यांत्रिक-विद्युत उपमाएँ

यांत्रिक-विद्युत उपमाएँ विद्युत नेटवर्क के रूप में यांत्रिक प्रणालियों का प्रतिनिधित्व हैं। सर्वप्रथम इस प्रकार की उपमाओं का व्युत्क्रम उपयोग किया गया जिससे परिचित यांत्रिक शब्दों में विद्युत घटनाओं की व्याख्या की जा सके। जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने 19वीं शताब्दी में इस प्रकार की उपमाओं का परिचय दिया था। चूंकि, नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत परिपथ) के परिपक्व होने पर यह पाया गया कि कुछ यांत्रिक समस्याओं को विद्युत सादृश्य के माध्यम से अधिक आसानी से समाधान किया जा सकता है। विद्युत क्षेत्र में सैद्धांतिक विकास जो विशेष रूप से उपयोगी थे, एक विद्युत नेटवर्क का एक अमूर्त टोपोलॉजिकल आरेख (परिपथ आरेख) के रूप में प्रतिनिधित्व किया गया था, जो एक निर्धारित आवृत्ति फलन को पूरा करने के लिए एक नेटवर्क को संश्लेषित करने के लिए गांठ वाले तत्व मॉडल और नेटवर्क विश्लेषण की क्षमता का उपयोग करता था।

यह दृष्टिकोण यांत्रिक फिल्टर के डिजाइन में विशेष रूप से उपयोगी है - ये विद्युत कार्य को प्रायुक्त करने के लिए यांत्रिक उपकरणों का उपयोग करते हैं। चूंकि, तकनीक का उपयोग पूरी तरह यांत्रिक समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है, और इसे अन्य, असंबंधित, ऊर्जा डोमेन में भी बढ़ाया जा सकता है। आजकल, सादृश्य द्वारा विश्लेषण मानक डिजाइन उपकरण है जहां से अधिक ऊर्जा डोमेन सम्मिलित हैं। इसका प्रमुख लाभ यह है कि संपूर्ण प्रणाली को एकीकृत, सुसंगत विधि से प्रस्तुत किया जा सकता है। विद्युत उपमाओं का उपयोग विशेष रूप से ट्रांसड्यूसर डिजाइनरों द्वारा किया जाता है, उनके स्वभाव से वे ऊर्जा डोमेन को पार करते हैं, और नियंत्रण प्रणालियों में, जिनके सेंसर और गति देनेवाला सामान्यतः डोमेन-क्रॉसिंग ट्रांसड्यूसर होंगे। विद्युत सादृश्य द्वारा प्रस्तुत की जा रही दी गई प्रणाली में संभवतः कोई विद्युत भाग नहीं हो सकता है। इस कारण नियंत्रण प्रणालियों के लिए नेटवर्क आरेख विकसित करते समय डोमेन-तटस्थ शब्दावली को प्राथमिकता दी जाती है।

डोमेन में वेरिएबल्स के बीच संबंधों को खोजने के द्वारा यांत्रिक-विद्युत समानताएं विकसित की जाती हैं जिनके गणितीय रूप दूसरे डोमेन में वैरिएबल के समान होते हैं। ऐसा करने का कोई एक, अद्वितीय विधि नहीं है; कई समानताएं सैद्धांतिक रूप से संभव हैं, किन्तु दो समानताएं हैं जो व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं: प्रतिबाधा समानता और गतिशीलता समानता। प्रतिबाधा सादृश्य बल और वोल्टेज को समान बनाता है जबकि गतिशीलता सादृश्य बल और धारा को समान बनाता है। अपने आप में, यह समानता को पूरी तरह से परिभाषित करने के लिए पर्याप्त नहीं है, दूसरा वेरिएबल्स चुना जाना चाहिए। सामान्य विकल्प शक्ति संयुग्मी वेरिएबल्स (ऊष्मप्रवैगिकी) के जोड़े को समान बनाना है। ये वे वेरिएबल्स हैं जिन्हें साथ गुणा करने पर शक्ति की इकाइयाँ होती हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिबाधा सादृश्यता में, इसका परिणाम बल और वेग क्रमशः वोल्टेज और धारा के अनुरूप होता है।

इन उपमाओं की विविधताओं का उपयोग यांत्रिक प्रणालियों को घुमाने के लिए किया जाता है, जैसे कि विद्युत मोटरों में। प्रतिबाधा सादृश्य में, बल के अतिरिक्त, टोक़ को वोल्टेज के अनुरूप बनाया जाता है। यह पूरी तरह से संभव है कि सादृश्य के दोनों संस्करणों की आवश्यकता है, कहते हैं, प्रणाली जिसमें घूर्णन और पारस्परिक गति वाले भाग सम्मिलित हैं, इस स्थिति में यांत्रिक डोमेन के अन्दर बल-टोक़ सादृश्य और बल-टोक़-वोल्टेज सादृश्य की आवश्यकता होती है। विद्युत डोमेन। ध्वनिक प्रणालियों के लिए और भिन्नता आवश्यक है; यहाँ दबाव और वोल्टेज को अनुरूप (प्रतिबाधा सादृश्य) बनाया जाता है। प्रतिबाधा सादृश्य में, शक्ति संयुग्मी वेरिएबल्स का अनुपात सदैव विद्युत प्रतिबाधा के अनुरूप मात्रा होता है। उदाहरण के लिए बल/वेग यांत्रिक प्रतिबाधा है। गतिशीलता सादृश्य इस सादृश्य को पूरे डोमेन में प्रतिबाधाओं के बीच संरक्षित नहीं करता है, किन्तु इसका प्रतिबाधा सादृश्य पर और फायदा है। गतिशीलता सादृश्य में नेटवर्क की टोपोलॉजी संरक्षित है, यांत्रिक नेटवर्क आरेख में समान विद्युत नेटवर्क आरेख के समान टोपोलॉजी है।

अनुप्रयोग

यांत्रिक-विद्युत उपमाओं का उपयोग यांत्रिक और विद्युत मापदंडों के बीच समानताएं बनाकर यांत्रिक प्रणाली के कार्य को समकक्ष विद्युत प्रणाली के रूप में प्रस्तुत करने के लिए किया जाता है। अपने आप में यांत्रिक प्रणाली का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, किन्तु विद्युत यांत्रिकी में उपमाओं का सबसे बड़ा उपयोग होता है जहां यांत्रिक और विद्युत भागों के बीच संबंध होता है। यांत्रिक फिल्टर के विश्लेषण में उपमाएँ विशेष रूप से उपयोगी हैं। ये यांत्रिक भागों से बने फिल्टर हैं किन्तु ट्रांसड्यूसर के माध्यम से विद्युत परिपथ में काम करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। परिपथ सिद्धांत सामान्य रूप से विद्युत डोमेन में अच्छी तरह से विकसित है और विशेष रूप से फिल्टर सिद्धांत का खजाना उपलब्ध है। यांत्रिक प्रणालियाँ यांत्रिक-विद्युत सादृश्य के माध्यम से यांत्रिक डिजाइनों में इस विद्युत सिद्धांत का उपयोग कर सकती हैं।

यांत्रिक-विद्युत समानताएं सामान्य रूप से उपयोगी होती हैं जहां सिस्टम में विभिन्न ऊर्जा डोमेन के बीच ट्रांसड्यूसर सम्मिलित होते हैं। अनुप्रयोग का अन्य क्षेत्र ध्वनिकी के यांत्रिक भाग हैं जैसे कि चुंबकीय कार्ट्रिज और रिकार्ड तोड़ देनेवाला के टोनर प्रारंभिक फोनोग्राफ में इसका कुछ महत्व था, जहां ऑडियो पिकअप सुई से विभिन्न यांत्रिक घटकों के माध्यम से पूरी तरह से विद्युत प्रवर्धन के बिना हॉर्न तक प्रेषित होता है। यांत्रिक भागों में अवांछित अनुनादों से प्रारंभिक फोनोग्राफ बुरी तरह से पीड़ित थे। यह पाया गया कि यांत्रिक भागों को लो पास फिल्टर के घटकों के रूप में व्यवहार करके इन्हें समाप्त किया जा सकता है, जिसका पासबैंड को समतल करने का प्रभाव होता है।

यांत्रिक प्रणाली के व्यवहार को समझने में मदद करने के लिए, यांत्रिक प्रणालियों के विद्युत उपमाओं का उपयोग केवल शिक्षण सहायता के रूप में किया जा सकता है। पूर्व समय में, लगभग 20वीं शताब्दी के प्रारंभ तक, यह अधिक संभावना थी कि विपरीत सादृश्यता का उपयोग किया जाएगा; यांत्रिक उपमाएँ तत्कालीन कम समझी जाने वाली विद्युत घटनाओं से बनी थीं।

सादृश्य बनाना

विद्युत प्रणालियों को सामान्यतः परिपथ आरेख के माध्यम से वर्णित किया जाता है। ये नेटवर्क आरेख हैं जो विशेष ग्राफ (असतत गणित) संकेतन का उपयोग करके टोपोलॉजी (विद्युत परिपथ) का वर्णन करते हैं। परिपथ आरेख विद्युत घटकों के वास्तविक भौतिक आयामों या दूसरे से उनके वास्तविक स्थानिक संबंध का प्रतिनिधित्व करने का प्रयास नहीं करता है। यह संभव है क्योंकि विद्युत घटकों को आदर्श गांठ वाले तत्वों के रूप में दर्शाया जाता है, अर्थात, तत्व को ऐसे माना जाता है जैसे कि वह बिंदु (उस बिंदु पर गांठ) पर कब्जा कर रहा हो। घटक का प्रतिनिधित्व करने के लिए से अधिक तत्वों का उपयोग करके इस मॉडल में गैर-आदर्श घटकों को समायोजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रेरित्र के रूप में उपयोग के लिए अभिप्रेत विद्युत चुम्बकीय कुंडल में विद्युत प्रतिरोध के साथ-साथ प्रेरकत्व भी होता है। यह परिपथ आरेख पर प्रेरित्र के साथ श्रृंखला में अवरोधक के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस प्रकार, यांत्रिक प्रणाली की सादृश्यता बनाने में पहला कदम इसे यांत्रिक नेटवर्क के रूप में वर्णित करना है, जो कि आदर्श तत्वों के सांस्थितिक ग्राफ के रूप में है। वैकल्पिक, अमूर्त, परिपथ आरेख के लिए प्रतिनिधित्व उदाहरण के लिए बंधन ग्राफ संभव है।

साधारण गुंजयमान यंत्र (शीर्ष) का यांत्रिक नेटवर्क आरेख और इसके लिए संभावित विद्युत सादृश्य (नीचे)

विद्युत नेटवर्क आरेख में, रैखिक प्रणालियों तक सीमित, तीन निष्क्रियता (इंजीनियरिंग) तत्व हैं: प्रतिरोध, प्रेरकत्व और धारिता; और दो सक्रिय तत्व: वोल्टेज स्रोत और वर्तमान स्रोत है। यांत्रिक नेटवर्क आरेख के निर्माण के लिए इन तत्वों के यांत्रिक एनालॉग का उपयोग किया जा सकता है। इन तत्वों के यांत्रिक अनुरूप क्या हैं यह इस बात पर निर्भर करता है कि कौन से वेरिएबल्स मौलिक वेरिएबल्स के रूप में चुने गए हैं। उपयोग किए जा सकने वाले चरों की विस्तृत पसंद है, किन्तु सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला शक्ति संयुग्मी वेरिएबल्स (ऊष्मप्रवैगिकी) (नीचे वर्णित) और इनसे प्राप्त हैमिल्टनियन वेरिएबल्स की जोड़ी है।

इस गांठ वाले तत्व मॉडल की प्रयोज्यता की सीमा है। मॉडल अच्छी तरह से काम करता है अगर घटक इतने छोटे होते हैं कि लहर के लिए उन्हें पार करने में लगने वाला समय नगण्य है, या समकक्ष, अगर घटक के दोनों ओर लहर में कोई महत्वपूर्ण चरण (तरंगें) अंतर नहीं है। कितना महत्वपूर्ण है यह इस बात पर निर्भर करता है कि मॉडल को कितना त्रुटिहीन होना आवश्यक है, किन्तु अंगूठे का सामान्य नियम यह है कि घटकों को तरंग दैर्ध्य के सोलहवें भाग से छोटा होना चाहिए। चूंकि तरंग दैर्ध्य आवृत्ति के साथ घटता है, यह आवृत्ति पर ऊपरी सीमा डालता है जिसे इस तरह के डिजाइन में सम्मिलित किया जा सकता है। यह सीमा यांत्रिक डोमेन में विद्युत डोमेन में समतुल्य सीमा से बहुत कम है। ऐसा इसलिए है क्योंकि विद्युत डोमेन में बहुत अधिक प्रसार गति लंबी तरंग दैर्ध्य (स्टील में यांत्रिक कंपन लगभग 6,000 m/s पर फैलता है, सामान्य केबल प्रकारों में विद्युत चुम्बकीय तरंगें लगभग पर फैलती हैं 2 x 10⁸ m/s) की ओर ले जाती है। उदाहरण के लिए, पारंपरिक यांत्रिक फ़िल्टर केवल लगभग 600 kHz (यद्यपि MEMS डिवाइस अपने बहुत छोटे आकार के कारण बहुत अधिक आवृत्तियों पर काम कर सकते हैं) तक ही बने होते हैं। दूसरी ओर विद्युत क्षेत्र में, एकमुश्त तत्व मॉडल से वितरित तत्व मॉडल में संक्रमण सैकड़ों मेगाहर्ट्ज़ क्षेत्र में होता है।

कुछ स्थितियों में टोपोलॉजिकल नेटवर्क आरेख का उपयोग जारी रखना संभव है, चाहे वितरित तत्व विश्लेषण की आवश्यकता वाले घटक उपस्थित हों। विद्युत डोमेन में, एक संचरण लाइन , बुनियादी वितरित तत्व घटक, विद्युत लंबाई के अतिरिक्त तत्व की शुरूआत के साथ मॉडल में सम्मिलित किया जा सकता है। ट्रांसमिशन लाइन विशेष मामला है क्योंकि यह अपनी लंबाई के साथ अपरिवर्तनीय है और इसलिए पूर्ण ज्यामिति को मॉडल करने की आवश्यकता नहीं है। वितरित तत्वों से निपटने का अन्य विधि परिमित तत्व विश्लेषण का उपयोग करना है जिससे वितरित तत्व को बड़ी संख्या में छोटे गांठ वाले तत्वों द्वारा अनुमानित किया जाता है। मानव कान के कोक्लीअ को मॉडल करने के लिए पेपर में इस तरह के दृष्टिकोण का उपयोग किया गया था। गांठ वाले तत्व मॉडल के अनुप्रयोग के लिए विद्युत प्रणालियों के लिए आवश्यक और शर्त यह है कि घटक के बाहर कोई महत्वपूर्ण क्षेत्र (भौतिकी) उपस्थित नहीं है क्योंकि ये अन्य असंबंधित घटकों के साथ युग्मन (भौतिकी) कर सकते हैं। चूंकि, इन प्रभावों को अक्सर कुछ आभासी ढेलेदार तत्वों को पेश करके तैयार किया जा सकता है जिन्हें आवारा या परजीवी तत्व (विद्युत नेटवर्क) कहा जाता है। यांत्रिक प्रणालियों में इसका एनालॉग घटक में कंपन है जो असंबंधित घटक के साथ जुड़ा हुआ है।

शक्ति संयुग्मी वेरिएबल्स

संयुग्मी वेरिएबल्स (थर्मोडायनामिक्स) वेरिएबल्स की एक जोड़ी है जिसका उत्पाद शक्ति है। विद्युत डोमेन में चुने गए शक्ति संयुग्मी वेरिएबल्स सदैव वोल्टेज (v) और धारा (बिजली) (i) होते हैं। इस प्रकार, यांत्रिक डोमेन में शक्ति संयुग्मी वेरिएबल्स एनालॉग हैं। चूंकि, यह यांत्रिक मौलिक वेरिएबल्स के चुनाव को अद्वितीय बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है। ट्रांसलेशनल (भौतिकी) यांत्रिक प्रणाली के लिए सामान्य पसंद बल (F) और वेग (u) है किन्तु यह एकमात्र विकल्प नहीं है। अलग जोड़ी अलग ज्यामिति वाली प्रणाली के लिए अधिक उपयुक्त हो सकती है, जैसे कि घूर्णी प्रणाली।

यांत्रिक मूलभूत चरों के चुने जाने के बाद भी, एनालॉग्स का अद्वितीय सेट नहीं है। सादृश्य में दो विधि हैं कि दो जोड़ी शक्ति संयुग्मी वेरिएबल्स दूसरे के साथ जुड़े हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, F के साथ v और u का i के साथ जुड़ाव बनाया जा सकता है। चूँकि, v के साथ u और i के साथ F के वैकल्पिक साहचर्य भी संभव हैं। यह समानता के दो वर्गों, प्रतिबाधा अनुरूपता और गतिशीलता अनुरूपता की ओर जाता है। ये उपमाएँ दूसरे के द्वैत (गणित) हैं। ही यांत्रिक नेटवर्क में दो अलग-अलग विद्युत नेटवर्क में एनालॉग होते हैं। ये दो विद्युत नेटवर्क दूसरे के दोहरे प्रतिबाधा हैं।

हैमिल्टनियन वेरिएबल्स

हैमिल्टनियन वेरिएबल्स, जिन्हें ऊर्जा वेरिएबल्स भी कहा जाता है, वे वेरिएबल्स हैं r = (q, p), जो हैमिल्टन के समीकरणों के अनुसार संयुग्मी हैं:

${\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\quad ,\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}=+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}$

इसके अलावा, हैमिल्टनियन वेरिएबल्स के समय के डेरिवेटिव शक्ति संयुग्मी वेरिएबल्स हैं।

विद्युत डोमेन में हैमिल्टनियन वेरिएबल्स बिजली का आवेश (क्यू) और प्रवाह लिंकेज (λ) हैं क्योंकि,

${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}=-{\frac {d\lambda }{dt}}=v$ (फैराडे का आगमन का नियम) और, ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}={\frac {dq}{dt}}=i$

ट्रांसलेशनल यांत्रिक डोमेन में हैमिल्टनियन वेरिएबल्स दूरी विस्थापन (वेक्टर) (एक्स) और संवेग (पी) हैं क्योंकि,

${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial x}}=-{\frac {dp}{dt}}=F$ (न्यूटन की गति का दूसरा नियम) और, ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}={\frac {dx}{dt}}=u$

अन्य उपमाओं और वेरिएबल्स के सेट के लिए समान संबंध है। हैमिल्टनियन वेरिएबल्स को ऊर्जा वेरिएबल्स भी कहा जाता है। हैमिल्टनियन वेरिएबल्स के संबंध में शक्ति संयुग्मी वेरिएबल्स का समाकलन ऊर्जा का माप है। उदाहरण के लिए,

$\int Fdx$ और, $\int udp$

दोनों ऊर्जा के भाव हैं। यांत्रिक डोमेन में उनके समकक्षों के बाद उन्हें सामान्यीकृत गति और सामान्यीकृत विस्थापन भी कहा जा सकता है। कुछ लेखक इस शब्दावली को हतोत्साहित करते हैं क्योंकि यह डोमेन तटस्थ नहीं है। इसी प्रकार, I-टाइप और V-टाइप (धारा और वोल्टेज के बाद) शब्दों के उपयोग को भी हतोत्साहित किया जाता है।

समानता के वर्ग

उपयोग में समानता के दो सिद्धांत वर्ग हैं। प्रतिबाधा सादृश्य (जिसे मैक्सवेल सादृश्य भी कहा जाता है) यांत्रिक, ध्वनिक और विद्युत प्रतिबाधा के बीच समानता को संरक्षित करता है किन्तु नेटवर्क की टोपोलॉजी को संरक्षित नहीं करता है। यांत्रिक नेटवर्क को उसके अनुरूप विद्युत नेटवर्क से अलग विधि से व्यवस्थित किया जाता है। गतिशीलता सादृश्य (जिसे फायरस्टोन सादृश्य भी कहा जाता है) ऊर्जा डोमेन में प्रतिबाधाओं के बीच समानता को खोने की कीमत पर नेटवर्क टोपोलॉजी को संरक्षित करता है। संपूर्ण सादृश्य भी है, जिसे ट्रेंट सादृश्य भी कहा जाता है। विद्युत और यांत्रिक डोमेन के बीच संपूर्ण और संपूर्ण सादृश्य गतिशीलता सादृश्य के समान है। चूँकि, विद्युत और ध्वनिक डोमेन के बीच समानता प्रतिबाधा सादृश्य की तरह है। यांत्रिक और ध्वनिक डोमेन के बीच सादृश्य के माध्यम से और सादृश्य के बीच प्रतिबाधा सादृश्य और गतिशीलता सादृश्य दोनों के साथ दोहरा संबंध है।

यांत्रिक ट्रांसलेशनल और घूर्णी प्रणालियों के लिए अलग-अलग मूलभूत वेरिएबल्स चुने जाते हैं, जिससे प्रत्येक उपमा के लिए दो संस्करण होते हैं। उदाहरण के लिए, रैखिक दूरी ट्रांसलेशनल प्रणाली में विस्थापन वेरिएबल्स है, किन्तु यह घूमने वाली प्रणालियों के लिए उपयुक्त नहीं है जहां इसके अतिरिक्त कोण का उपयोग किया जाता है। ध्वनिक उपमाओं को भी विवरण में तीसरे संस्करण के रूप में सम्मिलित किया गया है। जबकि ध्वनिक ऊर्जा अंततः प्रकृति में यांत्रिक है, इसे साहित्य में अलग ऊर्जा डोमेन, द्रव डोमेन के उदाहरण के रूप में माना जाता है, और इसमें विभिन्न मौलिक वेरिएबल्स होते हैं। इलेक्ट्रोमैकेनिकल ऑडियो सिस्टम को पूरी तरह से प्रस्तुत करने के लिए सभी तीन डोमेन - विद्युत, यांत्रिक और ध्वनिक - के बीच समानताएं आवश्यक हैं।

प्रतिबाधा उपमाएँ

Main article: प्रतिबाधा सादृश्य

प्रतिबाधा अनुरूपता, जिसे मैक्सवेल सादृश्य भी कहा जाता है, प्रयास वेरिएबल्स और प्रवाह वेरिएबल्स के रूप में शक्ति संयुग्मी जोड़ी बनाने वाले दो चरों को वर्गीकृत करता है। ऊर्जा डोमेन में प्रयास वेरिएबल्स यांत्रिक डोमेन में बल के समान वेरिएबल्स है। ऊर्जा डोमेन में प्रवाह वेरिएबल्स यांत्रिक डोमेन में वेग के अनुरूप वेरिएबल्स है। एनालॉग डोमेन में शक्ति कॉन्जुगेट वेरिएबल्स चुने जाते हैं जो बल और वेग के लिए कुछ समानता रखते हैं।

विद्युत क्षेत्र में, प्रयास वेरिएबल्स वोल्टेज है और प्रवाह वेरिएबल्स विद्युत प्रवाह है। वोल्टेज से धारा का अनुपात विद्युत प्रतिरोध (ओम का नियम) है। अन्य डोमेन में प्रयास वेरिएबल्स के प्रवाह वेरिएबल्स के अनुपात को भी प्रतिरोध के रूप में वर्णित किया गया है। दोलन वोल्टेज और धाराएं विद्युत प्रतिबाधा की अवधारणा को जन्म देती हैं जब उनके बीच चरण अंतर होता है। प्रतिबाधा को प्रतिरोध की अवधारणा के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है। प्रतिरोध ऊर्जा अपव्यय से जुड़ा हुआ है। प्रतिबाधा में ऊर्जा भंडारण के साथ-साथ ऊर्जा अपव्यय भी सम्मिलित है।

प्रतिबाधा सादृश्य अन्य ऊर्जा डोमेन (किन्तु विभिन्न इकाइयों में मापा जाता है) में प्रतिबाधा की अवधारणा को जन्म देता है। ट्रांसलेशनल प्रतिबाधा सादृश्य रैखिक आयाम में चलने वाली यांत्रिक प्रणालियों का वर्णन करता है और यांत्रिक प्रतिबाधा के विचार को जन्म देता है। यांत्रिक प्रतिबाधा की इकाई यांत्रिक ओम है; SI इकाइयों में यह N-s/m, या Kg/s है। घूर्णी प्रतिबाधा सादृश्य घूर्णन यांत्रिक प्रणालियों का वर्णन करता है और घूर्णी प्रतिबाधा के विचार को जन्म देता है। एसआई प्रणाली में घूर्णी प्रतिबाधा की इकाई N-m-s/rad है। ध्वनिक प्रतिबाधा सादृश्य ध्वनिक प्रतिबाधा के विचार को जन्म देता है। ध्वनिक प्रतिबाधा की इकाई ध्वनिक ओम है; SI इकाइयों में यह N-s/m⁵ है।

वेरिएबल्स

प्रकार		यांत्रिक अनुवाद वेरिएबल	यांत्रिक घुमाव वेरिएबल	ध्वनिक वेरिएबल	अनुरूप विद्युतीय वेरिएबल
शक्ति संयुग्म जोड़ी	प्रयास वेरिएबल	बल	आघूर्ण बल	दबाव	वोल्टेज
	प्रवाह वेरिएबल	वेग	कोणीय वेग	मात्रा प्रवाह की दर	धारा
हैमिल्टनियन वेरिएबल	प्रयास हैमिल्टन	गति	कोणीय गति	दबाव-गति	प्रवाह लिंकेज
	प्रवाह हैमिल्टन	विस्थापन	कोण	आयतन	आवेश
तत्व		अवमंदन	घूर्णी प्रतिरोध	ध्वनिक प्रतिरोध	प्रतिरोध
		द्रव्यमान	जड़त्व आघूर्ण	ध्वनिक द्रव्यमान	प्रेरकत्व
		अनुरूपता	जड़त्व आघूर्ण	ध्वनिक अनुपालन	धारिता
		यांत्रिक प्रतिबाधा	यांत्रिक प्रतिबाधा	ध्वनिक प्रतिबाधा	विद्युत प्रतिबाधा

गतिशीलता उपमाएँ

Main article: गतिशीलता सादृश्य

गतिशीलता उपमाएँ, जिन्हें फायरस्टोन सादृश्य भी कहा जाता है, प्रतिबाधा उपमाओं के द्वैत (विद्युत परिपथ) हैं। अर्थात्, यांत्रिक डोमेन में प्रयास वेरिएबल्स विद्युत डोमेन में वर्तमान (प्रवाह वेरिएबल्स) के अनुरूप है, और यांत्रिक डोमेन में प्रवाह वेरिएबल्स विद्युत डोमेन में वोल्टेज (प्रयास वेरिएबल्स) के अनुरूप है। यांत्रिक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करने वाला विद्युत नेटवर्क प्रतिबाधा सादृश्य में इसका दोहरा प्रतिबाधा है।

गतिशीलता सादृश्य को प्रवेश द्वारा उसी तरह से चित्रित किया जाता है जिस तरह प्रतिबाधा सादृश्य को प्रतिबाधा द्वारा चित्रित किया जाता है। प्रवेश प्रतिबाधा का बीजगणितीय प्रतिलोम है। यांत्रिक डोमेन में, यांत्रिक प्रवेश को सामान्यतः गतिशीलता कहा जाता है।

वेरिएबल्स

प्रकार		यांत्रिक अनुवाद वेरिएबल्स	Mechanical rotation variable	Acoustical variable	Analogous electrical variable
Power conjugate pair	प्रयास वेरिएबल	बल	आघूर्ण बल	दबाव	Current
	प्रवाह वेरिएबल	वेग	Angular वेग	मात्रा प्रवाह की दर	Voltage
हैमिल्टनियन वेरिएबल	प्रयास हैमिल्टन	गति	Angular गति	दबाव-गति	Charge
	Flow Hamiltonian	विस्थापन	Angle	Volume	Flux linkage
Elements		Responsiveness	Rotational responsiveness	Acoustic conductance	Resistance
		Mass	जड़त्व आघूर्ण	Acoustic mass	धारिता
		Compliance	जड़त्व आघूर्ण	ध्वनिक अनुपालन	प्रेरकत्व
		Mobility	Rotational mobility	Acoustic admittance	विद्युत प्रतिबाधा

उपमाओं के माध्यम से और भर में

उपमाओं के माध्यम से और भर में, जिसे ट्रेंट सादृश्य भी कहा जाता है, दो चरों को वर्गीकृत करता है जो शक्ति संयुग्मी जोड़ी को एक भर वेरिएबल्स और एक के माध्यम से वेरिएबल्स के रूप में वर्गीकृत करता है। संपूर्ण वेरिएबल्स वेरिएबल्स है जो तत्व के दो टर्मिनलों में दिखाई देता है। संपूर्ण वेरिएबल्स को तत्व टर्मिनलों के सापेक्ष मापा जाता है। थ्रू वेरिएबल वेरिएबल है जो किसी तत्व से होकर गुजरता है, या उसके माध्यम से कार्य करता है, अर्थात तत्व के दोनों टर्मिनलों पर इसका मान समान होता है। थ्रू और ओवर सादृश्य का लाभ यह है कि जब थ्रू हैमिल्टनियन वेरिएबल्स को संरक्षित मात्रा के रूप में चुना जाता है, तो किरचॉफ के परिपथ नियम | किरचॉफ के नोड नियम का उपयोग किया जा सकता है, और मॉडल में वास्तविक प्रणाली के समान टोपोलॉजी होगी।

इस प्रकार, विद्युत डोमेन में संपूर्ण वेरिएबल्स वोल्टेज है और वेरिएबल्स के माध्यम से वर्तमान है। यांत्रिक डोमेन में समान वेरिएबल्स वेग और बल हैं, जैसा कि गतिशीलता सादृश्य में है। ध्वनिक प्रणाली में, दबाव वेरिएबल्स है क्योंकि दबाव को तत्व के दो टर्मिनलों के सापेक्ष मापा जाता है, पूर्ण दबाव के रूप में नहीं। इस प्रकार यह बल के अनुरूप नहीं है जो कि वेरिएबल्स के माध्यम से है, चाहे दबाव प्रति क्षेत्र बल की इकाइयों में हो। बल तत्व के माध्यम से कार्य करते हैं; शीर्ष पर लगाए गए बल के साथ छड़ उसी बल को उसके तल से जुड़े तत्व तक पहुंचाती है। इस प्रकार, सादृश्य के माध्यम से और भर में यांत्रिक डोमेन गतिशीलता सादृश्य की तरह विद्युत डोमेन के अनुरूप है, किन्तु ध्वनिक डोमेन प्रतिबाधा सादृश्य की तरह विद्युत डोमेन के अनुरूप है।

वेरिएबल्स

प्रकार		Mechanical translation variable	Mechanical rotation variable	Acoustical variable	Analogous electrical variable
Power conjugate pair	Across variable	वेग	Angular वेग	दबाव	Voltage
	Through variable	बल	आघूर्ण बल	मात्रा प्रवाह की दर	Current
हैमिल्टनियन वेरिएबल	Across Hamiltonian	विस्थापन	Angle	दबाव-गति	Flux linkage
	Through Hamiltonian	Linear गति	Angular गति	Volume	Charge

अन्य ऊर्जा डोमेन

विद्युत समानता को कई अन्य ऊर्जा डोमेनों तक बढ़ाया जा सकता है। सेंसर और एक्चुएटर्स के क्षेत्र में, और उनका उपयोग करने वाली नियंत्रण प्रणाली इंजीनियरिंग के लिए, यह संपूर्ण प्रणाली के विद्युत सादृश्य को विकसित करने के लिए विश्लेषण का सामान्य विधि है। चूंकि सेंसर किसी भी ऊर्जा डोमेन में वेरिएबल्स को महसूस कर सकते हैं, और इसी तरह सिस्टम से आउटपुट किसी भी ऊर्जा डोमेन में हो सकते हैं, सभी ऊर्जा डोमेन के लिए समानताएं आवश्यक हैं। निम्न तालिका समानताएं बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे सामान्य शक्ति संयुग्मी वेरिएबल्स का सारांश देती है।

Energy domain analogies

Energy domain	प्रयास वेरिएबल	प्रवाह वेरिएबल
Electrical	Voltage	Current
Mechanical	बल	वेग
Fluid	दबाव	मात्रा प्रवाह की दर
Thermal	Temperature difference	Entropy flow rate
Magnetic	Magnetomotive बल (mmf)	Magnetic flux rate of change
Chemical	Chemical potential	Molar flow rate

थर्मल डोमेन में तापमान और थर्मल शक्ति को मौलिक वेरिएबल्स के रूप में चुनना शायद अधिक आम है क्योंकि एंट्रॉपी के विपरीत, उन्हें सीधे मापा जा सकता है। थर्मल प्रतिरोध की अवधारणा इस सादृश्य पर आधारित है। चूँकि, ये शक्ति संयुग्मी वेरिएबल्स नहीं हैं और तालिका में अन्य वेरिएबल्स के साथ पूरी तरह से संगत नहीं हैं। कई डोमेन में एकीकृत विद्युत सादृश्य जिसमें यह तापीय सादृश्य सम्मिलित है, ऊर्जा प्रवाह को सही ढंग से मॉडल नहीं करेगा। इसी तरह, मौलिक वेरिएबल्स के रूप में एमएमएफ और चुंबकीय प्रवाह का उपयोग करते हुए सामान्यतः देखा जाने वाला सादृश्य, जो चुंबकीय अनिच्छा की अवधारणा को जन्म देता है, सही ढंग से ऊर्जा प्रवाह का मॉडल नहीं करता है। वेरिएबल्स जोड़ी एमएमएफ और चुंबकीय प्रवाह शक्ति संयुग्मी जोड़ी नहीं है। इस अनिच्छा मॉडल को कभी-कभी अनिच्छा-प्रतिरोध मॉडल कहा जाता है क्योंकि यह इन दो मात्राओं को समान बनाता है। तालिका में दिखाया गया सादृश्य, जो शक्ति संयुग्मी जोड़ी का उपयोग करता है, को कभी-कभी गाइरेटर-संधारित्र मॉडल कहा जाता है।

ट्रांसड्यूसर

ट्रांसड्यूसर उपकरण है जो डोमेन से इनपुट के रूप में ऊर्जा लेता है और इसे आउटपुट के रूप में दूसरे ऊर्जा डोमेन में परिवर्तित करता है। वे अक्सर प्रतिवर्ती होते हैं, किन्तु उस तरह से शायद ही कभी उपयोग किए जाते हैं। ट्रांसड्यूसर के कई उपयोग हैं और कई प्रकार हैं, इलेक्ट्रोमैकेनिकल सिस्टम में उन्हें एक्चुएटर और सेंसर के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। ऑडियो इलेक्ट्रॉनिक्स में वे विद्युत और ध्वनिक डोमेन के बीच रूपांतरण प्रदान करते हैं। ट्रांसड्यूसर यांत्रिक और विद्युत डोमेन के बीच लिंक प्रदान करता है और इस प्रकार एकीकृत विद्युत सादृश्य विकसित करने के लिए इसके लिए नेटवर्क प्रतिनिधित्व की आवश्यकता होती है। ऐसा करने के लिए विद्युत डोमेन से पोर्ट (परिपथ सिद्धांत) की अवधारणा को अन्य डोमेन में विस्तारित किया गया है। ट्रांसड्यूसर के पास (कम से कम) दो पोर्ट, पोर्ट यांत्रिक डोमेन में और विद्युत डोमेन में, और विद्युत टू-पोर्ट नेटवर्क के अनुरूप हैं। इसकी तुलना अब तक चर्चा किए गए तत्वों से की जानी है जो सभी एक-बंदरगाह हैं। दो-पोर्ट नेटवर्क को 2×2 मैट्रिक्स के रूप में, या समकक्ष रूप से, दो निर्भर जनरेटर और दो प्रतिबाधा या प्रवेश के नेटवर्क के रूप में दर्शाया जा सकता है। इन अभ्यावेदन के छह विहित रूप हैं: प्रतिबाधा पैरामीटर, श्रृंखला पैरामीटर, हाइब्रिड पैरामीटर और उनके मैट्रिक्स व्युत्क्रम। उनमें से कोई भी इस्तेमाल किया जा सकता है। चूंकि, अनुरूप वेरिएबल्स (उदाहरण के लिए प्रतिबाधा सादृश्य में अन्य प्रयास वेरिएबल्स के लिए प्रयास वेरिएबल्स) के बीच परिवर्तित निष्क्रिय ट्रांसड्यूसर का प्रतिनिधित्व ट्रांसफार्मर के साथ निर्भर जनरेटर को बदलकर सरल किया जा सकता है। दूसरी ओर, ट्रांसड्यूसर जो गैर-समान शक्ति संयुग्मी वेरिएबल्स को परिवर्तित करता है, ट्रांसफार्मर द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। ऐसा करने वाले विद्युत डोमेन में दो-पोर्ट तत्व को जाइरेटर कहा जाता है। यह डिवाइस वोल्टेज को धारा और धारा को वोल्टेज में बदलता है। सादृश्य से, ट्रांसड्यूसर जो ऊर्जा डोमेन के बीच गैर-समान वेरिएबल्स को परिवर्तित करता है, उसे गाइरेटर भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, विद्युत चुम्बकीय ट्रांसड्यूसर वर्तमान को बल और वेग को वोल्टेज में परिवर्तित करते हैं। प्रतिबाधा सादृश्य में ऐसा ट्रांसड्यूसर जाइरेटर है। क्या ट्रांसड्यूसर जाइरेटर है या ट्रांसफॉर्मर सादृश्य से संबंधित है; गतिशीलता सादृश्य में ही विद्युत चुम्बकीय ट्रांसड्यूसर ट्रांसफार्मर है क्योंकि यह अनुरूप वेरिएबल्स के बीच परिवर्तित हो रहा है।

इतिहास

जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने विद्युत परिघटनाओं की बहुत विस्तृत यांत्रिक उपमाएँ विकसित कीं। वह वोल्टेज (1873) के साथ बल को जोड़ने वाले पहले व्यक्ति थे और इसके परिणामस्वरूप सामान्यतः प्रतिबाधा सादृश्य को स्थापित करने का श्रेय दिया जाता है। यह जल्द से जल्द यांत्रिक-विद्युत सादृश्य था। चूंकि, प्रतिबाधा शब्द 1886 तक गढ़ा नहीं गया था, मैक्सवेल की मृत्यु के लंबे समय बाद, ओलिवर हीविसाइड द्वारा। जटिल प्रतिबाधा का विचार 1893 में आर्थर ई. केनेली द्वारा पेश किया गया था, और प्रतिबाधा की अवधारणा को 1920 तक केनेली और आर्थर गॉर्डन वेबस्टर द्वारा यांत्रिक डोमेन में विस्तारित नहीं किया गया था। इस सादृश्य के निर्माण में मैक्सवेल का उद्देश्य विद्युत नेटवर्क के संदर्भ में यांत्रिक प्रणालियों का प्रतिनिधित्व करना नहीं था। बल्कि, यह अधिक परिचित यांत्रिक शब्दों में विद्युतीय परिघटनाओं की व्याख्या करना था। जब जॉर्ज एशले कैंपबेल ने पहली बार 1899 में टेलीफोन लाइनों को बेहतर बनाने के लिए लोडिंग कॉइल्स के उपयोग का प्रदर्शन किया, तो उन्होंने समय-समय पर भार के साथ भरी हुई यांत्रिक लाइनों पर चार्ल्स गॉडफ्रे के काम के अनुरूप कॉइल्स के बीच आवश्यक दूरी की गणना की। जैसे-जैसे विद्युत घटनाएँ इस सादृश्य के विपरीत को बेहतर ढंग से समझने लगीं, यांत्रिक प्रणालियों की व्याख्या करने के लिए विद्युत उपमाओं का उपयोग करना अधिक सामान्य होने लगा। दरअसल, विद्युत विश्लेषण के लुम्प्ड तत्व सार टोपोलॉजी में यांत्रिक डोमेन और उस स्थिति के लिए अन्य ऊर्जा डोमेन में समस्याएं पेश करने के लिए बहुत कुछ है। 1900 तक यांत्रिक डोमेन की विद्युत सादृश्यता आम होती जा रही थी। लगभग 1920 से विद्युत सादृश्य मानक विश्लेषण उपकरण बन गया। वन्नेवर बुश एनालॉग कंप्यूटर के अपने विकास में इस तरह के मॉडलिंग के अग्रणी थे, और इस पद्धति की सुसंगत प्रस्तुति क्लिफर्ड ए निकल द्वारा 1925 के पेपर में प्रस्तुत की गई थी। यांत्रिक और ध्वनिक प्रणालियों के लिए नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत परिपथ), विशेष रूप से फ़िल्टर सिद्धांत के नए विकसित क्षेत्र के अनुप्रयोग ने प्रदर्शन में भारी सुधार किया। वॉरेन पी. मेसन के अनुसार शिप इलेक्ट्रिक फॉगहॉर्न की दक्षता प्रतिशत से भी कम बढ़कर 50 प्रतिशत हो गई। यांत्रिक ग्रामोफ़ोन की बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) तीन से पांच सप्तक तक बढ़ी जब ध्वनि संचरण के यांत्रिक भागों को इस तरह डिजाइन किया गया जैसे कि वे इलेक्ट्रिक फिल्टर के तत्व हों (यह भी देखें) Mechanical filter § Sound reproduction). उल्लेखनीय रूप से, ही समय में रूपांतरण दक्षता में सुधार हुआ था (एम्पलीफायर सिस्टम के साथ सामान्य स्थिति यह है कि लाभ (इलेक्ट्रॉनिक्स) को बैंडविड्थ के लिए कारोबार किया जा सकता है जैसे कि लाभ-बैंडविड्थ उत्पाद स्थिर रहता है)। 1933 में फ़्लॉइड ए. फायरस्टोन ने नया सादृश्य, गतिशीलता सादृश्य प्रस्तावित किया, जिसमें बल वोल्टेज के अतिरिक्त धारा के अनुरूप होता है। फायरस्टोन ने इस पत्र में वेरिएबल्स के पार और उसके माध्यम से अवधारणा पेश की और अन्य ऊर्जा डोमेन में समानता को विस्तारित करने के लिए संरचना प्रस्तुत की। 1955 में होरेस एम. ट्रेंट द्वारा बल-धारा सादृश्य की भिन्नता प्रस्तावित की गई थी और यह वह संस्करण है जो सामान्यतः सादृश्य के माध्यम से और उसके पार होता है। ट्रेंट ने नेटवर्क का प्रतिनिधित्व करने के लिए रेखीय ग्राफ पद्धति का उपयोग किया, जिसके परिणामस्वरूप बल-वर्तमान सादृश्य ऐतिहासिक रूप से रैखिक रेखांकन से जुड़ा हुआ है। बल-वोल्टेज सादृश्य ऐतिहासिक रूप से बांड ग्राफ अभ्यावेदन के साथ प्रयोग किया जाता है, जिसे 1960 में हेनरी पयंटर द्वारा पेश किया गया था, चूंकि, वांछित होने पर किसी भी प्रतिनिधित्व के साथ सादृश्य का उपयोग करना संभव है।

यह भी देखें

• अनुरूप मॉडल
• लोच में उपमाओं में ओलिवर हीविसाइड की भूमिका के बारे में जानकारी सम्मिलित है
• teledeltos
• हाइड्रोलिक सादृश्य

ग्रन्थसूची

• Agarwal, Anant; Lang, Jeffrey, Foundations of Analog and Digital Electronic Circuits, Morgan Kaufmann, 2005 ISBN 008050681X.
• Barron, Randall F., Industrial Noise Control and Acoustics, CRC Press, 2002 ISBN 0203910087.
• Beranek, Leo Leroy; Mellow, Tim J., Acoustics: Sound Fields and Transducers, Academic Press, 2012 ISBN 0123914213.
• Bishop, Robert H., Mechatronics: An Introduction, CRC Press, 2005 ISBN 1420037242.
• Borutzky, Wolfgang, Bond Graph Methodology, Springer, 2009 ISBN 1848828829.
• Busch-Vishniac, Ilene J., Electromechanical Sensors and Actuators, Springer Science & Business Media, 1999 ISBN 038798495X.
• Care, Charles, Technology for Modelling: Electrical Analogies, Engineering Practice, and the Development of Analogue Computing, Springer, 2010 ISBN 1848829485.
• Carr, Joseph J. RF Components and Circuits, Oxford: Newnes, 2002 ISBN 0750648449.
• Chan, Shu-Park, "Circuits: Introduction", pp. 2–4, in Dorf, Richard C. (ed), The Electrical Engineering Handbook, CRC Press, 1997 ISBN 1420049763.
• Cheeke, David N., Fundamentals and Applications of Ultrasonic Waves, CRC Press, 2012 ISBN 143985498X.
• Darlington, S, "A history of network synthesis and filter theory for circuits composed of resistors, inductors, and capacitors", IEEE Transactions on Circuits and Systems, vol. 31, pp. 3–13, 1984.
• de Silva, Clarence W., Vibration: Fundamentals and Practice, CRC Press, 2006 ISBN 0849319870.
• Eargle, John, Loudspeaker Handbook, Kluwer Academic Publishers, 2003 ISBN 1402075847.
• Firestone, Floyd A., "A new analogy between mechanical and electrical system elements", The Journal of the Acoustical Society of America, vol. 3, pp. 249–267, 1933.
• Froehlich, Fritz E.; Kent, Allen, The Froehlich/Kent Encyclopedia of Telecommunications, CRC Press, 1991 ISBN 0824729021.
• Fukazawa, Tatsuya; Tanaka, Yasuo, "Evoked otoacoustic emissions in a cochlear model", pp. 191–196 in Hohmann, D. (ed), ECoG, OAE and Intraoperative Monitoring: Proceedings of the First International Conference, Würzburg, Germany, September 20–24, 1992, Kugler Publications, 1993 ISBN 9062990975.
• Hamill, David C., "Lumped equivalent circuits of magnetic components: the gyrator-capacitor approach", IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 8, iss. 2, pp. 97–103.
• Hunt, Frederick V., Electroacoustics: the Analysis of Transduction, and its Historical Background, Harvard University Press, 1954 OCLC 2042530.
• Jackson, Roger G., Novel Sensors and Sensing, CRC Press, 2004 ISBN 1420033808.
• Janschek, Klaus, Mechatronic Systems Design, Springer, 2011 ISBN 3642175317.
• Joines, William T.; Palmer, W. Devereux; Bernhard, Jennifer T., Microwave Transmission Line Circuits, Artech House, 2013 ISBN 1608075699.
• Kleiner, Mendel, Electroacoustics, CRC Press, 2013 ISBN 1439836183.
• Lenk, Arno; G. Ballas, Rüdiger; Werthschützky, Roland; Pfeifer, Günther, Electromechanical Systems in Microtechnology and Mechatronics, Springer, 2010 ISBN 3642108067.
• Lurie, Boris; Enright, Paul, Classical Feedback Control, CRC Press, 2011 ISBN 1439860173.
• Martinsen, Orjan G.; Grimnes, Sverre, Bioimpedance and Bioelectricity Basics, Academic Press, 2011 ISBN 0080568807.
• Mason, Warren P., "Electrical and mechanical analogies", Bell System Technical Journal, vol. 20, no. 4, pp. 405–414, October 1941.
• Myers, Rusty L., The Basics of Physics, Greenwood Publishing Group, 2006 ISBN 0313328579.
• Paynter, Henry M., Analysis and Design of Engineering Systems, MIT Press, 1961 OCLC 1670711.
• Radmanesh, Matthew M., Electronic Waves & Transmission Line Circuit Design, Author House, 2011 ISBN 1456752324.
• Regtien, Paul P. L., Sensors for Mechatronics, Elsevier, 2012 ISBN 0123944090.
• Seely, Samuel; Tarnoff, Norman H.; Holstein, David, Digital Computers in Engineering, Holt, Rinehart and Winston, 1970 OCLC 92614.
• Semmlow, John, Signals and Systems for Bioengineers, Academic Press, 2012 ISBN 0123849829.
• Sen, S. N., Acoustics, Waves and Oscillations, New Age International, 1990 ISBN 8122402666.
• Smith, Malcolm C., "Synthesis of mechanical networks: the inerter", IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 47, iss. 10, pp. 1648–1662, October 2002.
• Trent, Horace M., "Isomorphisms between oriented linear graphs and lumped physical systems", The Journal of the Acoustical Society of America, vol. 27, pp. 500–526, 1955.
• White, Curt, Data Communications and Computer Networks, Cengage Learning, 2012 ISBN 1285225864.