प्रायिकता उपाय

गणित में, प्रायिकता माप एक प्रायिकता स्थान में घटनाओं के एक सेट पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो माप (गणित) गुणों जैसे गणनीय योगात्मकता को संतुष्ट करता है। संभाव्यता माप और माप की अधिक सामान्य धारणा (जिसमें क्षेत्र या आयतन जैसी अवधारणाएं शामिल हैं) के बीच का अंतर यह है कि एक संभाव्यता माप को संपूर्ण संभाव्यता स्थान के लिए मान 1 निर्दिष्ट करना चाहिए।

सहजता से, एडिटिविटी प्रॉपर्टी का कहना है कि माप द्वारा दो अलग-अलग घटनाओं के संघ को सौंपी गई संभावना घटनाओं की संभावनाओं का योग होना चाहिए; उदाहरण के लिए, एक पासे को फेंकने पर 1 या 2 को दिया गया मान 1 और 2 को दिए गए मानों का योग होना चाहिए।

संभाव्यता उपायों में भौतिकी से लेकर वित्त और जीव विज्ञान तक विविध क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं।

परिभाषा

प्रायिकता माप के लिए प्रायिकता स्थान की मैपिंग $2^{3}$ इकाई अंतराल के लिए घटनाएँ।

सेट समारोह के लिए आवश्यकताएँ $\mu$ प्रायिकता स्थान पर संभाव्यता माप होने के लिए:

• $\mu$ इकाई अंतराल में परिणाम वापस करना चाहिए $[0,1],$ रिटर्निंग $0$ खाली सेट के लिए और $1$ पूरे अंतरिक्ष के लिए।
• $\mu$ सिग्मा-एडिटिव सेट फंक्शन प्रॉपर्टी को संतुष्ट करना चाहिए जो सभी गणना योग्य संग्रहों के लिए है $E_{1},E_{2},\ldots$ जोड़ो में असंयुक्त सेट की:
  $$\mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }E_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (E_{i}).$$

उदाहरण के लिए, संभावनाओं के साथ तीन तत्व 1, 2 और 3 दिए गए हैं $1/4,1/4$ और $1/2,$ को दिया गया मान $\{1,3\}$ है $1/4+1/2=3/4,$ जैसा कि दाईं ओर आरेख में है।

घटनाओं के प्रतिच्छेदन पर आधारित सशर्त संभाव्यता को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\mu (B\mid A)={\frac {\mu (A\cap B)}{\mu (A)}}.$$

जब तक संभाव्यता माप आवश्यकताओं को संतुष्ट करता है $\mu (A)$ शून्य नहीं है। संभाव्यता के उपाय फ़ज़ी माप सिद्धांत की अधिक सामान्य धारणा से अलग हैं जिसमें कोई आवश्यकता नहीं है कि फ़ज़ी मानों का योग हो $1,$ और योगात्मक संपत्ति को सेट समावेशन के आधार पर एक आदेश संबंध द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

उदाहरण अनुप्रयोग

कई मामलों में, सांख्यिकीय भौतिकी संभाव्यता उपायों का उपयोग करती है, लेकिन सभी माप सिद्धांत जो इसका उपयोग करते हैं वे संभाव्यता उपाय नहीं हैं।

बाजार उपाय जो वास्तविक बाजार आंदोलनों के आधार पर वित्तीय बाजार स्थानों को संभावनाएं प्रदान करते हैं, संभाव्यता उपायों के उदाहरण हैं जो गणितीय वित्त में रुचि रखते हैं; उदाहरण के लिए, वित्तीय डेरिवेटिव के मूल्य निर्धारण में। उदाहरण के लिए, एक जोखिम-तटस्थ उपाय एक संभाव्यता उपाय है जो मानता है कि संपत्ति का वर्तमान मूल्य उसी जोखिम तटस्थ माप के संबंध में भविष्य के अदायगी का अपेक्षित मूल्य है (यानी संबंधित जोखिम तटस्थ घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करके गणना की जाती है), और जोखिम मुक्त दर पर छूट। यदि बाजार में मूल्य निर्धारण के लिए एक अद्वितीय संभाव्यता माप का उपयोग किया जाना चाहिए, तो बाजार को पूर्ण बाजार कहा जाता है।

सभी उपाय जो सहजता से मौका या संभावना का प्रतिनिधित्व करते हैं, संभाव्यता के उपाय नहीं हैं। उदाहरण के लिए, हालांकि सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक प्रणाली की मौलिक अवधारणा एक माप स्थान है, ऐसे उपाय हमेशा संभाव्यता उपाय नहीं होते हैं। सामान्य तौर पर, सांख्यिकीय भौतिकी में, यदि हम फॉर्म के वाक्यों पर विचार करते हैं, तो एक सिस्टम S की प्रायिकता मानते हुए कि A स्थिति p है, सिस्टम की ज्यामिति हमेशा प्रायिकता माप सर्वांगसमता संबंध की परिभाषा की ओर नहीं ले जाती है, हालाँकि यह ऐसा कर सकती है। स्वतंत्रता की सिर्फ एक डिग्री के साथ सिस्टम का मामला।

गणितीय जीव विज्ञान में संभाव्यता उपायों का भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, तुलनात्मक अनुक्रम विश्लेषण में एक संभाव्यता माप को इस संभावना के लिए परिभाषित किया जा सकता है कि अनुक्रम में एक एमिनो एसिड के लिए एक संस्करण अनुमेय हो सकता है। अल्ट्राफिल्टर के रूप में समझा जा सकता है $\{0,1\}$-मूल्यवान s

यह भी देखें

• Borel measure
• Fuzzy measure
• Haar measure
• Lebesgue measure
• Martingale measure
• Set function

अग्रिम पठन

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. John Wiley. ISBN 0-471-00710-2.
• Ash, Robert B.; Doléans-Dade, Catherine A. (1999). Probability & Measure Theory. Academic Press. ISBN 0-12-065202-1.

बाहरी संबंध

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