ओवररिंग

यह लेख गणितीय अवधारणा के बारे में है। उच्चारण के लिए, रिंग (विशेषक) देखें

गणित में, अविभाज्य कार्यक्षेत्र के ओवररिंग (ऊपरी वलय) में अविभाज्य कार्यक्षेत्र होता है, और अविभाज्य कार्यक्षेत्र के अंशों के क्षेत्र में ऊपरी वलय होता है। ऊपरी वलय विभिन्न प्रकार के वलय और कार्यक्षेत्र (रिंग सिद्धांत) की बेहतर समझ प्रदान करते हैं।

परिभाषा

इस लेख में, सभी वलय (गणित) क्रमविनिमेय वलय हैं, और वलय और ऊपरी वलय समान समरूप तत्व साझा करते हैं।

माना की ${\textstyle Q(A)}$ एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र ${\textstyle A}$ के अंशों के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं, वलय ${\textstyle B}$ अविभाज्य कार्यक्षेत्र${\textstyle A}$ का एक ऊपरी वलय है। यदि ${\textstyle A}$ ${\textstyle B}$ का उपसमूह है और ${\textstyle B}$ अंशों के क्षेत्र ${\textstyle Q(A)}$ का एक उपसमूह है ;तब ${\textstyle A}$ और ${\textstyle B}$ का संबंध है ${\textstyle A\subseteq B\subseteq Q(A)}$.

गुण

अंशो का वलय

वलय ${\textstyle R_{A},S_{A},T_{A}}$ गुणक समुच्चय ${\textstyle A}$ द्वारा वलय ${\textstyle R,S,T}$ के अंशों का कुल वलय हैं. मान लीजिए ${\textstyle T}$ ${\textstyle R}$ का ऊपरी वलय है और ${\textstyle A}$ ${\textstyle R}$ में एक गुणक समुच्चय है। वलय ${\textstyle T_{A}}$ ${\textstyle R_{A}}$ का ऊपरी वलय है। यदि प्रत्येक गैर-इकाई तत्व ${\textstyle T_{A}}$का एक शून्य भाजक है तो वलय ${\textstyle T_{A}}$ ${\textstyle R_{A}}$ के अंशों का कुल वलय है। यदि ${\textstyle R}$ पूर्ण रूप से ${\textstyle T}$ में बंद है तो वलय ${\textstyle R_{A}}$ ${\textstyle T_{A}}$ में अभिन्न तत्व है प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R_{A}}$ जो ${\textstyle T_{A}}$ में निहित है एक ${\textstyle S_{A}}$ वलय है , और ${\textstyle S}$ ${\textstyle R}$ का ऊपरी वलय है।

नोथेरियन कार्यक्षेत्र

परिभाषाएं

एक नोथेरियन वलय 3 समतुल्य परिमित स्थितियों को संतुष्ट करता है i) गुणावली (वलय सिद्धांत) की प्रत्येक आरोही श्रृंखला की स्थिति परिमित है, ii) गुणावलीों के प्रत्येक गैर-रिक्त श्रेणी का अधिकतम होता है और iii) प्रत्येक गुणावली का एक परिमित आधार होता है।

एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र होता है, अगर कार्यक्षेत्र का प्रत्येक गुणावली प्रमुख गुणावलीों का एक परिमित उत्पाद है ।

वलय का प्रतिबंधित आकार उन सभी प्राथमिक गुणावली की श्रेणियों के बीच अधिकतम क्रुल आकार है जिसमें एक नियमित तत्व होता है.

एक वलय ${\textstyle R}$ स्थानीय रूप से नगण्य है अगर हर वलय ${\textstyle R_{M}}$ अधिकतम गुणावली के साथ ${\textstyle M}$ नगण्य तत्वों से मुक्त है या प्रत्येक गैर इकाई के साथ एक शून्य विभाजक है।

एक प्रायोजित वलय एक क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद वलय की समरूप छवि (गणित) है।

गुण

डेडेकाइंड वलय का हर ऊपरी वलय डेडेकाइंड वलय होता है।

वलय के प्रत्यक्ष योग का प्रत्येक ऊपरी वलय, जिसके गैर-इकाई तत्व सभी शून्य-भाजक हैं, एक नोथेरियन वलय है।

क्रुल डायमेंशन 1-डायमेंशनल नोथेरियन कार्यक्षेत्र का हर ऊपरी वलय नोथेरियन वलय है।

ये कथन नोथेरियन वलय के समतुल्य हैं ${\textstyle R}$ अभिन्न बंद होने के साथ ${\textstyle {\bar {R}}}$.

• हर ओववलय ${\textstyle R}$ एक नोथेरियन वलय है।
• प्रत्येक अधिकतम गुणावली के लिए ${\textstyle M}$ का ${\textstyle R}$, हर ओवरिंग ${\textstyle R_{M}}$ एक नोथेरियन वलय है।
• वलय ${\textstyle R}$ प्रतिबंधित आकार 1 या उससे कम के साथ स्थानीय रूप से शून्य है।
• वलय ${\textstyle {\bar {R}}}$ नोथेरियन है, और वलय ${\textstyle R}$ सीमित आकार 1 या उससे कम है।
• हर ओवरिंग ${\textstyle {\bar {R}}}$ अभिन्न रूप से बंद है।

ये बयान affine ring के बराबर हैं ${\textstyle R}$ अभिन्न बंद होने के साथ ${\textstyle {\bar {R}}}$.

• वलय ${\textstyle R}$ स्थानीय रूप से शून्य है।
• वलय ${\textstyle {\bar {R}}}$ एक परिमित है ${\textstyle \operatorname {R-} }$प्रतिरूपण (गणित)।
• वलय ${\textstyle {\bar {R}}}$ नोथेरियन है।

एक अभिन्न रूप से बंद स्थानीय वलय ${\textstyle R}$ एक अविभाज्य कार्यक्षेत्र या वलय है जिसका गैर-इकाई तत्व सभी शून्य-भाजक हैं।

नोथेरियन अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक डेडेकिंड वलय है, अगर नोथेरियन वलय का हर ऊपरी वलय पूर्ण रूप से बंद है।

नोथेरियन अविभाज्य कार्यक्षेत्र का हर ऊपरी वलय अंशों का वलय है यदि नोथेरियन अविभाज्य कार्यक्षेत्र एक मरोड़ वर्ग समूह के साथ डेडेकिंड वलय है।

सुसंगत छल्ले

परिभाषाएं

एक सुसंगत वलय क्रमविनिमेय वलय है जिसमें वलय सिद्धांत की प्रत्येक शब्दावली वलय सिद्धांत की गुणावली शब्दावली है। नोथेरियन कार्यक्षेत्र और प्रुफ़र कार्यक्षेत्र सुसंगत हैं।

एक जोड़ी ${\textstyle (R,T)}$ वलय सिद्धांत के अविभाज्य कार्यक्षेत्र ग्लोसरी को इंगित करता है ${\textstyle T}$ ऊपर ${\textstyle R}$.

वलय ${\textstyle S}$ जोड़ी के लिए एक मध्यवर्ती कार्यक्षेत्र है ${\textstyle (R,T)}$ अगर ${\textstyle R}$ का उपकार्यक्षेत्र है ${\textstyle S}$ और ${\textstyle S}$ का उपकार्यक्षेत्र है ${\textstyle T}$.

गुण

प्रत्येक ऊपरी वलय सुसंगत होने पर एक नोथेरियन वलय का क्रुल आकार 1 या उससे कम होता है।

अविभाज्य कार्यक्षेत्र जोड़ी के लिए ${\textstyle (R,T)}$, ${\textstyle T}$ का ऊपरी वलय है ${\textstyle R}$ यदि प्रत्येक मध्यवर्ती अविभाज्य कार्यक्षेत्र अभिन्न रूप से बंद है ${\textstyle T}$.

का अभिन्न समापन ${\textstyle R}$ एक Prüfer कार्यक्षेत्र है यदि प्रत्येक उपसमुच्चय का ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ सुसंगत है।

Prüfer कार्यक्षेत्र और Krull 1-आकारी नोथेरियन कार्यक्षेत्र के ऊपरी वलय सुसंगत हैं।

चेकर कार्यक्षेत्र

गुण

एक वलय में QR गुण होता है यदि प्रत्येक ऊपरी वलय गुणक सेट के साथ एक स्थानीयकरण है। QR कार्यक्षेत्र Prüfer कार्यक्षेत्र हैं। मरोड़ पिकार्ड समूह वाला Prüfer कार्यक्षेत्र एक QR कार्यक्षेत्र है। एक Prüfer कार्यक्षेत्र एक QR कार्यक्षेत्र होता है यदि प्रत्येक अंतिम रूप से उत्पन्न गुणावली के रिंग का रेडिकल एक प्रमुख गुणावली द्वारा उत्पन्न रेडिकल के बराबर होता है।

कथन ${\textstyle R}$ एक Prüfer कार्यक्षेत्र इसके बराबर है:

• प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ के स्थानीयकरणों का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है ${\textstyle R}$, और ${\textstyle R}$ अभिन्न रूप से बंद है।
• प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ के अंशों के छल्लों का प्रतिच्छेदन है ${\textstyle R}$, और ${\textstyle R}$ अभिन्न रूप से बंद है।
• प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ प्रमुख गुणावली हैं जो के प्रमुख गुणावलीों के विस्तार हैं ${\textstyle R}$, और ${\textstyle R}$ अभिन्न रूप से बंद है।
• प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ के किसी भी अभाज्य गुणावली के ऊपर अधिक से अधिक 1 मुख्य गुणावली होता है ${\textstyle R}$, और ${\textstyle R}$ अभिन्न रूप से बंद है
• प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ अभिन्न रूप से बंद है।
• प्रत्येक ऊपरी वलय ${\textstyle R}$ सुसंगत है।

कथन ${\textstyle R}$ एक Prüfer कार्यक्षेत्र इसके बराबर है:

• प्रत्येक ऊपरी वलय $S$ का ${\textstyle R}$ एक के रूप में प्रतिरूपण (गणित) है $\operatorname {S-}$मापांक।
• प्रत्येक मूल्यांकन की वलय ${\textstyle R}$ अंशों का एक वलय है।

न्यूनतम overring

परिभाषाएं

ए न्यूनतम वलय समरूपता ${\textstyle f}$ एक इंजेक्शन समारोह विशेषण समारोह होमोमोर्फिज़्म है, और यदि होमोमोर्फिज़्म है ${\textstyle f}$ समरूपता की एक रचना है ${\textstyle g}$ और ${\textstyle h}$ तब ${\textstyle g}$ या ${\textstyle h}$ एक समरूपता है।

एक उचित न्यूनतम वलय एक्सटेंशन ${\textstyle T}$ उपवलय का ${\textstyle R}$ होता है अगर की वलय शामिल है ${\textstyle R}$ में ${\textstyle T}$ एक न्यूनतम वलय समरूपता है। इसका तात्पर्य वलय जोड़ी से है ${\textstyle (R,T)}$ कोई उचित मध्यवर्ती वलय नहीं है।

एक न्यूनतम ऊपरी वलय ${\textstyle T}$ वलय का ${\textstyle R}$ होता है अगर ${\textstyle T}$ रोकना ${\textstyle R}$ एक उपवलय और वलय जोड़ी के रूप में ${\textstyle (R,T)}$ कोई उचित मध्यवर्ती वलय नहीं है।

गुणावली का कप्लैन्स्की गुणावली रूपांतरण (हेज़ रूपांतरण, S-रूपांतरण) ${\textstyle I}$ अविभाज्य कार्यक्षेत्र के संबंध में ${\textstyle R}$ अंश क्षेत्र का एक उपसमुच्चय है ${\textstyle Q(R)}$. इस उपसमुच्चय में तत्व होते हैं ${\textstyle x}$ ऐसा है कि प्रत्येक तत्व के लिए ${\textstyle y}$ गुणावली का ${\textstyle I}$ एक सकारात्मक पूर्णांक है ${\textstyle n}$ उत्पाद के साथ ${\textstyle x\cdot y^{n}}$ अविभाज्य कार्यक्षेत्र में निहित ${\textstyle R}$.

गुण

कार्यक्षेत्र के न्यूनतम वलय एक्सटेंशन से उत्पन्न कोई भी कार्यक्षेत्र ${\textstyle R}$ का ऊपरी वलय है ${\textstyle R}$ अगर ${\textstyle R}$ एक क्षेत्र नहीं है।

के अंशों का क्षेत्र ${\textstyle R}$ न्यूनतम ऊपरी वलय शामिल है ${\textstyle T}$ का ${\textstyle R}$ कब ${\textstyle R}$ एक क्षेत्र नहीं है।

एक अभिन्न रूप से बंद अविभाज्य कार्यक्षेत्र मान लें ${\textstyle R}$ एक फ़ील्ड नहीं है, यदि अविभाज्य कार्यक्षेत्र का न्यूनतम ऊपरी वलय है ${\textstyle R}$ मौजूद है, यह न्यूनतम ऊपरी वलय एक अधिकतम गुणावली के कप्लान्स्की परिवर्तन के रूप में होता है ${\textstyle R}$.

उदाहरण

बेज़ाउट कार्यक्षेत्र | बेज़ाउट अविभाज्य कार्यक्षेत्र प्रुफ़र कार्यक्षेत्र का एक प्रकार है; बेज़ाउट कार्यक्षेत्र की पारिभाषिक संपत्ति प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न गुणावली एक प्रमुख गुणावली है। बेज़ाउट कार्यक्षेत्र एक Prüfer कार्यक्षेत्र के सभी ऊपरी वलय गुणों को साझा करेगा।

पूर्णांक वलय एक प्रुफ़र वलय है, और सभी अधिगम भागफल के वलय हैं।

डायाडिक परिमेय एक पूर्णांक अंश और 2 भाजक की शक्ति वाला एक अंश है।

डायाडिक परिमेय वलय दो की शक्तियों और पूर्णांक वलय के एक ऊपरी वलय द्वारा पूर्णांकों का स्थानीयकरण है।

यह भी देखें

• स्पष्ट अंगूठी
• अंगूठियों की श्रेणी
• सुसंगत अंगूठी
• डेडेकाइंड डोमेन
• रिंग थ्योरी की शब्दावली
• अभिन्न तत्व
• क्रुल आयाम
• स्थानीय रिंग
• स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित)
• नीलपोटेंट
• पिकार्ड समूह
• प्रधान आदर्श
• प्रूफर डोमेन
• नोथेरियन रिंग
• नियमित तत्व
• सब्रिंग
• अंशों का कुल वलय
• वैल्यूएशन रिंग

संदर्भ

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संबंधित श्रेणियां

श्रेणी:रिंग सिद्धांत

श्रेणी:गुणावली (वलय सिद्धांत)

श्रेणी:बीजगणितीय संरचनाएं

श्रेणी:क्रमविनिमेय बीजगणित