बैनाक मैनिफोल्ड

गणित में, एक बैनाच मैनिफोल्ड एक मैनिफोल्ड है जो कि बनच स्पेस पर आधारित है। इस प्रकार यह एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसमें प्रत्येक बिंदु में एक बनच स्पेस में एक खुले सेट के लिए होमियोमॉर्फिक नेबरहुड (गणित) है (एक अधिक शामिल और औपचारिक परिभाषा नीचे दी गई है)। बैनच मैनिफोल्ड्स मैनिफोल्ड्स को अनंतता आयामों तक विस्तारित करने की एक संभावना है।

एक और सामान्यीकरण फ़्रेचेट मैनिफोल्ड्स के लिए है, फ़्रेचेट रिक्त स्थान द्वारा बनच रिक्त स्थान की जगह। दूसरी ओर, एक [[ हिल्बर्ट कई गुना ]] एक बनच मैनिफोल्ड का एक विशेष मामला है जिसमें कई गुना हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर स्थानीय रूप से तैयार किया गया है।

एक और सामान्यीकरण फ़्रेचेट मैनिफोल्ड्स के लिए है, फ़्रेचेट रिक्त स्थान द्वारा बनच रिक्त स्थान की जगह। दूसरी ओर, एक [[ हिल्बर्ट कई गुना ]] एक बनच मैनिफोल्ड का एक विशेष मामला है जिसमें कई गुना हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर स्थानीय रूप से तैयार किया गया है।

परिभाषा

होने देना $X$ एक सेट (गणित) बनें। कक्षा का एक एटलस (टोपोलॉजी)। $C^{r},$ $r\geq 0,$ पर $X$ जोड़ियों का एक संग्रह है (एटलस (टोपोलॉजी)#चार्ट्स कहा जाता है) $\left(U_{i},\varphi _{i}\right),$ $i\in I,$ ऐसा है कि

1. प्रत्येक $U_{i}$ का उपसमुच्चय है $X$ और संघ (सेट सिद्धांत)। $U_{i}$ संपूर्ण है $X$;
2. प्रत्येक $\varphi _{i}$ से आपत्ति है $U_{i}$ एक खुले उपसमुच्चय पर $\varphi _{i}\left(U_{i}\right)$ कुछ बनच स्थान का $E_{i},$ और किसी भी सूचकांक के लिए $i{\text{ and }}j,$ $\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)$ में खुला है $E_{i};$
3. क्रॉसओवर नक्शा

   $$\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)$$

   एक स्मूद फंक्शन है|$r$प्रत्येक के लिए बार-बार लगातार अलग-अलग कार्य $i,j\in I;$ वह यह है कि $r$वें फ्रेचेट व्युत्पन्न

   $$\mathrm {d} ^{r}\left(\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}\right):\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \mathrm {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right)$$

   मौजूद है और इसके संबंध में एक सतत कार्य है $E_{i}$-नॉर्म (गणित) के सबसेट पर टोपोलॉजी $E_{i}$ और ऑपरेटर मानदंड टोपोलॉजी चालू है $\operatorname {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right).$

कोई तब दिखा सकता है कि एक अद्वितीय टोपोलॉजी चालू है $X$ ऐसा है कि प्रत्येक $U_{i}$ खुला है और प्रत्येक $\varphi _{i}$ एक होमियोमोर्फिज्म है। बहुत बार, इस टोपोलॉजिकल स्पेस को हॉसडॉर्फ स्पेस माना जाता है, लेकिन औपचारिक परिभाषा के दृष्टिकोण से यह आवश्यक नहीं है।

यदि सभी बनच रिक्त स्थान $E_{i}$ समान स्थान के बराबर हैं $E,$ एटलस कहा जाता है $E$-एटलस। हालाँकि, यह 'विक्षनरी: एक प्राथमिकता' आवश्यक नहीं है कि बनच रिक्त स्थान $E_{i}$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के समान स्थान, या यहां तक ​​​​कि समरूप हो। हालाँकि, यदि दो चार्ट $\left(U_{i},\varphi _{i}\right)$ और $\left(U_{j},\varphi _{j}\right)$ ऐसे हैं $U_{i}$ और $U_{j}$ एक गैर-खाली चौराहा (सेट सिद्धांत) है, क्रॉसओवर मानचित्र के डेरिवेटिव (सामान्यीकरण) की एक त्वरित परीक्षा

$$\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)$$

पता चलता है कि $E_{i}$ और $E_{j}$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के रूप में वास्तव में आइसोमोर्फिक होना चाहिए। इसके अलावा, अंक का सेट $x\in X$ जिसके लिए एक चार्ट है $\left(U_{i},\varphi _{i}\right)$ साथ $x$ में $U_{i}$ और $E_{i}$ किसी दिए गए बनच स्थान के लिए आइसोमॉर्फिक $E$ खुला और बंद दोनों उपसमुच्चय है। इसलिए, व्यापकता के नुकसान के बिना कोई यह मान सकता है कि, प्रत्येक जुड़ा हुआ स्थान पर $X,$ एटलस एक है $E$-एटलस कुछ निश्चित के लिए $E.$ एक नया चार्ट $(U,\varphi )$ दिए गए एटलस के साथ संगत कहा जाता है $\left\{\left(U_{i},\varphi _{i}\right):i\in I\right\}$ यदि क्रॉसओवर मानचित्र

$$\varphi _{i}\circ \varphi ^{-1}:\varphi \left(U\cap U_{i}\right)\to \varphi _{i}\left(U\cap U_{i}\right)$$

एक $r$प्रत्येक के लिए बार-बार लगातार अलग-अलग कार्य $i\in I.$ दो एटलस को संगत कहा जाता है यदि एक में प्रत्येक चार्ट दूसरे एटलस के साथ संगत हो। संगतता सभी संभावित एटलस के वर्ग पर एक समानता संबंध को परिभाषित करती है $X.$ ए $C^{r}$-कई गुना संरचना पर $X$ इसके बाद एटलस के समतुल्य वर्ग के विकल्प के रूप में परिभाषित किया जाता है $X$ कक्षा का $C^{r}.$ यदि सभी बनच रिक्त स्थान $E_{i}$ टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के रूप में आइसोमोर्फिक हैं (जो कि मामला होने की गारंटी है $X$ कनेक्टेड स्पेस है), तो एक समतुल्य एटलस पाया जा सकता है, जिसके लिए वे सभी कुछ बनच स्पेस के बराबर हैं $E.$ $X$ फिर एक कहा जाता है $E$-कई गुना, या कोई ऐसा कहता है $X$ पर प्रतिरूपित किया जाता है $E.$

उदाहरण

• अगर $(X,\|\,\cdot \,\|)$ एक बनच स्थान है, फिर $X$ एक एकल, विश्व स्तर पर परिभाषित चार्ट (पहचान समारोह) वाले एटलस के साथ एक बैनाच कई गुना है।
• इसी प्रकार यदि $U$ तब कुछ बनच स्थान का एक खुला उपसमुच्चय है $U$ एक बनच कई गुना है। (नीचे वर्गीकरण प्रमेय देखें।)

होमोमोर्फिज्म तक वर्गीकरण

यह किसी भी तरह से सच नहीं है कि आयाम का परिमित-आयामी कई गुना $n$ है globally होमियोमॉर्फिक से $\mathbb {R} ^{n},$ या यहां तक ​​कि का एक खुला उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{n}.$ हालांकि, एक अनंत-आयामी सेटिंग में, होमोमोर्फिज्म तक अच्छी तरह से व्यवहार किए गए बनच मैनिफोल्ड्स को काफी अच्छी तरह से वर्गीकृत करना संभव है। डेविड हेंडरसन के 1969 के प्रमेय में कहा गया है कि हर अनंत-आयामी, वियोज्य अंतरिक्ष, मीट्रिक अंतरिक्ष बनच कई गुना $X$ अनंत-आयामी, वियोज्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष के एक खुले उपसमुच्चय के रूप में एम्बेडिंग हो सकता है, $H$ (रैखिक समरूपता तक, केवल एक ही ऐसा स्थान होता है, जिसे आमतौर पर पहचाना जाता है $\ell ^{2}$). वास्तव में, हेंडरसन का परिणाम अधिक मजबूत है: एक ही निष्कर्ष किसी भी मीट्रिक मैनिफोल्ड के लिए अलग-अलग अनंत-आयामी फ्रेचेट स्पेस पर आधारित है।

एम्बेडिंग होमोमोर्फिज्म का उपयोग वैश्विक चार्ट के रूप में किया जा सकता है $X.$ इस प्रकार, अनंत-आयामी, वियोज्य, मीट्रिक मामले में, केवल बनच मैनिफोल्ड ही हिल्बर्ट अंतरिक्ष के खुले उपसमुच्चय हैं।

यह भी देखें

• Finsler manifold
• Banach bundle
• Differentiation in Fréchet spaces
• Fréchet manifold
• Hilbert manifold

संदर्भ

• Henderson, David W. (1969). "Infinite-dimensional manifolds are open subsets of Hilbert space". Bull. Amer. Math. Soc. 75 (4): 759–762. doi:10.1090/S0002-9904-1969-12276-7. MR 0247634.
• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.
• Zeidler, Eberhard (1997). Nonlinear functional analysis and its Applications. Vol.4. Springer-Verlag New York Inc.
• Abraham, Ralph; Marsden, J. E.; Ratiu, Tudor (1988). Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. New York: Springer. ISBN 0-387-96790-7.