बैनाक मैनिफोल्ड

गणित में, एक बैनाक मैनिफोल्ड एक मैनिफोल्ड है | जो कि बैनाक स्पेस पर आधारित है। इस प्रकार यह एक सामयिक स्पेस है | जिसमें प्रत्येक बिंदु में एक बैनाक स्पेस में एक खुले समुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक नेबरहुड (गणित) है (एक अधिक सम्मिलित और औपचारिक परिभाषा नीचे दी गई है)। बैनाक मैनिफोल्ड्स मैनिफोल्ड्स को अनंतता आयाम तक विस्तारित करने की एक संभावना है।

एक और सामान्यीकरण फ़्रेचेट मैनिफोल्ड्स के लिए बैनाक स्पेस कों फ़्रेचेट स्पेस द्वारा बदलना है | दूसरी ओर, एक हिल्बर्ट मैनिफोल्ड एक बैनाक मैनिफोल्ड की एक विशेष स्थिति है | जिसमें मैनिफोल्ड हिल्बर्ट स्पेस पर स्पेसीय रूप से तैयार किया गया है।

परिभाषा

माना $X$ एक समुच्चय (गणित) है। जो $X$ पर वर्ग $C^{r},$ $r\geq 0,$ का एक एटलस (टोपोलॉजी) जोड़ियों (चार्ट्स कहा जाता है) का एक संग्रह है | $\left(U_{i},\varphi _{i}\right),$ $i\in I,$ जैसे कि

1. प्रत्येक $U_{i}$ $X$ का उपसमुच्चय है और $U_{i}$ संघ (समुच्चय सिद्धांत) संपूर्ण $X$ है |
2. प्रत्येक $\varphi _{i}$$U_{i}$ से एक खुले उपसमुच्चय $\varphi _{i}\left(U_{i}\right)$ पर आपत्ति है | $E_{i},$ और किसी भी सूचकांक के लिए $i{\text{ and }}j,$ $\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)$ $E_{i};$ में खुला है |
3. क्रॉसओवर नक्शा एक सरल फलन है |

   $$\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)$$

   प्रत्येक $i,j\in I;$ के लिए $r$ निरंतर अवकलनीय कार्य वह यह है कि $r$वें फ्रेचेट व्युत्पन्न उपस्थित है |

   $$\mathrm {d} ^{r}\left(\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}\right):\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \mathrm {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right)$$

   $E_{i}$ इसके संबंध में एक सतत कार्य है | $E_{i}$-नॉर्म (गणित) के सबसमुच्चय पर टोपोलॉजी और $\operatorname {Lin} \left(E_{i}^{r};E_{j}\right).$ ऑपरेटर मानदंड टोपोलॉजी चालू है |
   ⁡

कोई तब दिखा सकता है कि $X$ एक अद्वितीय टोपोलॉजी चालू है | जैसे कि प्रत्येक $U_{i}$ खुला है और प्रत्येक $\varphi _{i}$ एक होमियोमोर्फिज्म है। अधिकतर,इस सामयिक स्पेस को हॉसडॉर्फ स्पेस माना जाता है | किन्तु औपचारिक परिभाषा के दृष्टिकोण से यह आवश्यक नहीं है।

यदि सभी बैनाक स्पेस $E_{i}$ समान स्पेस $E,$ के समान हैं तो $E$-एटलस कहा जाता है। चूँकि, यह 'ह प्राथमिक रूप से आवश्यक नहीं है कि बैनाक स्पेस $E_{i}$ टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस के समान स्पेस, या यहां तक ​​​​कि समरूप हो। चूँकि, यदि दो चार्ट $\left(U_{i},\varphi _{i}\right)$ और $\left(U_{j},\varphi _{j}\right)$ ऐसे हैं | $U_{i}$ और $U_{j}$ एक गैर-खाली प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) है,| जो क्रॉसओवर मानचित्र के डेरिवेटिव (सामान्यीकरण) की एक त्वरित परीक्षा है |

$$\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\to \varphi _{j}\left(U_{i}\cap U_{j}\right)$$

दिखाता है कि $E_{i}$ और $E_{j}$ टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस के रूप में वास्तव में समरूपी होना चाहिए। इसके अतिरिक्त, अंक का समुच्चय $x\in X$ जिसके लिए एक चार्ट है | $\left(U_{i},\varphi _{i}\right)$ साथ $x$ में $U_{i}$ और $E_{i}$ किसी दिए गए बैनाक स्पेस के लिए आइसोमॉर्फिक $E$ खुला और बंद दोनों उपसमुच्चय है। इसलिए, व्यापकता के हानि के बिना कोई यह मान सकता है | कि,$X,$ प्रत्येक जुड़ा हुआ स्पेस पर $E$-एटलस कुछ निश्चित $E.$ के लिए एटलस एक है |

एक नया चार्ट $(U,\varphi )$ दिए गए एटलस $\left\{\left(U_{i},\varphi _{i}\right):i\in I\right\}$ के साथ संगत कहा जाता है |

$$\varphi _{i}\circ \varphi ^{-1}:\varphi \left(U\cap U_{i}\right)\to \varphi _{i}\left(U\cap U_{i}\right)$$

यदि क्रॉसओवर मानचित्र एक $r$ प्रत्येक के लिए बार-बार लगातार अलग-अलग कार्य $i\in I.$ दो एटलस को संगत कहा जाता है | यदि एक में प्रत्येक चार्ट दूसरे एटलस के साथ संगत हो। संगतता सभी संभावित एटलस के वर्ग पर $X.$ एक समानता संबंध को परिभाषित करती है |

ए $C^{r}$-मैनिफोल्ड संरचना पर $X$ इसके बाद एटलस के समतुल्य वर्ग के विकल्प के रूप में परिभाषित किया जाता है | कक्षा $X$ का $C^{r}.$ यदि सभी बैनाक स्पेस $E_{i}$ टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस के रूप में समरूपी हैं | (जो कि स्थिति होने की गारंटी है $X$ कनेक्टेड स्पेस है), तो एक समतुल्य एटलस पाया जा सकता है,| जिसके लिए वे सभी कुछ बैनाक स्पेस के समान हैं | $E.$ $X$ फिर $E$-मैनिफोल्ड, एक कहा जाता है या $X$ कोई ऐसा कहता है पर प्रतिरूपित $E.$ पर किया जाता है |

उदाहरण

• यदि $(X,\|\,\cdot \,\|)$ एक बैनाक स्पेस है, फिर $X$ एक एकल, विश्व स्तर पर परिभाषित चार्ट (पहचान फलन) वाले एटलस के साथ एक बैनाच मैनिफोल्ड है।
• इसी प्रकार यदि $U$ तब कुछ बैनाक स्पेस का एक खुला उपसमुच्चय है | $U$ एक बैनाक मैनिफोल्ड है। (नीचे वर्गीकरण प्रमेय देखें।)

होमोमोर्फिज्म तक वर्गीकरण

यह किसी भी तरह से सही नहीं है कि आयाम का परिमित-आयामी मैनिफोल्ड $n$ है | विश्व स्तर पर होमियोमॉर्फिक से $\mathbb {R} ^{n},$ या यहां तक ​​कि का एक खुला उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{n}.$ है | चूँकि, एक अनंत-आयामी समुच्चयिंग में, होमोमोर्फिज्म तक अच्छी तरह से व्यवहार किए गए बैनाक मैनिफोल्ड्स को काफी अच्छी तरह से वर्गीकृत करना संभव है। डेविड हेंडरसन के 1969 के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक अनंत-आयामी, वियोज्य अंतरिक्ष, आव्युह अंतरिक्ष बैनाक मैनिफोल्ड $X$ अनंत-आयामी, वियोज्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष के एक खुले उपसमुच्चय के रूप में एम्बेडिंग हो सकता है,| $H$ (रैखिक समरूपता तक, केवल एक ही ऐसा स्पेस होता है | जिसे सामान्यतः $\ell ^{2}$ पहचाना जाता है) | वास्तव में, हेंडरसन का परिणाम अधिक शक्तिशाली है | एक ही निष्कर्ष किसी भी आव्युह मैनिफोल्ड के लिए अलग-अलग अनंत-आयामी फ्रेचेट स्पेस पर आधारित है।

एच (रैखिक समरूपता तक केवल एक ही ऐसा स्थान होता है जिसे आमतौर पर \ell ^{2}) से पहचाना जाता है। वास्तव में हेंडरसन का परिणाम अधिक मजबूत है: एक ही निष्कर्ष किसी भी मीट्रिक मैनिफोल्ड के लिए अलग-अलग अनंत-आयामी फ्रेचेट स्पेस पर आधारित है।

एम्बेडिंग होमोमोर्फिज्म का उपयोग वैश्विक चार्ट के रूप में किया जा सकता है | इस प्रकार $X.$ अनंत-आयामी, वियोज्य, आव्युह स्थिति में, केवल बैनाक मैनिफोल्ड ही हिल्बर्ट अंतरिक्ष के खुले उपसमुच्चय हैं।

यह भी देखें

• फिन्सलर मैनिफोल्ड
• बनच बंडल
• फ्रेचेट स्पेस में विभेदन
• फ्रेचेट मैनिफोल्ड
• हिल्बर्ट मैनिफोल्ड

संदर्भ

• Henderson, David W. (1969). "Infinite-dimensional manifolds are open subsets of Hilbert space". Bull. Amer. Math. Soc. 75 (4): 759–762. doi:10.1090/S0002-9904-1969-12276-7. MR 0247634.
• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.
• Zeidler, Eberhard (1997). Nonlinear functional analysis and its Applications. Vol.4. Springer-Verlag New York Inc.
• Abraham, Ralph; Marsden, J. E.; Ratiu, Tudor (1988). Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. New York: Springer. ISBN 0-387-96790-7.