अनंत विभाज्यता

दर्शनशास्त्र भौतिकी में अर्थशास्त्र सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो संभाव्यता सिद्धांत में विभिन्न तरीकों से अनंत विभाज्यता उत्पन्न करती है इसमें अनंत विभाज्यता पदार्थ स्थान समय धन या अमूर्त गणितीय वस्तुओं जैसे सातत्य सिद्धांत की बात की गई है।

दर्शन में

दर्शन की उत्पत्ति 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में प्राचीन यूनानी पूर्व-ईश्वरीय दार्शनिक डेमोक्रिटस और उनके शिक्षक ल्यूसिपस के साथ शुरू हुई जिन्होंने कहा कि पदार्थ की विभाज्यता को इंद्रियों द्वारा समझा जा सकता है जब तक कि एक परमाणु अविभाज्य समाप्त नहीं हो जाता भारतीय दार्शनिक महर्षि कणाद ने भी एक परमाणु सिद्धांत का प्रस्ताव दिया था जबकि इस दार्शनिक के रहने के समय के बारे में अस्पष्टता है जो 6 वीं शताब्दी से लेकर दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व के बीच के समय तक थी लगभग 500 ईसा पूर्व उन्होंने कहा कि यदि हम पदार्थ को विभाजित करते हैं तो हमें छोटे-छोटे कण प्राप्त होंगे अंतत: एक समय ऐसा आयेगा जब हम छोटे-छोटे कणों से भी मिल जायेंगे जिनके आगे और विभाजन संभव नहीं होगा उन्होंने इन कणों का नाम परमाणु रखा एक अन्य भारतीय दार्शनिक पाकुधा कच्छायन ने इस सिद्धांत को विस्तृत किया और कहा कि ये कण सामान्य रूप से एक संयुक्त रूप में एकत्रित होते हैं जो हमें पदार्थ के विभिन्न रूप प्रदान करते हैं प्लेटो के संवाद में परमाणुवाद का पता लगाया गया है कि अरस्तू ने बताया कि लंबाई और समय दोनों ही असीम रूप से विभाज्य हैं तथा परमाणुवाद का खंडन करते हैं एंड्रयू पाइल दार्शनिक अपने परमाणुवाद और इसके आलोचकों के पहले कुछ पन्नों में अनंत विभाज्यता का एक स्पष्ट विवरण देता है वहाँ वह दिखाता है कि कैसे अनंत विभाज्यता में यह विचार सम्मिलित है कि कुछ विस्तारित वस्तु है जैसे कि एक सेब जिसे कई बार असीम रूप से विभाजित किया जा सकता है जहाँ कोई कभी नीचे की ओर या किसी भी प्रकार के परमाणुओं में विभाजित नहीं होता है कई पेशेवर दार्शनिक का दावा है कि अनंत विभाज्यता में या तो वस्तुओं की अनंत संख्या का संग्रह सम्मिलित है या बिंदु-आकार वाले काम या दोनों पाइल का कहना है कि असीम रूप से विभाज्य प्रारूप के गणित में इनमें से कोई भी सम्मिलित नहीं हैं बल्कि अनंत विभाजन हैं तथा वस्तुओं का सीमित संग्रह है और वे कभी भी बिंदु विस्तार-कम वस्तुओं में विभाजित नहीं होते हैं।

Zeno's reasoning, however, is fallacious, when he says that if everything when it occupies an equal space is at rest, and if that which is in locomotion is always occupying such a space at any moment, the flying arrow is therefore motionless. This is false, for time is not composed of indivisible moments any more than any other magnitude is composed of indivisibles.

— Aristotle, Physics VI:9, 239b5

उड़ान में तीर के ज़ेनो के विरोधाभास के संदर्भ में, अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड लिखते हैं कि बनने की असीमित संख्या एक सीमित समय में हो सकती है यदि प्रत्येक अनुवर्ती कार्य अभिसारी श्रृंखला में छोटा हो:

The argument, so far as it is valid, elicits a contradiction from the two premises: (i) that in a becoming something (res vera) becomes, and (ii) that every act of becoming is divisible into earlier and later sections which are themselves acts of becoming. Consider, for example, an act of becoming during one second. The act is divisible into two acts, one during the earlier half of the second, the other during the later half of the second. Thus that which becomes during the whole second presupposes that which becomes during the first half-second. Analogously, that which becomes during the first half-second presupposes that which becomes during the first quarter-second, and so on indefinitely. Thus if we consider the process of becoming up to the beginning of the second in question, and ask what then becomes, no answer can be given. For, whatever creature we indicate presupposes an earlier creature which became after the beginning of the second and antecedently to the indicated creature. Therefore there is nothing which becomes, so as to effect a transition into the second in question.

— A.N. Whitehead, Process and Reality

क्वांटम भौतिकी में

क्वांटम यांत्रिकी की खोज तक, इस सवाल के बीच कोई अंतर नहीं किया गया था कि क्या पदार्थ असीम रूप से विभाज्य है और क्या पदार्थ को अनंत काल तक छोटे भागों में काटा जा सकता है।

नतीजतन, ग्रीक शब्द एटमोस (ἄτομος), जिसका शाब्दिक अर्थ है अविभाज्य, आमतौर पर अविभाज्य के रूप में अनुवादित होता है। जबकि आधुनिक परमाणु वास्तव में विभाज्य है, यह वास्तव में अकाट्य है: अंतरिक्ष के एक सेट का कोई विभाजन नहीं है जैसे कि इसके भाग परमाणु के भौतिक भागों के अनुरूप हों। दूसरे शब्दों में, पदार्थ का क्वांटम-मैकेनिकल विवरण अब कुकी कटर प्रतिमान के अनुरूप नहीं है। यह पदार्थ की विभाज्यता के प्राचीन तर्क पर ताजा प्रकाश डालता है। एक भौतिक वस्तु की बहुलता - इसके भागों की संख्या - अस्तित्व पर निर्भर करती है, परिसीमन सतहों की नहीं, बल्कि आंतरिक स्थानिक संबंधों (भागों के बीच सापेक्ष स्थिति) की, और इनमें मूल्यों का निर्धारण नहीं होता है। कण भौतिकी के [[मानक मॉडल]] के अनुसार, परमाणु बनाने वाले कण - क्वार्क और इलेक्ट्रॉन - बिंदु कण होते हैं: वे स्थान नहीं घेरते हैं। जो चीज़ एक परमाणु को फिर भी जगह घेरती है, वह कोई स्थानिक रूप से विस्तारित सामान नहीं है जो जगह घेरता है, और जो छोटे और छोटे टुकड़ों में काटा जा सकता है, लेकिन इसके आंतरिक स्थानिक संबंधों की क्वांटम अनिश्चितता है।

भौतिक स्थान को अक्सर असीम रूप से विभाज्य माना जाता है: ऐसा माना जाता है कि अंतरिक्ष में कोई भी क्षेत्र, चाहे वह कितना भी छोटा क्यों न हो, आगे विभाजित हो सकता है। इसी प्रकार समय को अपरिमित रूप से विभाज्य माना गया है।

हालाँकि भौतिकी में वर्तमान में स्वीकृत सर्वोत्तम सिद्धांत के अनुसार, मानक मॉडल, एक दूरी है (प्लैंक लंबाई, 1.616229(38)×10^-35 मीटर, क्वांटम थ्योरी, मैक्स प्लैंक के पिताओं में से एक के नाम पर) और इसलिए एक समय अंतराल (निर्वात में उस दूरी को पार करने में प्रकाश को जितना समय लगता है, 5.39116(13) × 10^-44 सेकंड, जिसे प्लैंक समय के रूप में जाना जाता है) जिस पर मानक मॉडल के टूटने की उम्मीद है - प्रभावी रूप से यह सबसे छोटा भौतिक पैमाना है जिसके बारे में वर्तमान में सार्थक बयान दिए जा सकते हैं। अंतरिक्ष-समय और कम दूरी पर मौलिक कणों के भौतिक व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए क्वांटम गुरुत्वाकर्षण के एक नए सिद्धांत की आवश्यकता होती है, जो क्वांटम यांत्रिकी और सामान्य सापेक्षता के अब तक के असंगत सिद्धांतों को एकीकृत करता है।

अर्थशास्त्र में

एक डॉलर, या एक यूरो, 100 सेंट में बांटा गया है; कोई केवल एक प्रतिशत की वृद्धि में भुगतान कर सकता है। कुछ वस्तुओं की कीमतों के लिए यह काफी सामान्य है जैसे कि गैसोलीन प्रति गैलन या प्रति लीटर के दसवें हिस्से की वृद्धि में होना। यदि गैसोलीन की कीमत $3.979 प्रति गैलन है और कोई 10 गैलन खरीदता है, तो अतिरिक्त 9/10 प्रतिशत का दस गुना आता है: अतिरिक्त 9 सेंट, इसलिए उस मामले में प्रतिशत का भुगतान किया जाता है। धन इस अर्थ में अपरिमित रूप से विभाज्य है कि यह वास्तविक संख्या प्रणाली पर आधारित है। हालाँकि, आधुनिक दिन के सिक्के विभाज्य नहीं हैं (अतीत में कुछ सिक्कों को प्रत्येक लेनदेन के साथ तौला जाता था, और उन्हें किसी विशेष सीमा को ध्यान में रखते हुए विभाज्य माना जाता था)। प्रत्येक लेन-देन में सटीकता का एक बिंदु होता है जो बेकार है क्योंकि इतनी कम मात्रा में धन मनुष्य के लिए महत्वहीन है। जितनी अधिक कीमत गुणा की जाती है उतनी ही अधिक सटीकता मायने रख सकती है। उदाहरण के लिए, स्टॉक के एक लाख शेयर खरीदते समय, खरीदार और विक्रेता को दस प्रतिशत मूल्य अंतर के दसवें हिस्से में दिलचस्पी हो सकती है, लेकिन यह केवल एक विकल्प है। व्यापार माप और पसंद में बाकी सब कुछ समान रूप से इस हद तक विभाज्य है कि पार्टियां रुचि रखती हैं। उदाहरण के लिए, वित्तीय रिपोर्ट वार्षिक, त्रैमासिक या मासिक रिपोर्ट की जा सकती है। कुछ व्यवसाय प्रबंधक प्रति दिन एक से अधिक बार कैश-फ्लो रिपोर्ट चलाते हैं।

हालांकि समय असीम रूप से विभाज्य हो सकता है, प्रतिभूतियों की कीमतों पर डेटा असतत समय पर रिपोर्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई 1920 के दशक में स्टॉक की कीमतों के रिकॉर्ड को देखता है, तो उसे प्रत्येक दिन के अंत में कीमतें मिल सकती हैं, लेकिन शायद दोपहर 12:47 के बाद एक सेकंड के तीन-सौवें हिस्से पर नहीं। एक नई विधि, हालांकि, सैद्धांतिक रूप से, दोगुनी दर से रिपोर्ट कर सकती है, जो रिपोर्टिंग के वेग को और बढ़ने से नहीं रोक पाएगी। शायद विरोधाभासी रूप से, वित्तीय बाजारों पर लागू तकनीकी गणित अक्सर सरल होता है यदि असीम रूप से विभाज्य समय को सन्निकटन के रूप में उपयोग किया जाता है। यहां तक ​​​​कि उन मामलों में, एक सटीक चुना जाता है जिसके साथ काम करना है, और माप उस सन्निकटन के लिए गोल किए जाते हैं। मानवीय अंतःक्रिया के संदर्भ में, धन और समय विभाज्य हैं, लेकिन केवल उस बिंदु तक जहाँ आगे विभाजन मूल्य का नहीं है, किस बिंदु का सटीक निर्धारण नहीं किया जा सकता है।

क्रम सिद्धांत में

यह कहना कि परिमेय संख्याओं का क्षेत्र (गणित) असीम रूप से विभाज्य है (अर्थात सैद्धांतिक रूप से सघन सेट का क्रम) का अर्थ है कि किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच एक और परिमेय संख्या है। इसके विपरीत, पूर्णांकों का वलय (गणित) असीम रूप से विभाज्य नहीं है।

अनंत विभाज्यता का मतलब अंतरहीनता नहीं है: तर्कसंगत अंतिम का आनंद नहीं लेते हैं। इसका मतलब यह है कि यदि कोई एक सेट के परिमेय को दो गैर-खाली सेट ए और बी में विभाजित करता है, जहां ए में कुछ अपरिमेय संख्या (पी | π, कहते हैं) से कम परिमेय होते हैं और बी सभी परिमेय इससे अधिक होते हैं, तो ए के पास कोई सबसे बड़ा सदस्य नहीं है और B का कोई सबसे छोटा सदस्य नहीं है। वास्तविक संख्या का क्षेत्र, इसके विपरीत, असीम रूप से विभाज्य और अंतराल रहित दोनों है। कोई भी कुल क्रम जो असीम रूप से विभाज्य और अंतराल रहित है, और एक से अधिक सदस्य हैं, बेशुमार सेट हैं। प्रमाण के लिए, कैंटर का पहला बेशुमार प्रमाण देखें। केवल अनंत विभाज्यता का तात्पर्य अनंतता से है, लेकिन बेशुमार नहीं, जैसा कि परिमेय संख्याओं का उदाहरण है।

संभाव्यता वितरण में

Main article: infinite divisibility (probability)

यह कहना कि वास्तविक रेखा पर संभाव्यता वितरण F 'असीम रूप से विभाज्य' है, का अर्थ है कि यदि X कोई यादृच्छिक चर है जिसका वितरण F है, तो प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए n सांख्यिकीय स्वतंत्रता समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर X मौजूद है।₁, ..., एक्स_n जिसका योग X के वितरण के बराबर है (उन n अन्य यादृच्छिक चर में आमतौर पर X के समान संभाव्यता वितरण नहीं होता है)।

पोइसन वितरण, हकलाने वाला पॉसों वितरण, ऋणात्मक द्विपद वितरण, और गामा वितरण असीम रूप से विभाज्य वितरण के उदाहरण हैं - जैसा कि सामान्य वितरण, कॉची वितरण और स्थिर वितरण परिवार के अन्य सभी सदस्य हैं। तिरछा सामान्य वितरण | तिरछा-सामान्य वितरण गैर-अपरिमित विभाज्य वितरण का एक उदाहरण है। (डोमिंग्वेज़-मोलिना और रोचा-अर्टेगा (2007) देखें।)

प्रत्येक असीम रूप से विभाज्य संभाव्यता वितरण प्राकृतिक तरीके से लेवी प्रक्रिया से मेल खाता है, अर्थात, एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया {X_t: t ≥ 0 } स्थिर स्वतंत्र वेतन वृद्धि के साथ (स्थिर का अर्थ है कि s < t के लिए, X का प्रायिकता वितरण_t - एक्स_s केवल टी - एस पर निर्भर करता है; स्वतंत्र वेतन वृद्धि का अर्थ है कि यह अंतर किसी भी अंतराल पर संबंधित अंतर की सांख्यिकीय स्वतंत्रता है जो [एस, टी] के साथ अतिव्यापी नहीं है, और इसी तरह अंतराल की किसी भी परिमित संख्या के लिए)।

संभाव्यता वितरण की अनंत विभाज्यता की यह अवधारणा 1929 में ब्रूनो डी फिनेची द्वारा पेश की गई थी।

यह भी देखें

• विभाज्य समूह, एक गणितीय समूह जिसमें प्रत्येक तत्व किसी अन्य तत्व का एक मनमाना गुणक है
• अपघटनीय वितरण
• सलामी टुकड़ा करना
• ज़ेनो का विरोधाभास

संदर्भ

• Domínguez-Molina, J.A.; Rocha-Arteaga, A. (2007) "On the Infinite Divisibility of some Skewed Symmetric Distributions". Statistics and Probability Letters, 77 (6), 644–648 doi:10.1016/j.spl.2006.09.014

बाहरी संबंध

• Infinite Hierarchical Nesting of Matter (translation of Russian Wikipedia page)