इडेम्पोटेंट (रिंग थ्योरी)

वलय सिद्धांत में, गणित की शाखा, वलय का निष्क्रिय अवयव या मात्र निष्क्रिय अवयव (गणित) एक ऐसा अवयव है जो a² = a है। अर्थात्, वलय के गुणन के अंतर्गत अवयव निष्क्रिय है। गणितीय प्रेरण से, कोई यह निष्कर्ष भी निकाल सकता है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए a = a² = a³ = a⁴ = ... = aⁿ। उदाहरण के लिए, आव्यूह वलय का निष्क्रिय अवयव वस्तुतः निष्क्रिय आव्यूह है।

इस प्रकार से सामान्य वलयों के लिए, गुणन के अंतर्गत निष्क्रिय अवयव मॉड्यूल (गणित) के अपघटन में सम्मिलित होते हैं, और वलय के अनुरूपता से बीजगणित गुणों से युग्मित होते हैं। अतः बूलियन बीजगणित में, अध्ययन की मुख्य वस्तुएं वलय हैं जिनमें सभी अवयव योग और गुणा दोनों के अंतर्गत निष्क्रिय हैं।

उदाहरण

Z के भागफल

कोई पूर्णांक मॉड्यूल n के वलय पर विचार कर सकता है जहां n वर्ग-मुक्त पूर्णांक है। इस प्रकार से चीनी शेषफल प्रमेय के अनुसार, यह वलय पूर्णांक मॉड्यूल p के वलय के गुणनफल में कारक होता है जहां p अभाज्य संख्या है। अतः अब इनमें से प्रत्येक कारक क्षेत्र (गणित) है, इसलिए यह स्पष्ट है कि कारकों के एकमात्र निष्क्रिय प्रभाव 0 और 1 होंगे। अर्थात, प्रत्येक कारक के दो निष्क्रिय कारक हैं। इसलिए यदि m कारक हैं, तो 2^m निष्क्रिय होंगे।

इस प्रकार से हम इसे पूर्णांक मॉड 6, R = Z/6Z के लिए जांच सकते हैं। चूँकि 6 के दो अभाज्य गुणनखंड (2 और 3) हैं इसलिए इसमें 2² निष्क्रिय होंगे।

0² ≡ 0 ≡ 0 (mod 6)

1² ≡ 1 ≡ 1 (mod 6)

2² ≡ 4 ≡ 4 (mod 6)

3² ≡ 9 ≡ 3 (mod 6)

4² ≡ 16 ≡ 4 (mod 6)

5² ≡ 25 ≡ 1 (mod 6)

अतः इन गणनाओं से, 0, 1, 3, और 4 इस वलय के निष्क्रिय हैं, जबकि 2 और 5 नहीं हैं। यह निम्न वर्णित अपघटन गुणों को भी प्रदर्शित करता है: क्योंकि 3 + 4 = 1 (mod 6), वलय अपघटन 3Z/6Z ⊕ 4Z/6Z है। 3Z/6Z में तत्समक 3+6Z है और 4Z/6Z में तत्समक 4+6Z है।

बहुपद वलय का भागफल

इस प्रकार से एक वलय $R$ और अवयव $f\in R$ इस प्रकार दिया गया है कि $f^{2}\neq 0$, तो भागफल वलय

$R/(f^{2}-f)$

में निष्क्रिय $f$ है। उदाहरण के लिए, इसे $x\in \mathbb {Z} [x]$ या किसी बहुपद $f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ पर लागू किया जा सकता है।

विभाजन-चतुर्थक वलयों में निष्क्रिय

इस प्रकार से विभाजन-चतुर्थक वलय में निष्क्रिय का श्रृंखलाभ होता है।

वलय निष्क्रिय के प्रकार

इस प्रकार से महत्वपूर्ण प्रकार के निष्क्रियों की आंशिक सूची में सम्मिलित हैं:

• यदि ab = ba = 0 है तो दो निष्क्रिय a और b को 'लाम्बिक' कहा जाता है। यदि a वलय R (वलय के साथ) में निष्क्रिय है, तो b = 1 − a है; इसके अतिरिक्त, a और b लाम्बिक हैं।
• R में निष्क्रिय a को 'केंद्रीय निष्क्रिय' कहा जाता है यदि ax = xa R में सभी x के लिए, अर्थात, यदि a, R के केंद्र (वलय सिद्धांत) में है।
• एक 'तुच्छ निष्क्रिय' अवयव 0 और 1 में से किसी को संदर्भित करता है, जो सदैव निष्क्रिय होते हैं।
• वलय R का 'आदिम निष्क्रिय' गैर-शून्य निष्क्रिय है, जैसे कि aR उचित R-मॉड्यूल के रूप में अविभाज्य मॉड्यूल है; अर्थात कि aR दो शून्य मॉड्यूल उपमॉड्यूल के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग नहीं है। इस प्रकार से समान रूप से, यदि इसे a = e + f के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, तो a आदिम निष्क्रिय है, जहां e और f R में गैर-शून्य लाम्बिक निष्क्रिय हैं।
• एक 'स्थानीय निष्क्रिय' निष्क्रिय है जैसे कि aRa स्थानीय वलय है। इसका तात्पर्य यह है कि aR प्रत्यक्षतः अविभाज्य है, इसलिए स्थानीय निष्क्रियता भी आदिम है।
• 'दाएँ अखंडनीय निष्क्रिय' निष्क्रिय है जिसके लिए aR सरल मॉड्यूल है। शूर की लेम्मा द्वारा, End_R(aR) = aRa विभाजन वलय है, और इसलिए स्थानीय वलय है, इसलिए दाएँ (और बाएँ) अखंडनीय निष्क्रिय स्थानीय हैं।
• एक केंद्रीय रूप से आदिम निष्क्रिय केंद्रीय निष्क्रिय भावी a है जिसे दो गैर-शून्य लाम्बिक केंद्रीय निष्क्रियता के योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
• एक निष्क्रिय a + I भागफल वलय में R/I को 'लिफ्ट मोडुलो I' कहा जाता है यदि R में कोई निष्क्रिय b स्थित है जैसे कि b + I = a + I हैं।
• R के निष्क्रिय को 'पूर्ण निष्क्रिय' कहा जाता है यदि RaR = R।
• एक पृथक्करण निष्क्रियता; वियोज्य बीजगणित देखें।

अतः कोई भी गैर-तुच्छ निष्क्रिय a शून्य विभाजक है (क्योंकि ab = 0 जिसमें न तो a और न ही b शून्य है, जहां b = 1 − a)। इससे पता चलता है कि अभिन्न प्रांत और विभाजन वलयों में ऐसी निष्क्रियता नहीं होती है। इस प्रकार से स्थानीय वलयों में भी ऐसे निरर्थक लोग नहीं हैं, परन्तु अलग कारण से। वलय के जैकबसन कट्टरपंथी में निहित एकमात्र निष्क्रिय 0 है।

निष्क्रिय की विशेषता वाले वलय

• एक वलय जिसमें सभी अवयव निष्क्रिय होते हैं, बूलियन वलय कहलाता है। कुछ लेखक इस प्रकार की वलय के लिए निष्क्रिय वलय शब्द का उपयोग करते हैं। ऐसे वलय में, गुणन क्रमविनिमेय वलय है और प्रत्येक अवयव अपना योगात्मक व्युत्क्रम है।
• एक वलय अर्धसरल वलय है यदि और मात्र तभी यदि प्रत्येक दायां (या प्रत्येक बायां) आदर्श (वलय सिद्धांत) निष्क्रिय द्वारा उत्पन्न किया गया हो।
• एक वलय वॉन न्यूमैन नियमित वलय है यदि और मात्र यदि प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल दाएं (या प्रत्येक अंतिम रूप से उत्पन्न बाएं) आदर्श निष्क्रिय द्वारा उत्पन्न होता है।
• एक वलय जिसके लिए संहारक (वलय सिद्धांत) r.Ann(S) R का प्रत्येक उपसमुच्चय S निष्क्रिय द्वारा उत्पन्न होता है, बेयर वलय कहलाती है। यदि प्रतिबन्ध मात्र R के सभी एकल (गणित) उपसमुच्चय के लिए लागू होती है, तो वलय उचित रिकार्ट वलय है। ये दोनों प्रकार के वलय (बीजगणित) होने पर भी रुचिपूर्ण हैं।
• एक वलय जिसमें सभी निष्क्रिय केंद्र होते हैं (वलय सिद्धांत) को 'एबेलियन वलय' कहा जाता है। ऐसे वलयों को क्रमविनिमेय होने की आवश्यकता नहीं है।
• एक वलय अखंडनीय वलय है यदि और मात्र यदि 0 और 1 ही एकमात्र केंद्रीय निष्क्रिय हैं।
• एक वलय R कोe₁R ⊕ e₂R ⊕ ... ⊕ e_nR के रूप में लिखा जा सकता है, प्रत्येक e_i स्थानीय निष्प्रभावी यदि और मात्र यदि R अर्धपरिपूर्ण वलय है।
• एक वलय को 'एसबीआई वलय' या 'लिफ्ट/रेड' वलय कहा जाता है यदि R के सभी निष्क्रिय मॉड्यूल जैकबसन मूलक को लिफ्ट करते हैं।
• एक वलय दाएं प्रत्यक्ष पद पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करती है यदि और मात्र तभी यदि वलय बाएं प्रत्यक्ष समन पर अवरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करती है यदि और मात्र यदि युग्मानुसार लाम्बिक निष्क्रिय का प्रत्येक समुच्चय परिमित है।
• यदि a वलय R में निष्क्रिय है, तो aRa फिर से गुणक तत्समक a के साथ वलय है। वलय aRa को प्रायः R के 'कोण वलय' के रूप में जाना जाता है। अंतःरूपता वलय End_R(aR) ≅ aRa के वलय के बाद से कोण वलय स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है।

विघटन में भूमिका

इस प्रकार से R के निष्क्रिय अवयवों का R-मॉड्यूल (गणित) के अपघटन से महत्वपूर्ण संबंध है। यदि M R-मॉड्यूल है और E = End_R(M) इसकी अंतःरूपता वलय है, तो A ⊕ B = M यदि और मात्र यदि e में अद्वितीय निष्क्रिय e है जैसे कि A = e(M) और B = (1 − e)(M) हैं। स्पष्ट रूप से, M प्रत्यक्षतः अविभाज्य है यदि और मात्र यदि e में 0 और 1 ही एकमात्र निष्क्रिय हैं।

अतः ऐसी स्थिति में जब M = R अंतःरूपता वलय End_R(R) = R, जहां प्रत्येक अंतःरूपता निश्चित वलय अवयव द्वारा बाएं गुणन के रूप में उत्पन्न होता है। अंकन के इस संशोधन के साथ, A ⊕ B = R उचित मॉड्यूल के रूप में यदि और मात्र यदि कोई अद्वितीय निष्क्रिय e स्थित है जैसे कि eR = A और (1 − e)R = B है। इस प्रकार R का प्रत्येक प्रत्यक्ष सारांश निष्क्रिय द्वारा उत्पन्न होता है।

इस प्रकार से यदि a केंद्रीय निष्क्रिय है, तो कोण वलय aRa = Ra गुणक तत्समक के साथ वलय है। जिस प्रकार निष्क्रिय मॉड्यूल के रूप में R के प्रत्यक्ष अपघटन को निर्धारित करते हैं, उसी प्रकार R के केंद्रीय निष्क्रिय वलय के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में R के अपघटन को निर्धारित करते हैं। यदि R, वलय R₁,...,R_n का प्रत्यक्ष योग है, तो वलय के तत्समक अवयव R_i,R में केंद्रीय निष्क्रियता हैं, युग्मानुसार लाम्बिक, और उनका योग 1 है। इसके विपरीत, केंद्रीय निष्क्रियता a₁,...,a_n R दिए गए हैं जो युग्मानुसार लाम्बिक हैं और उनका योग 1 है, तो R वलय Ra₁,…,Ra_n का प्रत्यक्ष योग है। अतः इसलिए विशेष रूप से, R में प्रत्येक केंद्रीय निष्क्रिय a कोण के वलय aRa और (1 − a)R(1 − a) के प्रत्यक्ष योग के रूप में R के अपघटन को जन्म देता है। इस प्रकार से परिणामस्वरूप, वलय R वलय के रूप में प्रत्यक्षतः अविभाज्य है यदि और मात्र यदि तत्समक 1 केंद्रीय रूप से आदिम है।

अतः आगमनात्मक रूप से कार्य करते हुए, कोई 1 को केंद्रीय रूप से आदिम अवयवों के योग में विघटित करने का प्रयास कर सकता है। यदि 1 केंद्रीय रूप से आदिम है, तो हमारा काम हो गया। यदि नहीं, तो यह केंद्रीय लाम्बिक निष्क्रिय का योग है, जो बदले में आदिम या अधिक केंद्रीय निष्क्रिय का योग है, इत्यादि। समस्या यह हो सकती है कि यह अंतहीन रूप से जारी रह सकता है, जिससे केंद्रीय लाम्बिक निष्क्रिय का अनंत वर्ग तैयार हो सकता है। इस प्रकार से प्रतिबन्ध R में केंद्रीय लाम्बिक निष्क्रिय के अनंत समुच्चय सम्मिलित नहीं हैं, यह वलय पर प्रकार की परिमितता की स्थिति है। इसे कई विधियों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि वलय का दायें नोथेरियन वलय होना आवश्यक है। यदि अपघटन R = c₁R ⊕ c₂R ⊕ ... ⊕ c_nR प्रत्येक c_i के साथ केंद्रीय रूप से आदिम निष्क्रिय स्थित है, तो R कोण के वलय c_iRc_i का प्रत्यक्ष योग है, जिनमें से प्रत्येक वलय अपरिवर्तनीय है।

इस प्रकार से एक क्षेत्र पर साहचर्य बीजगणित या जॉर्डन बीजगणित के लिए, पीयरस अपघटन बीजगणित का अपघटन है जो निष्क्रिय अवयवों के आइगेनसमष्टि के योग के रूप में होता है।

आवर्तन के साथ संबंध

यदि a अंतःरूपता वलय End_R(M) का एक आदर्श है, तो अंतःरूपता f = 1 − 2a M का R-मॉड्यूल प्रत्यावर्तन (गणित) है। अर्थात, f R-मॉड्यूल समरूपता है जैसे कि f², M का तत्समक अंतःरूपता है।

इस प्रकार से R का निष्क्रिय अवयव a और उससे युग्मित प्रत्यावर्तन f, मॉड्यूल R के दो प्रत्यावर्तन को जन्म देता है, जो R को बाएँ या दाएँ मॉड्यूल के रूप में देखने पर निर्भर करता है। यदि r, R के यादृच्छिक अवयव का प्रतिनिधित्व करता है, तो f को दाएं R-मॉड्यूल समरूपता r ↦ fr के रूप में देखा जा सकता है, ताकि ffr = r, या f को बाएं R-मॉड्यूल समरूपता r ↦ rf के रूप में भी देखा जा सके जहाँ rff = r है।

इस प्रकार से यदि 2 R का व्युत्क्रमणीय अवयव है तो इस प्रक्रिया को व्युत्क्रमित किया जा सकता है: यदि b प्रत्यावर्तन है, तो 2⁻¹(1 − b) और 2⁻¹(1 + b) लाम्बिक निष्क्रिय हैं, जो a और 1 − a के अनुरूप हैं। अतः इस प्रकार वलय के लिए जिसमें 2 व्युत्क्रम है, निष्क्रिय अवयव एक-से-एक विधि से आक्षेपों पर आपत्ति दिखाते हैं।

R-मॉड्यूल की श्रेणी

मॉड्यूल की श्रेणी के लिए निष्क्रियता को उठाने के भी बड़े परिणाम होते हैं। इस प्रकार से सभी निष्क्रिय मॉड्यूल I को तभी उठाते हैं जब R/I के प्रत्येक R प्रत्यक्ष सारांश में R-मॉड्यूल के रूप में प्रक्षेप्य आवरण होता है। अतः निष्क्रियता सदैव मॉड्यूल शून्य आदर्शों और वलयों को उठाते हैं जिनके लिए R I-आदिम रूप से पूर्ण है।

इस प्रकार से उठाना सबसे महत्वपूर्ण है, जब I = J(R), R का जैकबसन मूलक। अर्धपरिपूर्ण वलयों का और लक्षण यह है कि वे अर्धस्थानीय वलय हैं जिनके निष्क्रिय मॉड्यूल J(R) उठाते हैं।

निष्क्रियता जालक

अतः कोई किसी वलय के निष्क्रियता पर आंशिक क्रम को इस प्रकार परिभाषित कर सकता है: यदि a और b निष्क्रिय हैं, तो हम लिखते हैं a ≤ b यदि और मात्र यदि ab = ba = a। इस क्रम के संबंध में, 0 सबसे छोटा और 1 सबसे बड़ा निष्क्रिय है। लाम्बिक निष्क्रिय a और b के लिए, a + b भी निष्क्रिय है, और हमारे निकट a ≤ a + b और b ≤ a + b है। इस आंशिक क्रम के परमाणु (क्रम सिद्धांत) बिल्कुल आदिम निष्क्रिय हैं। (लैम 2001, p. 323)

इस प्रकार से जब उपरोक्त आंशिक क्रम R के केंद्रीय निष्क्रियता तक सीमित है, तो जालक (क्रम) संरचना, या यहां तक ​​कि बूलियन बीजगणित संरचना भी दी जा सकती है। अतः दो केंद्रीय निष्क्रिय e और f के लिए बूलियन बीजगणित संक्रियक ¬e = 1 − e और संबद्ध और मिलान

e ∨ f = e + f − ef

और

e ∧ f = ef द्वारा दिया गया है।

इस प्रकार से क्रम अब मात्र e ≤ f हो जाता है यदि और मात्र यदि eR ⊆ f R, और (e ∨ f ) R = eR + f R और (e ∧ f ) R = eR ∩ f R = (eR)(f R) को संबद्ध और मिलान संतुष्ट करता है। अतः यह (गुडर्ल 1991, p. 99) में दिखाया गया है कि यदि R वॉन न्यूमैन नियमित और उचित स्वयं अंतःक्षेपक है, तो जालक एक पूर्ण जालक है।

टिप्पणियाँ

निष्क्रियता और निलपोटेंट का प्रारंभ 1870 में बेंजामिन पीयर्स ने की थी।

संदर्भ

• “idempotent” at FOLDOC
• Goodearl, K. R. (1991), von Neumann regular rings (2 ed.), Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., pp. xviii+412, ISBN 0-89464-632-X, MR 1150975
• Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (2004), Algebras, rings and modules. Vol. 1, Mathematics and its Applications, vol. 575, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, pp. xii+380, ISBN 1-4020-2690-0, MR 2106764
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• Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001 p. 443
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