सम्मिश्रता

गणित में वास्तविक संख्या (एक "वास्तविक सदिश समष्टि") के क्षेत्र में सदिश समष्टि V का सम्मिश्रता सम्मिश्र संख्या क्षेत्र (गणित) पर एक सदिश समष्टि V^C उत्पन्न करता है, जो औपचारिक रूप से सम्मिश्र संख्याओं द्वारा उनके स्केलिंग (गुणन) को सम्मिलित करने के लिए वास्तविक संख्याओं द्वारा सदिशों के स्केलिंग का विस्तार करके प्राप्त किया जाता है। V के लिए कोई आधार (रैखिक बीजगणित) (वास्तविक संख्याओं पर एक समष्टि) सम्मिश्र संख्याओं पर V^C के आधार के रूप में भी काम कर सकता है।

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए कि $V$ एक वास्तविक सदिश समष्टि है। V की सम्मिश्रता को सम्मिश्र संख्याओं (वास्तविकताओं पर 2-आयामी सदिश समष्टि के रूप में माना जाता है) के साथ $V$ के टेंसर उत्पाद को ले कर परिभाषित किया गया है:

$V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,.$

टेंसर उत्पाद पर सबस्क्रिप्ट, $\mathbb {R}$ निरुपित करता है कि टेंसर उत्पाद को वास्तविक संख्याओं (चूंकि $V$ वास्तविक सदिश समष्टि है वैसे भी यह एकमात्र समझदार विकल्प है, इसलिए सबस्क्रिप्ट को सुरक्षित रूप से छोड़ा जा सकता है) पर ले लिया गया है। जैसा यह प्रतीक होता है, $V^{\mathbb {C} }$ केवल वास्तविक सदिश समष्टि है। चूँकि, हम सम्मिश्र गुणन को निम्नानुसार परिभाषित करके $V^{\mathbb {C} }$ को एक सम्मिश्र सदिश समष्टि बना सकते हैं:

$\alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{ for all }}v\in V{\mbox{ and }}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} .$

सामान्यतः, सम्मिश्रता अदिशों के विस्तार का उदाहरण है - जो अदिशों को वास्तविक संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तारित करता है - जो कि किसी भी क्षेत्र विस्तार के लिए किया जा सकता है, या वास्तव में वलयों के किसी भी आकारिकी के लिए किया जा सकता है।

औपचारिक रूप से, सम्मिश्रता वास्तविक सदिश रिक्त समष्टि की श्रेणी से सम्मिश्र सदिश रिक्त समष्टि की श्रेणी में एक कार्यात्मक Vect_R → Vect_C है। यह आसन्न फ़ैक्टर है - विशेष रूप से बाएं आसन्न - फॉरगेटफुल फ़ैक्टर Vect_C → Vect_R के लिए जो सम्मिश्र संरचना को भूल जाता है।

एक सम्मिश्र सदिश समष्टि $V$ की सम्मिश्र संरचना को भूल जाने को विसंकुलीकरण (या कभी-कभी "प्राप्ति") कहा जाता है। आधार $e_{\mu }$ के साथ एक सम्मिश्र सदिश समष्टि $V$ का अपघटन, अदिशों के सम्मिश्र गुणन की संभावना को हटा देता है, इस प्रकार आधार $\{e_{\mu },ie_{\mu }\}$ के साथ दो बार आयाम का एक वास्तविक सदिश समष्टि $W_{\mathbb {R} }$ उत्पन्न करता है।

मूल गुण

टेंसर उत्पाद की प्रकृति से, V^C में प्रत्येक सदिश v को विशिष्ट रूप से

$v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i$

के रूप में लिखा जा सकता है जहां v₁ और v₂ V में सदिश हैं। टेंसर उत्पाद प्रतीक को छोड़ना और लिखना सामान्य बात है

$v=v_{1}+iv_{2}.\,$

सम्मिश्र संख्या से गुणा a + i b तब सामान्य नियम द्वारा दिया जाता है

$(a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,$

इसके बाद हम V^C को V:

$V^{\mathbb {C} }\cong V\oplus iV$

की दो प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के रूप में सम्मिश्र संख्याओं से गुणा करने के उपरोक्त नियम के साथ मान सकते हैं।

$v\mapsto v\otimes 1$ द्वारा दिए गए V^C में V का एक प्राकृतिक एम्बेडिंग है।

सदिश समष्टि V को तब V^C की वास्तविक रैखिक उपसमष्टि के रूप में माना जा सकता है। यदि V का आधार { e_i } (क्षेत्र R पर) है तो V^C के लिए संबंधित आधार क्षेत्र C पर { e_i ⊗ 1 } द्वारा दिया जाता है। इसलिए V^C का सम्मिश्र आयाम (रैखिक बीजगणित) V के वास्तविक आयाम के बराबर है:

$\dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.$

वैकल्पिक रूप से, टेंसर उत्पादों का उपयोग करने के अतिरिक्त, इस प्रत्यक्ष योग का उपयोग सम्मिश्रता की परिभाषा के रूप में किया जा सकता है:

$V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,$

जहाँ $V^{\mathbb {C} }$ को $J(v,w):=(-w,v),$ के रूप में परिभाषित ऑपरेटर J द्वारा एक रैखिक सम्मिश्र संरचना दी गई है, जहाँ J "गुणन i द्वारा" के संचालन को कूटबद्ध करता है। आव्यूह रूप में, J द्वारा दिया गया है:

$J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.$

यह समान समष्टि उत्पन्न करता है - रैखिक सम्मिश्र संरचना वाला वास्तविक सदिश समष्टि सम्मिश्र सदिश समष्टि के समान डेटा है - चूंकि यह अंतरिक्ष को अलग विधि से बनाता है। इसलिए, $V^{\mathbb {C} }$ को $V\oplus JV$ या $V\oplus iV$ के रूप में लिखा जा सकता है जो V को पहले प्रत्यक्ष योग के साथ पहचानता है। यह दृष्टिकोण अधिक ठोस है, और इसमें तकनीकी रूप से सम्मिलित टेंसर उत्पाद के उपयोग से बचने का लाभ है, किन्तु यह तदर्थ है।

उदाहरण

• वास्तविक समन्वय समष्टि Rⁿ की सम्मिश्रता सम्मिश्र समन्वय समष्टि Cⁿ है।
• इसी प्रकार, यदि V में वास्तविक प्रविष्टियों के साथ m×n आव्यूह (गणित) होते हैं, तो V^C में सम्मिश्र प्रविष्टियों के साथ m×n आव्यूह सम्मिलित होंगे।

डिकसन दोहरीकरण

Main article: केली-डिक्सन निर्माण

लियोनार्ड डिक्सन सहित बीसवीं शताब्दी के गणितज्ञों द्वारा R को C तक जाने की सम्मिश्रता की प्रक्रिया को सारगर्भित किया गया था। एक पहचान क्षेत्रण x* = x को R पर एक तुच्छ इनवोल्यूशन के रूप में उपयोग करने के साथ प्रारंभ होता है। R की अगली दो प्रतियों का उपयोग z = (a , b) बनाने के लिए किया जाता है, जिसमें इनवोल्यूशन z* = (a, −b) के रूप में प्रस्तुत सम्मिश्र संयुग्मन होता है। दो तत्व w और z दोगुने सेट में से गुणा करें

$wz=(a,b)\times (c,d)=(ac\ -\ d^{*}b,\ da\ +\ bc^{*}).$

अंत में, दोगुने सेट को मानदंड N(z) = z* z दिया जाता है। पहचान इन्वॉल्वमेंट के साथ R से प्रारंभ करते समय, दोगुना सेट मानदंड a² + b² के साथ C होता है।

यदि कोई C को दोगुना करता है, और संयुग्मन (a,b)* = (a*, -b) का उपयोग करता है, तो निर्माण चतुर्भुज उत्पन्न करता है। दोहरीकरण फिर से ऑक्टोनियन उत्पन्न करता है, जिसे केली संख्या भी कहा जाता है। यह इस बिंदु पर था कि 1919 में डिक्सन ने बीजगणितीय संरचना को प्रकाशित करने में योगदान दिया था।

इस प्रक्रिया को C और छोटे इनवोल्यूशन z* = z से भी प्रारंभ किया जा सकता है। R को दोगुना करके C की पीढ़ी के विपरीत, उत्पादित मानदंड केवल z² है। जब इस C को दोगुना किया जाता है, तो यह द्विसम्मिश्र संख्या उत्पन्न करता है, और दोहरीकरण जो द्विभाजितता उत्पन्न करता है, और फिर से दोगुना करने से बायोक्टनियन उत्पन्न होते हैं। जब आधार बीजगणित सहयोगी होता है, तो इस केली-डिक्सन निर्माण द्वारा निर्मित बीजगणित को एक संरचना बीजगणित कहा जाता है क्योंकि यह दिखाया जा सकता है कि इसकी गुण है।

$N(p\,q)=N(p)\,N(q)\,.$

सम्मिश्र संयुग्मन

सम्मिश्र सदिश समष्टि V^C में सामान्य सम्मिश्र सदिश समष्टि की तुलना में अधिक संरचना होती है। यह

$\chi (v\otimes z)=v\otimes {\bar {z}}.$

द्वारा परिभाषित एक विहित सम्मिश्र संयुग्मन माप

$\chi :V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}$

के साथ आता है।

माप χ या तो V^C से स्वयं के संयुग्म-रैखिक क्षेत्र के रूप में माना जा सकता है या V^C से सम्मिश्र संयुग्मित ${\overline {V^{\mathbb {C} }}}$ के सम्मिश्र रैखिक समरूपता के रूप में माना जा सकता है।

इसके विपरीत, सम्मिश्र संयुग्मन χ के साथ एक सम्मिश्र सदिश स्थान W दिया गया है, W वास्तविक उपस्थान के सम्मिश्र V^C के लिए एक सम्मिश्र सदिश स्थान के रूप में समरूपता है।

$V=\{w\in W:\chi (w)=w\}.$

दूसरे शब्दों में, सम्मिश्र संयुग्मन के साथ सभी सम्मिश्र सदिश समष्टि वास्तविक सदिश समष्टि की सम्मिश्रता हैं।

उदाहरण के लिए, कब W = Cⁿ मानक सम्मिश्र संयुग्मन के साथ

$\chi (z_{1},\ldots ,z_{n})=({\bar {z}}_{1},\ldots ,{\bar {z}}_{n})$

अपरिवर्तनीय उप-समष्टि V केवल वास्तविक उपसमष्टि Rⁿ हैं।

रैखिक परिवर्तन

वास्तविक रैखिक परिवर्तन को देखते हुए f : V → W दो वास्तविक सदिश रिक्त समष्टि के बीच प्राकृतिक सम्मिश्र रैखिक परिवर्तन होता है

$f^{\mathbb {C} }:V^{\mathbb {C} }\to W^{\mathbb {C} }$

द्वारा दिए गए

$f^{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.$

वो माप $f^{\mathbb {C} }$ 'एफ' की सम्मिश्रता कहलाती है। रैखिक परिवर्तनों की सम्मिश्रता निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करती है

• $(\mathrm {id} _{V})^{\mathbb {C} }=\mathrm {id} _{V^{\mathbb {C} }}$
• $(f\circ g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }\circ g^{\mathbb {C} }$
• $(f+g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }+g^{\mathbb {C} }$
• $(af)^{\mathbb {C} }=af^{\mathbb {C} }\quad \forall a\in \mathbb {R}$

श्रेणी सिद्धांत की भाषा में कोई कहता है कि सम्मिश्र सदिश रिक्त समष्टि की श्रेणी से सम्मिश्र सदिश रिक्त समष्टि की श्रेणी में (योगात्मक कारक) फ़ंक्टर को परिभाषित करता है।

वो माप f^C संयुग्मन के साथ संचार करता है और इसलिए V^C के वास्तविक उप-स्थान को W^C के वास्तविक उप-क्षेत्र (क्षेत्र f के माध्यम से) में मैप करता है। इसके अतिरिक्त, सम्मिश्र रैखिक माप g : V^C → W^C वास्तविक रेखीय क्षेत्र की सम्मिश्रता है यदि और केवल यदि यह संयुग्मन के साथ प्रारंभ होता है।

उदाहरण के रूप से Rⁿ को R^m तक एक रैखिक परिवर्तन पर विचार करें जिसे m×n आव्यूह (गणित) के रूप में माना जाता है। उस परिवर्तन की सम्मिश्रता बिल्कुल ही आव्यूह है, किन्तु अब इसे Cⁿ से C^m तक रेखीय क्षेत्र के रूप में माना जाता है.

दोहरे समष्टि और टेंसर उत्पाद

एक वास्तविक सदिश समष्टि V का दोहरा V को R तक के सभी वास्तविक रेखीय नक्शों का स्थान V* है। V* की सम्मिश्रता को स्वाभाविक रूप से V को C (Hom_R(V,C) निरुपित से सभी वास्तविक रैखिक मानचित्रों के स्थान के रूप में सोचा जा सकता है। वह है,

$$(V^{*})^{\mathbb {C} }=V^{*}\otimes \mathbb {C} \cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} ).$$

समरूपता किसके द्वारा दी जाती है

$$(\varphi _{1}\otimes 1+\varphi _{2}\otimes i)\leftrightarrow \varphi _{1}+i\varphi _{2}$$

जहाँ φ₁ और φ₂ V* के तत्व है। सम्मिश्र संयुग्मन तब सामान्य ऑपरेशन द्वारा दिया जाता है

$${\overline {\varphi _{1}+i\varphi _{2}}}=\varphi _{1}-i\varphi _{2}.$$

वास्तविक रेखीय माप φ : V → C दिया हम सम्मिश्र रेखीय क्षेत्र प्राप्त करने के लिए रैखिकता φ : V^C → C द्वारा विस्तार कर सकते है। वह है,

$$\varphi (v\otimes z)=z\varphi (v).$$

यह विस्तार Hom_R(V,C) से Hom_C(V^C,C) तक एक समरूपता देता है। उत्तरार्द्ध V^C के लिए सम्मिश्र दोहरी स्थान है, इसलिए हमारे पास प्राकृतिक समरूपता है:

$$(V^{*})^{\mathbb {C} }\cong (V^{\mathbb {C} })^{*}.$$

अधिक सामान्यतः, वास्तविक सदिश रिक्त समष्टि V और W दिए जाने पर एक प्राकृतिक समरूपता होती है

$$\mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,W)^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },W^{\mathbb {C} }).$$

टेंसर उत्पादों, बाहरी शक्तियों और सममित शक्तियों को लेने के संचालन के साथ सम्मिश्रता भी प्रारंभ होती है। उदाहरण के लिए, यदि V और W वास्तविक सदिश समष्टियाँ हैं तो एक प्राकृतिक तुल्याकारिता होती है

$$(V\otimes _{\mathbb {R} }W)^{\mathbb {C} }\cong V^{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {C} }W^{\mathbb {C} }\,.$$

ध्यान दें कि बाएं हाथ के टेंसर उत्पाद को वास्तविक पर ले लिया जाता है जबकि दाएं हाथ वाले को परिसरों पर ले लिया जाता है। सामान्यतः यही प्रारूप सही है। उदाहरण के लिए, किसी के पास है

$$(\Lambda _{\mathbb {R} }^{k}V)^{\mathbb {C} }\cong \Lambda _{\mathbb {C} }^{k}(V^{\mathbb {C} }).$$

सभी स्थितियों में, समरूपताएं "स्पष्ट" होती हैं।

यह भी देखें

• अदिशों का विस्तार - सामान्य प्रक्रिया
• रैखिक सम्मिश्र संरचना
• बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र

संदर्भ

• Halmos, Paul (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces. Springer. p 41 and §77 Complexification, pp 150–153. ISBN 0-387-90093-4.
• Shaw, Ronald (1982). Linear Algebra and Group Representations. Vol. I: Linear Algebra and Introduction to Group Representations. Academic Press. p. 196. ISBN 0-12-639201-3.
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 135 (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 0-387-24766-1.