सामान्यीकृत गामा वितरण

Generalized gamma

Probability density function
Parameters	$a>0$ (scale), $d,p>0$
Support	$x\;\in \;(0,\,\infty )$
PDF	${\frac {p/a^{d}}{\Gamma (d/p)}}x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}$
CDF	${\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}}$
Mean	$a{\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}$
Mode	$a\left({\frac {d-1}{p}}\right)^{\frac {1}{p}}\mathrm {for} \;d>1,\mathrm {otherwise} \;0$
Variance	$a^{2}\left({\frac {\Gamma ((d+2)/p)}{\Gamma (d/p)}}-\left({\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}\right)^{2}\right)$
Entropy	$\ln {\frac {a\Gamma (d/p)}{p}}+{\frac {d}{p}}+\left({\frac {1}{p}}-{\frac {d}{p}}\right)\psi \left({\frac {d}{p}}\right)$

सामान्यीकृत गामा वितरण दो आकार मापदण्ड (और एक मापनी मापदण्ड) के साथ एक सतत संभाव्यता वितरण है। यह गामा वितरण का सामान्यीकरण है जिसमें एक आकार मापदण्ड (और एक मापनी मापदण्ड) है। चूँकि उत्तरजीविता विश्लेषण में पैरामीट्रिक मॉडल के लिए आमतौर पर कई वितरणों का उपयोग किया जाता है (जैसे कि घातांकीय वितरण, वेइबुल वितरण और गामा वितरण) सामान्यीकृत गामा के विशेष मामले हैं, कभी-कभी इसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि डेटा के दिए गए सेट के लिए कौन सा पैरामीट्रिक मॉडल उपयुक्त है। एक अन्य उदाहरण अर्ध-सामान्य वितरण है।

विशेषताएँ

सामान्यीकृत गामा वितरण में दो आकार मापदण्ड होते हैं, $d>0$ तथा $p>0$, और एक स्केल मापदण्ड, $a>0$। सामान्यीकृत गामा वितरण से ऋणेतर x के लिए, संभाव्यता घनत्व फलन है।

$f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d})x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}},$

जहाँ $\Gamma (\cdot )$ गामा फलन को दर्शाता है।

संचयी वितरण फलन है।

$F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}},{\text{or}}\,P\left({\frac {d}{p}},\left({\frac {x}{a}}\right)^{p}\right);$

जहां $\gamma (\cdot )$ निम्न अपूर्ण गामा फलन को दर्शाता है, और $P(\cdot ,\cdot )$ नियमित निम्न अपूर्ण गामा फलन को दर्शाता है।

क्वांटाइल फलन को यह ध्यान में रखकर पाया जा सकता है कि $F(x;a,d,p)=G((x/a)^{p})$ जहां $G$ गामा वितरण का संचयी वितरण फलन है, जिसमें मापदंडों ($\alpha =d/p$ और $\beta =1$ शामिल हैं। क्वांटाइल फलन को समग्र कार्यों के व्युत्क्रम के बारे में ज्ञात संबंधों का उपयोग करके $F$ को व्युत्क्रम करके दिया जाता है, जिससे यह प्राप्त होता है

$F^{-1}(q;a,d,p)=a\cdot {\big [}G^{-1}(q){\big ]}^{1/p},$

$G^{-1}(q)$$\alpha =d/p,\,\beta =1$के साथ गामा वितरण के लिए क्वांटाइल फलन है।

संबंधित वितरण

• यदि $d=p$ तब सामान्यीकृत गामा वितरण वेइबुल वितरण बन जाता है।
• यदि $p=1$ सामान्यीकृत गामा गामा वितरण बन जाता है।
• यदि $p=d=1$ तब यह घातीय वितरण बन जाता है।
• यदि $p=2$ और $d=2m$ तब यह नाकागामी वितरण बन जाता है।
• यदि $p=2$ और $d=1$ तब यह अर्ध-सामान्य वितरण बन जाता है।

कभी-कभी इस वितरण के वैकल्पिक मापदंडीकरण का उपयोग किया जाता है; उदाहरण के लिए प्रतिस्थापन α  =   d/p के साथ। इसके अलावा, एक स्थानान्तरित मापदण्ड जोड़ा जा सकता है, इसलिए x का डोमेन शून्य के अलावा किसी अन्य मान पर शुरू होता है। यदि a, d और p के संकेतों पर प्रतिबंध भी हटा दिया जाता है (लेकिन α = d/p धनात्मक रहता है), तो इससे एक वितरण मिलता है जिसे इतालवी गणितज्ञ और अर्थशास्त्री लुइगी अमोरोसो के नाम पर अमोरोसो वितरण कहा जाता है, जिन्होंने 1925 में इसका वर्णन किया था।

क्षण

यदि X में ऊपर बताए अनुसार सामान्यीकृत गामा वितरण है, तो:

$\operatorname {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}.$

गुण

GG(a,d,p) को मापदण्ड a, d, p के सामान्यीकृत गामा वितरण के रूप में निरूपित करें। फिर, दिए गए $c$ और $\alpha$ दो धनात्मक वास्तविक संख्याएँ, यदि $f\sim GG(a,d,p)$ तो

$f^{\alpha }\sim GG\left(a^{\alpha },{\frac {d}{\alpha }},{\frac {p}{\alpha }}\right)$.

कुल्बैक-लीब्लर विचलन

यदि $f_{1}$ और $f_{2}$ दो सामान्यीकृत गामा वितरणों की संभाव्यता घनत्व फलन हैं, तो उनका कुल्बैक-लीब्लर विचलन निम्न द्वारा दिया गया है

${\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_{2},d_{2},p_{2})}}\,dx\\&=\ln {\frac {p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d_{1}/p_{1}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_{1}-d_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}$

जहां $\psi (\cdot )$ डिगामा फलन है।

सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन

R प्रोग्रामिंग भाषा में, कुछ पैकेज हैं जिनमें सामान्यीकृत गामा वितरण को उपयुक्त करने और उत्पन्न करने के लिए फलन शामिल हैं। R में गैमलस पैकेज सामान्यीकृत गामा (परिवार = जीजी) सहित कई अलग-अलग वितरण परिवारों को फिट करने और उत्पन्न करने की अनुमति देता है। पैकेज फ्लेक्ससर्व में कार्यान्वित R में अन्य विकल्पों में पैरामीटराइजेशन के साथ फलन दगेंगाम्मा  : $\mu =\ln a+{\frac {\ln d-\ln p}{p}}$$\sigma ={\frac {1}{\sqrt {pd}}}$$Q={\sqrt {\frac {p}{d}}}$ और मापदंडीकरण के साथ जीगामा पैकेज में:$a=a$, $b=p$, $k=d/p$ शामिल है।

पायथन प्रोग्रामिंग भाषा में, इसे साइपी पैकेज में पैरामीट्रिज़ेशन के साथ कार्यान्वित किया जाता है: $c=p$, $a=d/p$, और 1 का मापन है।

यह भी देखें

• आधा-टी वितरण|आधा-टी वितरण
• सामान्य वितरण को छोटा कर दिया गया
• मुड़ा हुआ सामान्य वितरण
• संशोधित गाऊसी वितरण
• संशोधित अर्ध-सामान्य वितरण
• सामान्यीकृत पूर्णांक गामा वितरण