संपूर्णत समतुल्य परत

प्रकाश प्रकीर्णन की समस्या के लिए एफडीटीडी योजना। धारीदार सीमाएँ पूरी तरह से मेल खाने वाली परतों से मेल खाती हैं, जिनका उपयोग बाहरी तरंगों को अवशोषित करके खुली सीमाओं का अनुकरण करने के लिए किया जाता है।

पूरी तरह से मेल खाने वाली परत (पीएमएल) लहर समीकरणों के लिए कृत्रिम अवशोषित परत है, विशेष रूप से एफडीटीडी और एफई विधियों में प्रायः खुली सीमाओं के साथ समस्याओं का अनुकरण करने के लिए संख्यात्मक तरीकों में संगणनात्मक क्षेत्रों को छोटा करने के लिए प्रायः उपयोग किया जाता है। पीएमएल की प्रमुख गुण जो इसे सामान्य अवशोषित सामग्री से अलग करती है, वह यह है कि इसे इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि इसलिये गैर-पीएमएल माध्यम से पीएमएल पर आने वाली तरंगें अंतरापृष्ठ पर परावर्तित न हों- यह गुण पीएमएल को बाहर जाने वाली तरंगों को दृढ़ता से अवशोषित करने की अनुमति देती है संगणनात्मक क्षेत्र के आंतरिक भाग को वापस आंतरिक भाग में परावर्तित किए बिना।

पीएमएल मूल रूप से 1994 में बेरेंगर द्वारा तैयार किया गया था मैक्सवेल के समीकरणों के साथ उपयोग के लिए, और उस समय से मैक्सवेल के समीकरणों और अन्य तरंग-प्रकार के समीकरणों, जैसे प्रत्यास्थगतिकी रैखिक यूलर समीकरणों, हेल्महोल्ट्ज़ समीकरणों और पोरोइलास्टिसिटी दोनों के लिए, पीएमएल के कई संबंधित सुधार किए गए हैं। बेरेंगर के मूल सूत्रीकरण को विभाजन-क्षेत्र पीएमएल कहा जाता है, क्योंकि यह पीएमएल क्षेत्र में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों को दो अभौतिक क्षेत्रों में विभाजित करता है। बाद का सूत्रीकरण जो अपनी सादगी और दक्षता के कारण अधिक लोकप्रिय हो गया है, उसे अक्षीय पीएमएल या यूपीएमएल कहा जाता है। जिसमें पीएमएल को कृत्रिम विषमदैशिक अवशोषक सामग्री के रूप में वर्णित किया गया है। यद्यपि बेरेंगर के निरूपण और यूपीएमएल दोनों को शुरू में नियमावली रूप से उन परिस्थितियों का निर्माण करके प्राप्त किया गया था, जिसके तहत सजातीय माध्यम से पीएमएल अंतरापृष्ठ से घटना विमान तरंगें परावर्तित नहीं होती हैं, दोनों निरूपण को बाद में अधिक सहज और सामान्य दृष्टिकोण के बराबर दिखाया गया तानित - पीएमएल का समन्वय करें। विशेष रूप से, पीएमएल को समन्वय परिवर्तन के अनुरूप दिखाया गया था जिसमें (या अधिक) निर्देशांक जटिल संख्याओं में मैप किए जाते हैं, अधिक तकनीकी रूप से, यह वास्तव में जटिल निर्देशांक में तरंग समीकरण का विश्लेषणात्मक निरंतरता है, जो तेजी से क्षय तरंगों द्वारा प्रसार (दोलन) तरंगों को प्रतिस्थापित करता है। यह दृष्टिकोण PMLs को विषम मीडिया जैसे तरंगपथनिर्धारित्र के साथ-साथ अन्य समन्वय प्रणालियों और तरंग समीकरणों के लिए प्राप्त करने की अनुमति देता है।

तकनीकी विवरण

2डी एफडीटीडी विधि में फैला हुआ समन्वय पीएमएल के माध्यम से स्पंदित गोलाकार तरंग का अवशोषण। सफेद बॉर्डर सिमुलेशन सीमा को संकेत करता है।

विशेष रूप से, x दिशा में फैलने वाली तरंगों को अवशोषित करने के लिए डिज़ाइन किए गए पीएमएल के लिए, निम्न परिवर्तन तरंग समीकरण में शामिल है। जहां भी x व्युत्पन्न $\partial /\partial x$ तरंग समीकरण में प्रकट होता है, इसे इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है

${\frac {\partial }{\partial x}}\to {\frac {1}{1+{\frac {i\sigma (x)}{\omega }}}}{\frac {\partial }{\partial x}}$

कहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $\sigma$ x का कुछ फलन है। जहां कहीं भी $\sigma$ सकारात्मक है, प्रसार तरंगें को दुर्बल किया जाता है क्योंकि

$e^{i(kx-\omega t)}\to e^{i(kx-\omega t)-{\frac {k}{\omega }}\int ^{x}\sigma (x')dx'},$

जहां हमने +x दिशा में प्रचार करने वाली समतल तरंग ली है ($k>0$ के लिए) और जटिल निर्देशांक के लिए परिवर्तन (विश्लेषणात्मक निरंतरता) लागू किया $x\to x+{\frac {i}{\omega }}\int ^{x}\sigma (x')dx'$, या समकक्ष $dx\to dx(1+i\sigma /\omega )$. समान समन्वय परिवर्तन के कारण तरंगें दुर्बल हो जाती हैं जब भी उनकी x निर्भरता $e^{ikx}$ रूप में होती है कुछ प्रसार स्थिरांक k के लिए इसमें x अक्ष के साथ कुछ कोण पर प्रसारित होने वाली समतल तरंगें और वेवगाइड के अनुप्रस्थ मोड भी शामिल हैं।

उपरोक्त सामंजस्य परिवर्तन को रूपांतरित तरंग समीकरणों में छोड़ दिया जा सकता है, या यूपीएमएल विवरण बनाने के लिए भौतिक विवरण (जैसे मैक्सवेल के समीकरणों में विद्युतशीलता और पारगम्यता) के साथ जोड़ा जा सकता है। गुणांक σ/ω आवृत्ति पर निर्भर करता है- ऐसा इसलिए है कि संकीर्णता दर k/ω के समानुपाती होती है, जो ω और k के बीच फैलाव संबंध के कारण सजातीय सामग्री में आवृत्ति से स्वतंत्र होती है (भौतिक फैलाव शामिल नहीं है, उदाहरण निर्वात के लिए)। तथापि, इस आवृत्ति-निर्भरता का अर्थ है कि पीएमएल का समय डोमेन कार्यान्वयन, उदा एफडीटीडी विधि में, आवृत्ति-स्वतंत्र अवशोषक की तुलना में अधिक जटिल है, और इसमें सहायक अंतर समीकरण (एडीई) दृष्टिकोण शामिल है (समतुल्य, i/ω समय डोमेन मेअभिन्न या संवलन के रूप में प्रकट होता है)।

पूरी तरह से मेल खाने वाली परतें, अपने मूल रूप में, केवल प्रसार तरंगों को दुर्बल करती हैं, विशुद्ध रूप से अस्थायी तरंगें (घातीय रूप से सड़ने वाले क्षेत्र) पीएमएल में दोलन करती हैं लेकिन अधिक तेज़ी से हानि नहीं करती हैं। तथापि, पीएमएल मेंवास्तविक संख्या समन्वय को शामिल करके वाष्पशील तरंगों के दुर्बल को भी तेज किया जा सकता है यह उपरोक्त अभिव्यक्ति में σ को जटिल संख्या बनाने के अनुरूप है, जहां काल्पनिक भाग वास्तविक समन्वय खिंचाव उत्पन्न करता है जिससे वाष्पशील तरंगों का तेजी से अधिक हानि हो जाती हैं।

पूरी तरह से मेल खाने वाली परतों की सीमाएं

पीएमएल का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और संगणनात्मक विद्युतचुम्बकत्व के बहुत से पसंद की अवशोषित सीमा तकनीक बन गई है। तथापि यह ज्यादातर मामलों में अच्छी तरह से काम करता है, कुछ महत्वपूर्ण मामले हैं जिनमें यह टूट जाता है, अपरिहार्य प्रतिबिंबों या यहां तक ​​कि घातीय वृद्धि से पीड़ित होता है।

पूरी तरह से मेल खाने वाली परतों के साथ चेतावनी यह है कि वे केवल सटीक, निरंतर तरंग समीकरण के लिए परावर्तन रहित हैं। एक बार एक कंप्यूटर पर अनुकरण के लिए तरंग समीकरण का विवेचन हो जाने के बाद, कुछ छोटे संख्यात्मक प्रतिबिंब दिखाई देते हैं (जो बढ़ते संकल्प के साथ गायब हो जाते हैं)। इस कारण से, पीएमएल अवशोषण गुणांक σ प्रायः शून्य से धीरे-धीरे चालू होता है तरंग के तरंग दैर्ध्य के पैमाने पर कम दूरी पर शून्य (जैसे द्विघात रूप से) से। सामान्य तौर पर, कोई भी अवशोषक, चाहे पीएमएल हो या नहीं, उस सीमा में प्रतिबिंब रहित होता है जहां यह पर्याप्त रूप से धीरे-धीरे चालू होता है (और अवशोषित परत मोटी हो जाती है), लेकिन विवेकाधीन प्रणाली में पीएमएल का लाभ परिमित-मोटाई "संक्रमण" को कम करना है साधारण समानुवर्ती अवशोषण गुणांक की तुलना में परिमाण के कई आदेश है।

कुछ अवयव में, "पश्च-तरंग" समाधान होते हैं जिसमें समूहऔर चरण वेग एक दूसरे के विपरीत होते हैं। यह विद्युतचुम्बकत्व के लिए और कुछ ठोस पदार्थों में ध्वनिक तरंगों के लिए "बाएं हाथ" के नकारात्मक सूचकांक मेटामेट्रीज़ में होता है, और इन मामलों में मानक पीएमएल सूत्रीकरण अस्थिर होता है यह क्षय के बजाय घातीय वृद्धि की ओर जाता है, केवल इसलिए कि k चिह्न उपरोक्त विश्लेषण में फ़्लिप किया जाता है। सौभाग्यवश से, बाएं हाथ के माध्यम में सरल समाधान है (जिसके लिए सभी तरंगें पीछे की ओर हैं) केवल σ के चिह्न को फ़्लिप करें। तथापि, जटिलता यह है कि भौतिक बाएँ हाथ की अवयव फैलाने वाली होती है वे केवल निश्चित आवृत्ति सीमा के भीतर बाएँ हाथ की होती हैं, और इसलिए σ गुणांक को आवृत्ति-निर्भर बनाया जाना चाहिए। दुर्भाग्य से, विदेशी अवयवयों के बिना भी, कोई भी कुछ वेवगाइडिंग संरचनाओं (जैसे कि इसके केंद्र में उच्च-सूचकांक सिलेंडर के साथ एक खोखली धातु ट्यूब) को डिज़ाइन कर सकता है, जो एक ही आवृत्ति पर पीछे की ओर और आगे-तरंग दोनों समाधानों को प्रदर्शित करता है, जैसे कि कोई भी संकेत विकल्प σ के लिए घातीय वृद्धि होगी, और ऐसे मामलों में पीएमएल अपरिवर्तनीय रूप से अस्थिर प्रतीत होता है।

पीएमएल की एक और महत्वपूर्ण सीमा यह है कि जटिल निर्देशांक (जटिल "समन्वय खिंचाव") के समाधान की विश्लेषणात्मक निरंतरता का समर्थन करने के लिए माध्यम को सीमा के लांबिक स्मृति दिशा में परिवर्तनीय होना आवश्यक है। परिणामस्वरूप, आवधिक मीडिया (जैसे फोटोनिक क्रिस्टल या ध्वनिक मेटामटेरियल्स) के मामले में पीएमएल दृष्टिकोण अब मान्य नहीं है (अनंत संकल्प पर दर्पण रहित नहीं है)। या केवल वेवगाइड जो तिरछे कोण पर सीमा में प्रवेश करता है।

यह भी देखें

• कैग्नियार्ड-डी हूप विधि

बाहरी संबंध

• Animation on the effects of PML (YouTube)