संभाव्यता सिद्धांत में, सम्मिश्र सामान्य वितरण का वर्ग , जिसे C N {\displaystyle {\mathcal {CN}}} N C {\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}} सम्मिश्र यादृच्छिक चर की विशेषता बताता है जिनके वास्तविक और काल्पनिक हिस्से संयुक्त रूप से सामान्य होते हैं।[1] Γ {\displaystyle \Gamma } C {\displaystyle C} μ = 0 {\displaystyle \mu =0} Γ = 1 {\displaystyle \Gamma =1} C = 0 {\displaystyle C=0}
सम्मिश्र सामान्य वर्ग के एक महत्वपूर्ण उपवर्ग को वृत्ताकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य कहा जाता है और यह शून्य संबंध मैट्रिक्स और शून्य माध्य के मामले से मेल खाता है: μ = 0 {\displaystyle \mu =0} C = 0 {\displaystyle C=0} [2]
परिभाषाएँ सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर मानक जटिल सामान्य यादृच्छिक चर या मानक जटिल गाऊसी यादृच्छिक चर एक जटिल यादृच्छिक चर Z {\displaystyle Z} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} [3]
Z ∼ C N ( 0 , 1 ) ⟺ ℜ ( Z ) ⊥ ⊥ ℑ ( Z ) and ℜ ( Z ) ∼ N ( 0 , 1 / 2 ) and ℑ ( Z ) ∼ N ( 0 , 1 / 2 ) {\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)\quad \iff \quad \Re (Z)\perp \!\!\!\perp \Im (Z){\text{ and }}\Re (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2){\text{ and }}\Im (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)}
(Eq.1 )
जहाँ Z ∼ C N ( 0 , 1 ) {\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)} Z {\displaystyle Z}
सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर मान लीजिए कि X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} ( X , Y ) T {\displaystyle (X,Y)^{\mathrm {T} }} सामान्य यादृच्छिक सदिश है। तब जटिल यादृच्छिक चर Z = X + i Y {\displaystyle Z=X+iY} [3]
Z complex normal random variable ⟺ ( ℜ ( Z ) , ℑ ( Z ) ) T real normal random vector {\displaystyle Z{\text{ complex normal random variable}}\quad \iff \quad (\Re (Z),\Im (Z))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}}
(Eq.2 )
सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक सदिश एक एन-आयामी सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश Z = ( Z 1 , … , Z n ) T {\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }} [3] : p. 502 [4] : pp. 501 Z {\displaystyle \mathbf {Z} } Z ∼ C N ( 0 , I n ) {\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})}
Z ∼ C N ( 0 , I n ) ⟺ ( Z 1 , … , Z n ) independent and for 1 ≤ i ≤ n : Z i ∼ C N ( 0 , 1 ) {\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})\quad \iff (Z_{1},\ldots ,Z_{n}){\text{ independent}}{\text{ and for }}1\leq i\leq n:Z_{i}\sim {\mathcal {CN}}(0,1)}
(Eq.3 )
सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश अगर X = ( X 1 , … , X n ) T {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }} Y = ( Y 1 , … , Y n ) T {\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }} यादृच्छिक सदिश हैं R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} [ X , Y ] {\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]} 2 n {\displaystyle 2n} सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश
Z = X + i Y {\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,} एक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश या एक सम्मिश्र गाऊसी यादृच्छिक सदिश है।
Z complex normal random vector ⟺ ( ℜ ( Z T ) , ℑ ( Z T ) ) T = ( ℜ ( Z 1 ) , … , ℜ ( Z n ) , ℑ ( Z 1 ) , … , ℑ ( Z n ) ) T real normal random vector {\displaystyle \mathbf {Z} {\text{ complex normal random vector}}\quad \iff \quad (\Re (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }),\Im (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }))^{\mathrm {T} }=(\Re (Z_{1}),\ldots ,\Re (Z_{n}),\Im (Z_{1}),\ldots ,\Im (Z_{n}))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}}
(Eq.4 )
माध्य, सहप्रसरण, और संबंध सम्मिश्र गाऊसी वितरण को 3 मापदंडों के साथ वर्णित किया जा सकता है:[5]
μ = E [ Z ] , Γ = E [ ( Z − μ ) ( Z − μ ) H ] , C = E [ ( Z − μ ) ( Z − μ ) T ] , {\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],} जहाँ Z T {\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }} मैट्रिक्स स्थानान्तरण को दर्शाता है Z {\displaystyle \mathbf {Z} } Z H {\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }} [3] : p. 504 [4] : pp. 500
यहां स्थान पैरामीटर है μ {\displaystyle \mu } Γ {\displaystyle \Gamma } हर्मिटियन मैट्रिक्स और गैर-नकारात्मक निश्चित है; और, संबंध मैट्रिक्स या छद्म सहप्रसरण मैट्रिक्स C {\displaystyle C} सममित मैट्रिक्स है. सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश Z {\displaystyle \mathbf {Z} }
Z ∼ C N ( μ , Γ , C ) . {\displaystyle \mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).} इसके अलावा, मैट्रिक्स
Γ {\displaystyle \Gamma } और
C {\displaystyle C} ऐसे हैं कि मैट्रिक्स
P = Γ ¯ − C H Γ − 1 C {\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C} यह भी गैर-नकारात्मक निश्चित है Γ ¯ {\displaystyle {\overline {\Gamma }}} Γ {\displaystyle \Gamma } [5]
सहप्रसरण आव्यूहों के बीच संबंध किसी भी सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश के लिए, मैट्रिक्स Γ {\displaystyle \Gamma } C {\displaystyle C} X = ℜ ( Z ) {\displaystyle \mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )} Y = ℑ ( Z ) {\displaystyle \mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )}
V X X ≡ E [ ( X − μ X ) ( X − μ X ) T ] = 1 2 Re [ Γ + C ] , V X Y ≡ E [ ( X − μ X ) ( Y − μ Y ) T ] = 1 2 Im [ − Γ + C ] , V Y X ≡ E [ ( Y − μ Y ) ( X − μ X ) T ] = 1 2 Im [ Γ + C ] , V Y Y ≡ E [ ( Y − μ Y ) ( Y − μ Y ) T ] = 1 2 Re [ Γ − C ] , {\displaystyle {\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}} और इसके विपरीत
Γ = V X X + V Y Y + i ( V Y X − V X Y ) , C = V X X − V Y Y + i ( V Y X + V X Y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}}
घनत्व फलन सम्मिश्र सामान्य वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की गणना इस प्रकार की जा सकती है
f ( z ) = 1 π n det ( Γ ) det ( P ) exp { − 1 2 ( ( z ¯ − μ ¯ ) ⊺ , ( z − μ ) ⊺ ) ( Γ C C ¯ Γ ¯ ) − 1 ( z − μ z ¯ − μ ¯ ) } = det ( P − 1 ¯ − R ∗ P − 1 R ) det ( P − 1 ) π n e − ( z − μ ) ∗ P − 1 ¯ ( z − μ ) + Re ( ( z − μ ) ⊺ R ⊺ P − 1 ¯ ( z − μ ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}({\overline {z}}-{\overline {\mu }})^{\intercal },&(z-\mu )^{\intercal }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{pmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{pmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{pmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}} जहाँ R = C H Γ − 1 {\displaystyle R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}} P = Γ ¯ − R C {\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-RC}
विशेषता कार्य सम्मिश्र सामान्य वितरण का विशिष्ट कार्य (संभावना सिद्धांत) किसके द्वारा दिया गया है?[5] φ ( w ) = exp { i Re ( w ¯ ′ μ ) − 1 4 ( w ¯ ′ Γ w + Re ( w ¯ ′ C w ¯ ) ) } , {\displaystyle \varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},} w {\displaystyle w}
गुण अगर Z {\displaystyle \mathbf {Z} } A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} b {\displaystyle b} A Z + b {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b} Z ∼ C N ( μ , Γ , C ) ⇒ A Z + b ∼ C N ( A μ + b , A Γ A H , A C A T ) {\displaystyle Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })} अगर Z {\displaystyle \mathbf {Z} } 2 [ ( Z − μ ) H P − 1 ¯ ( Z − μ ) − Re ( ( Z − μ ) T R T P − 1 ¯ ( Z − μ ) ) ] ∼ χ 2 ( 2 n ) {\displaystyle 2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)} केंद्रीय सीमा प्रमेय। अगर Z 1 , … , Z T {\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{T}} T ( 1 T ∑ t = 1 T Z t − E [ Z t ] ) → d C N ( 0 , Γ , C ) , {\displaystyle {\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),} जहाँ Γ = E [ Z Z H ] {\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]} C = E [ Z Z T ] {\displaystyle C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]} एक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर का मापांक एक होयट वितरण का अनुसरण करता है।[6]
वृत्ताकार-सममित केंद्रीय मामला परिभाषा एक सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश Z {\displaystyle \mathbf {Z} } φ ∈ [ − π , π ) {\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )} e i φ Z {\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} } Z {\displaystyle \mathbf {Z} } [4] : pp. 500–501
केंद्रीय सामान्य सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश जो गोलाकार रूप से सममित होते हैं, विशेष रुचि रखते हैं क्योंकि वे सहप्रसरण मैट्रिक्स द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट होते हैं Γ {\displaystyle \Gamma }
गोलाकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य वितरण शून्य माध्य और शून्य संबंध मैट्रिक्स के मामले से मेल खाता है, अर्थात। μ = 0 {\displaystyle \mu =0} C = 0 {\displaystyle C=0} [3] : p. 507 [7]
Z ∼ C N ( 0 , Γ ) {\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )}
वास्तविक और काल्पनिक भागों का वितरण अगर Z = X + i Y {\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} } [ X , Y ] {\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}
( X Y ) ∼ N ( [ Re μ Im μ ] , 1 2 [ Re Γ − Im Γ Im Γ Re Γ ] ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\mu \\\operatorname {Im} \,\mu \end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}} जहाँ μ = E [ Z ] = 0 {\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=0} Γ = E [ Z Z H ] {\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]}
संभावना घनत्व फ़ंक्शन गैर-एकवचन सहप्रसरण मैट्रिक्स के लिए Γ {\displaystyle \Gamma } [3] : p. 508
f Z ( z ) = 1 π n det ( Γ ) e − ( z − μ ) H Γ − 1 ( z − μ ) {\displaystyle f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}} इसलिए, यदि गैर-शून्य माध्य है μ {\displaystyle \mu } Γ {\displaystyle \Gamma } z {\displaystyle z}
ln ( L ( μ , Γ ) ) = − ln ( det ( Γ ) ) − ( z − μ ) ¯ ′ Γ − 1 ( z − μ ) − n ln ( π ) . {\displaystyle \ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).} मानक सम्मिश्र सामान्य (में परिभाषित) Eq.1 μ = 0 {\displaystyle \mu =0} C = 0 {\displaystyle C=0} Γ = 1 {\displaystyle \Gamma =1}
f Z ( z ) = 1 π e − z ¯ z = 1 π e − | z | 2 . {\displaystyle f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.}
गुण उपरोक्त अभिव्यक्ति दर्शाती है कि मामला क्यों है C = 0 {\displaystyle C=0} μ = 0 {\displaystyle \mu =0} z {\displaystyle z} | z | {\displaystyle |z|} रेले वितरण और वर्ग परिमाण होगा | z | 2 {\displaystyle |z|^{2}} समान वितरण (निरंतर) पर वितरित किया जाएगा [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
अगर { Z 1 , … , Z k } {\displaystyle \left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}} μ = 0 {\displaystyle \mu =0}
Q = ∑ j = 1 k Z j H Z j = ∑ j = 1 k ‖ Z j ‖ 2 {\displaystyle Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}} इसमें सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण और यादृच्छिक मैट्रिक्स है
W = ∑ j = 1 k Z j Z j H {\displaystyle W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }} के साथ सम्मिश्र विशरट वितरण है k {\displaystyle k}
f ( w ) = det ( Γ − 1 ) k det ( w ) k − n π n ( n − 1 ) / 2 ∏ j = 1 k ( k − j ) ! e − tr ( Γ − 1 w ) {\displaystyle f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}} जहाँ k ≥ n {\displaystyle k\geq n} w {\displaystyle w} n × n {\displaystyle n\times n}
यह भी देखें संदर्भ
अग्रिम पठन
Discrete
with finite with infinite
Continuous
supported on a supported on a supported with support
Mixed
Multivariate Directional Degenerate singular Families
