सममित बीजगणित

Not to be confused with Symmetric Frobenius algebra.

गणित में, सममित बीजगणित S(V) (जिसे Sym(V) से भी निरूपित किया जाता है) सदिश स्थान V पर क्षेत्र K पर (गणित) क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) K है जिसमें V सम्मिलित है, और इस गुण के लिए कुछ अर्थों में न्यूनतम होता है। यहाँ, न्यूनतम का अर्थ है कि S(V) निम्नलिखित यूनिवर्सल प्रॉपर्टी को संतुष्ट करता है: V से क्रमविनिमेय बीजगणित A तक प्रत्येक रैखिक मानचित्र f के लिए अद्वितीय बीजगणित समरूपता g : S(V) → A है जैसे कि f = g ∘ i, जहाँ i, S(V) में V का समावेशन मानचित्र है।

यदि V का आधार B है, तो सममित बीजगणित S(V) को विहित समरूपता के माध्यम से, बहुपद वलय K[B] में प्रमाणित किया जा सकता है , जहाँ B के तत्वों को अनिश्चित माना जाता है। इसलिए, सममित बीजगणित को V पर समन्वय मुक्त बहुपद वलय के रूप में देखा जा सकता है।

सममित बीजगणित S(V) को टेंसर बीजगणित T(V) के भागफल के रूप में x ⊗ y − y ⊗ x रूप के तत्वों द्वारा उत्पन्न टू-साइडेड आइडियल द्वारा बनाया जा सकता है।

ये सभी परिभाषाएँ और गुण स्वाभाविक रूप से उस स्तिथि में विस्तारित होते हैं जहाँ V क्रमविनिमेय वलय पर मॉड्यूल (गणित) है।

निर्माण

टेंसर बीजगणित से

सममित बीजगणित S(V) का वर्णन करने के लिए टेंसर बीजगणित T(V) का उपयोग करना संभव है। वास्तव में, S(V) को क्रमविनिमेय $v\otimes w-w\otimes v.$ द्वारा उत्पन्न टू-साइडेड आइडियल द्वारा T(V) के भागफल बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

यह सत्यापित करना सरल है कि परिणाम बीजगणित परिचय में अंकित यूनिवर्सल प्रॉपर्टी को संतुष्ट करता है। टेंसर बीजगणित की यूनिवर्सल प्रॉपर्टी के कारण V से रैखिक मानचित्र f क्रमविनिमेय बीजगणित A, बीजगणित समरूपता $T(V)\rightarrow A$ तक विस्तृत है, जो S(V) के माध्यम से कारक है क्योंकि A क्रमविनिमेय है।

बीजगणित समरूपता $S(V)\rightarrow A$ के लिए f का विस्तार अद्वितीय है, क्योंकि V, A को K-बीजगणित के रूप में उत्पन्न करता है।

यह परिणाम श्रेणी सिद्धांत के सामान्य परिणाम से भी होता है, जो इस तथ्य को महत्व देता है कि दो एडजॉइंट फ़ंक्टर का संयोजन लेफ्ट एडजॉइंट फ़ंक्टर है। यहाँ, फॉर्गेटफुल फ़ंक्टर क्रमविनिमेय बीजगणित से साहचर्य बीजगणित (कम्यूटेटिविटी को भूलना), और साहचर्य बीजगणित से वैक्टर या मॉड्यूल (गुणन को भूल जाना) तक फॉर्गेटफुल फ़ंक्टर की संरचना है। जैसा कि टेन्सर बीजगणित और कम्यूटेटर द्वारा भागफल इन फॉर्गेटफुल फ़ंक्टर के निकट छोड़ दिया जाता है, उनकी रचना कम्यूटेटिव बीजगणित से वैक्टर या मॉड्यूल तक फॉर्गेटफुल फ़ंक्टर के निकट छोड़ दी जाती है, और यह वांछित यूनिवर्सल प्रॉपर्टी को सिद्ध करता है।

बहुपद वलय से

सममित बीजगणित S(V) को बहुपद वलय से भी बनाया जा सकता है।

यदि V, K-सदिश स्थान या मुक्त K-मॉड्यूल है, जिसका आधार B है, तो मान लें, K[B] बहुपद वलय है जिसमें B के तत्व अनिश्चित हैं। डिग्री एक के समघात बहुपद सदिश स्थान या मुक्त मॉड्यूल बनाते हैं जिसे V के साथ प्रमाणित किया जा सकता है। यह सत्यापित करना सरल है कि यह K[B] को प्रस्तावना में बताई गई सार्वभौमिक समस्या का समाधान बनाता है। इसका तात्पर्य है कि K[B] और S(V) कैनोनिक रूप से आइसोमोर्फिक हैं, और इसलिए इन्हें प्रमाणित किया जा सकता है। यह श्रेणी सिद्धांत के सामान्य विचारों से भी तुरंत परिणाम देता है, क्योंकि मुक्त मॉड्यूल और बहुपद वलय उनकी संबंधित श्रेणियों की मुक्त वस्तुएं हैं।

यदि V एक मॉड्यूल है जो मुफ़्त नहीं है, इसे लिखा जा सकता है $V=L/M,$ कहाँ L एक मुफ्त मॉड्यूल है, और M का submodule है L. इस मामले में, एक है

$S(V)=S(L/M)=S(L)/\langle M\rangle ,$

कहाँ $\langle M\rangle$ द्वारा उत्पन्न आदर्श है M. (यहाँ, समान संकेतों का अर्थ एक विहित समरूपता तक समानता है।) फिर से यह दिखा कर साबित किया जा सकता है कि किसी के पास यूनिवर्सल प्रॉपर्टी का समाधान है, और यह या तो एक सीधी लेकिन उबाऊ संगणना द्वारा किया जा सकता है, या श्रेणी सिद्धांत का उपयोग करके, और अधिक विशेष रूप से, तथ्य यह है कि भागफल morphisms के लिए सार्वभौमिक समस्या का समाधान है जो किसी दिए गए सबसेट को शून्य पर मैप करता है। (मामले के आधार पर, कर्नेल (बीजगणित) एक सामान्य उपसमूह, एक सबमॉड्यूल या एक आदर्श है, और भागफल की सामान्य परिभाषा को सार्वभौमिक समस्या के समाधान के अस्तित्व के प्रमाण के रूप में देखा जा सकता है।)

ग्रेडिंग

सममित बीजगणित एक वर्गीकृत बीजगणित है। यानी यह एक सीधा योग है

$S(V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S^{n}(V),$

कहाँ $S^{n}(V),$ इसको कॉल किया गया {{mvar|n}की सममित शक्ति V, सदिश सबस्पेस या सबमॉड्यूल है जो उत्पादों द्वारा उत्पन्न होता है n घटक V. (दूसरी सममित शक्ति $S^{2}(V)$ को कभी-कभी का सममित वर्ग कहा जाता है V).

यह विभिन्न माध्यमों से सिद्ध किया जा सकता है। टेंसर-बीजगणित निर्माण से एक अनुसरण करता है: चूंकि टेंसर बीजगणित को वर्गीकृत किया गया है, और सममित बीजगणित एक सजातीय आदर्श द्वारा इसका भागफल है: सभी द्वारा उत्पन्न आदर्श $x\otimes y-y\otimes x,$ कहाँ x और y में हैं V, यानी एक डिग्री का सजातीय।

एक सदिश स्थान या एक मुक्त मॉड्यूल के मामले में, ग्रेडेशन कुल डिग्री द्वारा बहुपदों का ग्रेडेशन है। एक गैर-मुक्त मॉड्यूल के रूप में लिखा जा सकता है L / M, कहाँ L आधार का एक निःशुल्क मॉड्यूल है B; इसका सममित बीजगणित (वर्गीकृत) सममित बीजगणित का भागफल है L (एक बहुपद वलय) के तत्वों द्वारा उत्पन्न सजातीय आदर्श द्वारा M, जो एक डिग्री के सजातीय हैं।

कोई परिभाषित भी कर सकता है $S^{n}(V)$ बहुरैखिक फलन के लिए सार्वभौम समस्या के समाधान के रूप में |n-रैखिक सममित कार्य V एक सदिश स्थान या एक मॉड्यूल में, और फिर सत्यापित करें कि सभी का प्रत्यक्ष योग $S^{n}(V)$ सममित बीजगणित के लिए सार्वभौमिक समस्या को संतुष्ट करता है।

सममित टेंसरों के साथ संबंध

चूंकि सदिश स्थान का सममित बीजगणित टेंसर बीजगणित का भागफल है, सममित बीजगणित का एक तत्व टेंसर नहीं है, और विशेष रूप से, सममित टेंसर नहीं है। हालाँकि, सममित टेन्सर दृढ़ता से सममित बीजगणित से संबंधित हैं।

डिग्री का एक सममित टेंसर n का एक तत्व है Tⁿ(V) जो सममित समूह की समूह क्रिया (गणित) के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है ${\mathcal {S}}_{n}.$ अधिक सटीक, दिया गया $\sigma \in {\mathcal {S}}_{n},$ रूपान्तरण $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\mapsto v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (n)}$ के एक रैखिक एंडोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है Tⁿ(V). एक सममित टेन्सर एक टेन्सर है जो इन सभी एंडोमोर्फिज्म के तहत अपरिवर्तनीय है। डिग्री के सममित टेंसर n सदिश उप-स्थान (या मॉड्यूल) बनाते हैं Symⁿ(V) ⊂ Tⁿ(V). सममित टेंसर प्रत्यक्ष योग के तत्व हैं $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),$ जो एक ग्रेडेड सदिश स्पेस (या वर्गीकृत मॉड्यूल ) है। यह एक बीजगणित नहीं है, क्योंकि दो सममित टेंसरों का टेंसर उत्पाद सामान्य रूप से सममित नहीं है।

होने देना $\pi _{n}$ पर प्रतिबंध हो Symⁿ(V) विहित अनुमान के $T^{n}(V)\to S^{n}(V).$ यदि n! ग्राउंड फील्ड (या रिंग) में उलटा है, फिर $\pi _{n}$ एक समरूपता है। यह हमेशा विशेषता (बीजगणित) शून्य के जमीनी क्षेत्र के मामले में होता है। प्रतिलोम फलन समाकृतिकता रैखिक मानचित्र परिभाषित है (के उत्पादों पर n वैक्टर) समरूपता द्वारा

$v_{1}\cdots v_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (n)}.$

वो नक्शा $\pi _{n}$ यदि विशेषता से कम है तो इंजेक्शन नहीं है n+1; उदाहरण के लिए $\pi _{n}(x\otimes y+y\otimes x)=2xy$ विशेषता दो में शून्य है। विशेषता शून्य की एक अंगूठी पर, $\pi _{n}$ गैर विशेषण हो सकता है; उदाहरण के लिए, पूर्णांकों पर, यदि x और y के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्व हैं V = S¹(V) जो अंदर नहीं हैं 2V, तब $xy\not \in \pi _{n}(\operatorname {Sym} ^{2}(V)),$ तब से ${\frac {1}{2}}(x\otimes y+y\otimes x)\not \in \operatorname {Sym} ^{2}(V).$ संक्षेप में, विशेषता शून्य के क्षेत्र में, सममित टेन्सर और सममित बीजगणित दो आइसोमोर्फिक ग्रेडेड सदिश रिक्त स्थान बनाते हैं। इस प्रकार जहाँ तक ​​केवल सदिश स्थान संरचना का संबंध है, उनकी पहचान की जा सकती है, लेकिन उत्पादों के शामिल होते ही उनकी पहचान नहीं की जा सकती। इसके अलावा, यह आइसोमोर्फिज्म सकारात्मक विशेषता वाले क्षेत्रों और उन रिंगों के मामलों तक नहीं फैलता है जिनमें परिमेय संख्याएं नहीं होती हैं।

श्रेणीबद्ध गुण

एक मॉड्यूल (गणित) दिया गया V एक क्रमविनिमेय अंगूठी पर K, सममित बीजगणित S(V) को निम्नलिखित यूनिवर्सल प्रॉपर्टी द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

हरएक के लिए K-रैखिक मानचित्र f से V क्रमविनिमेय के लिए K-बीजगणित A, एक अनूठा है K-बीजगणित समरूपता $g:S(V)\to A$ ऐसा है कि $f=g\circ i,$ कहाँ i का समावेश है V में S(V).

प्रत्येक यूनिवर्सल प्रॉपर्टी के लिए, जैसे ही एक समाधान मौजूद होता है, यह विशिष्ट रूप से सममित बीजगणित को परिभाषित करता है, एक विहित समरूपता तक। यह इस प्रकार है कि सममित बीजगणित के सभी गुणों को यूनिवर्सल प्रॉपर्टी से घटाया जा सकता है। यह खंड मुख्य गुणों के लिए समर्पित है जो श्रेणी सिद्धांत से संबंधित हैं।

सममित बीजगणित की श्रेणी (गणित) से एक मज़ेदार है K-मॉड्यूल की श्रेणी के लिए K-कम्यूटेटिव बीजगणित, चूंकि यूनिवर्सल प्रॉपर्टी का अर्थ है कि प्रत्येक मॉड्यूल समरूपता $f:V\to W$ एक बीजगणित समरूपता के लिए विशिष्ट रूप से बढ़ाया जा सकता है $S(f):S(V)\to S(W).$ यूनिवर्सल प्रॉपर्टी को यह कहकर सुधारा जा सकता है कि सममित बीजगणित भुलक्कड़ फ़नकार के लिए एक बायाँ जोड़ है जो अपने अंतर्निहित मॉड्यूल के लिए एक कम्यूटेटिव बीजगणित भेजता है।

== एक affine स्थान == का सममित बीजगणित एक समान स्थान पर सममित बीजगणित का निर्माण कर सकते हैं। मुख्य अंतर यह है कि एक संबधित स्थान का सममित बीजगणित एक श्रेणीबद्ध बीजगणित नहीं है, बल्कि एक फ़िल्टर किया हुआ बीजगणित है: कोई एक सजातीय स्थान पर एक बहुपद की डिग्री निर्धारित कर सकता है, लेकिन इसके सजातीय भागों को नहीं।

उदाहरण के लिए, एक सदिश स्थान पर एक रैखिक बहुपद दिया गया है, कोई 0. पर मूल्यांकन करके इसके निरंतर भाग को निर्धारित कर सकता है। एक सजातीय स्थान पर, कोई विशिष्ट बिंदु नहीं है, इसलिए कोई ऐसा नहीं कर सकता है (एक बिंदु का चयन एक सघन स्थान को सदिश में बदल देता है) अंतरिक्ष)।

बाहरी बीजगणित के साथ सादृश्य

एस^k बाहरी शक्तियों की तुलना में कार्य करने वाले हैं; यहाँ, हालाँकि, आयाम (सदिश स्थान) k के साथ बढ़ता है; द्वारा दिया गया है

$\operatorname {dim} (S^{k}(V))={\binom {n+k-1}{k}}$

जहाँ n V का आयाम है। यह द्विपद गुणांक डिग्री k के n-चर मोनोमियल्स की संख्या है। वास्तव में, सममित बीजगणित और बाहरी बीजगणित की कार्रवाई के तुच्छ और सांकेतिक प्रतिनिधित्व के समस्थानिक घटकों के रूप में दिखाई देते हैं। $S_{n}$ टेंसर उत्पाद पर अभिनय $V^{\otimes n}$ (उदाहरण के लिए जटिल क्षेत्र में)

== एक हॉफ बीजगणित == के रूप में सममित बीजगणित को हॉफ बीजगणित की संरचना दी जा सकती है। विवरण के लिए टेन्सर बीजगणित देखें।

== एक सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित == के रूप में सममित बीजगणित एस (वी) एक एबेलियन लाइ बीजगणित का सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित है, यानी एक जिसमें लाइ ब्रैकेट समान रूप से 0 है।

यह भी देखें

• बाहरी बीजगणित, वैकल्पिक बीजगणित एनालॉग
• वर्गीकृत-सममित बीजगणित, एक सममित बीजगणित का एक सामान्य सामान्यीकरण और एक बाहरी बीजगणित
• वेइल बीजगणित, सममित बीजगणित का एक क्वांटम समूह एक सहानुभूतिपूर्ण रूप से
• क्लिफर्ड बीजगणित, द्विघात रूप से बाहरी बीजगणित का एक क्वांटम समूह

संदर्भ

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9

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