बीजगणितीय संचालन

± & nbsp; साइन का मतलब है कि समीकरण को A + या A - साइन के साथ लिखा जा सकता है।

गणित में, एक मूल बीजगणितीय संक्रिया अंकगणित की सामान्य संक्रियाओं में से कोई एक है, जिसमें जोड़, घटाव, गुणा, भाग, एक पूर्ण संख्या की घात तक उठाना, और जड़ें लेना (आंशिक घात) सम्मिलित हैं। ये संक्रियाएँ संख्याओं पर की जा सकती हैं, जिस स्थिति में उन्हें अधिकतर अंकगणितीय संक्रियाएँ कहा जाता है। वे चरों, बीजगणितीय व्यंजकों, और अधिक सामान्यतः बीजगणितीय संरचनाओं के तत्वों जैसे समूहों और क्षेत्रों पर भी इसी तरह से प्रदर्शित किए जा सकते हैं। एक बीजगणितीय संक्रिया को एक समुच्चय के कार्तीय घात से उसी समुच्चय के फलन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

बीजगणितीय संक्रिया शब्द का प्रयोग उन संक्रियाओं के लिए भी किया जा सकता है जिन्हें मूल बीजगणितीय संक्रियाओं, जैसे डॉट उत्पाद, के संयोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। गणना और गणितीय विश्लेषण में, एक बीजगणितीय संक्रिया का उपयोग उन संक्रियाओं के लिए भी किया जाता है जिन्हें विशुद्ध रूप से बीजगणितीय विधियों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक या तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ घातांक एक बीजगणितीय संक्रिया है, लेकिन वास्तविक या जटिल घातांक के साथ सामान्य घातांक नहीं है। साथ ही, व्युत्पन्न एक ऐसी संक्रिया है जो बीजगणितीय नहीं है।

संकेतन

गुणन चिह्नों को आमतौर पर छोड़ दिया जाता है, और निहित किया जाता है, जब दो चरों या पदों के बीच कोई संकारक नहीं होता है, या जब एक गुणांक का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3 × x² को 3x² और 2 × x × y को 2xy लिखा जाता है। कभी-कभी, गुणन चिह्नों को या तो बिंदु या केंद्र-बिंदु से बदल दिया जाता है, ताकि x × y को या तो x.y या x·y लिखा जा सके। सादा पाठ, प्रोग्रामिंग भाषाएं, और कैलकुलेटर भी गुणन चिह्न का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक तारक का उपयोग करते हैं, और इसे स्पष्ट रूप से उपयोग किया जाना चाहिए; उदाहरण के लिए, 3x को 3 * x के रूप में लिखा जाता है।

अस्पष्ट विभाजन चिह्न (÷) का उपयोग करने के बजाय, विभाजन को आमतौर पर एक विंकुलम (vinculum), एक क्षैतिज रेखा के साथ दर्शाया जाता है, जैसा कि 3/x + 1 में है। सादे पाठ और प्रोग्रामिंग भाषाओं में, एक स्लैश (जिसे सॉलिडस भी कहा जाता है) का उपयोग किया जाता है, उदा. 3 / (x + 1)।

प्रतिपादकों को आमतौर पर सुपरस्क्रिप्ट का उपयोग करके स्वरूपित किया जाता है, जैसा कि x2 में है। सादे पाठ में, टीईएक्स मार्क-अप भाषा, और कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएं जैसे कि MATLAB और जूलिया, कैरेट प्रतीक, ^, घातांक का प्रतिनिधित्व करती हैं, इसलिए x2 को x ^ 2 के रूप में लिखा जाता है। एडीए, फोरट्रान, पर्ल, पायथन और रूबी, जैसी प्रोग्रामिंग भाषाओं में एक दोहरा तारांकन चिह्न का उपयोग किया जाता है, इसलिए x² को x ** 2 के रूप में लिखा जाता है।

प्लस -मिनस साइन, ±, का उपयोग एक के रूप में लिखे गए दो अभिव्यक्तियों के लिए एक शॉर्टहैंड नोटेशन के रूप में किया जाता है, एक प्लस साइन के साथ एक अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरा एक माइनस साइन के साथ।उदाहरण के लिए, y = x ± 1 दो समीकरणों का प्रतिनिधित्व करता है y = x + 1 और y = x-1. कभी-कभी, इसका उपयोग सकारात्मक-या-नकारात्मक शब्द जैसे कि ± x को दर्शाने के लिए किया जाता है।

अंकगणित बनाम बीजगणितीय संचालन

बीजगणितीय संचालन अंकगणित संचालन के समान ही काम करते हैं, जैसा कि नीचे दी गई तालिका में देखा जा सकता है।

Operation	Arithmetic Example	Algebra Example	Comments ≡ means "equivalent to" ≢ means "not equivalent to"
Addition	$(5\times 5)+5+5+3$ equivalent to: $5^{2}+(2\times 5)+3$	$(b\times b)+b+b+a$ equivalent to: $b^{2}+2b+a$	${\begin{aligned}2\times b&\equiv 2b\\b+b+b&\equiv 3b\\b\times b&\equiv b^{2}\end{aligned}}$
Subtraction	$(7\times 7)-7-5$ equivalent to: $7^{2}-7-5$	$(b\times b)-b-a$ equivalent to: $b^{2}-b-a$	${\begin{aligned}b^{2}-b&\not \equiv b\\3b-b&\equiv 2b\\b^{2}-b&\equiv b(b-1)\end{aligned}}$
Multiplication	$3\times 5$ or $3\ .\ 5$   or   $3\cdot 5$ or   $(3)(5)$	$a\times b$ or $a.b$   or   $a\cdot b$ or   $ab$	$a\times a\times a$ is the same as $a^{3}$
Division	$12\div 4$ or   $12/4$ or   ${\frac {12}{4}}$	$b\div a$ or   $b/a$ or   ${\frac {b}{a}}$	${\frac {a+b}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\times (a+b)$
Exponentiation	$3^{\frac {1}{2}}$   $2^{3}$	$a^{\frac {1}{2}}$   $b^{3}$	$a^{\frac {1}{2}}$ is the same as ${\sqrt {a}}$   $b^{3}$ is the same as $b\times b\times b$

नोट: अक्षरों का उपयोग $a$ और $b$ मनमाना है, और उदाहरण समान रूप से मान्य होंगे यदि $x$ और $y$ इस्तेमाल किया गया।

अंकगणित और बीजगणितीय संचालन के गुण

Property	Arithmetic Example	Algebra Example	Comments ≡ means "equivalent to" ≢ means "not equivalent to"
Commutativity	$3+5=5+3$ $3\times 5=5\times 3$	$a+b=b+a$ $a\times b=b\times a$	Addition and multiplication are commutative and associative. Subtraction and division are not: e.g. $a-b\not \equiv b-a$
Associativity	$(3+5)+7=3+(5+7)$ $(3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)$	$(a+b)+c=a+(b+c)$ $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

यह भी देखें

• बीजगणतीय अभिव्यक्ति
• बीजगणितीय कार्य
• प्राथमिक बीजगणित
• एक द्विघात अभिव्यक्ति को फैक्टर करना
• कार्रवाई के आदेश