मुक्त वस्तु

गणित में, मुक्त वस्तु का विचार अमूर्त बीजगणित की मूल अवधारणाओं में से एक है। अनौपचारिक रूप से, एक समुच्चय (गणित) A पर एक मुक्त वस्तु को A पर एक सामान्य बीजगणितीय संरचना के रूप में माना जा सकता है: मुक्त वस्तु के तत्वों के बीच होने वाले एकमात्र समीकरण वे हैं जो बीजगणितीय संरचना के परिभाषित सिद्धांतों से अनुसरण करते हैं। उदाहरणों में मुक्त समूह, टेन्सर बीजगणित, या मुक्त जालक सम्मिलित हैं।

अवधारणा इस अर्थ में सार्वभौमिक बीजगणित का एक भाग है, कि यह सभी प्रकार की बीजगणितीय संरचना (अंतिम संचालन के साथ) से संबंधित है। श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में इसका एक सूत्रीकरण भी है, हालांकि यह अभी और अधिक अमूर्त शब्दों में है।

परिभाषा

मुफ्त वस्तुएं वेक्टर अंतरिक्ष में आधार (रैखिक बीजगणित) की धारणा की श्रेणियों (गणित) के लिए प्रत्यक्ष सामान्यीकरण हैं। सदिश समष्टियों के बीच एक रैखिक फलन $u : E 1 \to E 2$ सदिश समष्टि $E 1 .$ स्थान के बीच पूरी तरह से वेक्टर स्थान के आधार पर इसके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है निम्नलिखित परिभाषा इसे किसी भी श्रेणी में अनुवादित करती है।

एक ठोस श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है जो समुच्चय की श्रेणी निर्धारित करने के लिए एक वफादार प्रकार्यक से सुसज्जित है। मान ले $C$ एक विश्वसनीय प्रकार्यक $f : C \to Set$ के साथ एक ठोस श्रेणी बनें. होने देना $X$ एक समुच्चय हो (अर्थात, समुच्चय में एक वस्तु), जो परिभाषित होने वाली मुक्त वस्तु का आधार होगा। $X$ पर एक मुक्त वस्तु एक $A=F(X)$ में $C$ और एक अन्तःक्षेपण $i:X\to f(A)$ (कैनोनिकल अन्तःक्षेपण कहा जाता है) वस्तु से मिलकर एक जोड़ी है, जो निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण को संतुष्ट करता है:

C

में किसी वस्तु के लिए

B

और समुच्चय के बीच किसी भी माप के लिये

\varphi :X\to f(B),

वहां एक अद्वितीय आकारिकी

g:A\to B

में

C

उपस्थित है जैसे कि

\varphi =f(g)\circ i.

यही है, अर्थात्, निम्नलिखित आरेख आवागमन करता है:

{\begin{array}{c}X\xrightarrow {\quad i\quad } f(A)\\{}_{\varphi }\searrow \quad \swarrow {}_{f(g)}\\f(B)\quad \\\end{array}}

यदि मुक्त वस्तुएं $C$ में उपस्थित हैं , तो यह सत्यापित करने के लिए सीधा है कि सार्वभौमिक गुण का तात्पर्य है कि दो समुच्चयों के बीच का प्रत्येक माप उन पर निर्मित मुक्त वस्तुओं के बीच एक अद्वितीय आकारिकी उत्पन्न करता है, और यह एक फ़नकार $F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C} .$ को परिभाषित करता है यह इस प्रकार है कि, यदि $C$ मुक्त वस्तुएँ उपस्थित हैं, तो प्रकार्यक $F$ , जिसे मुफ्त-वस्तु प्रकार्यक कहा जाता है, अनवहित प्रकार्यक $f$ के लिए एक बायाँ अनुलग्न है; अर्थात् आक्षेप होता है

\operatorname {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,f(B))\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(F(X),B).

उदाहरण

मुक्त वस्तुओं का निर्माण दो चरणों में होता है। सहयोगी कानून के अनुरूप बीजगणित के लिए, पहला कदम वर्णमाला (कंप्यूटर विज्ञान) से बने सभी संभावित स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) के संग्रह पर विचार करना है। फिर शब्दों पर तुल्यता संबंधों का एक समुच्चय लगाया जाता है, जहां संबंध बीजगणितीय वस्तु के परिभाषित संबंध होते हैं। तब मुक्त वस्तु में तुल्यता वर्गों का समूह होता है।

उदाहरण के लिए, एक समूह के दो जनरेटिंग समुच्चय में मुक्त समूह के निर्माण पर विचार करें। एक पाँच अक्षरों से मिलकर एक वर्णमाला से प्रांरम होता है $\{e,a,b,a^{-1},b^{-1}\}$ . पहले चरण में, अक्षरों को अभी तक कोई नियत अर्थ नहीं दिया गया है $a^{-1}$ या $b^{-1}$ ; इन्हें बाद में, दूसरे चरण में दिया जाएगा। इस प्रकार, कोई समान रूप से अच्छी तरह से पाँच अक्षरों में वर्णमाला के साथ प्रांरम कर सकता है $S=\{a,b,c,d,e\}$ . इस उदाहरण में, सभी शब्दों या स्ट्रिंग्स का समुच्चय $W(S)$ हर संभव क्रम में व्यवस्थित अक्षरों के साथ, एबेसेडे और एबीसी, और इसी तरह, मनमाने ढंग से परिमित लंबाई के तार सम्मिलित होंगे।

अगले चरण में, तुल्यता संबंधों का एक समुच्चय लगाया जाता है। एक समूह (गणित) के लिए तुल्यता संबंध पहचान द्वारा गुणन के हैं, $ge=eg=g$ , और व्युत्क्रमों का गुणन: $gg^{-1}=g^{-1}g=e$ . इन संबंधों को ऊपर के तार पर प्रायुक्त करने पर, एक प्राप्त होता है

aebecede=aba^{-1}b^{-1},

जहां यह समझ में आया $c$ के लिए एक स्टैंड-इन है $a^{-1}$ , और $d$ के लिए एक स्टैंड-इन है $b^{-1}$ , जबकि $e$ पहचान तत्व है। इसी तरह, एक है

abdc=abb^{-1}a^{-1}=e.

द्वारा तुल्यता संबंध या सर्वांगसमता संबंध को नकारना $\sim$ मुक्त वस्तु तब शब्दों के समतुल्य वर्गों का संग्रह है। इस प्रकार, इस उदाहरण में, दो जनरेटर में मुक्त समूह भागफल समुच्चय है

F_{2}=W(S)/\sim .

इसे प्राय: इस प्रकार लिखा जाता है $F_{2}=W(S)/E$ कहाँ $W(S)=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}$ सभी शब्दों का समुच्चय है, और $E=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;e=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,;\,a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}$ एक समूह को परिभाषित करने वाले संबंधों के प्रायुक्त होने के बाद, पहचान का समतुल्य वर्ग है।

एक सरल उदाहरण मुक्त मोनोइड्स हैं। एक समुच्चय एक्स पर मुक्त मोनॉयड, एक्स को वर्णमाला के रूप में उपयोग करने वाले सभी परिमित स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) का मोनॉयड है, जिसमें स्ट्रिंग्स का संचालन संयोजन होता है। पहचान खाली स्ट्रिंग है। संक्षेप में, मुक्त मोनॉइड केवल सभी शब्दों का समुच्चय है, जिसमें कोई तुल्यता संबंध नहीं लगाया गया है। क्लेन स्टार पर लेख में इस उदाहरण को और विकसित किया गया है।

सामान्य मामला

सामान्य मामले में, बीजगणितीय संबंधों को साहचर्य होने की आवश्यकता नहीं है, इस मामले में शुरुआती बिंदु सभी शब्दों का समुच्चय नहीं है, किन्तु कोष्ठकों के साथ विरामित तार हैं, जो अक्षरों के गैर-सहयोगी समूहों को इंगित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। इस तरह की स्ट्रिंग को बाइनरी ट्री या मुक्त मेग्मा द्वारा समतुल्य रूप से दर्शाया जा सकता है; पेड़ की पत्तियाँ वर्णमाला के अक्षर हैं।

तब बीजगणितीय संबंध पेड़ की पत्तियों पर सामान्य arity या अंतिम संबंध हो सकते हैं। सभी संभावित कोष्ठकों के संग्रह के साथ प्रांरम करने के अतिरिक्त, हेरब्रांड ब्रह्मांड के साथ प्रांरम करना अधिक सुविधाजनक हो सकता है। प्रश्न में विशेष बीजगणितीय वस्तु के आधार पर, किसी मुक्त वस्तु की सामग्री का उचित वर्णन या गणना करना आसान या कठिन हो सकता है। उदाहरण के लिए, दो जनरेटर में मुक्त समूह का आसानी से वर्णन किया गया है। इसके विपरीत, एक से अधिक जनरेटर में मुक्त हेटिंग बीजगणित की संरचना के बारे में बहुत कम या कुछ भी ज्ञात नहीं है।^[1] यह निर्धारित करने की समस्या कि क्या दो अलग-अलग तार एक ही तुल्यता वर्ग के हैं, शब्द समस्या (गणित) के रूप में जानी जाती है।

जैसा कि उदाहरण सुझाते हैं, मुक्त वस्तुएँ वाक्य - विन्यास से निर्माण की तरह दिखती हैं; कोई यह कहकर कुछ हद तक उलट सकता है कि सिंटैक्स के प्रमुख उपयोगों को मुक्त वस्तुओं के रूप में समझाया और वर्णित किया जा सकता है, जो स्पष्ट रूप से भारी 'विराम चिह्न' को समझने योग्य (और अधिक यादगार) बनाता है।^{[clarification needed]}

मुक्त सार्वभौमिक बीजगणित

होने देना $S$ कोई भी समुच्चय हो, और रहने दो $\mathbf {A}$ प्रकार की एक बीजगणितीय संरचना हो $\rho$ द्वारा उत्पन्न $S$ . आइए इस बीजगणितीय संरचना के अंतर्निहित समुच्चय को दें $\mathbf {A}$ , कभी-कभी इसका ब्रह्मांड कहा जाता है, हो $A$ , और जाने $\psi :S\to A$ एक समारोह हो। हम कहते हैं $(A,\psi )$ (या अनौपचारिक रूप से सिर्फ $\mathbf {A}$ ) एक मुक्त बीजगणित है (प्रकार का $\rho$ ) मंच पर $S$ मुफ्त जनरेटर की, यदि हर बीजगणित के लिए $\mathbf {B}$ प्रकार का $\rho$ और हर समारोह $\tau :S\to B$ , कहाँ $B$ का एक ब्रह्मांड है $\mathbf {B}$ , एक अद्वितीय समरूपता उपस्थित है $\sigma :A\to B$ ऐसा है कि $\sigma \circ \psi =\tau .$

मुफ्त फंक्‍टर

एक मुक्त वस्तु के लिए सबसे सामान्य समुच्चयिंग श्रेणी सिद्धांत में है, जहां एक ऑपरेटर, फ़्री प्रकार्यक को परिभाषित करता है, जो अनवहित फंक्टर के बाईं ओर है।

बीजगणितीय संरचनाओं की श्रेणी C पर विचार करें; वस्तुओं को कुछ कानूनों का पालन करते हुए समुच्चय प्लस ऑपरेशंस के रूप में सोचा जा सकता है। इस श्रेणी में एक कारक है, $U:\mathbf {C} \to \mathbf {Set}$ , अनवहित प्रकार्यक, जो सी से समुच्चय, समुच्चय की श्रेणी में वस्तुओं और कार्यों को मैप करता है। अनवहित प्रकार्यक बहुत सरल है: यह सभी कार्यों को अनदेखा करता है।

मुफ्त फंक्‍टर एफ, जब यह उपस्थित होता है, यू के बगल में बाईं ओर होता है। वह है, $F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C}$ समुच्चय एक्स को 'समुच्चय' में उनकी संबंधित मुफ्त ऑब्जेक्ट्स एफ (एक्स) श्रेणी 'सी' में ले जाता है। समुच्चय एक्स को मुफ्त ऑब्जेक्ट एफ (एक्स) के जेनरेटर के समुच्चय के रूप में माना जा सकता है।

मुक्त प्रकार्यक के लिए एक बाएँ आसन्न होने के लिए, एक 'समुच्चय'-मोर्फिज़्म भी होना चाहिए $\eta :X\to U(F(X))\,\!$ . अधिक स्पष्ट रूप से, एफ, 'सी' में समरूपता तक है, जो निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण द्वारा विशेषता है:

जब भी A 'C' में एक बीजगणित है, और g : X → U(A) एक फ़ंक्शन (समुच्चय की श्रेणी में एक रूपवाद) है, तो एक अद्वितीय सी-रूपवाद है h : F(X) → A ऐसा है कि U(h) ∘ η = g.

विशेष रूप से, यह उस समुच्चय पर मुक्त वस्तु में एक समुच्चय भेजता है; यह एक आधार का समावेश है। दुरुपयोग संकेतन, $X\to F(X)$ (यह संकेतन का दुरुपयोग करता है क्योंकि एक्स एक समुच्चय है, जबकि एफ (एक्स) बीजगणित है; सही ढंग से, यह है $X\to U(F(X))$ ).

प्राकृतिक परिवर्तन $\eta :\operatorname {id} _{\mathbf {Set} }\to UF$ इकाई (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है; एक साथ देश के साथ $\varepsilon :FU\to \operatorname {id} _{\mathbf {C} }$ , कोई एक टी-बीजगणित का निर्माण कर सकता है, और इसलिए एक मोनाड (श्रेणी सिद्धांत)।

कॉफ़्री प्रकार्यक अनवहित फंक्‍टर का सही संलग्‍न है।

अस्तित्व

सामान्य अस्तित्व प्रमेय हैं जो प्रायुक्त होते हैं; उनमें से सबसे मुलभुत इसकी गारंटी देता है

जब भी सी एक किस्म (सार्वभौमिक बीजगणित) है, तो प्रत्येक समुच्चय 'एक्स' के लिए सी में एक मुक्त वस्तु एफ(एक्स) है।

यहाँ, विविधता एक परिमित बीजगणितीय श्रेणी का एक पर्यायवाची है, इस प्रकार इसका अर्थ है कि संबंधों का समुच्चय परिमित संबंध है, और बीजगणितीय क्योंकि यह समुच्चय पर मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) है।

सामान्य मामला

अन्य प्रकार की अनवहितपन भी वस्तुओं को मुक्त वस्तुओं की तरह ही जन्म देती है, जिसमें वे एक अनवहित फ़नकार के साथ छोड़ दी जाती हैं, जरूरी नहीं कि वे समुच्चय हों।

उदाहरण के लिए, सदिश स्थान पर टेन्सर बीजगणित का निर्माण साहचर्य बीजगणित पर प्रकार्यक के बाईं ओर है जो बीजगणित संरचना की उपेक्षा करता है। इसलिए इसे अधिकांश मुक्त बीजगणित भी कहा जाता है। इसी तरह सममित बीजगणित और बाहरी बीजगणित एक सदिश स्थान पर मुक्त सममित और विरोधी सममित बीजगणित हैं।