पृथक समय और निरंतर समय

"पृथक संकेत" redirects here. Not to be confused with पृथक परिवर्ती.

गणितीय गतिशीलता में, पृथक समय और निरंतर समय दो वैकल्पिक ढांचे हैं जिनके भीतर समय के साथ विकसित होने वाले चर (गणित) को प्रतिरूप किया जाता है।

पृथक समय

पृथक प्रतिरूप संकेत

पृथक समय चर के मूल्यों को समय के विशिष्ट, अलग-अलग बिंदुओं पर घटित होता है, या समकक्ष रूप से समय के प्रत्येक गैर-शून्य क्षेत्र (समय अवधि) में अपरिवर्तित माना जाता है - अर्थात, समय को एक अलग चर के रूप में देखा जाता है। इस प्रकार एक गैर-समय चर एक मान से दूसरे मान पर सम्मिलित है क्योंकि समय एक समय अवधि से दूसरे समय में स्थानांतरित होता है। समय का यह दृश्य एक अंकीय घड़ी से मेल खाता है जो थोड़ी देर के लिए 10:37 की एक निश्चित व्याख्या देता है, और फिर 10:38 की एक नई निश्चित व्याख्या पर चला जाता है, आदि। इस ढांचे में, अभिरूचि के प्रत्येक चर को प्रत्येक समय अवधि में एक बार मापा जाता है। किन्हीं दो समयावधियों के बीच माप की संख्या सीमित है। माप सामान्यतः चर "समय" के अनुक्रमिक पूर्णांक मानों पर किए जाते हैं।

पृथक संकेत या पृथक-समय संकेत एक समय श्रृंखला है जिसमें मात्राओं का अनुक्रम होता है।

निरंतर-समय संकेत के विपरीत, एक पृथक-समय संकेत निरंतर तर्क का कार्य नहीं है; हालाँकि, यह निरंतर समय संकेत से प्रतिचयन (संकेत प्रसंस्करण) द्वारा प्राप्त किया गया हो सकता है। जब एक समान दूरी वाले समय पर अनुक्रम का प्रतिरूप लेकर एक अलग-समय संकेत प्राप्त किया जाता है, तो इसमें एक संबद्ध प्रतिरूप दर होती है।

पृथक-समय संकेतों के कई मूल हो सकते हैं, लेकिन सामान्यतः इन्हें दो समूहों में से एक में वर्गीकृत किया जा सकता है:

• स्थिर या परिवर्तनीय दर पर अनुरूप संकेत के मान प्राप्त करके। इस प्रक्रिया को प्रतिचयन (संकेत प्रसंस्करण) कहा जाता है।
• स्वाभाविक रूप से अलग-अलग समय की प्रक्रिया का अवलोकन करके, जैसे कि किसी विशेष आर्थिक संकेतक का साप्ताहिक शिखर मूल्य है।

निरंतर समय

इसके विपरीत, निरंतर समय चरों को केवल अत्यंत कम समय के लिए एक विशेष मान के रूप में देखता है। समय के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच अनंत संख्या में अन्य समय बिंदु होते हैं। परिवर्तनीय समय संपूर्ण [[वास्तविक संख्या]] रेखा पर, या संदर्भ के आधार पर, इसके कुछ उपसमुच्चय जैसे कि गैर-नकारात्मक वास्तविक पर निर्भर करता है। इस प्रकार समय को एक सतत चर के रूप में देखा जाता है। सतत संकेत या एक सतत-समय संकेत एक भिन्न मात्रा है।

जिसका कार्यछेत्र, जो प्रायः समय होता है, एक सातत्य (सम्मुच्चय सिद्धांत) है (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या का एक आनुषंगिक अंतराल)। अर्थात्, फलन का कार्यछेत्र एक अगणनीय सम्मुच्चय है। फलन को निरंतर कार्य करने की आवश्यकता नहीं है। इसके विपरीत, एक पृथक-समय संकेत में प्राकृतिक संख्याओं की तरह एक गणनीय सम्मुच्चय कार्यछेत्र होता है।

निरंतर आयाम और समय के संकेत को निरंतर-समय संकेत या अनुरूप संकेत के रूप में जाना जाता है। इसका (संकेत (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग)) हर समय कुछ न कुछ मूल्य होगा। तापमान, दबाव, ध्वनि आदि भौतिक मात्राओं के अनुपात में प्राप्त विद्युत संकेत सामान्यतः निरंतर संकेत होते हैं। सतत संकेतों के अन्य उदाहरण ज्या तरंग, कोटिज्या तरंग, त्रिकोणीय तरंग आदि हैं।

संकेत को एक कार्यछेत्र पर परिभाषित किया जाता है, जो परिमित हो भी सकता है और नहीं भी, और कार्यछेत्र से संकेत के मूल्य तक एक कार्यात्मक प्रतिचित्रण होती है। वास्तविक संख्याओं के घनत्व के नियम के संबंध में समय चर की निरंतरता का अर्थ है कि संकेत मान समय के किसी भी मनमाने बिंदु पर पाया जा सकता है।

अनंत अवधि संकेत का एक विशिष्ट उदाहरण है:

$f(t)=\sin(t),\quad t\in \mathbb {R}$

उपरोक्त संकेत का एक सीमित अवधि समकक्ष हो सकता है:

$f(t)=\sin(t),\quad t\in [-\pi ,\pi ]$ और $f(t)=0$ अन्यथा।

एक परिमित (या अनंत) अवधि संकेत का मान परिमित हो भी सकता है और नहीं भी। उदाहरण के लिए,

$f(t)={\frac {1}{t}},\quad t\in [0,1]$ और $f(t)=0$ अन्यथा,

यह एक सीमित अवधि का संकेत है लेकिन इसके लिए अनंत मान $t=0\,$ की आवश्यकता होती है।

कई विषयों में, परंपरा यह है कि एक सतत संकेत का हमेशा एक सीमित मूल्य होना चाहिए, जो भौतिक संकेतों की स्तिथि में अधिक समझ में आता है।

कुछ उद्देश्यों के लिए, अनंत विलक्षणताएं तब तक स्वीकार्य हैं जब तक संकेत किसी भी सीमित अंतराल पर एकीकृत है (उदाहरण के लिए, $t^{-1}$ संकेत अनंत पर समाकलनीय नहीं है, लेकिन $t^{-2}$ है)।

कोई भी अनुरूप संकेत स्वभाव से निरंतर होता है। अंकीय संकेत प्रक्रिया में उपयोग किए जाने वाले पृथक-समय संकेत, निरंतर संकेत के प्रतिरूप (संकेत प्रसंस्करण) और परिमाणीकरण (संकेत प्रसंस्करण) द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं।

सतत संकेत को समय के अतिरिक्त किसी स्वतंत्र चर पर भी परिभाषित किया जा सकता है। एक और बहुत सामान्य स्वतंत्र चर है स्पेस और विशेष रूप से प्रतिबिंब प्रक्रमण में उपयोगी है, जहां दो दिक् आयामों का उपयोग किया जाता है।

प्रासंगिक संदर्भ

जब अनुभवजन्य माप सम्मिलित होते हैं तो प्रायः अलग-अलग समय का उपयोग किया जाता है, क्योंकि सामान्यतः चर को केवल क्रमिक रूप से मापना संभव होता है। उदाहरण के लिए, जबकि आर्थिक क्रिया वास्तव में निरंतर होती रहती है, ऐसा कोई क्षण नहीं होता जब अर्थव्यवस्था पूरी तरह से रुक जाती है, केवल आर्थिक गतिविधि को विवेकपूर्वक मापना संभव है। इस कारण से, उदाहरण के लिए, सकल घरेलू उत्पाद पर प्रकाशित डेटा कैलेंडर वर्ष मूल्यों का एक क्रम दिखाएगा।

जब कोई ऐसे चर को अन्य चर और/या अपने पूर्व मूल्यों के संदर्भ में अनुभवजन्य रूप से समझाने का प्रयास करता है, तो वह समय श्रृंखला या प्रतिगमन विश्लेषण विधियों का उपयोग करता है जिसमें चर को एक अधोलेख के साथ अनुक्रमित किया जाता है जो उस समय अवधि को दर्शाता है जिसमें अवलोकन हुआ था। उदाहरण के लिए, yt अनिर्दिष्ट समय अवधि t में देखी गई आय के मूल्य को संदर्भित कर सकता है, y3 तीसरी समय अवधि में देखी गई आय के मूल्य को संदर्भित कर सकता है, आदि।

इसके अतिरिक्त, जब एक शोधकर्ता यह समझाने के लिए एक सिद्धांत विकसित करने का प्रयास करता है कि अलग-अलग समय में क्या देखा जाता है, तो प्रायः समय श्रृंखला या प्रतिगमन प्रतिरूप के विकास को सुविधाजनक बनाने के लिए सिद्धांत को अलग-अलग समय में व्यक्त किया जाता है।

दूसरी ओर, निरंतर समय में वैज्ञानिक सिद्धांतों का निर्माण करना प्रायः अधिक गणितीय रूप से बंद रूप वाला समाधान होता है, और प्रायः भौतिकी जैसे क्षेत्रों में सटीक विवरण के लिए निरंतर समय के उपयोग की आवश्यकता होती है। निरंतर समय के संदर्भ में, किसी अनिर्दिष्ट समय बिंदु पर चर y का मान y(t) के रूप में दर्शाया जाता है या, जब अर्थ स्पष्ट हो, तो बस y के रूप में दर्शाया जाता है।

समीकरणों के प्रकार

पृथक समय

पृथक समय अंतर समीकरणों का उपयोग करता है, जिन्हें पुनरावृत्ति संबंध के रूप में भी जाना जाता है। एक उदाहरण, जिसे तर्कगणित मानचित्र या तर्कगणित समीकरण के रूप में जाना जाता है।

$x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),$

जिसमें r 2 से 4 तक की सीमा में एक मापदण्ड है, और x 0 से 1 तक की सीमा में एक चर है, जिसका अवधि t में मान गैर-रैखिक रूप से अगली अवधि, t+1 में इसके मूल्य को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, यदि r=4 और $x_{1}=1/3$, तो t=1 के लिए हमारे पास $x_{2}=4(1/3)(2/3)=8/9$ है, और t=2 के लिए हमारे पास $x_{3}=4(8/9)(1/9)=32/81$ है।

एक अन्य उदाहरण किसी उत्पाद की गैर-शून्य अधि माँग के जवाब में मूल्य P के समायोजन को प्रतिरूप करता है

$P_{t+1}=P_{t}+\delta \cdot f(P_{t},...)$

जहाँ $\delta$ समायोजन की सकारात्मक गति मापदण्ड है जो 1 से कम या उसके बराबर है, और जहां $f$ अतिरिक्त मांग फलन है।

निरंतर समय

सतत समय विभेदक समीकरणों का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद के लिए गैर-शून्य अतिरिक्त मांग के जवाब में मूल्य P का समायोजन निरंतर समय में किया जा सकता है

${\frac {dP}{dt}}=\lambda \cdot f(P,...)$

जहां बाईं ओर समय के संबंध में कीमत का पहला व्युत्पन्न है (अर्थात, कीमत में परिवर्तन की दर), $\lambda$ समायोजन की गति मापदण्ड है जो कोई भी सकारात्मक परिमित संख्या हो सकती है, और $f$ फिर से अतिरिक्त मांग फलन है।

चित्रमय चित्रण

पृथक समय में मापा गया चर एक चरण फलन के रूप में आलेख किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक समय अवधि को हर अन्य समय अवधि के समान लंबाई के क्षैतिज अक्ष पर एक क्षेत्र दिया जाता है, और मापा चर को एक ऊंचाई के रूप में आलेख किया जाता है जो पूरे समय स्थिर रहता है समयावधि का क्षेत्र. इस आलेखीय तकनीक में, आलेख क्षैतिज चरणों के अनुक्रम के रूप में दिखाई देता है। वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक समय अवधि को समय में एक अलग बिंदु के रूप में देखा जा सकता है, सामान्यतः क्षैतिज अक्ष पर एक पूर्णांक मान पर, और माप चर को उस समय-अक्ष बिंदु से ऊपर की ऊंचाई के रूप में आलेख किया जाता है। इस तकनीक में, आलेख बिंदुओं के एक सम्मुच्चय के रूप में दिखाई देता है।

निरंतर समय में मापे गए एक चर के मानों को एक सतत फलन के रूप में आलेखित किया जाता है, क्योंकि समय के क्षेत्र को संपूर्ण वास्तविक अक्ष या कम से कम उसका कुछ जुड़ा हुआ भाग माना जाता है।

यह भी देखें

• उपघटन
• बर्नौली प्रक्रिया
• अंकीय डाटा
• असतत कलन
• अलग व्यवस्था
• विवेकाधिकार
• सामान्यीकृत आवृत्ति (अंकीय संकेत संसाधन)
• नाइक्विस्ट-शैनन प्रतिदर्श प्रमेय
• समय-प्रतिरूप की गणना

संदर्भ

• Gershenfeld, Neil A. (1999). The Nature of mathematical Modeling. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57095-6.

• Wagner, Thomas Charles Gordon (1959). Analytical transients. Wiley.