मल्टी- सूचकांक संकेतन गणितीय नोटेशन है जो सूचकांकों के क्रमबद्ध टुपल के लिए पूर्णांक सूचकांक नोटेशन की अवधारणा को सामान्यीकृत करके, बहुपरिवर्तनीय कैलकुलस, आंशिक अंतर समीकरणों और वितरण (गणित) के सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले सूत्रों को सरल बनाता है।
परिभाषा और मूलभूत गुण एक n-आयामी 'मल्टी-इंडेक्स' n-ट्यूपल है
α = ( α 1 , α 2 , … , α n ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})} गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का (अर्थात प्राकृतिक संख्या ओं के n-आयाम समुच्चय (गणित) का अवयव , जिसे N 0 n {\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}
बहु-सूचकांकों α , β ∈ N 0 n {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}} x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) ∈ R n {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
घटकवार योग और अंतर
α ± β = ( α 1 ± β 1 , α 2 ± β 2 , … , α n ± β n ) {\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})} आंशिक आदेश α ≤ β ⇔ α i ≤ β i ∀ i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}} घटकों का योग (पूर्ण मान)
| α | = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}} कारख़ाने का α ! = α 1 ! ⋅ α 2 ! ⋯ α n ! {\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!} द्विपद गुणांक ( α β ) = ( α 1 β 1 ) ( α 2 β 2 ) ⋯ ( α n β n ) = α ! β ! ( α − β ) ! {\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}} बहुपद गुणांक ( k α ) = k ! α 1 ! α 2 ! ⋯ α n ! = k ! α ! {\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}} k := | α | ∈ N 0 {\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}} शक्ति (गणित) x α = x 1 α 1 x 2 α 2 … x n α n {\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}} उच्च-क्रम आंशिक व्युत्पन्न
∂ α = ∂ 1 α 1 ∂ 2 α 2 … ∂ n α n {\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}} ∂ i α i := ∂ α i / ∂ x i α i {\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}} 4-ग्रेडिएंट भी देखें)। कभी-कभी संकेतन D α = ∂ α {\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }} [1] कुछ अनुप्रयोग मल्टी-इंडेक्स नोटेशन प्रारंभिक कैलकुलस से संबंधित मल्टी-वेरिएबल केस तक अनेक सूत्रों के विस्तार की अनुमति देता है। नीचे कुछ उदाहरण हैं. निम्नलिखित सभी में, x , y , h ∈ C n {\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} α , ν ∈ N 0 n {\displaystyle \alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}} f , g , a α : C n → C {\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} } R n → R {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
बहुपद प्रमेय ( ∑ i = 1 n x i ) k = ∑ | α | = k ( k α ) x α {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }} बहु-द्विपद प्रमेय ( x + y ) α = ∑ ν ≤ α ( α ν ) x ν y α − ν . {\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.} x + y α (x 1 + y 1 )α 1 x n y n α n रूप है .लीबनिज नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम)
सुचारु कार्यों के लिए f और g∂ α ( f g ) = ∑ ν ≤ α ( α ν ) ∂ ν f ∂ α − ν g . {\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}
टेलर श्रृंखला एक विश्लेषणात्मक फलन के लिए f में n वेरिएबल्स हैं f ( x + h ) = ∑ α ∈ N 0 n ∂ α f ( x ) α ! h α . {\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.} f ( x + h ) = ∑ | α | ≤ n ∂ α f ( x ) α ! h α + R n ( x , h ) , {\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),} R n ( x , h ) = ( n + 1 ) ∑ | α | = n + 1 h α α ! ∫ 0 1 ( 1 − t ) n ∂ α f ( x + t h ) d t . {\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}
सामान्य रैखिक आंशिक अंतर ऑपरेटर
n वेरिएबल में औपचारिक रैखिक n-वें क्रम आंशिक अंतर ऑपरेटर के रूप में लिखा गया है P ( ∂ ) = ∑ | α | ≤ N a α ( x ) ∂ α . {\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}
भागों द्वारा एकीकरण एक सीमित डोमेन में कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ सुचारू कार्यों Ω ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} ∫ Ω u ( ∂ α v ) d x = ( − 1 ) | α | ∫ Ω ( ∂ α u ) v d x . {\displaystyle \int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.} अशक्त व्युत्पन्न की परिभाषा के लिए किया जाता है। उदाहरण प्रमेय यदि α , β ∈ N 0 n {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}} x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}
∂ α x β = { β ! ( β − α ) ! x β − α if α ≤ β , 0 otherwise. {\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\text{if}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}} प्रमाण प्रमाण अंतर कलन के लिए शक्ति नियम से अनुसरण करता है; यदि α और β {0,1,2,…} में हैं, तो
d α d x α x β = { β ! ( β − α ) ! x β − α if α ≤ β , 0 otherwise. {\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}}
(1 )
मान लीजिए α = ( α 1 , … , α n ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})} β = ( β 1 , … , β n ) {\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})} x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}
∂ α x β = ∂ | α | ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x n α n x 1 β 1 ⋯ x n β n = ∂ α 1 ∂ x 1 α 1 x 1 β 1 ⋯ ∂ α n ∂ x n α n x n β n . {\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}} {1, …, n} में प्रत्येक i के लिए फलन
x i β i {\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}} केवल
x i {\displaystyle x_{i}} पर निर्भर करता है। उपरोक्त में प्रत्येक आंशिक
d / d x i {\displaystyle d/dx_{i}} विभेदन है इसलिए संबंधित सामान्य विभेदन
∂ / ∂ x i {\displaystyle \partial /\partial x_{i}} तक कम हो जाता है। तथा समीकरण (
1 ) से, यह इस प्रकार है कि
∂ α x β {\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }} में कम से कम i है तथा इसके लिए αi > βi होने पर आंशिक
∂ α x β {\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }} विलुप्त हो जाता है। यदि यह स्थिति नहीं है अर्थात, यदि α ≤ β बहु-सूचकांक के रूप में है, तो
d α i d x i α i x i β i = β i ! ( β i − α i ) ! x i β i − α i {\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}} प्रत्येक
i {\displaystyle i} के लिए और प्रमेय क्यू.ई.डी का अनुसरण करता है।
यह भी देखें संदर्भ
↑ Reed, M.; Simon, B. (1980). Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I (Revised and enlarged ed.). San Diego: Academic Press. p. 319. ISBN 0-12-585050-6
Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators . Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9 This article incorporates material from multi-index derivative of a power on PlanetMath , which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
दायरा
नोटेशन टेन्सर ऑपरेशन संबंधित उल्लेखनीय टेन्सर
गणितज्ञ
