समूह संरचना और पसंद का स्वयंसिद्ध

1904 में अर्नेस्ट ज़र्मेलो ने अच्छी क्रम वाली प्रमेय को साबित किया, जिसे पसंद के स्वयंसिद्ध के रूप में जाना जाता था।

गणित में समूह (गणित) एक समुच्चय होता है जिसमें एक द्विआधारी संक्रिया होती है जिसे गुणा कहा जाता है जो समूह के स्वयंसिद्धों का अनुसरण करता है। पसंद का स्वयंसिद्ध ZFC समुच्चय सिद्धांत का एक स्वयंसिद्ध है जो एक रूप में बताता है कि प्रत्येक समुच्चय को सुव्यवस्थित किया जा सकता है।

जेडएफ समुच्चय सिद्धांत में अर्थात पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना जेडएफसी, निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:

• प्रत्येक गैर-खाली समुच्चय X के लिए एक बाइनरी संक्रियक सम्मिलित है • जैसे कि (X, •) एक समूह है।
• पसंद का स्वयंसिद्ध सत्य है।

एक समूह संरचना का अर्थ है पसंद का स्वयंसिद्ध

इस खंड में यह माना जाता है कि प्रत्येक समुच्चय X को एक समूह संरचना (X, •) से संपन्न किया जा सकता है।

माना X एक समुच्चय है। चलो ℵ(X) X की हार्टोग्स संख्या है। यह सबसे कम कार्डिनल संख्या है जैसे कि ℵ(X) से X में कोई इंजेक्शन (गणित) नहीं है। यह पसंद के स्वयंसिद्ध की धारणा के बिना सम्मिलित है। प्रमाण की तकनीकी सरलता के लिए यहाँ मान लें कि X का कोई क्रमसूचक नहीं है। माना कि • समूह में गुणन (X ∪ ℵ(X), •) को दर्शाता है।

किसी भी x ∈ X के लिए एक α ∈ ℵ(X) ऐसा है कि x • α ∈ ℵ(X) मान लीजिए नहीं। फिर एक y ∈ X ऐसा है कि y • α ∈ X सबके लिए α ∈ ℵ(X) लेकिन प्राथमिक समूह सिद्धांत द्वारा, y • α सभी भिन्न हैं क्योंकि α श्रेणी ℵ(X) से अधिक है। इस प्रकार ऐसा y ℵ(X) से X में एक इंजेक्शन देता है। यह असंभव है क्योंकि ℵ(X) एक ऐसा कार्डिनल है जिससे X में कोई इंजेक्शन सम्मिलित नहीं है।

अब X के एक मानचित्र j को ℵ(X) × ℵ(X) में परिभाषित करें जो कि x ∈ X को कम से कम (α, β) ∈ ℵ(X) × ℵ(X) भेजकर लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर से संपन्न है जैसे कि x • α = β उपरोक्त तर्क से मानचित्र j सम्मिलित है और अद्वितीय है क्योंकि सुव्यवस्थित समुच्चय के सबसमुच्चय के कम से कम तत्व अद्वितीय हैं। यह प्राथमिक समूह सिद्धांत, इंजेक्शन द्वारा है।

अंत में, X पर x < y यदि j(x) < j(y) हो तो वेलऑर्डरिंग परिभाषित करें। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक समुच्चय X को सुव्यवस्थित किया जा सकता है और इस प्रकार पसंद का स्वयंसिद्ध सत्य है।

ऊपर (i) में व्यक्त की गई महत्वपूर्ण संपत्ति के लिए धारण करने के लिए, और इसलिए संपूर्ण प्रमाण, यह X के लिए एक रद्दी मैग्मा होने के लिए पर्याप्त है, उदा। एक अर्धसमूह। [4] रद्दीकरण गुण यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि y • α सभी भिन्न हैं।

पसंद का स्वयंसिद्ध एक समूह संरचना

किसी भी गैर-खाली परिमित समुच्चय में किसी भी तत्व द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूह के रूप में एक समूह संरचना होती है। पसंद के स्वयंसिद्ध की धारणा के तहत, प्रत्येक अनंत समुच्चय X एक अद्वितीय कार्डिनल संख्या से लैस |X| है जो एक एलेफ के बराबर है। पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि समुच्चय के किसी भी परिवार S के लिए |⋃S| ≤ |S| × sup { |s| : s ∈ S} इसके अतिरिक्त तर्स्की के प्रमेय द्वारा पसंद के स्वयंसिद्ध के एक और समकक्ष |X|ⁿ = |X| सभी परिमित n (B) के लिए।

मान लीजिए X एक अनंत समुच्चय है और F, X के सभी परिमित उपसमुच्चयों के समुच्चय को निरूपित करता है। F पर एक प्राकृतिक गुणन • है। f, g ∈ F के लिए, मान लीजिए f • g = f Δ g, जहाँ Δ सममित अंतर को दर्शाता है। यह (F, •) को खाली समुच्चय वाले समूह में बदल देता है। Ø पहचान होने के नाते और प्रत्येक तत्व का अपना व्युत्क्रम होता है; एफ Δ एफ = Ø। साहचर्य गुण, अर्थात (f Δ g) Δ h = f Δ (g Δ h) को संघ और समुच्चय अंतर के मूल गुणों का उपयोग करके सत्यापित किया जाता है। इस प्रकार F गुणन Δ वाला एक समूह है।

कोई भी समुच्चय जिसे एक समूह के साथ आपत्ति में डाला जा सकता है, वह आपत्ति के माध्यम से एक समूह बन जाता है। यह दिखाया जाएगा कि |X| = |F| और इसलिए X और समूह (F, •) के बीच एक-से-एक पत्राचार सम्मिलित है। n = 0,1,2, ... के लिए, F_n को कार्डिनैलिटी के सभी उपसमुच्चयों से मिलकर F का उपसमुच्चय होने दें। तब F, F_n का असंयुक्त संघ है। कार्डिनलिटी एन के X के सबसमुच्चय की संख्या अधिकतम है Xⁿ क्योंकि एन तत्वों के साथ प्रत्येक सबसमुच्चय X के एन-फोल्ड कार्टेशियन उत्पाद Xⁿ का एक तत्व है। इसलिए |F_n| ≤ |X|ⁿ = |X| सभी के लिए एन (सी) द्वारा (बी)।

इन परिणामों को एक साथ रखने पर यह देखा जाता है कि |F| = |⋃_{n ∈ ω}F_n| ≤ ℵ₀ · |X| = |X| (ए) और (सी) द्वारा। साथ ही |F| ≥ |X| क्योंकि F में सभी सिंगलटन हैं। इस प्रकार, ||X| ≤ |F| और |F| ≤ |X| इसलिए, श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय द्वारा,|F| = |X| इसका मतलब यह है कि X और F के बीच एक आक्षेप j है। अंत में x, y ∈ X के लिए x • y = j⁻¹(j(x) Δ j(y)) परिभाषित करें। यह (X, •) को समूह में बदल देता है। इसलिए हर समुच्चय एक समूह संरचना को स्वीकृत करता है।

समूह संरचना के बिना ZF समुच्चय

ZF के ऐसे आंतरिक मॉडल हैं जिनमें पसंद का स्वयंसिद्ध विफल हो जाता है। ऐसे मॉडल में, ऐसे समुच्चय होते हैं जिन्हें अच्छी तरह से ऑर्डर नहीं किया जा सकता है (इन "नॉन-वेलऑर्डरेबल" समुच्चय को कॉल करें)। माना X ऐसा कोई समुच्चय है। अब समुच्चय Y = X ∪ ℵ(X) पर विचार करें। यदि Y के पास एक समूह संरचना होती, तो, पहले खंड में निर्माण द्वारा, X को सुव्यवस्थित किया जा सकता है। यह विरोधाभास दर्शाता है कि समुच्चय Y पर कोई समूह संरचना नहीं है।

यदि एक समुच्चय ऐसा है कि इसे समूह संरचना से संपन्न नहीं किया जा सकता है, तो यह आवश्यक रूप से गैर-क्रमबद्ध है। अन्यथा दूसरे खंड में निर्माण समूह संरचना उत्पन्न करता है। हालाँकि ये गुण समतुल्य नहीं हैं। अर्थात्, यह उन समुच्चयों के लिए संभव है जिन्हें समूह संरचना के लिए सुव्यवस्थित नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए यदि $X$ कोई समुच्चय है तो ${\mathcal {P}}(X)$ में एक समूह संरचना होती है, जिसमें समूह संचालन के रूप में सममित अंतर होता है। बेशक, अगर $X$ को सुव्यवस्थित नहीं किया जा सकता है, तो न तो ${\mathcal {P}}(X)$ हो सकता है। समुच्चय का एक दिलचस्प उदाहरण जो समूह संरचना नहीं ले सकता है, समुच्चय $X$ से निम्न दो गुणों के साथ है:

1. $X$ एक अनंत डेडेकिंड-परिमित समुच्चय है। दूसरे शब्दों में $X$ का कोई गिनने योग्य अपरिमित उपसमुच्चय नहीं है।
2. यदि $X$ को परिमित समुच्चयों में विभाजित किया जाता है, तो उनमें से बहुत से को छोड़कर सभी एकल हैं।

यह देखने के लिए कि इन दोनों का संयोजन एक समूह संरचना को स्वीकृत नहीं कर सकता है, ध्यान दें कि इस तरह के समुच्चय के किसी भी क्रमपरिवर्तन में केवल परिमित कक्षाएँ होनी चाहिए, और उनमें से लगभग सभी आवश्यक रूप से सिंगलटन हैं, जिसका अर्थ है कि अधिकांश तत्व क्रमचय द्वारा स्थानांतरित नहीं होते हैं।

अब $a$ के लिए $x\mapsto a\cdot x$ द्वारा दिए गए क्रमचय पर विचार करें, जो कि तटस्थ तत्व नहीं है, असीम रूप से कई $x$ ऐसे हैं $a\cdot x=x$ इसलिए उनमें से कम से कम एक तटस्थ तत्व भी नहीं है। $x^{-1}$ से गुणा करने पर यह पता चलता है कि वास्तव में एक पहचान तत्व है जो एक विरोधाभास है।

ऐसे समुच्चय $X$ का अस्तित्व सुसंगत है, उदाहरण के लिए कोहेन के पहले मॉडल में दिया गया है। हैरानी की बात है, हालांकि, एक अनंत डेडेकिंड-परिमित समुच्चय होना एक समूह संरचना को बाहर करने के लिए पर्याप्त नहीं है, क्योंकि यह सुसंगत है कि डेडेकिंड-परिमित घात समुच्चय के साथ अनंत डेडेकिंड-परिमित समुच्चय हैं।

संदर्भ

• Hajnal, A.; Kertész, A. (1972). "Some new algebraic equivalents of the axiom of choice". Publ. Math. Debrecen. 19: 339–340.
• Rubin, Herman; Rubin, Jean E. (July 1985). Equivalents of the Axiom of Choice II. North Holland/Elsevier. ISBN 0-444-87708-8.
• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Cohen, Paul J. (1966). Set theory and the Continuum Hypothesis. Benjamin, New York.
• Adkins; Weintraub (1992). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 136. Springer.