तंत्रिका जटिल

प्लेन में 3 समुच्चय वाले ओपन गुड आच्छादन की नर्व का निर्माण।

सांस्थिति में, एक समुच्चय वर्ग के तंत्रिका परिसर एक सार सरल जटिल है जो वर्ग में समुच्चय के बीच के प्रतिच्छेदन के प्रतिरूप को अभिलेख करता है। इसका प्रारम्भ पावेल अलेक्जेंड्रोव ने किया था और अब इसके कई प्रकार और सामान्यीकरण हैं, उनमें से एक आवरण की सीच तंत्रिका है, जिसे बदले में अति आच्छादन द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है। यह कई रुचिपूर्ण सांस्थितिक गुणों को एक एल्गोरिथम या संयोजी रूप से प्रग्रहण करता है।

मूल परिभाषा

$I$ को सूचकांकों का एक समुच्चय होने दें और $C$ समुच्चय $(U_{i})_{i\in I}$ का एक वर्ग हो। $C$ की तंत्रिका अनुक्रमणिका समुच्चय $I$ के परिमित उपसमुच्चय का एक समूह है। इसमें सभी परिमित उपसमुच्चय $J\subseteq I$ शामिल हैं जैसे कि $U_{i}$ का प्रतिच्छेदन जिसका उपसूचक $J$ में है गैर-रिक्त है:

$N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ finite set}}{\bigg \}}.$

अलेक्जेंड्रोव की मूल परिभाषा में, समुच्चय $(U_{i})_{i\in I}$ कुछ सांस्थितिक समष्टि $X$ के विवृत समुच्चय हैं ।

समुच्चय $N(C)$ में एकल हो सकते हैं (अवयव $i\in I$ जैसे कि $U_{i}$ गैर-रिक्त है), युग्म (अवयवों के युग्म $i,j\in I$ जैसे कि $U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset$), तीनो इत्यादि। यदि $J\in N(C)$ है, तो $J$ का कोई भी उपसमुच्चय भी $N(C)$ में है, जिससे $N(C)$ एक सार सरल परिसर बन जाता है। इसलिए $N(C)$ को प्रायः $C$ का तंत्रिका परिसर कहा जाता है।

उदाहरण

1. X को वृत्त $S^{1}$ और $C=\{U_{1},U_{2}\}$ होने दें, जहां $U_{1}$ एक चाप है जो $S^{1}$ के ऊपरी आधे भाग को आच्छादित करता है और $U_{2}$ एक चाप है जो इसके निचले आधे भाग को आच्छादित करता है, दोनों ओर कुछ अधिव्यापन के साथ (वे सभी $S^{1}$ को आच्छादित करने के लिए दोनों ओर अधिव्यापन होना चाहिए)। फिर $N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$, जो एक सार 1-एकदिश है।
2. माना X वृत्त है $S^{1}$ और $C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}$, जहां प्रत्येक $U_{i}$ एक तिहाई को आच्छादित करने वाला एक चाप है $S^{1}$, आसन्न के साथ कुछ अधिव्यापन के साथ $U_{i}$। तब $N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}$। ध्यान दें कि {1,2,3} अंदर नहीं है $N(C)$ चूँकि तीनों समुच्चयों का उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन रिक्त है; इसलिए $N(C)$ एक अधूरा त्रिकोण है।

सीच तंत्रिका

विवृत ढक्कन दिया $C=\{U_{i}:i\in I\}$ एक सांस्थितिक समष्टि का $X$, या अधिक आम तौर पर ग्रोथेंडिक सांस्थिति में एक आच्छादन , हम जोड़ीवार पुलबैक_(श्रेणी_सिद्धांत) पर विचार कर सकते हैं। $U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}$, जो एक सांस्थितिक समष्टि के मामले में बिल्कुल प्रतिच्छेदन हैं $U_{i}\cap U_{j}$। ऐसे सभी प्रतिच्छेदन के संग्रह को कहा जा सकता है $C\times _{X}C$ और ट्रिपल प्रतिच्छेदन के रूप में $C\times _{X}C\times _{X}C$।

प्राकृतिक मानचित्रों पर विचार करके $U_{ij}\to U_{i}$ और $U_{i}\to U_{ii}$, हम एक साधारण वस्तु का निर्माण कर सकते हैं $S(C)_{\bullet }$ द्वारा परिभाषित $S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C$, एन-गुना फाइबर उत्पाद। यह सीच तंत्रिका है। जुड़े हुए घटकों को लेने से हमें एक साधारण समुच्चय मिलता है, जिसे हम स्थैतिक रूप से महसूस कर सकते हैं: $|S(\pi _{0}(C))|$।

तंत्रिका प्रमेय

तंत्रिका परिसर $N(C)$ एक साधारण संयोजन वस्तु है। प्रायः, यह अंतर्निहित सांस्थितिक समष्टि (समुच्चय में समुच्चय का संघ) की तुलना में बहुत सरल होता है $C$)। इसलिए, एक स्वाभाविक प्रश्न यह है कि क्या सांस्थिति है $N(C)$ की सांस्थिति के बराबर है $\bigcup C$।

सामान्य तौर पर, यह मामला नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, कोई भी किसी भी N-sphere|n-sphere को दो अनुबंधित समुच्चयों के साथ आच्छादित कर सकता है $U_{1}$ और $U_{2}$ जिसमें एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है, जैसा कि ऊपर उदाहरण 1 में है। इस मामले में, $N(C)$ एक अमूर्त 1-एकदिश है, जो एक रेखा के समान है लेकिन एक गोले के समान नहीं है।

हालाँकि, कुछ मामलों में $N(C)$ एक्स की सांस्थिति को प्रतिबिंबित करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक सर्कल को तीन विवृत चापों द्वारा आच्छादित किया जाता है, जैसा ऊपर उदाहरण 2 में जोड़ों में प्रतिच्छेद करता है, तो $N(C)$ एक 2-सिंप्लेक्स है (इसके आंतरिक भाग के बिना) और यह होमोटॉपी-मूल सर्कल के बराबर है। एक तंत्रिका प्रमेय (या तंत्रिका लेम्मा) एक प्रमेय है जो गारंटी देने के लिए सी पर पर्याप्त शर्तें देता है $N(C)$ कुछ अर्थों में, की सांस्थिति को दर्शाता है$\bigcup C$।

लेरे की तंत्रिका प्रमेय

जॉन लेरे के मूल तंत्रिका प्रमेय का कहना है कि, यदि कोई प्रतिच्छेदन समुच्चय होता है $N(C)$ संविदात्मक स्थान है (समतुल्य: प्रत्येक परिमित के लिए $J\subset I$ समुच्चय $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ या तो रिक्त है या सिकुड़ा जा सकता है; समतुल्य: सी एक अच्छा आच्छादन है), फिर $N(C)$ होमोटॉपी-समतुल्य है$\bigcup C$।

बोरसुक का तंत्रिका प्रमेय

एक असतत संस्करण है, जिसका श्रेय करोल बोरसुक को दिया जाता है। माना के₁,।।।,क_nसार सरल जटिल हो, और K। Let U द्वारा उनके संघ को निरूपित करें_i= ||के_i|| = K का सार सरल जटिल_i, और {यू की तंत्रिका को निरूपित करें₁, ।।। , यू_n} द्वारा एन।

यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त के लिए $J\subset I$, प्रतिच्छेदन $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ या तो रिक्त या सिकुड़ा जा सकता है, तो N होमोटॉपी-K के बराबर है।

एंडर्स ब्योर्नर द्वारा एक मजबूत प्रमेय सिद्ध किया गया था। यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त के लिए $J\subset I$, प्रतिच्छेदन $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ या तो रिक्त है या एन-कनेक्टेड समष्टि|(के-|जे|+1)-कनेक्टेड है, तो प्रत्येक जे ≤ के लिए, एन का जे-वें होमोटोपी समूह के के जे-वें होमोटॉपी समूह के लिए आइसोमॉर्फिक है। विशेष रूप से , एन के-कनेक्टेड है यदि और केवल-यदि के के-कनेक्टेड है।

चेक तंत्रिका प्रमेय

एक अन्य तंत्रिका प्रमेय उपरोक्त चेक तंत्रिका से संबंधित है: यदि $X$ कॉम्पैक्ट है और सी में समुच्चय के सभी प्रतिच्छेदन अनुबंधित या रिक्त हैं, फिर स्थान

$|S(\pi _{0}(C))|$ होमोटॉपी-समतुल्य है $X$।

होमोलॉजिकल तंत्रिका प्रमेय

निम्नलिखित तंत्रिका प्रमेय आच्छादन में समुच्चय के प्रतिच्छेदन के होमोलॉजी समूहों का उपयोग करता है। प्रत्येक परिमित के लिए $J\subset I$, निरूपित करें $H_{J,j}:={\tilde {H}}_{j}(\bigcap _{i\in J}U_{i})=$ जे-वें कम समरूपता समूह $\bigcap _{i\in J}U_{i}$।

यदि एच_J,jN(C) के k-कंकाल में सभी J के लिए तुच्छ समूह है और {0, ।।।, k-dim(J)} में सभी j के लिए है, तो N(C) समरूपता-समरूपता में X के बराबर है निम्नलिखित अर्थ:

• ${\tilde {H}}_{j}(N(C))\cong {\tilde {H}}_{j}(X)$ {0, ।।।, k} में सभी j के लिए;
• यदि ${\tilde {H}}_{k+1}(N(C))\not \cong 0$ तब ${\tilde {H}}_{k+1}(X)\not \cong 0$ ।

यह भी देखें

• हाइपरकवरिंग