
| |
| | एन / ए
| |
| | -''ए''
| |
| | एन / ए
| |
| | 1/''a''<br>(''a'' 0)
| |
| | एन / ए
| |
| | 0, 2, 1, क्रमशः
| |
| | एन/ए, 1, 2, क्रमशः
| |
| | -
| |
| | सहयोगी
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | नहीं
| |
| | हाँ
| |
| | नहीं
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | -
| |
| | कम्यूटेटिव
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | नहीं
| |
| | हाँ
| |
| | नहीं
| |
| | हाँ
| |
| | हाँ
| |
| | -
| |
| | संरचना
| |
| | [[ मोनॉयड ]]
| |
| | [[ मोनॉयड ]]
| |
| | [[ एबेलियन समूह ]]
| |
| | [[ मोनॉयड ]]
| |
| | [[ एबेलियन समूह ]]
| |
| | [[ अर्ध-समूह ]]
| |
| | [[ मोनॉयड ]]
| |
| | [[ अर्ध-समूह ]]
| |
| | [[ एबेलियन समूह ]]
| |
| | [[ मोनॉयड ]]
| |
| | }
| |
|
| |
|
| === अंगूठियां और क्षेत्र ===
| | लेकिन सूत्र |
| {{main|Ring (mathematics)|Field (mathematics)}}
| |
| {{see also|Ring theory|Glossary of ring theory|Field theory (mathematics)|Glossary of field theory}}
| |
|
| |
|
| समूहों में सिर्फ एक बाइनरी ऑपरेशन होता है। विभिन्न प्रकार की संख्याओं के व्यवहार को पूरी तरह से समझाने के लिए, दो संकारकों वाली संरचनाओं का अध्ययन करने की आवश्यकता है। इनमें से सबसे महत्वपूर्ण [[ रिंग (गणित) | रिंग ]] और [[ फील्ड (गणित) | फील्ड ]] हैं।
| | (a + b)<sup>3</sup> = a<sup>3</sup> + 3a<sup>2</sup>b + 3ab<sup>2</sup> + b<sup>3</sup> |
|
| |
|
| एक [[ रिंग (गणित) | रिंग ]] में दो बाइनरी ऑपरेशन (+) और (×) हैं, जिसमें × डिस्ट्रीब्यूटिव ओवर + है। पहले ऑपरेटर (+) के तहत यह एक ''एबेलियन ग्रुप'' बनाता है। दूसरे ऑपरेटर (×) के तहत यह साहचर्य है, लेकिन इसके लिए एक पहचान या व्युत्क्रम की आवश्यकता नहीं है, इसलिए विभाजन की आवश्यकता नहीं है। योगात्मक (+) पहचान तत्व को 0 लिखा जाता है और ''a'' के योगात्मक प्रतिलोम को -''a'' लिखा जाता है।
| | (a + b)<sup>3</sup> = a<sup>3</sup> + 3ab(a+b) + b<sup>3</sup>, |
|
| |
|
| [[ वितरण ]] संख्याओं के लिए ''वितरण कानून'' को सामान्य करता है। पूर्णांकों के लिए {{nowrap|1=(''a'' + ''b'') × ''c'' = ''a'' × ''c'' + ''b'' × ''c''}} और {{nowrap|1=''c'' × (''a'' + ''b'') = ''c'' × ''a'' + ''c'' × ''b'',}} और × को + से अधिक ''वितरक'' कहा जाता है।
| | जैसा कि पहले कहा गया है, अंकगणित पर ब्रह्मगुप्त (628) से शुरू होने वाले लगभग सभी हिंदू ग्रंथों में दिया गया है। |
| | ===जोड़ना और घटाना=== |
| | ब्रह्मगुप्त कहते हैं: अज्ञातों में से उनके वर्ग, घन, चौथी घात , पांचवीं घात, छठी घात आदि, जोड़ और घटाव समान (निष्पादित) हैं; अलग-अलग (उनका मतलब बस उनके) विवरण से अलग है। |
|
| |
|
| पूर्णांक वलय के उदाहरण हैं। पूर्णांकों में अतिरिक्त गुण होते हैं जो इसे [[ अभिन्न डोमेन ]] बनाते हैं।
| | भास्कर द्वितीय: |
|
| |
|
| एक [[ फ़ील्ड (गणित) | फ़ील्ड ]] अतिरिक्त संपत्ति के साथ एक ''रिंग'' है जिसमें 0 को छोड़कर सभी तत्व × के तहत ''एबेलियन ग्रुप'' बनाते हैं। गुणक (×) पहचान को 1 लिखा जाता है और ''a'' के गुणनात्मक प्रतिलोम को ''a''<sup>−1</sup> लिखा जाता है। | | "जोड़ और घटाव अज्ञात के बीच एक ही प्रजाति (जाति) के अज्ञातों के लिए किया जाता है; विभिन्न प्रजातियों का उनका मतलब उनके अलग विवरण से है।" |
| | ===गुणा=== |
| | ब्रह्मगुप्त कहते हैं: दो समान अज्ञातों का गुणनफल एक वर्ग है; अज्ञात जैसे तीन या अधिक का गुणनफल उस पद का घात है। विषम प्रजातियों के अज्ञातों का गुणन प्रतीकों के पारस्परिक गुणनफल के समान होता है; इसे ''भाविता'' (गुणनफल या तथ्य) कहा जाता है। |
| | ===विभाजन=== |
| | भास्कर द्वितीय कहते हैं: जो कुछ भी अज्ञात और ज्ञात है, भाजक को गुणा (अलग) किया जाता है और लाभांश से घटाया जाता है क्रमिक रूप से घटाया जाता है ताकि कोई अवशेष न बचे, वे क्रमिक/ क्रमागत चरणों में भागफल का निर्माण करते हैं। |
| | ===समकोणन=== |
| | बीजीय व्यंजक का वर्ग करने का नियम है |
|
| |
|
| परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ और सम्मिश्र संख्याएँ सभी क्षेत्रों के उदाहरण हैं।
| | (a+b)² =a²+b²+2ab |
|
| |
|
| ==रैखिक बीजगणित==
| | या अपने सामान्य रूप में |
| [[ गणित ]] की एक शाखा जो रेखीय समीकरणों से संबंधित है और [[ रेखीय मानचित्र ]] [[ वेक्टर स्पेस ]] . [[ रेखीय बीजगणित ]] हर दृष्टि से बीजगणित का महत्वपूर्ण हिस्सा है।
| |
|
| |
|
| == See also == | | ''(a+b+c+d+ ... )<sup>2</sup>=a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>+c<sup>2</sup>+d<sup>2</sup>+ ..+2Σab'' |
| {{Portal|Mathematics}}
| | ===वर्गमूल=== |
| * [[Outline of algebra]]
| | बीजीय व्यंजक का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए भास्कर द्वितीय निम्नलिखित नियम देतें है: |
| * [[Outline of linear algebra]]
| |
| * [[Algebra tile]]
| |
|
| |
|
| == References ==
| | "अज्ञात मात्राओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए जो वर्ग हैं; फिर शेष पदों में से उन मूलों के गुणनफल दो और दो से घटाएं; यदि वहाँ |
|
| |
|
| === उद्धरण ===
| | ज्ञात पद हो, ज्ञात का वर्गमूल लेने के बाद उसी प्रकार शेष के साथ आगे बढ़ें जिसका वर्गमूल निकाल कर ज्ञात है।"।" |
| {{reflist}}
| |
|
| |
|
| === उद्धृत कार्य === | | == बाहरी संपर्क == |
| * {{cite book |last= Boyer |first= Carl B. |author-link= Carl Benjamin Boyer |title= A History of Mathematics |edition= 2nd |publisher= John Wiley & Sons |year= 1991 |isbn= 978-0-471-54397-8 |url= https://archive.org/details/historyofmathema00boye }}
| |
| * {{cite journal |last=Gandz |first=S. |title= The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra |journal= [[Osiris (journal)|Osiris]] |volume= 1 |date=January 1936 |pages=263–277 |jstor=301610 |doi=10.1086/368426|s2cid=60770737 }}
| |
| * {{cite book |last=Herstein |first=I. N. |year=1964 |title=Topics in Algebra |publisher=Ginn and Company |isbn=0-471-02371-X }}
| |
|
| |
|
| == Further reading ==
| | * [http://www.ms.uky.edu/~sohum/ma330/files/brahmagupta_algebra.pdf Brahmagupta's Algebra - Mathematics] |
| * {{cite book|ref=none |last= Allenby |first= R. B. J. T. |title= Rings, Fields and Groups |isbn= 0-340-54440-6 |year= 1991 }} | | * [https://rarebooksocietyofindia.org/book_archive/196174216674_10152963932466675.pdf Bija Ganita or The algebra of the Hindus] |
| * {{cite book|ref=none |last=Asimov|first=Isaac |title=Realm of Algebra|year=1961|publisher=Houghton Mifflin|author-link=Isaac Asimov}}
| | * [https://rarebooksocietyofindia.org/book_archive/196174216674_10152963932466675.pdf Algebra] |
| * {{cite book|ref=none |last= Euler |first=Leonhard |author-link= Leonhard Euler |url= http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ |title= Elements of Algebra |isbn= 978-1-899618-73-6 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ |archive-date=2011-04-13 |date=November 2005 }}
| |
| * {{cite book|ref=none |last= Herstein |first=I. N. |title= Topics in Algebra |url= https://archive.org/details/topicsinalgebra00hers |url-access= registration |isbn= 0-471-02371-X |year=1975 }} | |
| * {{cite book|ref=none |last= Hill |first= Donald R. |title= Islamic Science and Engineering |publisher= Edinburgh University Press |year= 1994}}
| |
| * {{cite book|ref=none |last= Joseph |first= George Gheverghese |title= The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics |publisher= [[Penguin Books]] |year= 2000}}
| |
| * {{cite web |ref=none |last1= O'Connor |first1= John J. |last2= Robertson |first2= Edmund F. |year= 2005 |title= History Topics: Algebra Index |url= http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Indexes/Algebra.html |department= [[MacTutor History of Mathematics archive]] |publisher= [[University of St Andrews]] |access-date= 2011-12-10 |archive-url= https://web.archive.org/web/20160303180029/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Indexes/Algebra.html |archive-date= 2016-03-03 |url-status= dead }} | |
| * {{cite book|ref=none |last1=Sardar |first1=Ziauddin |last2=Ravetz |first2=Jerry |last3=Loon |first3=Borin Van |year=1999 |title=Introducing Mathematics |publisher=Totem Books}}
| |
|
| |
|
| == External links == | | == अग्रिम पठन == |
| {{Wikiquote}}
| |
| {{Wiktionary|algebra}}
| |
| {{Wikibooks|Algebra}}
| |
| {{EB1911 poster|Algebra}}
| |
| * [http://www.khanacademy.org/math/algebra Khan Academy: Conceptual videos and worked examples]
| |
| * [https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/origins-of-algebra Khan Academy: Origins of Algebra, free online micro lectures]
| |
| * [http://algebrarules.com Algebrarules.com: An open source resource for learning the fundamentals of Algebra]
| |
| * [https://web.archive.org/web/20071004172100/http://www.gresham.ac.uk/event.asp?PageId=45&EventId=620 4000 Years of Algebra], lecture by Robin Wilson, at [[Gresham College]], October 17, 2007 (available for MP3 and MP4 download, as well as a text file).
| |
| * {{cite SEP |url-id=algebra |title=Algebra |last=Pratt |first=Vaughan}}
| |
|
| |
|
| {{Algebra |expanded}}
| | * Bhāskara (II.), Edward Strachey. Bija Ganita: Or The Algebra Of The Hindus... ISBN-13 978-1249957041. |
| {{Areas of mathematics |collapsed}}
| |
| {{Authority control}}
| |
|
| |
|
| [[Category:बीजगणित| ]] | | == यह भी देखें == |
| [[Category: Machine Translated Page]] | | [[Algebra]] |
| | |
| | ==संदर्भ== |
| | ===उद्धरण=== |
| | <references /> |
| | |
| | [[Category:Mathematics]] |
| | [[Category:गणित]] |
| | [[Category:भारतीय गणितज्ञ]] |
बीजगणित |
|---|
 |
बीजगणित : बीजगणित [1] गणित के व्यापक क्षेत्रों में से एक है। बीजगणित के विज्ञान का हिंदू नाम बीजगणित है। बीज का अर्थ है "तत्व" या "विश्लेषण" और गणित का अर्थ है "गणना का विज्ञान"। बीजगणित का शाब्दिक अर्थ है "तत्वों के साथ गणना का विज्ञान या विश्लेषणात्मक गणना का विज्ञान।
ब्रह्मगुप्त (628) बीजगणित को कुट्टुका-गणित या कुट्टुका कहते हैं। कुट्टुका का अर्थ है चूर्ण करने वाला। बीजगणित को अव्यक्त-गणिता या अज्ञात के साथ गणना का विज्ञान भी कहा जाता है (अव्यक्त का अर्थ अज्ञात है) नाम के विपरीत व्यक्त-गणिता ज्यामिति और क्षेत्रमिति सहित अंकगणित के लिए ज्ञात (व्यक्त का अर्थ ज्ञात) के साथ गणना का विज्ञान है।
परिभाषा
भास्कर द्वितीय (1150) ने बीजगणित को "विश्लेषण (बीज) के रूप में परिभाषित किया है, निश्चित रूप से विभिन्न प्रतीकों (वर्ण) द्वारा समर्थित जन्मजात बुद्धि है, जो,मंद बुद्धि के निर्देश के लिए, प्राचीन ऋषियों द्वारा समझाया गया है जो गणितज्ञों को प्रबुद्ध करते हैं जैसे सूर्य कमल को विकिरण करता है;जिसने अब बीजगणित (bījagaṇita) नाम ले लिया है"।
उस बीजगणितीय विश्लेषण के लिए गहरी बुद्धि की आवश्यकता होती है और एक से अधिक अवसरों पर उनके द्वारा विचक्षणता देखी गई है।
"न तो विश्लेषण में प्रतीकों का समावेश होता है, न ही विभिन्न प्रकार के विश्लेषण होते हैं; केवल विचक्षणता ही विश्लेषण है, क्योंकि व्यापक कल्पना है। "विश्लेषण निश्चित रूप से स्पष्ट बुद्धि है।" "या केवल बुद्धि ही विश्लेषण है"। इस प्रश्न के उत्तर में, "यदि (अज्ञात मात्राओं) की खोज केवल बुद्धि द्वारा ही की जानी है, तो विश्लेषण की क्या आवश्यकता है?"वे कहते हैं, "क्योंकि बुद्धि निश्चित रूप से वास्तविक विश्लेषण है; प्रतीक इसके सहायक हैं। जिस सहज बुद्धि को प्राचीन ऋषियों ने मंदबुद्धि के लिए व्यक्त किया है, जो गणितज्ञों को सूर्य के रूप में विभिन्न प्रतीकों की सहायता से कमल को प्रकाशित करते हैं, उन्हें अब बीजगणित का नाम मिला है।
इस प्रकार, भास्कर द्वितीय के अनुसार, बीजगणित को विज्ञान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो प्रतीकों के माध्यम से व्यक्त की गई संख्याओं सा व्यवहार करता है, और जिसमें बुद्धिमान कलाकृतियों और सरल उपकरणों की परिधि/व्यापकता और प्राथमिक आवश्यकता होती है।
बीजगणित का अर्थ है 'बीज'। अज्ञात राशियाँ एक बीज की तरह होती हैं और समीकरणों को हल करने पर उनके मूल्य स्पष्ट हो जाते हैं। चूँकि बीजगणित अज्ञात मात्राओं से संबंधित है, इसलिए इसे संस्कृत में बीजगणित कहा जाता है। 16वीं शताब्दी के प्रसिद्ध गणितज्ञ कृष्ण दैवज्ञ ने भास्कर द्वितीय के बीजगणित (1150 सीई) पर एक भाष्य बीजपल्लव लिखा था। कृष्ण दैवज्ञ, नीचे के रूप में बीजगणित नाम की व्याख्या करते हैं:
अव्यक्तत्वादिदं बीजमित्युक्तं शास्त्रकर्तृभिः
"चूंकि यह (मात्रा) अज्ञात है, इसे विज्ञान के निर्माताओं द्वारा बीज कहा जाता था,"
उत्पत्ति
हिंदू बीजगणित की उत्पत्ति निश्चित रूप से शुल्बा (800-500 ईसा पूर्व) और ब्राह्मण (सी 2000) की अवधि में देखी जा सकती है।
"अज्ञात को निरूपित करने के लिए वर्णमाला के अक्षरों का व्यवस्थित उपयोग करने वाले पहले हिंदू थे। वे समीकरणों का वर्गीकरण और विस्तृत अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति भी थे। इस प्रकार कहा जा सकता है कि उन्होंने बीजगणित के आधुनिक विज्ञान को जन्म दिया।"[2]
शुलबसूत्र में चर मात्रा का उल्लेख है। आर्यभट के आर्यभटीय ने रैखिक और द्विघात समीकरणों के समाधान का उल्लेख किया है। ब्रह्मगुप्त ने अपने ब्रह्म-स्फुण-सिद्धांत में प्रतीकों का उपयोग करके अज्ञात पर किए गए कार्यों का उल्लेख किया है। कुट्टकाध्याय: (अध्याय 18) अव्यक्त (या बीजगणितीय प्रतीकों) के साथ परिक्रमा (गणना) की व्याख्या करता है। इसलिए ब्रह्मगुप्त को बीजगणित का जनक माना जाता है। बीजगणित पर अन्य ग्रंथों में आर्यभट द्वितीय के महासिद्धांत, श्रीपति के सिद्धांतशेखर, भास्कर द्वितीय के बीजगणित, नारायण पंडित के बीजगणितवत्स शामिल हैं।
ब्रह्मगुप्त ने ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत के कुट्टकाध्याय: में धनात्मक संख्याओं, ऋणात्मक संख्याओं और शून्य के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं के नियम दिए हैं। इसके अलावा एक अज्ञात के साथ समीकरण, कई अज्ञात के साथ समीकरण, अज्ञात के गुणनफल के साथ समीकरण और पहले और दूसरे क्रम/अनुक्रम के अनिश्चित समीकरण (कुट्टक और वर्ग-प्रकृति) ब्रह्मगुप्त द्वारा वर्णन किया जाता है ।
तकनीकी शब्द
अज्ञात मात्रा
अज्ञात मात्रा को स्थानंग-सूत्र (300 ईसा पूर्व से पहले) यावत -तावत (जितना या इतना, अर्थ एक यादृच्छिक/मनमाना मात्रा) में बुलाया गया था। तथाकथित बख्शाली ग्रंथ में, इसे यदृच्छा , वाञ्च या कामिका (कोई भी वांछित मात्रा) कहा जाता था। आर्यभट प्रथम (499) अज्ञात मात्रा को गुलिक (शॉट) कहते हैं। यह शब्द दृढ़ता से किसी को संदेह की ओर ले जाता है कि शॉट का इस्तेमाल शायद अज्ञात का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया गया था। सातवीं शताब्दी की शुरुआत से हिंदू बीजगणितविदों ने अव्यक्त (अज्ञात) शब्द को अधिक सामान्यतः प्रयुक्त किया है।
समीकरण
समीकरण को ब्रह्मगुप्त (628) समा-करण या सम-करण (समान बनाना) या अधिक सरलता से समा (समीकरण) कहते हैं। पृथिदाकस्वामी (860) ने साम्य (समानता या समीकरण) शब्द का भी प्रयोग किया है; और श्रीपति (1039) सद्रुष्य-करण (समान बनाना)। नारायण (1350) समी -करण, साम्य और समत्व (समानता) शब्दों का प्रयोग करते हैं। एक समीकरण में हमेशा दो पक्ष (पक्ष) होते हैं।
सुनिश्चित पद
बख्शाली ग्रंथ में सुनिश्चित शब्द को दृश्य (दृश्यमान) कहा गया है।बाद के हिंदू बीजगणित में, इसे लगभग संबद्ध शब्द रूप (उपस्थिति) से बदल दिया गया है, हालांकि इसे अंकगणित पर ग्रंथों में नियोजित करना जारी रखा गया है। इस प्रकार एक बीजीय समीकरण में सुनिश्चित पद के लिए हिंदू नाम का सही महत्व स्पष्ट है। यह समीकरण के दृश्य या ज्ञात भाग का प्रतिनिधित्व करता है जबकि इसका दूसरा भाग व्यावहारिक रूप से अदृश्य या अज्ञात है।
घात
ज्ञात या अज्ञात मात्रा की घात के लिए सबसे पुराना हिंदू शब्द उत्तराध्यायन-सूत्र (सी। 300 ईसा पूर्व या उससे पहले) में पाए जाते हैं। इसमें, दूसरी घात को (वर्ग), तीसरी घात (घन), चौथी घात (वर्ग-वर्ग), छठी घात (घन-वर्ग) , और बारहवीं घात (घन-वर्ग-वर्ग), योगात्मक सिद्धांत के बजाय गुणक का उपयोग करते हुए कहा जाता है। इस कार्य में हमें तीसरे से अधिक विषम घातों को इंगित करने की कोई विधि नहीं मिलती है। बाद के समय में, पांचवीं घात को वर्ग-घन-घात (घन और वर्ग का गुणन, घात = उत्पाद), सातवीं घात वर्ग-वर्ग-घन-घात (वर्ग-वर्ग और घन का गुणन) आदि कहा जाता है। ब्रह्मगुप्त की चौथे से अधिक घातों को व्यक्त करने की प्रणाली वैज्ञानिक रूप से बेहतर है। वह पाँचवीं घात को पंच-घात (शाब्दिक रूप से पाँचवें तक बढ़ा हुआ), छठी घात को षड-घात (छठे तक बढ़ा हुआ) कहते हैं; इसी प्रकार किसी भी घात के लिए शब्द उस घात को इंगित करने वाली संख्या के नाम में प्रत्यय घात जोड़कर अनुयोजित किया जाता है। भास्कर द्वितीय ने कभी-कभी एक और ऊपर की घातों के लिए लगातार इसका अनुगमन किया है। अनुयोगद्वार-सूत्र में, ईसाई युग की शुरुआत से पहले लिखी गई एक रचना, हमें उच्च घातों, अभिन्न और साथ ही आंशिक, विशेष रूप से क्रमिक वर्ग (वर्ग) और वर्ग-मूल (वर्ग-मूल) के लिए कुछ दिलचस्प शब्द मिलते हैं।
इसके अनुसार एक मात्रा का प्रथम-वर्ग (प्रथम वर्ग), मान लीजिए a2 का अर्थ है a; द्वितीय -वर्ग (दूसरा वर्ग) = (a2)2 = a4; तृतीया-वर्ग (तीसरा वर्ग) = ((a2)2 )2 = a8 और इसी तरह सामान्य तौर पर, a का nवां वर्ग = a2x2x2x ……. n पदों के लिए =a2ⁿ । इसी तरह, प्रथम-वर्ग-मूल (प्रथम वर्गमूल) का अर्थ है √a; द्वितीय -वर्ग-मूल (दूसरा वर्गमूल) =√ (√a) = a1/4; और सामान्य तौर पर nth वर्ग-मूल के लिए a = a1/2ⁿ फिर से हम (a1/23)3 = a3/8 के लिए तृतीया-वर्ग -मूल -घना (तीसरे वर्गमूल का घन) पद पाते हैं।
"वर्ग" के लिए वर्गा शब्द का एक विशुद्ध रूप से ठोस अवधारणा में एक दिलचस्प मूल है। संस्कृत शब्द वर्ग का शाब्दिक अर्थ है "पंक्तियाँ," या "सैनिक" (इसी तरह की चीजों की)। एक गणितीय शब्द के रूप में इसका अनुप्रयोग एक वर्ग के चित्रमय निरूपण में उत्पन्न हुआ, जिसे कई वर्ग या छोटे वर्गों के सैनिकों में विभाजित किया गया था, क्योंकि पक्ष में कुछ माप की इकाइयाँ थीं।
गुणांक / गुणक
हिंदू बीजगणित में गुणांक के लिए किसी विशेष शब्द का व्यवस्थित उपयोग नहीं है। साधारणतया अज्ञात की घात का उल्लेख उस घात के गुणांक के संदर्भ में किया जाता है। अपने भाष्यकार ब्रह्मगुप्त द्वारा इसी तरह के प्रयोग की व्याख्या करते हुए, पृथिदकस्वामी लिखते हैं, "अज्ञात के वर्ग का गुणांक जो संख्या (अंक) है, उसे 'वर्ग' कहा जाता है और वह संख्या जो (सरल) अज्ञात का गुणांक बनाती है,अज्ञात मात्रा कहलाती है । हालाँकि, कभी-कभी तकनीकी शब्द का उपयोग भी किया जाता है। ब्रह्मगुप्त एक बार गुणांक को सांख्य (संख्या) और कई अन्य अवसरों पर गुणांक, या गुणाकार (गुणक) कहते हैं। चतुर्वेद पृथुदका स्वामी (860) इसे अंक (संख्या) या प्रकृति (गुणक) कहते हैं । ये शब्द श्रीपति (1039)5 और भास्कर द्वितीय (1150) के कार्यों में फिर से प्रकट होते हैं। पूर्व में भी इसी उद्देश्य के लिए रूप का प्रयोग किया जाता था।
प्रतीक
संक्रिया के प्रतीक: बख्शाली के काम में मौलिक कार्यों के लिए कोई विशेष प्रतीक नहीं हैं। किसी भी विशेष संक्रिया का उद्देश्य सामान्य रूप से आशुलिपि (शॉर्टहैंड) संक्षिप्त नाम, उस आयात के संस्कृत शब्द के प्रारंभिक शब्दांश,(बाद में, कभी-कभी पहले), प्रभावित मात्रा को रखकर इंगित किया जाता है। इस प्रकार जोड़ के संचालन को यू (यूता से एक संक्षिप्त नाम, अर्थ जोड़ा गया), घटाव द्वारा इंगित किया जाता है, जो संभवतः क्ष से होता है (क्षय से संक्षिप्त, छोटा/कम), गु द्वारा गुणा (गुणा या गुणिता से, गुणा) और भाग द्वारा भा (भाग या भजिता से, विभाजित)।
भास्कर द्वितीय (1150) कहते हैं, "वे (ज्ञात और अज्ञात संख्याएं) जो ऋणात्मक हैं, उनके ऊपर एक बिंदु (बिंदु) के साथ लिखा जाना चाहिए।"
घातों और मूल के लिए प्रतीक: घातों और मूल के प्रतीक संस्कृत शब्दों के संक्षिप्त रूप हैं जिन्हें प्रभावित संख्या के बाद रखा गया है। इसलिए, वर्ग का प्रतिनिधित्व व (वर्ग से), घन द्वारा घ (घन से), चौथी घात व-व (वर्ग-वर्ग से), पांचवीं घात वा-घा-घा (वर्ग-घना-घात से) द्वारा किया जाता है। छठी घात घ-व (घन-वर्ग से), सातवीं घात व-व-घ-घा (वर्ग-वर्ग-घन-घात से) इत्यादि।
दो या दो से अधिक अज्ञात मात्राओं के गुणनफल को अज्ञात के बाद भा (भाविता, गुणनफल से) लिखकर या बिना अंतःस्थापित बिंदुओं के द्वारा दर्शाया जाता है; जैसे, यव-काघा-भा या यवकागभा का अर्थ है (या) 2 (का) 3। बख्शाली ग्रंथ में किसी मात्रा के वर्गमूल को उसके बाद मू लिखकर दर्शाया जाता है जो मूल का संक्षिप्त रूप है।
उदाहरण के लिए
21 या 4 मू 5
1 1 1
से अभिप्रेत है
तथा
23 7+ मू 4
1 1 1
से अभिप्रेत है
अन्य ग्रंथों में वर्गमूल का चिन्ह क (करणी , मूल या surd से) होता है, जिसे आमतौर पर प्रभावित मात्रा से पहले रखा जाता है।
उदाहरण के लिए क19 क 50 क 57 क 94 के रूप में दर्शाया गया है
अज्ञात के लिए प्रतीक :
भास्कर द्वितीय (1150) का मानना था , "यहाँ (बीजगणित में) ज्ञात और अज्ञात के प्रारंभिक अक्षर (नाम) लिखे जाने चाहिए ताकि उन्हें सूचित किया जा सके।" यह पहले भी कहा जा चुका है कि एक समय में अज्ञात मात्रा को यावत-तावत (जितना, उतना ही) कहा जाता था। बाद के समय में इस नाम, या इसके संक्षिप्त नाम का प्रयोग अज्ञात के लिए किया जाता है।
यावत्तावत् कालको नीलकोऽन्यो वर्णः पीतो लोहितश्चैतदाद्याः।
अव्यक्तानां कल्पिता मानसंज्ञास्तत्संख्यानं कर्तुमाचार्यवर्यैः ॥[3]
"महान आचार्यों ने यावत-तावत के प्रारंभिक अक्षरों और कालक (काला), नीलक (नीला), पीता (पीला), लोहित (लाल) आदि जैसे रंगों से अज्ञात का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रतीकों को ग्रहण किया।"
भास्कर द्वितीय (1150) कहते हैं: "यावत-तावत (इतना कि ), कालका (काला), नीलक (नीला), पीता (पीला), लोहित (लाल) और अन्य रंगों को आदरणीय प्राध्यापकों द्वारा अंकन/संकेत के रूप में लिया गया है। अज्ञात के उपाय, उनके साथ गणना करने के उद्देश्य से।"
"उन उदाहरणों में जहां दो, तीन या अधिक अज्ञात मात्राएं होती हैं, उनके लिए यावत-तावत, आदि जैसे रंग ग्रहण किए जाने चाहिए। जैसा कि पिछले शिक्षकों ने माना था, वे हैं: यावत-तावत (इतना कि ), कालका (काला), नीलक (नीला), पीतक (पीला), लोहितक (लाल), हरितक (हरा), श्वेतक (सफेद), चित्रक (विभिन्न), कपिलक (तावनी), पिंगलक (लाल-भूरा), धुम्रक (धुआं- रंगीन), पातलक (गुलाबी), शवलक (चित्तीदार), श्यामलक (काली), मेशक (गहरा नीला) आदि। या 'क' से शुरू होने वाले अक्षरों के अक्षरों को अज्ञात के उपाय के रूप में लिया जाना चाहिए ताकि भ्रम को रोका जा सके।
इस प्रकार जैसे प्रतीकों का उपयोग अज्ञात मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। आज के संदर्भ में हम देखते हैं कि अज्ञात राशियों को दर्शाने के लिए x, y, z, आदि अक्षरों का प्रयोग किया जा रहा है। निम्न तालिका बीजगणित के प्रारंभिक कार्यों में अज्ञात मात्राओं के अर्थ के लिए उपयोग किए जाने वाले विभिन्न नामों और प्रतीकों को देती है।
| Term
|
Symbol
|
Meaning
|
Reference
|
| यावत-तावत
|
या
|
ज्यादा से ज्यादा
|
स्थानांगसूत्र,
भास्कर प्रथम, भास्कर द्वितीय,
|
| यदृच्छा , वाञ्च या कामिका
|
य वा का
|
इच्छित मात्रा
|
बख्शाली पाण्डुलिपि
|
| गुलिका
|
गु
|
गोला
|
आर्यभट्ट
|
| कालक, नीलक, पिता, लोहित (लाल)
|
का नी पी लो
|
काला नीला,
पीला लाल
|
ब्रह्मगुप्त, भास्कर द्वितीय,
|
बख्शाली पाण्डुलिपि में उल्लेख है कि जहाँ पाँच अज्ञात हैं, वहाँ पहले अध्यादेशों के अक्षरों का उपयोग किया गया था। अर्थात् प्रथम से प्र (पहला ), द्वितिय से द्वि (दूसरा ), तृतीय से तृ (तीसरा) , चतुर्थ से च (चौथा) और पंचम से पं (पांचवें) अज्ञात का प्रतिनिधित्व करने के लिए है।
संकेतों के नियम
कौटिल्य के अर्थशास्त्र में ऋणात्मक (ऋण) जैसी नकारात्मक मात्राओं का उल्लेख है। ब्रह्मगुप्त ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत में सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को निरूपित करने के लिए धन और ऋण शब्दों का उपयोग करतें है। वर्तमान काल में पूर्णांकों में धनात्मक संख्याएँ, ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य[4] सम्मिलित हैं।
योग
धनयोर्धनमृणमृणयोर्धनर्णयोरन्तरं समैक्यं खम् ।
ऋणमैक्यं च धनमृणधनशून्ययोः शून्ययोः शून्यम् ॥[5]
ब्रह्मगुप्त (62.8) कहते हैं:
"दो धनात्मक संख्याओं का योग धनात्मक होता है। दो ऋणात्मक संख्याओं का योग ऋणात्मक होता है। धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं का योग उनका अंतर होता है। यदि धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ समान हों, तो उनका योग शून्य होता है। शून्य और ऋणात्मक संख्याओं का योग है ऋणात्मक होता है। एक धनात्मक संख्या और शून्य का योग धनात्मक होता है। दो शून्यों का योग शून्य होता है।"
घटाव
ऊनमधिकाद्विशोध्यं धनं धनादृणमृणादधिकमूनम् ।
व्यस्तं तदन्तरं स्यादृणं धनं धनमृणं भवति ॥[6]
ब्रह्मगुप्त कहते हैं: "बड़े से छोटा घटाया जाना चाहिए; (अंतिम परिणाम है) सकारात्मक है, यदि सकारात्मक से सकारात्मक है। और नकारात्मक, यदि नकारात्मक से नकारात्मक है। यदि, हालांकि, छोटे /कम से बड़ा घटाया जाता है, तो वह अंतर उत्क्रमित/उलट जाता है (संकेत में) नकारात्मक सकारात्मक हो जाता है और सकारात्मक नकारात्मक हो जाता है। जब सकारात्मक को नकारात्मक से घटाया जाना है या सकारात्मक से नकारात्मक है तो उन्हें एक साथ जोड़ा जाना चाहिए।
गुणा
ऋणमृणधनयोर्घातो धनमृणयोर्धनवधो धनं भवति ।
शून्यर्णयो: खधनयो: खशून्ययोर्वा वधः शून्यम् ॥[7]
ब्रह्मगुप्त कहते हैं: "एक धनात्मक और ऋणात्मक संख्या का गुणनफल ऋणात्मक होता है; दो ऋणात्मक का गुणनफल धनात्मक होता है; धनात्मक का गुणनफल धनात्मक होता है। शून्य और ऋणात्मक का गुणनफल, या शून्य और धनात्मक का गुणनफल शून्य होता है। दो शून्यों का गुणनफल शून्य होता है।
विभाजन
धनभक्तं धनमृणहृतमृणं धनं भवति खं खभक्तं खम्।
भक्तमृणेन धनमृणं धनेन हृतमृणमृणं भवति ॥[8]
ब्रह्मगुप्त कहते हैं: "सकारात्मक से विभाजित सकारात्मक हो या नकारात्मक से विभाजित नकारात्मक, परिणाम सकारात्मक हो जाता है। लेकिन नकारात्मक से विभाजित सकारात्मक, नकारात्मक रहता है ; और सकारात्मक से विभाजित नकारात्मक, नकारात्मक रहता है।
विकास और प्रतिविकास
ब्रह्मगुप्त कहते हैं:
"एक धनात्मक या ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है। मूल (का चिह्न) वही होता है, जिससे वर्ग व्युत्पन्न हुआ था।"
भास्कर द्वितीय: "एक धनात्मक और ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है; एक धनात्मक संख्या का वर्गमूल धनात्मक होने के साथ-साथ ऋणात्मक भी होता है। ऋणात्मक संख्या का कोई वर्गमूल नहीं होता, क्योंकि यह अवर्गाकार होती है।"
ऋणात्मक मात्रा
एक ऋणात्मक राशि के संबंध में, एक दिशा में चलना सकारात्मक माना जाता है, विपरीत दिशा में आगे बढ़ना नकारात्मक या ऋणात्मक माना जाता है।
कृष्ण दैवज्ञ एक रेखा के साथ सकारात्मक और नकारात्मक दिशाओं को दर्शातें है। यदि पूर्व को सकारात्मक दिशा माना जाता है, तो पश्चिम को नकारात्मक माना जाना चाहिए।
कृष्ण दैवज्ञ, काल (समय) और वास्तु (वस्तु) के संदर्भ में नकारात्मक और सकारात्मक के इन विरोधों के बारे में भी बात करते हैं। समय के संबंध में, यदि भविष्य सकारात्मक को दर्शाता है, तो इसके विपरीत, अतीत नकारात्मक होगा। अगर हम कुछ उधार लेते हैं, तो हम उसे चुकाने के लिए ऋणी होते हैं। इसे ऋण (ऋणात्मक) कहते हैं। इसके विपरीत धन (सकारात्मक) है जहां हम वस्तु स्वयं हमारी है या हम कुछ प्राप्त करने के लिए बाध्य हैं। सामान्य शब्दावली में, धन और ऋण के लिए क्रमशः दो शब्द धन और का का उपयोग किया जाता है। ऋणात्मक संख्याओं का विचार अर्थशास्त्र में पुनः वापस जाता है।
इन सभी अवधारणाओं को कृष्ण दैवज्ञ ने अपनी टिप्पणी में संक्षेप में प्रस्तुत किया है:
ऋणत्वमिह त्रिधा तावदस्ति देशतः कालतः वस्तुतश्चेति ..तच्च वैपरीत्यमेव। .. तत्रैकरेखा स्थिता द्वितीया दिक विपरीता दिगित्युच्यते । यथा पूर्वविपरीता पश्चिमा दिक् । यथा उत्तरदिग्विपरीता दक्षिणा दिगित्यादि । तथा च पूर्वापरदेशयोर्मध्ये एकतरस्य धनत्वे कल्पितं तं प्रति तदितरस्य ऋणत्वम्।[9]
"ऋणात्मकता या नकारात्मकता तीन प्रकार की होती है - स्थान, समय और वस्तु के अनुसार। यह संक्षेप में इसके विपरीत है। जिस प्रकार पश्चिम,पूर्व की विपरीत दिशा और दक्षिण से उत्तर की विपरीत दिशा है। इस प्रकार पूर्व और पश्चिम में स्थित दो स्थानों के बीच, यदि एक को सकारात्मक माना जाता है तो दूसरा अपेक्षाकृत नकारात्मक होता है।"
मूल सिद्धान्त संक्रिया
संक्रिया की संख्या
बीजगणित में मूल सिद्धान्त संक्रियाओं की संख्या सभी हिंदू बीजगणितों द्वारा, छह मानी जाती है, अर्थात् "जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन, वर्गकरण और वर्गमूल का निष्कर्षण। तो घनफल निकालना (क्यूबिंग)और घनमूल (क्यूब-रूट) का निष्कर्षण जो अंकगणित के मूलभूत कार्यों में सम्मिलित है, को बीजगणित से अपवर्जित रखा गया है।
लेकिन सूत्र
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3ab(a+b) + b3,
जैसा कि पहले कहा गया है, अंकगणित पर ब्रह्मगुप्त (628) से शुरू होने वाले लगभग सभी हिंदू ग्रंथों में दिया गया है।
जोड़ना और घटाना
ब्रह्मगुप्त कहते हैं: अज्ञातों में से उनके वर्ग, घन, चौथी घात , पांचवीं घात, छठी घात आदि, जोड़ और घटाव समान (निष्पादित) हैं; अलग-अलग (उनका मतलब बस उनके) विवरण से अलग है।
भास्कर द्वितीय:
"जोड़ और घटाव अज्ञात के बीच एक ही प्रजाति (जाति) के अज्ञातों के लिए किया जाता है; विभिन्न प्रजातियों का उनका मतलब उनके अलग विवरण से है।"
गुणा
ब्रह्मगुप्त कहते हैं: दो समान अज्ञातों का गुणनफल एक वर्ग है; अज्ञात जैसे तीन या अधिक का गुणनफल उस पद का घात है। विषम प्रजातियों के अज्ञातों का गुणन प्रतीकों के पारस्परिक गुणनफल के समान होता है; इसे भाविता (गुणनफल या तथ्य) कहा जाता है।
विभाजन
भास्कर द्वितीय कहते हैं: जो कुछ भी अज्ञात और ज्ञात है, भाजक को गुणा (अलग) किया जाता है और लाभांश से घटाया जाता है क्रमिक रूप से घटाया जाता है ताकि कोई अवशेष न बचे, वे क्रमिक/ क्रमागत चरणों में भागफल का निर्माण करते हैं।
समकोणन
बीजीय व्यंजक का वर्ग करने का नियम है
(a+b)² =a²+b²+2ab
या अपने सामान्य रूप में
(a+b+c+d+ ... )2=a2+b2+c2+d2+ ..+2Σab
वर्गमूल
बीजीय व्यंजक का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए भास्कर द्वितीय निम्नलिखित नियम देतें है:
"अज्ञात मात्राओं का वर्गमूल ज्ञात कीजिए जो वर्ग हैं; फिर शेष पदों में से उन मूलों के गुणनफल दो और दो से घटाएं; यदि वहाँ
ज्ञात पद हो, ज्ञात का वर्गमूल लेने के बाद उसी प्रकार शेष के साथ आगे बढ़ें जिसका वर्गमूल निकाल कर ज्ञात है।"।"
बाहरी संपर्क
अग्रिम पठन
- Bhāskara (II.), Edward Strachey. Bija Ganita: Or The Algebra Of The Hindus... ISBN-13 978-1249957041.
यह भी देखें
Algebra
संदर्भ
उद्धरण
- ↑ Algebra
- ↑ Datta, 1938, Vol.2, Preface
- ↑ Bījagaṇita, ch. Avyakta-kalpanā, vs.5, p.7
- ↑ A Primer to Bhāratīya Gaṇitam , Bhāratīya-Gaṇita-Praveśa- Part-1. Samskrit Promotion Foundation. 2021. ISBN 978-81-951757-2-7.
- ↑ Brahma-sphuţa-siddhānta (ch.18, vs.30, p.309)
- ↑ Brahma-sphuta-siddhanta, ch.18, vs.31 p.309
- ↑ Brahma-sphuţa-siddhānta (ch.18, vs.33, p.310)
- ↑ Brahma-sphuta-siddhanta (ch.18, vs.34, p.310)
- ↑ Bijapallava, com. on Bijaganita p.13
