ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन

ज्यामिति में, ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन में विपरीत कोर के तीन युग्मक लंबवत होते हैं। इसे ऑर्थोगोनल टेट्राहेड्रॉन के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि ऑर्थोगोनल का अर्थ समकोण होता है। सर्वप्रथम इसका अध्ययन 1782 में साइमन एंटोनी जीन ल'हुइलियर द्वारा किया गया था और 1890 में जी. डी लॉन्गचैम्प्स द्वारा ओर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रॉन नाम दिया गया था।

ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन में चार समवर्ती रेखाएँ होती हैं। यह सामान्य बिंदु ऑर्थोसेंटर कहलाता है और यह केन्द्रक के संबंध में परिचालित क्षेत्र के केंद्र का सममित बिंदु है।इसलिए ऑर्थोसेंटर चतुष्फलक के मोंज बिंदु के समरूप होता है।

लक्षण वर्णन

सभी टेट्राहेड्रा को समांतर चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है। टेट्राहेड्रॉन ऑर्थोसेन्ट्रिक है यदि इसके परिचालित समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज है। वास्तव में, किसी भी चतुष्फलक में, विपरीत किनारों की एक जोड़ी लंबवत होती है यदि और केवल यदि परिबद्ध समांतर चतुर्भुज के संगत फलक समचतुर्भुज हों। यदि समांतर चतुर्भुज के चार फलक समचतुर्भुज हैं, तो सभी किनारों की लंबाई समान होती है और सभी छह फलक समचतुर्भुज होते हैं; यह इस प्रकार है कि यदि टेट्राहेड्रॉन में विपरीत किनारों के दो जोड़े लंबवत हैं, तो तीसरी जोड़ी भी है, और टेट्राहेड्रॉन ऑर्थोसेन्ट्रिक है।

चतुष्फलक ABCD ऑर्थोसेन्ट्रिक है अगर और केवल अगर विपरीत किनारों के वर्गों का योग विपरीत किनारों के तीन जोड़े के लिए समान है:

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}={\overline {AD}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}.$

वास्तव में, टेट्राहेड्रोन के ऑर्थोसेन्ट्रिक होने के लिए इस शर्त को पूरा करने के लिए विपरीत किनारों के केवल दो जोड़े के लिए पर्याप्त है।

टेट्राहेड्रॉन के ऑर्थोसेन्ट्रिक होने के लिए एक और आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि इसके तीन टेट्राहेड्रॉन#Properties_analogous_to_those_of_a_triangle की लंबाई समान है।

मात्रा

किनारों के सम्बन्ध में लक्षण वर्णन का तात्पर्य है कि यदि ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोन के छह किनारों में से केवल चार ही ज्ञात हैं, तो शेष दो की गणना तब तक की जा सकती है जब तक कि वे एक दूसरे के विपरीत न हों। इसलिए ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रॉन का आयतन चार किनारों ए, बी, सी, डी के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। सूत्र है

$V={\frac {1}{6}}{\sqrt {4(c^{2}+d^{2})s(s-a)(s-b)(s-c)-a^{2}b^{2}c^{2}}}$

जहाँ c और d विपरीत किनारे हैं, और $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$.

यह भी देखें

• डिफेनोइड
• तिकोना चतुर्भुज