मूल्यांकन (बीजगणित)

बीजगणित में (विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति या बीजगणितीय संख्या क्षेत्र में), मूल्यांकन क्षेत्र (गणित) पर फ़ंक्शन (गणित) है जो क्षेत्र के तत्वों के आकार या बहुलता का माप प्रदान करता है। जटिल विश्लेषण में ध्रुव की डिग्री या शून्य की बहुलता (गणित) के विचार में अंतर्निहित आकार की धारणा, संख्या सिद्धांत में अभाज्य संख्या द्वारा संख्या की विभाज्यता की डिग्री और बीजगणितीय ज्यामिति में दो बीजगणितीय विविधता या विश्लेषणात्मक विविधता के मध्य संपर्क (ज्यामिति) की ज्यामितीय अवधारणा को यह क्रमविनिमेय बीजगणित के लिए सामान्यीकरण करता है। जिस क्षेत्र पर मूल्यांकन होता है, उसे वैल्यूड क्षेत्र कहा जाता है।

परिभाषा

निम्नलिखित वस्तुओं से प्रारम्भ होता है:

क्षेत्र (गणित) $K$ और इसका गुणक समूह K^×
एबेलियन समूह पूर्ण व्यवस्थित समूह $(Γ, +, \geq)$ ,

$Γ$ पर आदेश और समूह नियम सेट $Γ \cup {\infty$ }^{[lower-alpha 1]} निम्लिखित नियमानुसार विस्तारित किये गए हैं,

$α$ ∈ $Γ$ के लिए $\infty \geq α$ है,
$α$ ∈ $Γ$ के लिए $\infty + α = α + \infty = \infty + \infty = \infty$ है

तब $K$ का मूल्यांकन मैप $v : K \to Γ \cup {\infty}$ है।

जो K में a, b के लिए निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है-

$v (a) = \infty$ यदि $a = 0$ ,
$v (ab) = v (a) + v (b)$ ,
यदि v(a) ≠ v(b), तब समानता $v (a + b) \geq min(v (a), v (b))$ है

यदि K^{× में a के लिए v(a) = 0 है तो मूल्यांकन v 'ट्रिविअल' है, अन्यथा यह नॉन-ट्रिविअल है।}

दूसरी संपत्ति का दावा है कि कोई भी मूल्यांकन एक समूह समरूपता है। तीसरी संपत्ति मीट्रिक रिक्त स्थान पर त्रिभुज असमानता का एक संस्करण है जो एक मनमाना Γ के लिए अनुकूलित है (नीचे 'गुणात्मक संकेतन' देखें)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाने वाले मूल्यांकन के लिए, पहली संपत्ति का अर्थ है कि एक बिंदु के पास एक विश्लेषणात्मक किस्म के किसी भी गैर-खाली रोगाणु (गणित) में वह बिंदु होता है।

मूल्यांकन की व्याख्या अग्रणी-क्रम अवधि के क्रम के रूप में की जा सकती है।^{[lower-alpha 2]} तीसरी संपत्ति तब बड़े पद के क्रम के योग के क्रम से मेल खाती है,^{[lower-alpha 3]} जब तक कि दो शब्दों का एक ही क्रम न हो, जिस स्थिति में वे रद्द कर सकते हैं, जिस स्थिति में योग का बड़ा क्रम हो सकता है।

कई अनुप्रयोगों के लिए, $Γ$ वास्तविक संख्याओं का योगात्मक उपसमूह है $\mathbb {R}$ ^{[lower-alpha 4]} जिस स्थिति में ∞ की व्याख्या विस्तारित वास्तविक संख्याओं में +∞ के रूप में की जा सकती है; ध्यान दें कि $\min(a,+\infty )=\min(+\infty ,a)=a$ किसी वास्तविक संख्या a के लिए, और इस प्रकार +∞ न्यूनतम की बाइनरी संक्रिया के अंतर्गत इकाई है। न्यूनतम और जोड़ के संचालन के साथ वास्तविक संख्याएं (+ ∞ द्वारा विस्तारित) एक मोटी हो जाओ बनाती हैं, जिसे मिन उष्णकटिबंधीय सेमिरिंग कहा जाता है,^{[lower-alpha 5]} और एक वैल्यूएशन v, K से ट्रॉपिकल सेमिरिंग तक लगभग एक सेमीरिंग होमोमोर्फिज्म है, सिवाय इसके कि होमोमोर्फिज्म प्रॉपर्टी तब विफल हो सकती है जब समान वैल्यूएशन वाले दो तत्व एक साथ जुड़ जाते हैं।

गुणक अंकन और निरपेक्ष मान

अवधारणा को एमिल आर्टिन ने अपनी पुस्तक ज्यामितीय बीजगणित (पुस्तक) में विकसित किया था, जिसमें समूह को गुणक संकेतन में लिखा गया था $(Γ, \cdot, \geq)$ :^[1] ∞ के बजाय, हम एक औपचारिक प्रतीक O को Γ से जोड़ते हैं, नियमों द्वारा विस्तारित आदेश और समूह कानून के साथ

$O \leq α$ सभी के लिए $α$ ∈ $Γ$ ,
$O \cdot α = α \cdot O = O$ सभी के लिए $α$ ∈ $Γ$ .

फिर का मूल्यांकन $K$ कोई नक्शा है

| \cdot | v : K \to Γ \cup {O}

सभी a, b ∈ K के लिए निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करना:

$|a| v = O$ अगर और केवल अगर $a = 0$ ,
$|ab| v = |a| v \cdot |b| v$ ,
$|a+b| v \leq max(|a| v, |b| v)$ , समानता के साथ अगर $|a| v \neq |b| v$ .

(ध्यान दें कि असमानताओं की दिशाएँ योज्य संकेतन से उलटी हैं।)

अगर $Γ$ गुणन के तहत सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का एक उपसमूह है, अंतिम स्थिति अल्ट्रामेट्रिक स्पेस असमानता है, त्रिकोण असमानता का एक मजबूत रूप $|a+b| v \leq |a| v + |b| v$ , और $| \cdot | v$ एक निरपेक्ष मान (बीजगणित) है। इस मामले में, हम मूल्य समूह के साथ योज्य संकेतन को पास कर सकते हैं $\Gamma _{+}\subset (\mathbb {R} ,+)$ ले कर $v + (a) = -log |a| v$ .

प्रत्येक मूल्यांकन पर $K$ एक संबंधित रैखिक पूर्व आदेश को परिभाषित करता है: $a ≼ b \Leftrightarrow |a| v \leq |b| v$ . इसके विपरीत, एक दिया $≼$ आवश्यक गुणों को संतुष्ट करते हुए, हम मूल्यांकन को परिभाषित कर सकते हैं $|a| v = {b : b ≼ a \land a ≼ b$ }, गुणा और क्रम के आधार पर $K$ और $≼$ .

शब्दावली

इस लेख में, हम योगात्मक संकेतन में ऊपर परिभाषित शब्दों का उपयोग करते हैं। हालाँकि, कुछ लेखक वैकल्पिक शब्दों का उपयोग करते हैं:

हमारे मूल्यांकन (अल्ट्रामेट्रिक असमानता को संतुष्ट करना) को एक्सपोनेंशियल वैल्यूएशन या नॉन-आर्किमिडीयन एब्सोल्यूट वैल्यू या अल्ट्रामेट्रिक एब्सोल्यूट वैल्यू कहा जाता है;
हमारा निरपेक्ष मूल्य (त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करना) एक मूल्यांकन या एक आर्किमिडीयन निरपेक्ष मान कहलाता है।

संबद्ध वस्तुएं

किसी दिए गए मूल्यांकन से परिभाषित कई वस्तुएं हैं $v : K \to Γ \cup {\infty}$ ;

मूल्य समूह या मूल्यांकन समूह $Γ v$ = वी (के^×), का एक उपसमूह $Γ$ (हालांकि v आमतौर पर विशेषण है ताकि $Γ v$ = $Γ$ );
मूल्यांकन की अंगूठी आर_v∈ का समुच्चय है $K$ वी(ए) ≥ 0 के साथ,
'प्रमुख आदर्श' एम_vv(a) > 0 के साथ ∈ K का समुच्चय है (यह वास्तव में R का अधिकतम आदर्श है_v),
'अवशेष क्षेत्र (बीजगणित)' k_v= आर_v/एम_v,
पूर्ण मान (बीजगणित)#Places|'place' का $K$ v से संबंधित, v की कक्षा नीचे परिभाषित समतुल्यता के तहत।

मूल गुण

मूल्यांकन की समानता

दो मूल्यांकन वी₁ और वी₂ का $K$ मूल्यांकन समूह Γ के साथ₁ और जी₂, क्रमशः, समतुल्य कहा जाता है यदि कोई आदेश-संरक्षित समूह समरूपता है $φ : Γ 1 \to Γ 2$ ऐसा है कि वी₂(ए) = φ (वी₁(ए)) सभी के लिए कश्मीर में^×. यह एक तुल्यता संबंध है।

K के दो वैल्यूएशन समतुल्य हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान वैल्यूएशन रिंग है।

किसी क्षेत्र के मूल्यांकन के समतुल्य वर्ग को 'स्थान' कहा जाता है। ओस्ट्रोव्स्की का प्रमेय परिमेय संख्याओं के क्षेत्र के स्थानों का पूर्ण वर्गीकरण देता है $\mathbb {Q} :$ ये पी-एडिक नंबर|पी-एडिक के पूर्ण स्थान के लिए वैल्यूएशन के सटीक समतुल्य वर्ग हैं $\mathbb {Q} .$

मूल्यांकन का विस्तार

मान लीजिए v का मूल्यांकन है $K$ और L का फील्ड एक्सटेंशन होने दें $K$ . V (L) का एक विस्तार L का मूल्यांकन w है, जैसे कि w का फ़ंक्शन प्रतिबंध $K$ v है। ऐसे सभी विस्तारों के सेट का अध्ययन वैल्यूएशन के रेमीफिकेशन थ्योरी में किया जाता है।

एल/के को एक सीमित विस्तार होने दें और डब्ल्यू को वी से एल तक विस्तार दें। Γ के उपसमूह की अनुक्रमणिका_v जी में_w, ई(डब्ल्यू/वी) = [सी_w: सी_v], को v के ऊपर w का घटा हुआ रेमीफिकेशन इंडेक्स कहा जाता है। यह संतुष्ट करता है e(w/v) ≤ [L : K] (विस्तार L/K' के क्षेत्र विस्तार की डिग्री ')। v के ऊपर w की सापेक्ष डिग्री f(w/v) = [R के रूप में परिभाषित की गई है_w/एम_w: आर_v/एम_v] (अवशेष क्षेत्रों के विस्तार की डिग्री)। यह L/K की डिग्री से कम या उसके बराबर भी है। जब एल/के अलग करने योग्य विस्तार होता है, तो वी ओवर वी के 'प्रसंस्करण सूचकांक' को ई (डब्ल्यू/वी) पी के रूप में परिभाषित किया जाता है^मैं, जहां pⁱ एक्सटेंशन R की अविभाज्य डिग्री है_w/एम_wओवर आर_v/एम_v.

पूर्ण मूल्यवान फ़ील्ड

जब आदेश दिया एबेलियन समूह $Γ$ पूर्णांकों का योगात्मक समूह है, संबंधित मूल्यांकन एक निरपेक्ष मान के बराबर है, और इसलिए क्षेत्र पर एक मीट्रिक (गणित) को प्रेरित करता है $K$ . अगर $K$ इस मीट्रिक के संबंध में पूर्ण मीट्रिक स्थान है, तो इसे पूर्ण मान फ़ील्ड कहा जाता है। यदि के पूर्ण नहीं है, तो इसके समापन (बीजगणित) के निर्माण के लिए मूल्यांकन का उपयोग किया जा सकता है, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरणों में है, और अलग-अलग मूल्यांकन अलग-अलग समापन क्षेत्रों को परिभाषित कर सकते हैं।

सामान्य तौर पर, एक मूल्यांकन एक समान स्थान को प्रेरित करता है $K$ , और $K$ को एक पूर्ण मूल्यवान क्षेत्र कहा जाता है यदि यह एकसमान स्थान # एकसमान स्थान के रूप में पूर्णता है। एक संबंधित संपत्ति है जिसे गोलाकार रूप से पूर्ण क्षेत्र के रूप में जाना जाता है: यह पूर्णता के बराबर है $\Gamma =\mathbb {Z} ,$ लेकिन सामान्य रूप से मजबूत।

उदाहरण

पी-एडिक वैल्यूएशन

सबसे बुनियादी उदाहरण पी-एडिक वैल्यूएशन है $p$ -ऐडिक वैल्यूएशन एन_p परिमेय संख्याओं पर एक अभाज्य पूर्णांक p से संबद्ध $K=\mathbb {Q} ,$ मूल्यांकन की अंगूठी के साथ $R=\mathbb {Z} _{(p)},$ कहाँ $\mathbb {Z} _{(p)}$ का स्थानीयकरण है $\mathbb {Z}$ प्रधान आदर्श पर $(p)$ . मूल्यांकन समूह योगात्मक पूर्णांक है $\Gamma =\mathbb {Z} .$ एक पूर्णांक के लिए $a\in R=\mathbb {Z} ,$ मूल्यांकन वी_p(ए) पी की शक्तियों द्वारा की विभाज्यता को मापता है:

\nu _{p}(a)=\max\{e\in \mathbb {Z} \mid p^{e}{\text{ divides }}a\};

और एक अंश के लिए, ν_p(ए/बी) = एन_p(ए) - एन_p(बी)।

इसे गुणात्मक रूप से लिखने से p-adic निरपेक्ष मान प्राप्त होता है $p$ -ऐडिक निरपेक्ष मान, जिसका पारंपरिक रूप से आधार होता है $1/p=p^{-1}$ , इसलिए $|a|_{p}:=p^{-\nu _{p}(a)}$ .

का समापन (बीजगणित)। $\mathbb {Q}$ ν के संबंध में_p मैदान है $\mathbb {Q} _{p}$ पी-एडिक नंबरों की।

गायब होने का क्रम

चलो के = एफ (एक्स), एफ़िन लाइन एक्स = एफ पर तर्कसंगत कार्य¹, और एक बिंदु a ∈ X लें। एक बहुपद के लिए $f(x)=a_{k}(x{-}a)^{k}+a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots +a_{n}(x{-}a)^{n}$ साथ $a_{k}\neq 0$ , वी परिभाषित करें_a(एफ) = के, एक्स = ए पर गायब होने का क्रम; और वी_a(एफ / जी) = वी_a(एफ) - वी_a(जी)। तब मूल्यांकन वलय R में परिमेय फलन होते हैं जिनमें x = a पर कोई ध्रुव नहीं होता है, और पूर्णता औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला वलय 'F'((x−a)) है। इसे प्यूसियक्स श्रृंखला K के क्षेत्र में सामान्यीकृत किया जा सकता है{{t}} (आंशिक शक्तियाँ), लेवी-सिविता क्षेत्र (इसकी कॉची पूर्णता), और हैन श्रृंखला का क्षेत्र, सभी मामलों में मूल्यांकन के साथ श्रृंखला में दिखाई देने वाले टी के सबसे छोटे घातांक को लौटाता है।

$π$ -आदिक मूल्यांकन

पिछले उदाहरणों को सामान्य करते हुए, आइए $R$ एक प्रमुख आदर्श डोमेन हो, $K$ इसके अंशों का क्षेत्र हो, और $π$ का एक अलघुकरणीय तत्व हो $R$ . चूंकि प्रत्येक प्रमुख आदर्श डोमेन एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन है, प्रत्येक गैर-शून्य तत्व का $R$ को (अनिवार्य रूप से) विशिष्ट रूप में लिखा जा सकता है

a=\pi ^{e_{a}}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}}

जहाँ e गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं और p_iके अलघुकरणीय तत्व हैं $R$ जो सहयोगी (रिंग थ्योरी) नहीं हैं $π$ . विशेष रूप से, पूर्णांक ई_aएक द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।

K का 'π-adic मूल्यांकन' इसके द्वारा दिया जाता है

$v_{\pi }(0)=\infty$
$v_{\pi }(a/b)=e_{a}-e_{b},{\text{ for }}a,b\in R,a,b\neq 0.$

अगर π' का एक और अलघुकरणीय तत्व है $R$ जैसे कि (π') = (π) (अर्थात, वे R में समान आदर्श उत्पन्न करते हैं), तो π-adic मूल्यांकन और π'-adic मूल्यांकन बराबर हैं। इस प्रकार, π-adic मूल्यांकन को P-adic मूल्यांकन कहा जा सकता है, जहाँ P = (π)।

डेडेकाइंड डोमेन पर पी-एडिक वैल्यूएशन

पिछले उदाहरण को Dedekind डोमेन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। होने देना $R$ एक Dedekind डोमेन हो, $K$ इसके अंशों का क्षेत्र, और P को एक गैर-शून्य प्रधान आदर्श होने दें $R$ . फिर, की एक अंगूठी का स्थानीयकरण $R$ पर P, R को निरूपित करता है_P, एक प्रमुख आदर्श डोमेन है जिसका अंश का क्षेत्र है $K$ . पिछले खंड का निर्माण प्रमुख आदर्श पीआर पर लागू होता है_Pआर का_Pउपज देता है ' $P$ -आदिक मूल्यांकन $K$ .

वैल्यूएशन फील्ड्स पर वेक्टर स्पेस

लगता है कि $Γ$ ∪ {0} गुणन के अंतर्गत गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। फिर हम कहते हैं कि मूल्यांकन असतत है यदि इसकी सीमा (मूल्यांकन समूह) अनंत है (और इसलिए 0 पर एक संचय बिंदु है)।

मान लीजिए कि एक्स के के ऊपर एक सदिश स्थान है और ए और बी एक्स के सबसेट हैं। फिर हम कहते हैं कि A B को अवशोषित करता है यदि कोई α ∈ K मौजूद है जैसे कि λ ∈ K और |λ| ≥ |α| का तात्पर्य है कि बी ⊆ λ ए। A को रेडियल या अवशोषित कहा जाता है यदि A X के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय को अवशोषित करता है। X के रेडियल उपसमुच्चय परिमित चौराहे के तहत अपरिवर्तनीय हैं। साथ ही, K और |λ| में λ होने पर A को घेरा हुआ कहा जाता है ≥ |α| का अर्थ है λ ए ⊆ ए। L के परिचालित उपसमुच्चय का समुच्चय मनमाना चौराहों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। A का घेरा हुआ हल A युक्त X के सभी चक्करदार उपसमुच्चय का प्रतिच्छेदन है।

मान लीजिए कि X और Y एक गैर-असतत मूल्यांकन क्षेत्र K पर सदिश स्थान हैं, चलो A ⊆ X, B ⊆ Y, और चलो f : X → Y एक रेखीय मानचित्र हो। यदि 'बी' गोलाकार या रेडियल है तो ऐसा है $f^{-1}(B)$ . यदि A को घेरा गया है तो f(A) भी है लेकिन यदि A रेडियल है तो f(A) अतिरिक्त स्थिति के तहत रेडियल होगा जो कि f आच्छादक है।

यह भी देखें

↑ The symbol ∞ denotes an element not in $Γ$ , with no other meaning. Its properties are simply defined by the given axioms.
↑ With the min convention here, the valuation is rather interpreted as the negative of the order of the leading order term, but with the max convention it can be interpreted as the order.
↑ Again, swapped since using minimum convention.
↑ Every Archimedean group is isomorphic to a subgroup of the real numbers under addition, but non-Archimedean ordered groups exist, such as the additive group of a non-Archimedean ordered field.
↑ In the tropical semiring, minimum and addition of real numbers are considered tropical addition and tropical multiplication; these are the semiring operations.

संदर्भ

↑ Emil Artin Geometric Algebra, pages 47 to 49, via Internet Archive

Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X, Zbl 1103.12002
Jacobson, Nathan (1989) [1980], "Valuations: paragraph 6 of chapter 9", Basic algebra II (2nd ed.), New York: W. H. Freeman and Company, ISBN 0-7167-1933-9, Zbl 0694.16001. A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors.
Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1976) [1960], Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics, vol. 29, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8, Zbl 0322.13001
Schaefer, Helmut H.; Wolff, M.P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 3. New York: Springer-Verlag. pp. 10–11. ISBN 9780387987262.

बाहरी संबंध

Danilov, V.I. (2001) [1994], "Valuation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Discrete valuation at PlanetMath.
Valuation at PlanetMath.
Weisstein, Eric W. "Valuation". MathWorld.

[1] The symbol ∞ denotes an element not in $Γ$ , with no other meaning. Its properties are simply defined by the given axioms.

[2] With the min convention here, the valuation is rather interpreted as the negative of the order of the leading order term, but with the max convention it can be interpreted as the order.

[3] Again, swapped since using minimum convention.

[4] Every Archimedean group is isomorphic to a subgroup of the real numbers under addition, but non-Archimedean ordered groups exist, such as the additive group of a non-Archimedean ordered field.

[5] In the tropical semiring, minimum and addition of real numbers are considered tropical addition and tropical multiplication; these are the semiring operations.

[6] Emil Artin Geometric Algebra, pages 47 to 49, via Internet Archive

[lower-alpha 1]

[lower-alpha 2]

[lower-alpha 3]

[lower-alpha 4]

[lower-alpha 5]

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