सममित द्विरेखीय रूप

गणित में, सदिश स्थान पर एक सममित द्विरेखीय रूप, सदिश स्थान की दो प्रतियों से अदिश (गणित) के क्षेत्र (गणित) तक एक द्विरेखीय मानचित्र होता है, जिसमें दो सदिशों का क्रम मानचित्र के मान को प्रभावित नहीं करता है। दूसरे शब्दों में, यह एक द्विरेखीय नक्शा फ़ंक्शन है $B$ जो हर जोड़ी को मैप करता है $(u,v)$ वेक्टर अंतरिक्ष के तत्वों की $V$ अंतर्निहित क्षेत्र के लिए जैसे कि $B(u,v)=B(v,u)$ हर एक के लिए $u$ और $v$ में $V$. जब बिलिनियर को समझा जाता है तो उन्हें अधिक संक्षेप में केवल सममित रूपों के रूप में संदर्भित किया जाता है।

परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर सममित द्विरेखीय रूप 'V' के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) दिए गए सममित मैट्रिक्स के सटीक रूप से मेल खाते हैं। द्विरेखीय रूपों में, सममित वाले महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे वे हैं जिनके लिए वेक्टर स्थान एक विशेष रूप से सरल प्रकार के आधार को स्वीकार करता है जिसे ऑर्थोगोनल आधार के रूप में जाना जाता है (कम से कम जब क्षेत्र की विशेषता (बीजगणित) 2 नहीं है)।

एक सममित द्विरेखीय रूप 'बी दिया गया है, फ़ंक्शन q(x) = B(x, x) सदिश स्थान पर संबद्ध द्विघात रूप है। इसके अलावा, यदि क्षेत्र की विशेषता 2 नहीं है, तो बी क्यू से जुड़ा अद्वितीय सममित द्विरेखीय रूप है।

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए कि V क्षेत्र K पर आयाम n का एक सदिश स्थान है। एक फलन (गणित) $B:V\times V\rightarrow K$ अंतरिक्ष पर एक सममित द्विरेखीय रूप है यदि:

• $B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v\in V$
• $B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,v,w\in V$
• $B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w\in V$

अंतिम दो स्वयंसिद्ध केवल पहले तर्क में रैखिकता स्थापित करते हैं, लेकिन पहले स्वयंसिद्ध (समरूपता) का तात्पर्य दूसरे तर्क में भी रैखिकता से है।

उदाहरण

होने देना V = Rⁿ, n विमीय वास्तविक सदिश स्थान। फिर मानक डॉट उत्पाद एक सममित द्विरेखीय रूप है, B(x, y) = x ⋅ y. मानक आधार पर इस बिलिनियर फॉर्म (नीचे देखें) से संबंधित मैट्रिक्स पहचान मैट्रिक्स है।

वी को कोई वेक्टर स्पेस (संभवतः अनंत-आयामी सहित) होने दें, और मान लें कि टी वी से क्षेत्र तक एक रैखिक कार्य है। फिर फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया B(x, y) = T(x)T(y) एक सममित द्विरेखीय रूप है।

V को निरंतर एकल-चर वास्तविक कार्यों का वेक्टर स्थान होने दें। के लिए $f,g\in V$ कोई परिभाषित कर सकता है $\textstyle B(f,g)=\int _{0}^{1}f(t)g(t)dt$. अभिन्न के गुणों से, यह वी पर एक सममित द्विरेखीय रूप को परिभाषित करता है। यह एक सममित द्विरेखीय रूप का एक उदाहरण है जो किसी भी सममित मैट्रिक्स से जुड़ा नहीं है (चूंकि वेक्टर स्थान अनंत-आयामी है)।

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

होने देना $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ वी के लिए एक आधार बनें। परिभाषित करें n × n मैट्रिक्स ए द्वारा $A_{ij}=B(e_{i},e_{j})$. मैट्रिक्स ए बिलिनियर रूप की समरूपता के कारण एक सममित मैट्रिक्स है। यदि हम n×1 मैट्रिक्स x को इस आधार के संबंध में वेक्टर v का प्रतिनिधित्व करते हैं, और इसी तरह n×1 मैट्रिक्स y को वेक्टर w का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो $B(v,w)$ द्वारा दिया गया है :

$x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax.$

मान लीजिए C' V का एक और आधार है, जिसमें : ${\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S$ S एक व्युत्क्रमणीय n×n मैट्रिक्स के साथ। अब सममित द्विरेखीय रूप के लिए नया मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व द्वारा दिया गया है

$A'=S^{\mathsf {T}}AS.$

रूढ़िवादिता और विलक्षणता

दो वैक्टर v और w को बिलिनियर फॉर्म B के संबंध में ऑर्थोगोनल के रूप में परिभाषित किया गया है B(v, w) = 0, जो एक सममित द्विरेखीय रूप के लिए, के समतुल्य है B(w, v) = 0.

द्विरेखीय रूप बी का मूलांक वी में प्रत्येक सदिश के साथ सदिश ओर्थोगोनल का समुच्चय है। यह कि यह V की एक उपसमष्टि है, इसके प्रत्येक तर्क में B की रैखिकता से अनुसरण करती है। एक निश्चित आधार के संबंध में एक मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व ए के साथ काम करते समय, वी, जिसे एक्स द्वारा दर्शाया जाता है, यदि और केवल तभी रेडिकल में है

$Ax=0\Longleftrightarrow x^{\mathsf {T}}A=0.$

मैट्रिक्स ए एकवचन है अगर और केवल अगर कट्टरपंथी गैर-तुच्छ है।

यदि W, V का एक उपसमुच्चय है, तो इसका लांबिक पूरक W है^⊥ V में सभी सदिशों का समुच्चय है जो W के प्रत्येक सदिश के लिए ओर्थोगोनल हैं; यह V की एक उपसमष्टि है। जब B गैर-पतित होता है, तो B का रेडिकल तुच्छ होता है और W का आयाम^⊥ है dim(W^⊥) = dim(V) − dim(W).

ऑर्थोगोनल आधार

एक आधार $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ बी के संबंध में ऑर्थोगोनल है अगर और केवल अगर :

$B(e_{i},e_{j})=0\ \forall i\neq j.$

जब क्षेत्र की विशेषता (बीजगणित) दो नहीं होती है, तो V का हमेशा एक लंबकोणीय आधार होता है। यह गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।

एक आधार सी ऑर्थोगोनल है अगर और केवल अगर मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व ए एक विकर्ण मैट्रिक्स है।

हस्ताक्षर और सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम

अधिक सामान्य रूप में, सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम कहता है कि, एक आदेशित क्षेत्र पर काम करते समय, मैट्रिक्स के विकर्ण रूप में विकर्ण तत्वों की संख्या जो क्रमशः सकारात्मक, नकारात्मक और शून्य हैं, चुने हुए ऑर्थोगोनल आधार से स्वतंत्र हैं। ये तीन अंक द्विरेखीय रूप के हस्ताक्षर (द्विघात रूप) बनाते हैं।

असली मामला

वास्तविक स्थान पर काम करते समय, व्यक्ति थोड़ा और आगे जा सकता है। होने देना $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ एक ऑर्थोगोनल आधार बनें।

हम एक नया आधार परिभाषित करते हैं $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$

$e'_{i}={\begin{cases}e_{i}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})=0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})>0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {-B(e_{i},e_{i})}}}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})<0\end{cases}}$

अब, नया मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व ए विकर्ण पर केवल 0, 1 और -1 के साथ एक विकर्ण मैट्रिक्स होगा। ज़ीरो प्रकट होगा यदि और केवल यदि रेडिकल गैर-तुच्छ है।

जटिल मामला

जटिल संख्याओं पर किसी स्थान पर काम करते समय, व्यक्ति आगे भी जा सकता है और यह और भी आसान है। होने देना $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ एक ऑर्थोगोनल आधार बनें।

हम एक नया आधार परिभाषित करते हैं $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ :

$e'_{i}={\begin{cases}e_{i}&{\text{if }}\;B(e_{i},e_{i})=0\\e_{i}/{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}&{\text{if }}\;B(e_{i},e_{i})\neq 0\\\end{cases}}$

अब नया मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व ए विकर्ण पर केवल 0 और 1 के साथ एक विकर्ण मैट्रिक्स होगा। ज़ीरो प्रकट होगा यदि और केवल यदि रेडिकल गैर-तुच्छ है।

ऑर्थोगोनल ध्रुवताएं

चलो बी एक सममित द्विरेखीय रूप है जो अंतरिक्ष वी पर एक तुच्छ कट्टरपंथी के साथ क्षेत्र के क्षेत्र में विशेषता (बीजगणित) के साथ नहीं है। अब डी (वी) से एक नक्शा परिभाषित कर सकता है, जो वी के सभी उप-स्थानों का सेट है:

$\alpha :D(V)\rightarrow D(V):W\mapsto W^{\perp }.$

यह नक्शा प्रक्षेपण स्थान पीजी (डब्ल्यू) पर एक ऑर्थोगोनल पोलरिटी है। इसके विपरीत, कोई यह साबित कर सकता है कि सभी ऑर्थोगोनल ध्रुवीकरण इस तरह से प्रेरित होते हैं, और यह कि दो सममित द्विरेखीय रूपों के साथ तुच्छ मूलक एक ही ध्रुवीयता को प्रेरित करते हैं यदि और केवल अगर वे स्केलर गुणन के बराबर हैं।

संदर्भ

• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992). Algebra: An Approach via Module Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 136. Springer-Verlag. ISBN 3-540-97839-9. Zbl 0768.00003.
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 73. Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.
• Weisstein, Eric W. "Symmetric Bilinear Form". MathWorld.