डायाडिक्स

गणित में विशेष रूप से बहुरेखीय बीजगणित, डाइएडिक या डायाडिक टेंसर, टेन्सर की आंतरिक परिभाषा है, जो सदिश क्षेत्रीय टेन्सर के उत्पादों के माध्यम से उत्पन्न होती हैं, हम इसे संकेतन में लिख सकते हैं और यह सदिश बीजगणित के साथ संलग्न रहती है।

दो यूक्लिडियन सदिशों को गुणा करने की अनेक विधियाँ उपयोग की जा सकती हैं। डॉट उत्पादों को दो वैक्टर के द्वारा उपयोग में लाया जा सकता हैं और क्रॉस उत्पाद के समय भौतिकी स्केलर द्वारा इसका मान प्राप्त होता है। इस प्रकार यह स्यूडो सदिश लौटाता है। इन दोनों की विभिन्न रूपों में महत्वपूर्ण ज्यामितीय व्याख्याएँ भी होती हैं और इनका व्यापक रूप से गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में उपयोग किया जाता है। डाइएडिक उत्पाद मुख्यतः दो वैक्टर वापस करता हैं और इस संदर्भ में 'डाइडिक' नामक दूसरे क्रम का टेंसर वापस होता हैं। डाइडिक का उपयोग भौतिक या ज्यामितीय जानकारी को सम्मिलित करने के लिए किया जा सकता है, चूंकि सामान्यतः इसकी ज्यामितीय व्याख्या करने की कोई सीधी विधि नहीं होती हैं।

डाइएडिक गुणन सदिश को संयोजित करने पर वितरणात्मक गुण प्राप्त होता है, और अदिश गुणन के साथ साहचर्य के नियम का पालन करता हैं। इस कारण युग्मक गुणनफल इसके दोनों संकार्यों में रैखिक रूप से प्राप्त होता हैं। सामान्यतः दो डाइएडिक्स को और डाइएडिक प्राप्त करने के लिए संयोजित किये जा सकते हैं, और डायाडिक स्थिति को स्केल करने के लिए संख्याओं द्वारा स्केलर गुणन किया जाता है। चूंकि, उत्पाद मुख्यतः विनिमेय प्रकार के नहीं होते हैं, इसलिए सदिशों के क्रम को परिवर्तित करने के परिणामस्वरूप भिन्न द्विगुणक मान प्राप्त होते हैं।

डायाडिक बीजगणित की औपचारिकता सदिश बीजगणित के विस्तार से प्राप्त होती हैं जिसमें सदिशों के डाइएडिक उत्पाद सम्मिलित रहते हैं। डाइएडिक उत्पाद डॉट और क्रॉस उत्पादों के साथ अन्य वैक्टरों के साथ भी संयोजित रहता है, जो डॉट तथा क्रॉस और डाइएडिक उत्पादों को अन्य स्केलर, वैक्टर या डाइएडिक्स प्राप्त करने के लिए संयोजित करने की अनुमति देता है।

इसमें आव्यूह बीजगणित के कुछ भाग भी सम्मिलित रहते हैं, क्योंकि वैक्टर के संख्यात्मक घटकों को पंक्ति और स्तंभ वैक्टर में व्यवस्थित किया जा सकता है, और स्क्वायर आव्यूह में दूसरे क्रम के टेंसरों को भी साथ ही, डॉट, क्रॉस और डायाडिक उत्पाद सभी को आव्यूह रूप में व्यक्त किया जा सकता है। डायाडिक अभिव्यक्तियां आव्यूह समकक्षों के समान हो सकती हैं।

किसी सदिश के साथ डाइएडिक का डॉट उत्पाद और सदिश मान देता है, और इसके परिणामस्वरूप डॉट उत्पाद लेने से डायाडिक से प्राप्त स्केलर प्राप्त होता हैं। किसी दिए गए डायाडिक का अन्य सदिशों पर पड़ने वाले प्रभावों के अप्रत्यक्ष भौतिक या ज्यामितीय व्याख्या को प्रदान कर सकता हैं।

डाइएडिक संकेतन पहली बार 1884 में योशिय्याह विलार्ड गिब्स द्वारा स्थापित किया गया था। संकेतन और शब्दावली आज अपेक्षाकृत अप्रचलित हैं। भौतिकी में इसके उपयोग में सातत्य यांत्रिकी और विद्युत चुंबकत्व सम्मिलित रहते हैं।

इस लेख में अपर-केस बोल्ड वेरिएबल्स डायाडिक्स (डाइड्स सहित) को दर्शाते हैं जबकि लोअर-केस बोल्ड वेरिएबल्स वैक्टर को दर्शाते हैं। वैकल्पिक संकेतन क्रमशः डबल और सिंगल ओवर- या अंडरबार्स का उपयोग करता है।

परिभाषाएं और शब्दावली

डायाडिक, बाहरी और टेंसर उत्पाद

एक रंगद टेन्सर क्रम दो और टेंसर रैंक का टेन्सर है, और दो यूक्लिडियन वैक्टर (सामान्य रूप से जटिल वैक्टर) का डायाडिक उत्पाद है, जबकि डाइएडिक टेंसर क्रम दो का सामान्य टेन्सर प्राप्त होते हैं (जो पूर्ण रैंक हो सकता है या नहीं इस बात का ध्यान रखा जाता हैं)।

इस उत्पाद के लिए कई समतुल्य शब्द और संकेतन होते हैं:

• दो सदिशों का 'डाइडिक गुणनफल $\mathbf {a} \mathbf {b}$ ' जिसे $\mathbf {a}$ और $\mathbf {b}$ द्वारा निरूपित किया जाता है (जुड़े हुए; कोई प्रतीक नहीं, गुणन चिह्न, क्रॉस, बिंदु, आदि)।
• दो कॉलम सदिश का बाहरी उत्पाद $\mathbf {a}$ और $\mathbf {b}$ के रूप में निरूपित और परिभाषित किया गया है, इस प्रकार $\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}$ या $\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}$, जहाँ ${\mathsf {T}}$ तात्पर्य खिसकाना हैं,
• दो वैक्टर का टेंसर उत्पाद $\mathbf {a}$ और $\mathbf {b}$ के $\mathbf {a} \otimes \mathbf {b}$ निरूपित किया जाता है।

डायाडिक संदर्भ में उन सभी की ही परिभाषा और अर्थ है, और समानार्थक रूप से उपयोग किया जाता है, चूंकि टेन्सर उत्पाद शब्द के अधिक सामान्य और अमूर्त उपयोग का उदाहरण है।

डिराक का ब्रा-केट संकेतन डाईएड्स और डाइएडिक्स के उपयोग को सहज रूप से स्पष्ट करता है।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष

समतुल्य उपयोग को स्पष्ट करने के लिए, त्रि-आयामी स्थान पर विचार करें, इस प्रकार त्रि-आयामी यूक्लिडियन क्षेत्र के लिए मान लें:

${\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} \end{aligned}}$

दो वैक्टर बनें जहां i, j, k (इसे E₁ E₂,E₃ द्वारा निरूपित किया जाता है। इस सदिश अंतरिक्ष में मानक आधार वैक्टर रहते हैं (कार्टेशियन निर्देशांक भी देखें)। फिर a और b के डायडिक उत्पाद को योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

${\begin{aligned}\mathbf {ab} =\qquad &a_{1}b_{1}\mathbf {ii} +a_{1}b_{2}\mathbf {ij} +a_{1}b_{3}\mathbf {ik} \\{}+{}&a_{2}b_{1}\mathbf {ji} +a_{2}b_{2}\mathbf {jj} +a_{2}b_{3}\mathbf {jk} \\{}+{}&a_{3}b_{1}\mathbf {ki} +a_{3}b_{2}\mathbf {kj} +a_{3}b_{3}\mathbf {kk} \end{aligned}}$

या पंक्ति और स्तंभ सदिशों से विस्तार द्वारा, 3×3 आव्यूह के रूप में प्रदर्शित होता हैं ( इस प्रकार ए और बी के बाहरी उत्पाद या टेन्सर उत्पाद का परिणाम भी सम्मिलित रहता हैं):

$\mathbf {ab} \equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}.$

इस प्रकार रंजक डायाडिक (राशि का एकपद या समतुल्य रूप से आव्यूह की प्रविष्टि) का घटक है - संख्या द्वारा आधार वैक्टर स्केलर गुणन की जोड़ी का डायाडिक उत्पाद हैं।

जिस प्रकार मानक आधार (और इकाई) सदिश 'i', 'j', 'k', का निरूपण है:

${\begin{aligned}\mathbf {i} &={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {j} &={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\mathbf {k} &={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

(जिसे स्थानांतरित किया जा सकता है), मानक आधार (और इकाई) रंगों का प्रतिनिधित्व है:

${\begin{aligned}\mathbf {ii} &={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ij} &={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {ik} &={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ji} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {jk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\\\mathbf {ki} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kj} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {kk} &={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

मानक आधार में साधारण संख्यात्मक उदाहरण के लिए:

${\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\[2pt]&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\[2pt]&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष

यदि यूक्लिडियन स्थान एन-आयामी है, और

${\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\mathbf {e} _{i}=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+{\ldots }+a_{N}\mathbf {e} _{N}\\\mathbf {b} &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}\mathbf {e} _{j}=b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +b_{N}\mathbf {e} _{N}\end{aligned}}$

जहां E_i और E_j मुख्य रूप से N-आयामों में मानक आधार सदिश हैं ('e' पर सूचकांक i_i विशिष्ट सदिश का चयन करता है, सदिश का घटक नहीं जैसा कि a में है_i), तो बीजगणितीय रूप में उनका द्विगुणित गुणनफल है:

$\mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}.$

इसे डायाडिक के नॉनियन रूप के रूप में जाना जाता है। आव्यूह रूप में उनका बाहरी/टेंसर उत्पाद है:

$\mathbf {ab} =\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}.$

डाइएडिक बहुपद 'ए', जिसे डायाडिक के रूप में जाना जाता है, कई वैक्टर 'a_i' और b_j से बनता है:

$\mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {a} _{1}\mathbf {b} _{1}+\mathbf {a} _{2}\mathbf {b} _{2}+\mathbf {a} _{3}\mathbf {b} _{3}+\ldots$

युग्मक जिसे N रंजक से कम के योग में कम नहीं किया जा सकता है, इन्हें पूर्ण कहा जाता है। इस स्थिति में, इस प्रकार से बनाये जाने वाले वैक्टर कोपलानर नहीं रहते हैं,

वर्गीकरण

निम्न तालिका डाइएडिक्स को वर्गीकृत करती है:

	निर्धारक	एड्जुएट	आव्यूह और इसकी रैंक
शून्य	= 0	= 0	= 0; रैंक 0: सभी शून्य मानों के लिए
रैखिक	= 0	= 0	≠ 0; रैंक 1: कम से कम एक गैर-शून्य तत्व और सभी 2 × 2 उपनिर्धारक शून्य (एकल डाइएडिक)
प्लेनर	= 0	≠ 0 (single dyadic)	≠ 0; रैंक 2: कम से कम एक गैर-शून्य 2 × 2 उपनिर्धारक
संपूर्ण	≠ 0	≠ 0	≠ 0; रैंक 3: गैर-शून्य निर्धारक

पहचान

निम्नलिखित सर्वसमिका टेंसर उत्पाद की परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम हैं:

1. अदिश गुणन के साथ संगत:

   $(\alpha \mathbf {a} )\mathbf {b} =\mathbf {a} (\alpha \mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} \mathbf {b} )$

   for any scalar $\alpha$.
2. वितरक वेक्टर जोड़ पर:

   ${\begin{aligned}\mathbf {a} (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {a} \mathbf {b} +\mathbf {a} \mathbf {c} \\(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\mathbf {c} &=\mathbf {a} \mathbf {c} +\mathbf {b} \mathbf {c} \end{aligned}}$

डायडिक बीजगणित

डाइएडिक और सदिश का उत्पाद

किसी सदिश पर परिभाषित चार संक्रियाएँ होती हैं और सदिशों पर परिभाषित उत्पादों से निर्मित डाईडिक भी प्रदर्शित होते हैं।

	बायीं ओर	दायी ओर
डाट प्रोडक्ट	$\mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)=\left(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \right)\mathbf {b}$	$\left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)$
क्राॅस प्रोडक्ट	$\mathbf {c} \times \left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {c} \times \mathbf {a} \right)\mathbf {b}$	$\left(\mathbf {ab} \right)\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)$

युग्मक और युग्मक का उत्पाद

एक युग्मक से दूसरे युग्मक के लिए पाँच संक्रियाएँ होती हैं। मान लीजिए a, b, c, d वास्तविक सदिश हैं। इस स्थिति में:

		डाॅट	क्राॅस
डाॅट	डाॅट प्रोडक्ट ${\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \mathbf {b} \right)\cdot \left(\mathbf {c} \mathbf {d} \right)&=\mathbf {a} \left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)\mathbf {a} \mathbf {d} \end{aligned}}$	डबल-डाॅट प्रोडक्ट ${\begin{aligned}\left(\mathbf {ab} \right){}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {cd} \right)&=\mathbf {c} \cdot \left(\mathbf {ab} \right)\cdot \mathbf {d} \\&=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} \right)\end{aligned}}$ and $\mathbf {ab} {\underline {{}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }}}\mathbf {cd} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \right)$	डाॅट–क्राॅस प्रोडक्ट $\left(\mathbf {ab} \right){}_{\,\centerdot }^{\times }\left(\mathbf {c} \mathbf {d} \right)=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {d} \right)$
क्राॅस		क्रॉस-डॉट उत्पाद $\left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {cd} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} \right)$	डबल क्रॉस उत्पाद $\left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {cd} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {c} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {d} \right)$

मान लीजिए

$\mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i},\quad \mathbf {B} =\sum _{j}\mathbf {c} _{j}\mathbf {d} _{j}$

दो सामान्य युग्मक बनने पर इस स्थिति में हमारे पास:

		डाॅट	क्राॅस
डाॅट	डाॅट प्रोडक्ट $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\mathbf {a} _{i}\mathbf {d} _{j}$	डबल डाॅट प्रोडक्ट ${\begin{aligned}\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {B} &=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)\end{aligned}}$ और ${\begin{aligned}\mathbf {A} {\underline {{}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }}}\mathbf {B} &=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\end{aligned}}$	डाॅट–क्राॅस प्रोडक्ट $\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)$
क्राॅस		क्रॉस-डॉट उत्पाद $\mathbf {A} {}_{\times }^{\,\centerdot }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j}\right)$	डबल क्रॉस उत्पाद $\mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {B} =\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\times \mathbf {c} _{j}\right)\left(\mathbf {b} _{i}\times \mathbf {d} _{j}\right)$

डबल-डॉट उत्पाद

डबल-डॉट उत्पाद की पहली परिभाषा फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद है,

${\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\right)\\&=\sum _{i,j}\operatorname {tr} \left(\mathbf {c} _{j}^{\mathsf {T}}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {d} _{j}\right)\\&=\sum _{i,j}(\mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {c} _{j})(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {d} _{j})\\&=\mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} \end{aligned}}$

इसके अतिरिक्त, चूंकि,

${\begin{aligned}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}&=\sum _{i,j}\left(\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{j}^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}\\&=\sum _{i,j}\mathbf {b} _{i}\mathbf {a} _{j}^{\mathsf {T}}\end{aligned}}$

हमें उक्त समीकरण प्राप्त होता हैं,

$\mathbf {A} {}_{\centerdot }^{\centerdot }\mathbf {B} =\mathbf {A} {\underline {{}_{\centerdot }^{\centerdot }}}\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}$

इसलिए डबल-डॉट उत्पाद की दूसरी संभावित परिभाषा दूसरे डायाडिक पर अतिरिक्त ट्रांसपोजिशन के साथ पहली है। इन कारणों से, डबल-डॉट उत्पाद की पहली परिभाषा को प्राथमिकता दी जाती है, चूंकि कुछ लेखक अभी भी दूसरे का उपयोग करते हैं।

डबल-क्रॉस उत्पाद

हम देख सकते हैं कि, दो सदिशों a और b से बनने वाले किसी भी रंग के लिए, इसका दोहरा क्रॉस गुणनफल शून्य होता है।

$\left(\mathbf {ab} \right){}_{\times }^{\times }\left(\mathbf {ab} \right)=\left(\mathbf {a} \times \mathbf {a} \right)\left(\mathbf {b} \times \mathbf {b} \right)=0$

चूंकि, परिभाषा के अनुसार, डाइएडिक डबल-क्रॉस उत्पाद अपने आप में सामान्यतः अशून्य रहता हैं। उदाहरण के लिए, छह अलग-अलग सदिशों से बना युग्मक A बनाता हैं।

$\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}$

का अशून्य स्व डबल क्रॉस उत्पाद है

$\mathbf {A} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} =2\left[\left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)\left(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2}\right)+\left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)\left(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}\right)+\left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)\left(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1}\right)\right]$

टेंसर संकुचन

Main article: टेंसर संकुचन

सदिशों के डॉट उत्पाद द्वारा प्रत्येक डायाडिक उत्पाद को प्रतिस्थापित करके समन्वय के आधार पर डाइएडिक के औपचारिक विस्तार से प्रेरणा या विस्तार कारक उत्पन्न होता है:

${\begin{aligned}|\mathbf {A} |=\qquad &A_{11}\mathbf {i} \cdot \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \cdot \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \cdot \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \cdot \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \cdot \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \cdot \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{11}+A_{22}+A_{33}\end{aligned}}$

इंडेक्स नोटेशन में यह डाइएडिक पर इंडेक्स का संकुचन है:

$|\mathbf {A} |=\sum _{i}A_{i}{}^{i}$

केवल तीन आयामों में, प्रत्येक डाईडिक उत्पाद को क्रॉस उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित करके घूर्णन कारक उत्पन्न होता है

${\begin{aligned}\langle \mathbf {A} \rangle =\qquad &A_{11}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{12}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{13}\mathbf {i} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{21}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{22}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{23}\mathbf {j} \times \mathbf {k} \\{}+{}&A_{31}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{32}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{33}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\[6pt]=\qquad &A_{12}\mathbf {k} -A_{13}\mathbf {j} -A_{21}\mathbf {k} \\{}+{}&A_{23}\mathbf {i} +A_{31}\mathbf {j} -A_{32}\mathbf {i} \\[6pt]=\qquad &\left(A_{23}-A_{32}\right)\mathbf {i} +\left(A_{31}-A_{13}\right)\mathbf {j} +\left(A_{12}-A_{21}\right)\mathbf {k} \\\end{aligned}}$

इंडेक्स नोटेशन में यह लेवी-सीटीवा टेंसर के साथ ए का संकुचन है

$\langle \mathbf {A} \rangle =\sum _{jk}{\epsilon _{i}}^{jk}A_{jk}.$

यूनिट डाइडिक

एक इकाई युग्मक सम्मिलित है, जिसे I द्वारा निरूपित किया जाता है, जैसे कि किसी भी सदिश a के लिए,

$\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} =\mathbf {a}$

दोहरे आधार पर 3 सदिशों a, b और c का आधार दिया है ${\hat {\mathbf {a} }},{\hat {\mathbf {b} }},{\hat {\mathbf {c} }}$, इकाई डाइएडिक द्वारा व्यक्त किया जाता है

$\mathbf {I} =\mathbf {a} {\hat {\mathbf {a} }}+\mathbf {b} {\hat {\mathbf {b} }}+\mathbf {c} {\hat {\mathbf {c} }}$

इस मानक के आधार पर,

$\mathbf {I} =\mathbf {ii} +\mathbf {jj} +\mathbf {kk}$

स्पष्ट रूप से, इकाई dyadic के दायीं ओर डॉट उत्पाद है

${\begin{aligned}\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} &=(\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\cdot \mathbf {a} \\&=\mathbf {i} (\mathbf {i} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {j} (\mathbf {j} \cdot \mathbf {a} )+\mathbf {k} (\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} )\\&=\mathbf {i} a_{x}+\mathbf {j} a_{y}+\mathbf {k} a_{z}\\&=\mathbf {a} \end{aligned}}$

और बाईं ओर

${\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {I} &=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {i} \mathbf {i} +\mathbf {j} \mathbf {j} +\mathbf {k} \mathbf {k} )\\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {i} )\mathbf {i} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {j} )\mathbf {j} +(\mathbf {a} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k} \\&=a_{x}\mathbf {i} +a_{y}\mathbf {j} +a_{z}\mathbf {k} \\&=\mathbf {a} \end{aligned}}$

संबंधित आव्यूह है

$\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$

टेंसर उत्पादों की भाषा का उपयोग करके इसे और अधिक सावधान नींव पर रखा जा सकता है (यह समझाते हुए कि जक्सटापोजिंग नोटेशन की तार्किक सामग्री का क्या आशय हो सकता है)। यदि V परिमित-आयामी सदिश स्थान है, तो V पर युग्मक टेंसर V के टेंसर उत्पाद में इसकी दोहरे क्षेत्र के साथ प्रारंभिक टेंसर प्राप्त करते हैं।

V और इसके दोहरे स्थान का टेन्सर उत्पाद V से V तक के रैखिक मानचित्रों के स्थान के लिए समरूपी है: डायडिक टेंसर vf केवल रैखिक नक्शा है, जो V में f(w)v को कोई भी w भेज रहा है। जब V यूक्लिडियन n-क्षेत्रीय है, तो हम V के साथ दोहरे क्षेत्र की पहचान करने के लिए आंतरिक उत्पाद का उपयोग कर सकते हैं, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में दो वैक्टरों के प्राथमिक टेन्सर उत्पाद को डायडिक टेन्सर बना सकते हैं।

इस अर्थ में, यूनिट डायडिक 'ij' 3-क्षेत्रीय से स्वयं को भेजने का कार्य है I₁ + a₂j + a₃k से a₂i, और jj इस राशि को a₂j को संलग्न करता है। इस प्रकार यह पता चलता हैं कि इस अर्थ में ii + jj + kk की पहचान है: यह स्वयं के लिए a₁i + a₂j + a₃k भेजता है क्योंकि इसका प्रभाव प्रत्येक इकाई सदिश को उस आधार पर सदिश के गुणांक द्वारा बढ़ाए गए मानक आधार पर योग करना होता हैं।

यूनिट डाइएडिक्स के गुण

${\begin{aligned}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {I} \right)\cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {I} \right)&=\mathbf {ba} -\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\mathbf {I} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\mathbf {b} \times \mathbf {a} \\\mathbf {I} {}_{\times }^{\times }\mathbf {A} &=(\mathbf {A} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\mathbf {I} )\mathbf {I} -\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\\\mathbf {I} {}_{\,\centerdot }^{\,\centerdot }\left(\mathbf {ab} \right)&=\left(\mathbf {I} \cdot \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {ab} \right)\end{aligned}}$

जहाँ tr ट्रेस (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है।

उदाहरण

सदिश प्रक्षेपण और अस्वीकृति

एक शून्येतर सदिश a को सदैव दो लंब घटकों में विभाजित किया जा सकता है, इकाई सदिश n की दिशा के समानांतर (‖), और लंब (⊥) इसके लिए;

$\mathbf {a} =\mathbf {a} _{\parallel }+\mathbf {a} _{\perp }$

सदिश प्रक्षेपण द्वारा समांतर घटक पाया जाता है, जो डायाडिक एनएन के साथ डॉट उत्पाद के बराबर है,

$\mathbf {a} _{\parallel }=\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a}$

और लम्बवत घटक सदिश अस्वीकृति से पाया जाता है, जो युग्मक के साथ a I − nn के डॉट उत्पाद के समतुल्य है,

$\mathbf {a} _{\perp }=\mathbf {a} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=(\mathbf {I} -\mathbf {nn} )\cdot \mathbf {a}$

घूर्णन डाईडिक

Further information: अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व

2d घुमाव

द डाइडिक

$\mathbf {J} =\mathbf {ji} -\mathbf {ij} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

2डी में 90° एंटीक्लॉकवाइज घूर्णन ऑपरेटर (सदिश क्षेत्रीय) है। इसे सदिश उत्पन्न करने के लिए सदिश r = xi + yj के साथ बाएँ-डाॅट के द्वारा बनाया जा सकता है,

$(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,$

इस संदर्भ में

$\mathbf {J} \cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\mathrm {rot} }$

या आव्यूह नोटेशन में

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.$

किसी भी कोण θ के लिए, समतल में वामावर्त घूर्णन के लिए 2d घूर्णन युग्मक है

$\mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta =(\mathbf {ii} +\mathbf {jj} )\cos \theta +(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}$

जहाँ I और J उपरोक्तानुसार हैं, और किसी भी 2d सदिश a = a का घूर्णन_x i + a_yj है

$\mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a}$

3डी घूर्णन

इस प्रकार इकाई सदिश ω की दिशा में अक्ष के बारे में सदिश a का सामान्य 3डी घूर्णन और θ कोण के माध्यम से घड़ी की विपरीत दिशा में, रॉड्रिक्स के घूर्णन सूत्र का उपयोग युग्मक रूप में किया जा सकता है।

$\mathbf {a} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \cdot \mathbf {a} \,,$

जहां घूर्णन डाइडिक है

$\mathbf {R} =\mathbf {I} \cos \theta +{\boldsymbol {\Omega }}\sin \theta +{\boldsymbol {\omega \omega }}(1-\cos \theta )\,,$

और ω की कार्तीय प्रविष्टियाँ भी डाइएडिक की प्रविष्टियाँ बनाती हैं

${\boldsymbol {\Omega }}=\omega _{x}(\mathbf {kj} -\mathbf {jk} )+\omega _{y}(\mathbf {ik} -\mathbf {ki} )+\omega _{z}(\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\,,$

a पर Ω का प्रभाव क्रॉस उत्पाद है

${\boldsymbol {\Omega }}\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a}$

जो कॉलम सदिश के साथ क्रॉस उत्पाद आव्यूह का डायाडिक रूप है।

लोरेंत्ज़ परिवर्तन

विशेष आपेक्षिकता में, इकाई सदिश 'n' की दिशा में गति v के साथ लोरेंत्ज़ बूस्ट को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$t'=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)$

$\mathbf {r} '=[\mathbf {I} +(\gamma -1)\mathbf {nn} ]\cdot \mathbf {r} -\gamma v\mathbf {n} t$

जहाँ

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

लोरेंत्ज़ कारक है।

संबंधित शर्तें

कुछ लेखक डियाडिक शब्द से संबंधित शब्दों त्रैमासिक, टेट्राडिक और पॉलीएडिक से सामान्यीकरण करते हैं।

यह भी देखें

• क्रोनकर उत्पाद
• बायसदिश
• पॉलीडिक बीजगणित
• इकाई सदिश
• मल्टीसदिश
• विभेदक रूप
• चतुष्कोण
• क्षेत्र (गणित)

संदर्भ

• P. Mitiguy (2009). "Vectors and dyadics" (PDF). Stanford, USA. Chapter 2
• Spiegel, M.R.; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector analysis, Schaum's outlines. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
• A.J.M. Spencer (1992). Continuum Mechanics. Dover Publications. ISBN 0-486-43594-6..
• Morse, Philip M.; Feshbach, Herman (1953), "§1.6: Dyadics and other vector operators", Methods of theoretical physics, Volume 1, New York: McGraw-Hill, pp. 54–92, ISBN 978-0-07-043316-8, MR 0059774.
• Ismo V. Lindell (1996). Methods for Electromagnetic Field Analysis. Wiley-Blackwell. ISBN 978-0-7803-6039-6..
• Hollis C. Chen (1983). Theory of Electromagnetic Wave - A Coordinate-free approach. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-010688-8..
• K. Cahill (2013). Physical Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-1107005211.

बाहरी संबंध

• Vector Analysis, a Text-Book for the use of Students of Mathematics and Physics, Founded upon the Lectures of J. Willard Gibbs PhD LLD, Edwind Bidwell Wilson PhD
• Advanced Field Theory, I.V.Lindel
• Vector and Dyadic Analysis
• Introductory Tensor Analysis
• Nasa.gov, Foundations of Tensor Analysis for students of Physics and Engineering with an Introduction to the Theory of Relativity, J.C. Kolecki
• Nasa.gov, An introduction to Tensors for students of Physics and Engineering, J.C. Kolecki