एक तरफा सीमा

कलन में, एक तरफा सीमा किसी फलन (गणित) के फलन की दो सीमाओं में से किसी एक को संदर्भित करती है। $f(x)$ एक वास्तविक संख्या चर का $x$ जैसा $x$ किसी निर्दिष्ट बिंदु तक या तो बाएँ से या दाएँ से पहुँचता है।

सीमा के रूप में $x$ मूल्य में कमी आ रही है $a$ ($x$ दृष्टिकोण $a$ दाईं ओर से या ऊपर से ) निरूपित किया जा सकता है:

$$\lim _{x\to a^{+}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\searrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x+)$$

सीमा के रूप में $x$ मूल्य में वृद्धि आ रही है $a$ ($x$ दृष्टिकोण $a$ बाएं से या नीचे से ) निरूपित किया जा सकता है:

$$\lim _{x\to a^{-}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x-)$$

अगर की सीमा $f(x)$ के रूप में जैसा $x$ दृष्टिकोण $a$ अस्तित्व में है तो बाएँ और दाएँ दोनों की सीमाएँ उपस्थित हैं और समान हैं। कुछ स्थितियों में जिनमें सीमा

$$\lim _{x\to a}f(x)$$

उपस्थित नहीं है, फिर भी दो एकतरफा सीमाएँ उपस्थित हैं। परिणामस्वरूप, के रूप में सीमा $x$ दृष्टिकोण $a$ कभी-कभी दो तरफा सीमा कहा जाता है।

दो एकतरफा सीमाओं में से एक का अस्तित्व में होना संभव है (जबकि दूसरी का अस्तित्व नहीं है)। यह भी संभव है कि दो एकतरफा सीमाओं में से किसी का भी अस्तित्व न हो।

औपचारिक परिभाषा

परिभाषा

अगर $I$ कुछ अंतराल (गणित) का प्रतिनिधित्व करता है जो किसी फलन के डोमेन में निहित है $f$ और अगर $a$ में बिंदु है $I$ फिर दाईं ओर की सीमा के रूप में $x$ दृष्टिकोण $a$ मूल्य के रूप में कड़ाई से परिभाषित किया जा सकता है $R$ जो संतुष्ट करता है

$${\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<x-a<\delta {\text{ then }}|f(x)-R|<\varepsilon ,$$

और बाईं ओर की सीमा के रूप में $x$ दृष्टिकोण $a$ मूल्य के रूप में कड़ाई से परिभाषित किया जा सकता है $L$ जो संतुष्ट करता है

$${\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<a-x<\delta {\text{ then }}|f(x)-L|<\varepsilon .$$

हम एक ही चीज़ को अधिक प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार प्रस्तुत कर सकते हैं।

होने देना $I$ अंतराल का प्रतिनिधित्व करते हैं, जहां $I\subseteq \mathrm {domain} (f)$, और $a\in I$.

$$\lim _{x\to a^{+}}f(x)=R~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<x-a<\delta \longrightarrow |f(x)-R|<\varepsilon ))$$

$$\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<a-x<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ))$$

अंतर्ज्ञान

बिंदु पर फलन की सीमा के लिए औपचारिक परिभाषा की तुलना में, एक तरफा सीमा (जैसा कि नाम से पता चलता है) केवल इनपुट मूल्यों से संपर्क किए गए इनपुट मूल्य के एक तरफ से संबंधित है।

संदर्भ के लिए, किसी बिंदु पर फलन की सीमा के लिए औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है:

$$\lim _{x\to a}f(x)=L~~~\iff ~~~\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon$$

एकतरफा सीमा को परिभाषित करने के लिए, हमें इस असमानता को संशोधित करना होगा। ध्यान दें कि के बीच पूर्ण दूरी $x$ और $a$ है

$$|x-a|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(a-x)|=|(-1)||a-x|=|a-x|$$

.

दाईं ओर से सीमा के लिए, हम चाहते हैं $x$ के दाईं ओर होना $a$, जिसका अर्थ है कि $a<x$, इसलिए $x-a$ सकारात्मक है। उपर से, $x-a$ के बीच की दूरी है $x$ और $a$. हम इस दूरी को अपने मूल्य से बांधना चाहते हैं $\delta$, असमानता दे रहा है $x-a<\delta$. असमानताओं को एक साथ रखना $0<x-a$ और $x-a<\delta$ और असमानताओं के सकर्मक संबंध गुण का उपयोग करके, हमारे पास यौगिक असमानता है $0<x-a<\delta$.

इसी प्रकार, बाएँ से सीमा के लिए, हम चाहते हैं $x$ के बाईं ओर होना $a$, जिसका अर्थ है कि $x<a$. इस स्थितियों में, यह है $a-x$ यह सकारात्मक है और बीच की दूरी का प्रतिनिधित्व करता है $x$ और $a$. दोबारा, हम इस दूरी को हमारे मूल्य से बांधना चाहते हैं $\delta$, यौगिक असमानता के लिए अग्रणी $0<a-x<\delta$ है

अब, जब हमारे मूल्य $x$ अपने वांछित अंतराल में है, हम उम्मीद करते हैं कि का मूल्य $f(x)$ अपने वांछित अंतराल के अन्दर भी है। बीच की दूरी $f(x)$ और $L$, बाईं ओर की सीमा का सीमित मान है $|f(x)-L|$. इसी प्रकार, के बीच की दूरी $f(x)$ और $R$, दाईं ओर की सीमा का सीमित मान है $|f(x)-R|$. दोनों ही स्थितियों में, हम इस दूरी को सीमित करना चाहते हैं $\varepsilon$, तो हमें निम्नलिखित मिलता है: $|f(x)-L|<\varepsilon$ बाईं ओर की सीमा के लिए, और $|f(x)-R|<\varepsilon$ दाईं ओर की सीमा के लिए।

उदाहरण

उदाहरण 1:

बाएँ से और दाएँ से सीमाएँ $g(x):=-{\frac {1}{x}}$ जैसा $x$ दृष्टिकोण $a:=0$ हैं

$$\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty$$

कारण क्यों $\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty$ क्योंकि $x$ हमेशा नकारात्मक होता है (चूंकि $x\to 0^{-}$ अर्थ है कि $x\to 0$ के सभी मूल्यों के साथ $x$ संतुष्टि देने वाला $x<0$), जिसका तात्पर्य है $-1/x$ हमेशा सकारात्मक होता है जिससे $\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}$ विचलन को $+\infty$ (और नहीं $-\infty$) जैसा $x$ दृष्टिकोण $0$ बाएं से।

इसी प्रकार, $\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty$ के सभी मूल्यों के बाद से $x$ संतुष्ट करना $x>0$ (अलग विधि से कहा, $x$ हमेशा सकारात्मक होता है) जैसा $x$ दृष्टिकोण $0$ दाईं ओर से, जिसका तात्पर्य है $-1/x$ हमेशा नकारात्मक होता है जिससे $\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}$ की ओर$-\infty .$ मुड़ता है

फलन का प्लॉट $1/(1+2^{-1/x}).$

उदाहरण 2:

भिन्न एक तरफा सीमा वाले फलन का उदाहरण है $f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}},$ (cf. चित्र) जहां बाएँ से सीमा है $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=0$ और दाएँ से सीमा है $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.$ इन सीमाओं की गणना करने के लिए, पहले उसे दिखाएँ

$$\lim _{x\to 0^{-}}2^{-1/x}=\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}=0$$

(जो सच है क्योंकि $\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty$)

जिससे फलस्वरूप,

$$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1$$

जबकि

$\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0$ क्योंकि भाजक अनंत की ओर जाता है; वह है क्योंकि $\lim _{x\to 0^{-}}1+2^{-1/x}=\infty .$ तब से $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),$ सीमा $\lim _{x\to 0}f(x)$ उपस्थित नहीं होना।

सीमा की स्थलाकृतिक परिभाषा से संबंध

See also: टोपोलॉजी में फिल्टर

बिंदु की एकतरफा सीमा $p$ फलन की सीमा से मेल खाता है # टोपोलॉजिकल स्पेस पर फलन, फलन के डोमेन को एक तरफ प्रतिबंधित किया गया है, या तो यह अनुमति देकर कि फलन डोमेन टोपोलॉजिकल स्पेस का उप-समुच्चय है, या एक तरफा सबस्पेस पर विचार करके, सहित $p.$ वैकल्पिक रूप से, कोई डोमेन को आधे-खुले अंतराल टोपोलॉजी के साथ मान सकता है।

एबेल का प्रमेय

Main article: एबेल का प्रमेय

अभिसरण के त्रिज्या की सीमाओं पर कुछ शक्ति श्रृंखला की एक तरफा सीमाओं का व्यवहार करने वाला उल्लेखनीय प्रमेय हाबिल का प्रमेय है।

यह भी देखें

• अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा
• अर्ध-भिन्नता
• श्रेष्ठ को सीमित करो और हीन को सीमित करो

श्रेणी:वास्तविक विश्लेषण

श्रेणी:सीमाएं (गणित)

श्रेणी:कार्य और मानचित्रण