पृथक्करण सम्बन्ध

गणित में, पृथक्करण संबंध वस्तुओं के एक समूह को एक असम्बद्ध वृत्त में व्यवस्थित करने का एक औपचारिक विधि है। इस प्रकार इसे चतुर्धातुक संबंध एस(ए, बी, सी, डी) के रूप में परिभाषित किया गया है जो कुछ स्वयंसिद्ध सिद्धांतों को संतुष्ट करता है, जिसकी व्याख्या इस प्रकार की जाती है कि ए और सी बी को डी से अलग करते हैं।

जबकि एक रैखिक क्रम एक सेट को एक सकारात्मक अंत और एक नकारात्मक अंत प्रदान करता है, एक पृथक्करण संबंध न केवल यह भूल जाता है कि कौन सा अंत है, बल्कि यह भी भूल जाता है कि अंत कहाँ स्थित हैं। इस तरह यह बीच के संबंध और चक्रीय क्रम की अवधारणाओं को अंतिम और कमजोर करने वाला है। इस प्रकार ऐसा कुछ भी नहीं है जिसे भुलाया जा सके: अंतरनिश्चयता की प्रासंगिक भावना तक, ये तीन संबंध तर्कसंगत संख्याओं के क्रमबद्ध सेट के एकमात्र गैर-तुच्छ घटाव हैं।

आवेदन

पृथक्करण का उपयोग यह दिखाने में किया जा सकता है कि वास्तविक प्रक्षेप्य तल एक पूर्ण स्थान है। इस प्रकार पृथक्करण संबंध का वर्णन साल 1898 में गियोवन्नी वैलाती द्वारा स्वयंसिद्ध शब्दों के साथ किया गया था।

• एबीसीडी =बीएडीसी
• एबीसीडी =एडीसीबी
• एबीसीडी ⇒ ¬एडीसीबी
• एबीसीडी ∨ एसीडीबी ∨ एडीबीसी
• एबीसीडी ∧ एसीडीई ⇒एबीडीई.

बिंदुओं के पृथक्करण के संबंध को एच.एस.एम. कॉक्सेटर ने अपनी पाठ्यपुस्तक द रियल प्रोजेक्टिव प्लेन में एसी//बीडी लिखा था। इस प्रकार निरंतरता का स्वयंसिद्ध प्रयोग इस प्रकार है: "बिंदुओं के प्रत्येक मोनोटोनिक अनुक्रम की एक सीमा होती है।" पृथक्करण संबंध का उपयोग परिभाषाएँ प्रदान करने के लिए किया जाता है:

• {ए_n} मोनोटोनिक है ≡ ∀ n > 1 $A_{0}A_{n}//A_{1}A_{n+1}.$
• M एक 'सीमा' है ≡ (∀ n > 2 $A_{1}A_{n}//A_{2}M$) ∧ (∀ पी $A_{1}P//A_{2}M$ ⇒ ∃ एन $A_{1}A_{n}//PM$ ).