संघ (समुच्चय सिद्धान्त)

दो समुच्चयों का संघ:
$~A\cup B$

तीन समुच्चयों का संघ:
$~A\cup B\cup C$

चित्र में सफ़ेद क्षेत्र को छोड़कर संपूर्ण क्षेत्र समुच्चयों A, B, C, D और E का संघ है।

समुच्चय सिद्धांत में, समुच्चयों के एक संग्रह का संघ (∪ द्वारा निरूपित), उस संग्रह के सभी तत्वों का समुच्चय होता है। यह मूलभूत संक्रियाओं में से एक होता है, जिसके माध्यम से समुच्चयों को संयोजित और परस्पर संबंधित किया जा सकता है। एक शून्य संघ, शून्य ($0$) समुच्चयों के एक संघ को संदर्भित करता है, और परिभाषा के अनुसार यह रिक्त समुच्चय के बराबर होता है।

इस लेख में प्रयुक्त प्रतीकों की व्याख्या के लिए गणितीय प्रतीकों की तालिका देखें।

दो समुच्चयों का संघ

दो समुच्चय A और B का संघ, उन तत्वों का समुच्चय है जो A में, B में या A और B दोनों में हैं। समुच्चय-निर्माण निरूपण में,

$A\cup B=\{x:x\in A{\text{ or }}x\in B\}$.

उदाहरण के लिए, यदि A = {1, 3, 5, 7} और B = {1, 2, 4, 6, 7} तो A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}। इसका एक अधिक विस्तृत उदाहरण (दो अपरिमित समुच्चयों को सम्मिलित करते हुए) है:

A = {x, 1 से बड़ा एक सम पूर्णांक है}

B = {x, 1 से बड़ा एक विषम पूर्णांक है}

$A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}$

एक अन्य उदाहरण के रूप में, संख्या 9 अभाज्य अभाज्य संख्याओं के समुच्चय {2, 3, 5, 7, 11, ...} और सम संख्याओं के समुच्चय {2, 4, 6, 8, 10 , ...} के संघ में नहीं है, क्योंकि 9 न तो अभाज्य है और न ही सम।

किसी समुच्चय में एक तत्व की पुनरावृत्ति नहीं हो सकती है, इसलिए समुच्चयों {1, 2, 3} और {2, 3, 4} का संघ {1, 2, 3, 4} है। समान तत्वों की एक से अधिक आवृत्ति का किसी समुच्चय या उसके तत्वों की गणनांकता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

बीजगणितीय गुण

See also: समुच्चय की सर्वसमिकाओं और संबंधों की सूची and समुच्चयों का बीजगणित

द्विआधारी संघ एक साहचर्य संक्रिया है; अर्थात् समुच्चयों $A,B,{\text{ औ र }}C$ के लिए

$$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$$

इस प्रकार अस्पष्टता के बिना कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है: उपरोक्त में से किसी को भी $A\cup B\cup C$ के रूप में लिखा जा सकता है। साथ ही, संघ क्रमविनिमेय भी होता है, इसलिए समुच्चयों को किसी भी क्रम में लिखा जा सकता है। संघ की संक्रिया के लिए रिक्त समुच्चय एक तत्समक तत्व है, अर्थात्, किसी भी समुच्चय $A$ के लिए $A\cup \varnothing =A,$ इसके अतिरिक्त, संघ की संक्रिया वर्गसम भी होती है: अर्थात् $A\cup A=A.$ इन सभी गुणों का अनुसरण समरूप तथ्यों द्वारा तार्किक संयोजन के सम्बन्ध में किया जाता है।

सर्वनिष्ठ, संघ पर वितरण संक्रिया का पालन करता है

$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$

संघ, सर्वनिष्ठ पर वितरण संक्रिया का पालन करता है

$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$$

किसी समुच्चय का अधि-समुच्चय $U,$ संघ, सर्वनिष्ठ और पूरक द्वारा दी गई संक्रियाओं के साथ एक बूलियन बीजगणित है। इस बूलियन बीजगणित में, संघ को निम्न सूत्र द्वारा सर्वनिष्ठ और पूरक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$$A\cup B=\left(A^{\text{c}}\cap B^{\text{c}}\right)^{\text{c}}$$

जहाँ, अभिलेखित (सुपरस्क्रिप्ट) ${}^{\text{c}}$, समष्टीय समुच्चय $U$ में पूरक को प्रदर्शित करता है।

परिमित संघ

एक साथ कई समुच्चयों का संघ किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन समुच्चयों A, B और C के संघ में A, B और C के सभी तत्वों के अतिरिक्त कुछ भी सम्मिलित नहीं होता है। इस प्रकार, x, A ∪ B ∪ C का एक तत्त्व है यदि और केवल यदि x कम से कम A, B और C में से किसी एक समुच्चय में है।

एक परिमित संघ, समुच्चयों की एक परिमित संख्या का संघ है; इस वाक्यांश का अर्थ यह नहीं है कि संघ समुच्चय, एक परिमित समुच्चय है।

स्वेच्छ संघ

समुच्चयों के एक स्वेच्छ संग्रह का संघ, सबसे सामान्य धारणा है, जिसे कभी-कभी एक अपरिमित संघ कहा जाता है। यदि M एक समुच्चय या वर्ग है जिसके अवयव, समुच्चय हैं, तो x, M के संघ का एक अवयव होगा यदि और केवल यदि इसमें M का कम से कम एक अवयव A हो, जैसे कि x, A का एक अवयव हो। प्रतीकों में:

$x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A$

यह विचार पिछले अनुभागों को सम्मिलित करता है—उदाहरण के लिए, A ∪ B ∪ C, संग्रह {A, B, C} का संघ है। साथ ही, यदि 'M' रिक्त संग्रह है, तो 'M का संघ एक रिक्त समुच्चय है।

संकेतन

सामान्य अवधारणा के लिए संकेतन भिन्न हो सकते हैं। समुच्चयों $S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}$ के परिमित संघ के लिए, प्रायः $S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}$ या $\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}$ लिखा जाता है। स्वेच्छ संघों के लिए विभिन्न सामान्य संकेतों में $\bigcup \mathbf {M}$,$\bigcup _{A\in \mathbf {M} }A$, तथा $\bigcup _{i\in I}A_{i}$ सम्मिलित हैं I इनमें से अंतिम संकेत, संग्रह $\left\{A_{i}:i\in I\right\}$ के संघ को संदर्भित करता है, जहाँ I एक सूचक समुच्चय है और, $A_{i}$, प्रत्येक $i\in I$ के लिए एक समुच्चय है।सूचक समुच्चय I के प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय होने की स्थिति में, संकेत $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$ का उपयोग किया जाता है, जो श्रेणी में अपरिमित योगों के अनुरूप है।

जब प्रतीक "∪" को अन्य प्रतीकों से पहले (उनके मध्य के स्थान पर) रखा जाता है, तो इसे सामान्यतः बड़े आकार के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

संकेतों का संकेतीकरण

एकल कूट (यूनिकोड) में, संघ को U+222A ∪ UNION वर्ण द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। टीईएक्स (TeX) में, $\cup$ को \cup द्वारा प्रस्तुत किया जाता है।

यह भी देखें

• समुच्चयों का बीजगणित – Identities and relationships involving sets - समुच्चयों को सम्मिलित करने वाली सर्वसमिकाएँ और सम्बन्ध

• वैकल्पिक (औपचारिक भाषा सिद्धांत) - श्रृंखलाओं के समुच्चयों का संघ
• संघ का अभिगृहीत - अभिगृहीत समुच्चय सिद्धांत में अवधारणा
• विसंघीत संघ - गणित में, समुच्चयों पर संक्रियाएँ
• अंतर्वेशन-बहिर्वेशन सिद्धांत - साहचर्य में गणना तकनीक
• सर्वनिष्ठ (सेट सिद्धांत) - कुछ समुच्चयों के सभी उभयनिष्ठ तत्वों का समुच्चय
• पुनरावृत्त द्विआधारी संक्रिया - किसी अनुक्रम में एक संक्रिया का पुनरावृत्त अनुप्रयोग
• समुच्चय की सर्वसमिकाओं और संबंधों की सूची - समुच्चयों के संयोजन के लिए समानताएँ
• सरल समुच्चय सिद्धांत - अनौपचारिक समुच्चय सिद्धांत
• सममित अंतर – Elements in exactly one of two sets - दो समुच्चयों में से किसी एक समुच्चय के तत्व

बाहरी संबंध

• "Union of sets", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.