लक्षणात्मकता

गणित में, एक सिंपलेक्टोमोर्फिज्म या सिंपलेक्टिक मानचित्र सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड की श्रेणी (गणित) में एक समाकृतिकता है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म चरण स्थान के परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है जो वॉल्यूम-संरक्षण करता है और चरण स्थान की सहानुभूति संरचना को संरक्षित करता है, और इसे विहित परिवर्तन कहा जाता है।

औपचारिक परिभाषा

दो सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड्स के बीच एक भिन्नता $f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')$ यदि इसे सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म कहा जाता है

$f^{*}\omega '=\omega ,$

कहाँ $f^{*}$ का पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) है $f$. से सहानुभूति भिन्नता $M$ को $M$ एक (छद्म-)समूह है, जिसे सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म समूह कहा जाता है (नीचे देखें)।

सिंपलेक्टोमोर्फिज्म का असीम लघु संस्करण सिंपलेक्टिक वेक्टर फ़ील्ड देता है। एक सदिश क्षेत्र $X\in \Gamma ^{\infty }(TM)$ सिंपलेक्टिक यदि कहा जाता है

${\mathcal {L}}_{X}\omega =0.$

भी, $X$ यदि प्रवाह सिंपलेक्टिक है $\phi _{t}:M\rightarrow M$ का $X$ प्रत्येक के लिए एक लक्षणवाद है $t$. ये सदिश क्षेत्र एक झूठ उपबीजगणित का निर्माण करते हैं $\Gamma ^{\infty }(TM)$. यहाँ, $\Gamma ^{\infty }(TM)$ सुचारू फ़ंक्शन वेक्टर फ़ील्ड का सेट है $M$, और ${\mathcal {L}}_{X}$ वेक्टर क्षेत्र के साथ झूठ व्युत्पन्न है $X.$ सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के उदाहरणों में शास्त्रीय यांत्रिकी और सैद्धांतिक भौतिकी के विहित परिवर्तन, किसी भी हैमिल्टनियन फ़ंक्शन से जुड़ा प्रवाह, मैनिफोल्ड्स के किसी भी भिन्नता से प्रेरित कोटैंजेंट बंडलों पर मानचित्र, और एक सहसंयुक्त कक्षा पर एक ली समूह के एक तत्व की सहसंयोजक क्रिया शामिल है।

प्रवाह

सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड पर कोई भी सुचारु कार्य, परिभाषा के अनुसार, हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड को जन्म देता है और ऐसे सभी वेक्टर फ़ील्ड्स का सेट सिंपलेक्टिक वेक्टर फ़ील्ड के ली बीजगणित का एक उप-बीजगणित बनाता है। एक सहानुभूति सदिश क्षेत्र के प्रवाह का एकीकरण एक सहानुभूतिवाद है। चूंकि सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म सिम्प्लेक्टिक रूप को संरक्षित करता है|सिम्प्लेक्टिक 2-फॉर्म और इसलिए सरलीकृत रूप#वॉल्यूम फॉर्म, लिउविले का प्रमेय (हैमिल्टनियन)|हैमिल्टनियन यांत्रिकी में लिउविले का प्रमेय इस प्रकार है। हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्रों से उत्पन्न होने वाले लक्षणरूपवाद को हैमिल्टनियन लक्षणरूपवाद के रूप में जाना जाता है।

तब से {H, H} = X_H(H) = 0, हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्र का प्रवाह भी संरक्षित रहता है H. भौतिकी में इसकी व्याख्या ऊर्जा संरक्षण के नियम के रूप में की जाती है।

यदि किसी कनेक्टेड सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड की पहली बेट्टी संख्या शून्य है, तो सिंपलेक्टिक और हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड मेल खाते हैं, इसलिए हैमिल्टनियन आइसोटोपी और सिंपलेक्टोमोर्फिज्म की सिंपलेक्टिक आइसोटोपी की धारणाएं मेल खाती हैं।

यह दिखाया जा सकता है कि जियोडेसिक के लिए समीकरण हैमिल्टनियन प्रवाह के रूप में तैयार किए जा सकते हैं, जियोडेसिक्स को हैमिल्टनियन प्रवाह के रूप में देखें।

(हैमिल्टनियन) सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म का समूह

कई गुना से लक्षणात्मकताएं अपने आप में एक अनंत-आयामी छद्म समूह बनाती हैं। संबंधित लाई बीजगणित में सिम्प्लेक्टिक वेक्टर फ़ील्ड शामिल हैं। हैमिल्टनियन सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म एक उपसमूह बनाते हैं, जिसका झूठ बीजगणित हैमिल्टनियन वेक्टर क्षेत्रों द्वारा दिया जाता है। उत्तरार्द्ध चिकनी के लाई बीजगणित के समरूपी है पॉइसन ब्रैकेट के संबंध में मैनिफोल्ड पर कार्य, स्थिरांक मॉड्यूलो।

हैमिल्टनियन सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म का समूह $(M,\omega )$ आमतौर पर के रूप में दर्शाया जाता है $\operatorname {Ham} (M,\omega )$.

ऑगस्टिन फॉरेन के प्रमेय के अनुसार, हैमिल्टनियन भिन्नता के समूह सरल लाई समूह हैं। उनके पास हॉफ़र मानदंड द्वारा दी गई प्राकृतिक ज्यामिति है। कुछ सरल सिंपलेक्टिक चार गुना, जैसे कि गोले के उत्पाद, के लिए सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म समूह के समरूप प्रकार की गणना मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) के स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्रों के सिद्धांत का उपयोग करके की जा सकती है।

रिमानियन ज्यामिति के साथ तुलना

रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के विपरीत, सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड्स बहुत कठोर नहीं होते हैं: डार्बौक्स के प्रमेय से पता चलता है कि एक ही आयाम के सभी सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड्स स्थानीय रूप से आइसोमोर्फिक हैं। इसके विपरीत, रीमैनियन ज्यामिति में आइसोमेट्री को रीमैन वक्रता टेंसर को संरक्षित करना चाहिए, जो इस प्रकार रीमैनियन मैनिफोल्ड का एक स्थानीय अपरिवर्तनीय है। इसके अलावा, सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड पर प्रत्येक फ़ंक्शन H एक हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड X को परिभाषित करता है_H, जो हैमिल्टनियन भिन्नता के एक-पैरामीटर समूह का प्रतिपादक है। इससे यह पता चलता है कि लक्षणात्मकताओं का समूह हमेशा बहुत बड़ा होता है, और विशेष रूप से, अनंत-आयामी होता है। दूसरी ओर, रीमैनियन मैनिफोल्ड की आइसोमेट्री का समूह हमेशा एक (परिमित-आयामी) झूठ समूह होता है। इसके अलावा, बड़े समरूपता समूहों के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड बहुत विशेष हैं, और एक सामान्य रीमैनियन मैनिफोल्ड में कोई गैर-तुच्छ समरूपता नहीं है।

परिमाणीकरण

हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म (सामान्य रूप से ħ-विरूपण के बाद) के समूह के परिमित-आयामी उपसमूहों के प्रतिनिधित्व को परिमाणीकरण कहा जाता है। जब लाई समूह हैमिल्टनियन द्वारा परिभाषित होता है, तो इसे ऊर्जा द्वारा परिमाणीकरण कहा जाता है। निरंतर रैखिक ऑपरेटरों के लाई बीजगणित से लाई बीजगणित तक संबंधित ऑपरेटर को कभी-कभी परिमाणीकरण भी कहा जाता है; यह भौतिकी में इसे देखने का एक अधिक सामान्य तरीका है।

See also: phase space formulation, geometric quantization, and non-commutative geometry

अर्नोल्ड अनुमान

Main article: Arnold conjecture

व्लादिमीर अर्नोल्ड का एक प्रसिद्ध अनुमान हैमिल्टनियन सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के लिए निश्चित बिंदु (गणित) की न्यूनतम संख्या से संबंधित है $\varphi :M\to M$, यदि $M$ मोर्स सिद्धांत के लिए एक कॉम्पैक्ट सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड है (देखें)। ). अधिक सटीक रूप से, अनुमान यह बताता है $\varphi$ इसमें कम से कम उतने ही निश्चित बिंदु होते हैं जितने महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) होते हैं जिन पर एक सुचारू कार्य होता है $M$ होना आवश्यक है। इस अनुमान का कुछ कमजोर संस्करण सिद्ध किया गया है: कब $\varphi$ नॉनडिजेनरेट है, निश्चित बिंदुओं की संख्या नीचे से बेट्टी संख्याओं के योग से बंधी है $M$ (देखना,). इस प्रसिद्ध अनुमान से प्रेरित सहानुभूति ज्यामिति में सबसे महत्वपूर्ण विकास फ़्लोर होमोलॉजी का जन्म है (देखें) ), एंड्रियास फ़्लोर के नाम पर रखा गया।

लोकप्रिय संस्कृति में

सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म एनीमे स्पाई × फ़ैमिली के एपिसोड 1 में क्रॉसवर्ड पहेली में एक शब्द है।

संदर्भ

General

• McDuff, Dusa & Salamon, D. (1998), Introduction to Symplectic Topology, Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
• Abraham, Ralph & Marsden, Jerrold E. (1978), Foundations of Mechanics, London: Benjamin-Cummings, ISBN 0-8053-0102-X. See section 3.2.

Symplectomorphism groups

• Gromov, M. (1985), "Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds", Inventiones Mathematicae, 82 (2): 307–347, Bibcode:1985InMat..82..307G, doi:10.1007/BF01388806, S2CID 4983969.
• Polterovich, Leonid (2001), The geometry of the group of symplectic diffeomorphism, Basel; Boston: Birkhauser Verlag, ISBN 3-7643-6432-7.