विभाज्य समूह

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत के क्षेत्र में, विभाज्य समूह एबेलियन समूह होता है जिसमें प्रत्येक तत्व, किसी अर्थ में, धनात्मक पूर्णांकों द्वारा विभाजित किया जा सकता है, या अधिक सही रूप से, प्रत्येक तत्व प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए nवां गुणक होता है। विशेषकर, एबेलियन समूहों की संरचना को समझने में विभाज्य समूह महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि वे इंजेक्टिव एबेलियन समूह हैं।

परिभाषा

एबेलियन समूह $(G,+)$ विभाज्य है यदि, हर धनात्मक $n$ और हर $g\in G$ पूर्णांक के लिए, वहां उपस्थित $y\in G$ ऐसा है कि $ny=g$। समतुल्य स्थिति है: किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, $nG=G$क्योंकि प्रत्येक $n$ और $g$ के लिए $y$ का अस्तित्व दर्शाता है कि $nG\supseteq G$, और दूसरी दिशा $nG\subseteq G$ प्रत्येक समूह के लिए सत्य है। तीसरी समतुल्य स्थिति यह है कि एबेलियन समूह $G$ विभाज्य है यदि और केवल यदि $G$ एबेलियन समूहों की श्रेणी में इंजेक्टिव वस्तु है; इस कारण से, विभाज्य समूह को कभी-कभी इंजेक्टिव समूह कहा जाता है।

एबेलियन समूह अभाज्य $p$ के लिए $p$-विभाज्य है, यदि प्रत्येक $g\in G$ के लिए $y\in G$, उपस्थित है जैसे कि $py=g$। समतुल्य रूप से, यदि और केवल यदि $pG=G$ के लिए एबेलियन समूह $p$-विभाज्य है।

उदाहरण

• परिमेय संख्याएँ $\mathbb {Q}$ योग के अनुसार विभाज्य समूह बनाएं।
• अधिक सामान्यतः, किसी भी सदिश स्थान का अंतर्निहित योगात्मक समूह $\mathbb {Q}$ विभाज्य है।
• विभाज्य समूह का प्रत्येक भागफल समूह विभाज्य है। इस प्रकार, $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ विभाज्य है।
• $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ का p-प्राथमिक घटक $\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z}$, जो p-अर्धचक्रीय समूह $\mathbb {Z} [p^{\infty }]$ के लिए समरूप और विभाज्य है।
• सम्मिश्र संख्याओं का गुणक समूह $\mathbb {C} ^{*}$ विभाज्य है।
• प्रत्येक अस्तित्वगत रूप से बंद एबेलियन समूह (मॉडल सिद्धांत के अर्थ में) विभाज्य है।

गुण

• यदि विभाज्य समूह एबेलियन समूह का उपसमूह है तो यह उस एबेलियन समूह का प्रत्यक्ष योग है।
• प्रत्येक एबेलियन समूह को विभाज्य समूह में एम्बेडिंग किया जा सकता है।
• गैर-तुच्छ विभाज्य समूह अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह नहीं हैं।
• इसके अतिरिक्त, प्रत्येक एबेलियन समूह को विभाज्य समूह में अद्वितीय उपसमूह के रूप में अद्वितीय विधि से एम्बेड किया जा सकता है।
• एबेलियन समूह विभाज्य है यदि और केवल यदि यह प्रत्येक अभाज्य p के लिए p-विभाज्य है।
• मान लीजिए $A$ रिंग है। यदि $T$ विभाज्य समूह है, तो $\mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} {\text{-Mod}}}(A,T)$ और $A$-मॉड्यूल की श्रेणी में इंजेक्टिव है। है।

विभाज्य समूहों की संरचना प्रमेय

माना G विभाज्य समूह है। तब G का मरोड़ उपसमूह Tor(G) विभाज्य है। चूंकि विभाज्य समूह इंजेक्शन मॉड्यूल है, Tor(G) G का सीधा योग है, इसलिए

$G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).$

विभाज्य समूह के भागफल के रूप में, G/Tor(G) विभाज्य है। इसके अतिरिक्त, यह मरोड़-मुक्त है। इस प्रकार, यह 'Q' पर सदिश समष्टि है और इसलिए वहाँ समुच्चय I का का अस्तित्व है, जो ऐसा है

$G/\mathrm {Tor} (G)=\bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.$

मरोड़ उपसमूह की संरचना निर्धारित करना कठिन है, लेकिन कोई दिखा सकता है कि सभी अभाज्य संख्याओं के लिए p उपस्थित है, $I_{p}$ ऐसा है कि

$(\mathrm {Tor} (G))_{p}=\bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},$

जहाँ $(\mathrm {Tor} (G))_{p}$ टोर (G) का P-प्राथमिक घटक है।

इस प्रकार, यदि 'P' अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है,

$G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.$

सेट I और I_p की कार्डिनैलिटी p ∈ 'P' के लिए विशिष्ट रूप से समूह G द्वारा निर्धारित किया जाता है।

इंजेक्शन लिफाफा

Main article: इंजेक्शन लिफाफा

जैसा कि ऊपर कहा गया है, किसी भी एबेलियन समूह A को विभाज्य समूह D में आवश्यक उपसमूह के रूप में विशिष्ट रूप से एम्बेड किया जा सकता है। यह विभाज्य समूह D, A का 'इंजेक्शन लिफाफा' है, और यह अवधारणा एबेलियन समूहों की श्रेणी में इंजेक्शन उपसमूह है।

कम एबेलियन समूह

एबेलियन समूह को घटा हुआ कहा जाता है यदि इसका एकमात्र विभाज्य उपसमूह {0} है। प्रत्येक एबेलियन समूह विभाज्य उपसमूह और कम उपसमूह का प्रत्यक्ष योग है। वास्तव में, किसी भी समूह का अनूठा सबसे बड़ा विभाज्य उपसमूह होता है, और यह विभाज्य उपसमूह प्रत्यक्ष योग होता है। यह पूर्णांक Z जैसे अनुवांशिक छल्ले की विशेष विशेषता है: इंजेक्शन मॉड्यूल के मॉड्यूल का सीधा योग इंजेक्शन है क्योंकि रिंग नोथेरियन है, और इंजेक्शन के अंश इंजेक्शन हैं क्योंकि रिंग अनुवांशिक है, इसलिए इंजेक्शन मॉड्यूल द्वारा उत्पन्न कोई सबमिशन इंजेक्शन है। विलोम (मैटलिस 1958) का परिणाम है: यदि प्रत्येक मॉड्यूल में अद्वितीय अधिकतम इंजेक्टिव सब मॉड्यूल होता है, तो रिंग अनुवांशिक होती है।

उल्म के प्रमेय द्वारा गणनीय कम आवधिक एबेलियन समूहों का पूर्ण वर्गीकरण दिया गया है।

सामान्यीकरण

कई अलग-अलग परिभाषाएँ विभाज्य समूहों को विभाज्य मॉड्यूल के लिए सामान्यीकृत करती हैं। निम्नलिखित परिभाषाओं का उपयोग साहित्य में रिंग R पर विभाज्य मॉड्यूल M को परिभाषित करने के लिए किया गया है:

1. rM = M R सभी अशून्य r के लिए (कभी-कभी यह आवश्यक होता है कि आर शून्य-भाजक नहीं है, और कुछ लेखकों की आवश्यकता है कि r डोमेन) है।
2. प्रत्येक प्रिंसिपल लेफ्ट आदर्श Ra के लिए, Ra से M तक कोई समरूपता R से M में समरूपता तक फैली हुई है। (इस प्रकार के विभाज्य मॉड्यूल को मुख्यतः इंजेक्शन मॉड्यूल भी कहा जाता है।)
3. R के हर अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल बायें आदर्श L के लिए, L से M में कोई भी समरूपता R से M में समरूपता तक फैली हुई है।

अंतिम दो शर्तें इंजेक्टिव मॉड्यूल के लिए बेयर की कसौटी के प्रतिबंधित संस्करण हैं। चूँकि इंजेक्टिव बाएँ मॉड्यूल सभी बाएँ आदर्शों से R तक समरूपता का विस्तार करते हैं, इंजेक्टिव मॉड्यूल स्पष्ट रूप से अर्थ 2 और 3 में विभाज्य हैं।

यदि R अतिरिक्त रूप से डोमेन है तो तीनों परिभाषाएँ मेल खाती हैं। यदि R प्रमुख बाएं आदर्श डोमेन है, तो विभाज्य मॉड्यूल इंजेक्शन मॉड्यूल के साथ मेल खाता है। इस प्रकार पूर्णांक Z की रिंग के स्थितियों में, जो प्रमुख आदर्श डोमेन है, Z-मॉड्यूल (जो वास्तव में एबेलियन समूह है) विभाज्य है यदि और केवल यदि यह इंजेक्शन है।

यदि R क्रमविनिमेय डोमेन है, तो इंजेक्टिव R मॉड्यूल विभाज्य R मॉड्यूल के साथ मेल खाता है यदि और केवल यदि R डेडेकिंड डोमेन है।

यह भी देखें

• इंजेक्शन वाली वस्तु
• इंजेक्शन मॉड्यूल

संदर्भ

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