सशर्त निर्भरता

See also: सशर्त स्वतंत्रता

सशर्त निर्भरता को दर्शाने वाला बायेसियन नेटवर्क

संभाव्यता सिद्धांत में, सशर्त निर्भरता दो या दो से अधिक घटनाओं (संभावना सिद्धांत) के बीच एक संबंध है जो तीसरी घटना होने पर निर्भरता (संभावना सिद्धांत) होती है। उदाहरण के लिए, यदि $A$ और $B$ दो घटनाएँ हैं जो व्यक्तिगत रूप से तीसरी घटना की संभावना को बढ़ाती हैं $C,$ और एक-दूसरे को सीधे प्रभावित नहीं करते हैं, तो शुरू में (जब यह नहीं देखा गया है कि घटना है या नहीं)। $C$ घटित होना)

$$\operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A)\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {P} (B\mid A)=\operatorname {P} (B)$$

($A{\text{ and }}B$ स्वतंत्र हैं)।

लेकिन अब मान लीजिये $C$ घटित होता देखा गया है। यदि घटना $B$ तब घटना के घटित होने की संभावना होती है $A$ में कमी आएगी क्योंकि इसका सकारात्मक संबंध है $C$ की घटना के लिए स्पष्टीकरण के रूप में कम आवश्यक है $C$ (इसी तरह, घटना $A$ घटित होने से घटित होने की सम्भावना कम हो जायेगी $B$). इसलिए, अब दो घटनाएँ $A$ और $B$ सशर्त रूप से एक-दूसरे पर नकारात्मक रूप से निर्भर होते हैं क्योंकि प्रत्येक के घटित होने की संभावना इस बात पर नकारात्मक रूप से निर्भर होती है कि दूसरा घटित होता है या नहीं। अपने पास

$$\operatorname {P} (A\mid C{\text{ and }}B)<\operatorname {P} (A\mid C).$$

A और B की सशर्त निर्भरता, सी दी गई, सशर्त स्वतंत्रता का तार्किक निषेध है $((A\perp \!\!\!\perp B)\mid C)$. सशर्त स्वतंत्रता में दो घटनाएँ (जो निर्भर हो सकती हैं या नहीं) तीसरी घटना के घटित होने पर स्वतंत्र हो जाती हैं।

उदाहरण

संक्षेप में संभाव्यता किसी घटना की संभावित घटना के बारे में किसी व्यक्ति की जानकारी से प्रभावित होती है। उदाहरण के लिए, घटना को मान लीजिए $A$ 'मेरे पास एक नया फ़ोन है'; आयोजन $B$ 'मेरे पास एक नई घड़ी है'; और घटना $C$ रहो 'मैं खुश हूँ'; और मान लीजिए कि नया फोन या नई घड़ी होने से मेरे खुश रहने की संभावना बढ़ जाती है। चलिए मान लेते हैं कि घटना $C$ घटित हुआ है - जिसका अर्थ है 'मैं खुश हूँ'। अब अगर कोई दूसरा व्यक्ति मेरी नई घड़ी देखता है, तो वह तर्क देगा कि मेरी खुश होने की संभावना मेरी नई घड़ी से बढ़ गई है, इसलिए मेरी खुशी का श्रेय नए फोन को देने की जरूरत कम है।

उदाहरण को अधिक संख्यात्मक रूप से विशिष्ट बनाने के लिए, मान लें कि चार संभावित अवस्थाएँ हैं $\Omega =\left\{s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}\right\},$ निम्नलिखित तालिका के मध्य चार कॉलमों में दिया गया है, जिसमें घटना का घटित होना है $A$ ए द्वारा सूचित किया जाता है $1$ पंक्ति में $A$ और इसकी गैर-घटना को ए द्वारा दर्शाया जाता है $0,$ और इसी तरह के लिए $B$ और $C.$ वह है, $A=\left\{s_{2},s_{4}\right\},B=\left\{s_{3},s_{4}\right\},$ और $C=\left\{s_{2},s_{3},s_{4}\right\}.$ की संभावना $s_{i}$ है $1/4$ हरएक के लिए $i.$

घटना	$\operatorname {P} (s_{1})=1/4$	$\operatorname {P} (s_{2})=1/4$	$\operatorname {P} (s_{3})=1/4$	$\operatorname {P} (s_{4})=1/4$	घटना की संभावना
$A$	0	1	0	1	${\tfrac {1}{2}}$
$B$	0	0	1	1	${\tfrac {1}{2}}$
$C$	0	1	1	1	${\tfrac {3}{4}}$

इसलिए

घटना	$s_{1}$	$s_{2}$	$s_{3}$	$s_{4}$	घटना की संभावना
$A\cap B$	0	0	0	1	${\tfrac {1}{4}}$
$A\cap C$	0	1	0	1	${\tfrac {1}{2}}$
$B\cap C$	0	0	1	1	${\tfrac {1}{2}}$
$A\cap B\cap C$	0	0	0	1	${\tfrac {1}{4}}$

इस उदाहरण में, $C$ होता है यदि और केवल यदि इनमें से कम से कम एक $A,B$ घटित होना। बिना शर्त (अर्थात, बिना संदर्भ के $C$), $A$ और $B$ एक दूसरे की स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) हैं क्योंकि $\operatorname {P} (A)$-ए से जुड़ी संभावनाओं का योग $1$ पंक्ति में $A$-है ${\tfrac {1}{2}},$ जबकि

$$\operatorname {P} (A\mid B)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}B)/\operatorname {P} (B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}=\operatorname {P} (A).$$

लेकिन सशर्त $C$ घटित होने पर (तालिका में अंतिम तीन कॉलम), हमारे पास है

$$\operatorname {P} (A\mid C)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}C)/\operatorname {P} (C)={\tfrac {1/2}{3/4}}={\tfrac {2}{3}}$$

जबकि

$$\operatorname {P} (A\mid C{\text{ and }}B)=\operatorname {P} (A{\text{ and }}C{\text{ and }}B)/\operatorname {P} (C{\text{ and }}B)={\tfrac {1/4}{1/2}}={\tfrac {1}{2}}<\operatorname {P} (A\mid C).$$

चूंकि की उपस्थिति में $C$ की संभावना $A$ की उपस्थिति या अनुपस्थिति से प्रभावित होता है $B,A$ और $B$ सशर्त रूप से परस्पर निर्भर हैं $C.$

यह भी देखें

• सशर्त स्वतंत्रता – Probability theory concept
• डी फिनेटी का प्रमेय
• सशर्त अपेक्षा – Expected value of a random variable given that certain conditions are known to occur