मॉड्यूलर जाली

एसटी-समतलीय आरेख।

गणित की शाखा में जिसे क्रम सिद्धांत कहा जाता है, मॉड्यूलर जाली एक ऐसी जाली (क्रम) है जो इस प्रकार से निम्नलिखित स्व-द्वैत (क्रम सिद्धांत) स्थिति को निम्नवत रूप से संतुष्ट करती है,

मॉड्यूलर नियम: $a \leq b$ का तात्पर्य $a \lor (x \land b) = (a \lor x) \land b$ से है

जहाँ $x, a, b$ जाली में यादृच्छिक अवयव हैं, ≤ आंशिक क्रम है, और ∨ और ∧ (जिन्हें क्रमशः युग्मन और सम्बद्ध कहा जाता है) जाली के पूर्ण संचालन हैं। अतः यह वाक्यांश उप-जाल $[a, b]$ पर प्रक्षेपण के संदर्भ में व्याख्या पर बल देता है, एक तथ्य जिसे हीरा समरूपता प्रमेय के रूप में जाना जाता है।^[1] समीकरण के रूप में बताई गई वैकल्पिक परन्तु समतुल्य स्थिति (नीचे देखें) इस बात पर बल देती है कि मॉड्यूलर जाली सार्वभौमिक बीजगणित के अर्थ में विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) बनाती है।

इस प्रकार से बीजगणित और गणित के कई अन्य क्षेत्रों में मॉड्यूलर जाली स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती हैं। इन परिदृश्यों में, मॉड्यूलरिटी दूसरे समरूपता प्रमेय का अमूर्तन है। उदाहरण के लिए, सदिश समष्टि के उप-समष्टि (और सामान्यतः वलय के ऊपर मॉड्यूल के उपमॉड्यूल) मॉड्यूलर जाली बनाते हैं।

यह आवश्यक नहीं कि मॉड्यूलर जाली में, अभी भी अवयव $b$ हो सकते हैं जिसके लिए मॉड्यूलर नियम यादृच्छिक अवयवों $x$ और $a$ ( $a \leq b$ के लिए) के संबंध में है। ऐसे अवयव को मॉड्यूलर अवयव कहा जाता है। इससे भी अधिक सामान्यतः, मॉड्यूलर नियम किसी $a$ और निश्चित युग्म $(x, b)$ के लिए भी मान्य हो सकता है। इस प्रकार से ऐसे युग्म को मॉड्यूलर युग्म कहा जाता है, और इस धारणा और अर्धमॉड्यूलर जाली से संबंधित मॉड्यूलरिटी के विभिन्न सामान्यीकरण हैं।

मॉड्यूलर जाली को कभी-कभी रिचर्ड डेडेकाइंड के नाम पर डेडेकाइंड जाली कहा जाता है, जिन्होंने इतिहास में मॉड्यूलर समरूपता की खोज की थी।

परिचय

इस प्रकार से मॉड्यूलर नियम को प्रतिबंधित सहयोगीता के रूप में देखा जा सकता है जो दो जाली संचालन को उसी प्रकार से जोड़ता है जिस प्रकार से सदिश रिक्त समष्टि के लिए सहयोगी नियम λ(μx) = (λμ)x क्षेत्र में गुणन और अदिश गुणन को जोड़ता है।

प्रतिबंध $a \leq b$ स्पष्ट रूप से आवश्यक है, क्योंकि यह $a \lor (x \land b) = (a \lor x) \land b$ से अनुसरण करता है। दूसरे शब्दों में, से अधिक अवयवों वाली कोई भी जाली मॉड्यूलर नियम के अप्रतिबंधित परिणाम को पूर्ण रूप से संतुष्ट नहीं करती है।

इस प्रकार से यह देखना सरल है^[2] कि प्रत्येक जाली में $a \leq b$ का तात्पर्य $a \lor (x \land b) \leq (a \lor x) \land b$ है। इसलिए, मॉड्यूलर नियम को इस प्रकार भी कहा जा सकता है

मॉड्यूलर नियम (संस्करण): $a \leq b$ का तात्पर्य $(a \lor x) \land b \leq a \lor (x \land b)$ से है।

मॉड्यूलर नियम को समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसे बिना प्रतिबन्ध बनाए रखना आवश्यक है। चूँकि $a \leq b$ का अर्थ है $a = a \land b$ और चूँकि $a \land b \leq b$ , प्राप्त करने के लिए मॉड्यूलर नियम के परिभाषित समीकरण में a को $a \land b$ से बदलें:

मॉड्यूलर समरूपता:

$(a \land b) \lor (x \land b) = ((a \land b) \lor x) \land b$ ।

इससे पता चलता है कि, सार्वभौमिक बीजगणित से शब्दावली का उपयोग करते हुए, मॉड्यूलर जाली एक जाली की विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) की उप-विविधता बनाती है। इसलिए, सभी समरूपी प्रतिरूप, उदात्तता और मॉड्यूलर जाली के प्रत्यक्ष गुणन फिर से मॉड्यूलर हैं।

उदाहरण

N₅, सबसे छोटी गैर-मॉड्यूलर जाली: x∨(a∧b) = x∨0 = x ≠ b = 1∧b =(x∨a)∧b।

एक वलय के ऊपर मॉड्यूल के उपमॉड्यूल की जाली मॉड्यूलर होती है। इस प्रकार से विशेष स्थिति के रूप में, एबेलियन समूह के उपसमूहों की जाली मॉड्यूलर है।

अतः किसी समूह (गणित) के सामान्य उपसमूहों की जाली मॉड्यूलर होती है। परन्तु सामान्यतः किसी समूह के उपसमूहों की जाली मॉड्यूलर नहीं होती है। उदाहरण के लिए, क्रम 8 के द्वितल समूह के उपसमूहों की जाली मॉड्यूलर नहीं है।

सबसे छोटी गैर-मॉड्यूलर जाली पंचभुज जाली N₅ पांच अवयवों 0, 1, x, a, b से मिलकर बना है, जैसे कि 0 < x < b < 1, 0 < a < 1, और a, x या b से तुलनीय नहीं है। इस जाली के लिए,

x ∨ (a ∧ b) = x ∨ 0 = x < b = 1 ∧ b = (x ∨ a) ∧ b

मॉड्यूलर नियम का खंडन करता है। प्रत्येक गैर-मॉड्यूलर जाली में उप-जाल के रूप में N₅ की प्रति होती है।^[3]

गुण

इस प्रकार से प्रत्येक वितरण जाली मॉड्यूलर है।^[4]^[5]

दिलवर्थ (1954) ने सिद्ध किया कि, प्रत्येक परिमित मॉड्यूलर जाली में, जुड़ने वाले अवयवों की संख्या मिलने वाले अवयवों की संख्या के बराबर होती है। अधिक सामान्यतः, प्रत्येक $k$ के लिए, जाली के अवयवों की संख्या जो यथार्थ $k$ अन्य अवयवों को आच्छादित करती है, उस संख्या के बराबर होती है जो यथार्थ $k$ अन्य अवयव आच्छादित की जाती है।^[6]

यह दिखाने के लिए उपयोगी गुण कि कोई जाली मॉड्यूलर नहीं है, इस प्रकार निम्नलिखित है:

एक जाली

G

मॉड्यूलर है यदि और मात्र यदि, किसी

a, b, c \in G

के लिए,

{\Big (}(c\leq a){\text{ and }}(a\wedge b=c\wedge b){\text{ and }}(a\vee b=c\vee b){\Big )}\Rightarrow (a=c)

प्रमाण का रेखाचित्र: $G$ को मॉड्यूलर होने दें, और निहितार्थ के आधार को बनाये रहने दें। फिर अवशोषण और मॉड्यूलर समरूपता का उपयोग करना:

c = (c∧b) ∨ c = (a∧b) ∨ c = a ∧ (b∨c) = a ∧ (b∨a) = a

दूसरी दिशा के लिए, प्रमेय के निहितार्थ को $G$ में रहने दें। मान लीजिए कि a,b,c $G$ में कोई अवयव है, जैसे कि c ≤ a। मान लीजिए x = (a∧b) ∨ c, y = a ∧ (b∨c)। इस प्रकार से मॉड्यूलर असमानता से तुरंत यह पता चलता है कि x ≤ y। यदि हम दिखाते हैं कि x∧b = y∧b, x∨b = y∨b, तो धारणा x = y का उपयोग करना चाहिए। शेष प्रमाण निम्नतम, उच्चतम और असमानताओं के साथ नियमित परिवर्तन है।

हीरा समरूपता प्रमेय

मॉड्यूलर जाली के किन्हीं दो अवयवों a,b के लिए, कोई अंतराल [a ∧ b, b] और [a, a ∨ b] पर पूर्ण रूप से विचार कर सकता है। अतः वे क्रम-संरक्षित प्रतिचित्र

φ: [a ∧ b, b] → [a, a ∨ b] और

ψ: [a, a ∨ b] → [a ∧ b, b]

से जुड़े हुए हैं जो φ(x) = x ∨ a और ψ(y) = y ∧ b द्वारा परिभाषित हैं।

एक मॉड्यूलर जाली में, तीरों द्वारा दर्शाए गए मानचित्र φ और ψ परस्पर व्युत्क्रम समरूपताएँ हैं।
गैर-मॉड्यूलर जाली में हीरा समरूपता प्रमेय की विफलता।

रचना ψφ अंतराल [a ∧ b, b] से स्वयं तक क्रम-संरक्षण प्रतिचित्र है जो असमानता ψ(φ(x)) = (x ∨ a) ∧ b ≥ x को भी संतुष्ट करता है। उदाहरण से पता चलता है कि यह असमानता सामान्यतः पूर्ण रूप से दृढ हो सकती है। यद्यपि, मॉड्यूलर जाली में समानता बनी रहती है। चूँकि मॉड्यूलर जाली का द्वैत भाग फिर से मॉड्यूलर होता है, φψ [a, a ∨ b] पर भी समरूपता है, और इसलिए दो प्रतिचित्र φ और ψ इन दो अंतरालों के बीच समरूपता हैं। अतः इस परिणाम को कभी-कभी मॉड्यूलर जाली के लिए 'हीरा समरूपता प्रमेय' कहा जाता है। जाली मॉड्यूलर होती है यदि और मात्र यदि हीरे की समरूपता प्रमेय अवयवों की प्रत्येक युग्म के लिए लागू होती है।

इस प्रकार से मॉड्यूलर जाली के लिए हीरा समरूपता प्रमेय बीजगणित में दूसरे समरूपता प्रमेय के अनुरूप है, और यह जाली प्रमेय का पूर्ण सामान्यीकरण है।

मॉड्यूलर युग्म और संबंधित धारणाएँ

केन्द्रित षट्भुज जाली S₇, जिसे D₂, के नाम से भी जाना जाता है, M-सममित है परन्तु मॉड्यूलर नहीं है।

किसी भी जाली में, मॉड्यूलर युग्म अवयवों की युग्म (a, b) होती है, जैसे कि सभी x के लिए a ∧ b ≤ x ≤ b, हमारे निकट (x ∨ a) ∧ b = x है, अर्थात यदि हीरे की समरूपता प्रमेय का आधा भाग है युग्म के लिए रखता है।^[7] इस प्रकार से जाली के अवयव b को '(दाएं) मॉड्यूलर अवयव' कहा जाता है यदि (a, b) सभी अवयवों के लिए मॉड्यूलर युग्म है।

इस गुण वाली जाली कि यदि (a, b) मॉड्यूलर युग्म है, तो (b, a) भी मॉड्यूलर युग्म है, 'M-सममित जाली' कहलाती है।^[8] चूंकि जाली मॉड्यूलर होती है यदि और मात्र यदि अवयवों के सभी युग्म मॉड्यूलर होते हैं, तो स्पष्ट रूप से प्रत्येक मॉड्यूलर जाली M-सममित होती है। जाली में N₅ ऊपर वर्णित, युग्म (b, a) मॉड्यूलर है, परन्तु युग्म (a, b) नहीं है। इसलिए, N₅ M-सममित नहीं है। केन्द्रित षट्भुज जाली S₇ M-सममित है परन्तु मॉड्यूलर नहीं है। चूंकि N₅ S₇ का उपवर्ग है, यह इस प्रकार है कि M-सममित जाली जाली की विविधता की उप-विविधता नहीं बनाती है।

अतः इस प्रकार से M-समरूपता कोई स्व-द्वैत धारणा नहीं है। द्वैत मॉड्यूलर युग्म एक युग्म है जो द्वैत (क्रम सिद्धांत) जाली में मॉड्यूलर है, और एक जाली को द्वैत M-सममित या M^*-सममित कहा जाता है यदि इसका द्वैत M-सममित है। यह दिखाया जा सकता है कि परिमित जाली मॉड्यूलर है यदि और मात्र यदि यह M-सममित और M^*-सममित है। यही समतुल्यता अनंत जालकों के लिए है जो आरोही श्रृंखला स्थिति (या अवरोही श्रृंखला स्थिति) को पूर्ण रूप से संतुष्ट करती हैं।

कई कम महत्वपूर्ण धारणाएँ भी आपस में घनिष्ठ रूप से जुड़ी हुई हैं। अतः जाली अनुप्रस्थ-समरूपता है यदि प्रत्येक मॉड्यूलर युग्म (a, b) के लिए युग्म (b, a) द्वैत मॉड्यूलर है। अनुप्रस्थ-समरूपता का तात्पर्य M-समरूपता से है परन्तु M^*-समरूपता से नहीं है। इसलिए, अनुप्रस्थ-समरूपता द्वैत अनुप्रस्थ-समरूपता के बराबर नहीं है। इस प्रकार से कम से कम अवयव 0 के साथ जाली ⊥-सममित है यदि प्रत्येक मॉड्यूलर युग्म (a, b) के लिए a ∧ b = 0 युग्म (b, a) को संतुष्ट करती है मॉड्यूलर भी है।

इतिहास

तीन अवयवों {x,y,z} द्वारा निर्मित मुक्त मॉड्यूलर जाली

मॉड्यूलैरिटी की परिभाषा रिचर्ड डेडेकाइंड की देन है, जिन्होंने अपनी सेवानिवृत्ति के बाद अधिकांश प्रासंगिक लेख प्रकाशित किए थे। अतः 1894 में प्रकाशित लेख में उन्होंने जालकों का अध्ययन किया, जिन्हें उन्होंने अपने मॉड्यूल (गणित) के बीजगणित के भाग के रूप में द्वैत समूह (German: डुअलग्रुपपेन) कहा और देखा कि आदर्श उसे संतुष्ट करते हैं जिसे अब हम मॉड्यूलर नियम कहते हैं।उन्होंने यह भी देखा कि सामान्यतः जाली के लिए, मॉड्यूलर नियम इसके द्वैत के बराबर है।

इस प्रकार से 1897 में अन्य लेख में, डेडेकाइंड ने संचालन के रूप में जीसीडी और एलसीएम के साथ विभाजकों की जाली का अध्ययन किया, ताकि जाली का क्रम विभाज्यता द्वारा दिया जा सके।^[9] विषयांतर में उन्होंने सामान्य संदर्भ में औपचारिक रूप से जाली का परिचय और अध्ययन किया।^[9]^: 10–18 उन्होंने देखा कि मॉड्यूल के उपमॉड्यूल की जाली मॉड्यूलर समरूपता को संतुष्ट करती है। उन्होंने ऐसी जाली को मॉड्यूल प्रकार के द्वैत समूह (डुअलग्रुपपेन वोम मोडुल्टीपस) कहा। उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि मॉड्यूलर समरूपता और उसका द्वैत समतुल्य हैं।^[9]^: 13

इस प्रकार से उसी लेख में, डेडेकाइंड निम्नलिखित दृढ रूप की भी जांच की गई^[9]^: 14 मॉड्यूलर समरूपता की, जो स्व-द्वैत भी है:^[9]^: 9

(x ∧ b) ∨ (a ∧ b) = [x ∨ a] ∧ b।

उन्होंने इस समरूपता को संतुष्ट करने वाली जाली को आदर्श प्रकार के द्वैत समूह (डुअलग्रुपपेन वोम आइडियलिटीपुस) कहा।^[9]^: 13 अतः आधुनिक साहित्य में, इन्हें सामान्यतः वितरणात्मक जालक के रूप में जाना जाता है। उन्होंने ऐसी जाली का उदाहरण दिया जो मॉड्यूलर नहीं है और मॉड्यूलर जाली का उदाहरण दिया जो आदर्श प्रकार की नहीं है।^[9]^: 14

इस प्रकार से 1900 में डेडेकाइंड द्वारा प्रकाशित लेख में जाली को केंद्रीय विषय के रूप में रखा गया था: उन्होंने तीन अवयवों द्वारा उत्पन्न मुक्त मॉड्यूलर जाली का वर्णन किया, 28 अवयवों वाली जाली (चित्र देखें)।^[10]

यह भी देखें

मॉड्यूलर आरेख, आरेख़ का वर्ग जिसमें मॉड्यूलर जाली के हैस आरेख सम्मिलित हैं
यंग-फाइबोनैचि जाली, अंक 1 और 2 के तारों पर परिभाषित अनंत मॉड्यूलर जाली
ऑर्थोमॉड्यूलर जाली
इवासावा समूह

↑ "Why are modular lattices important?". Mathematics Stack Exchange. Retrieved 2018-09-17.
↑ The following is true for any lattice: $a \lor (x \land b) \leq (a \lor x) \land (a \lor b)$ . Also, whenever $a \leq b$ , then $a \lor b = b$ .
↑ Blyth, T. S. (2005). "Modular lattices". जालक और क्रमबद्ध बीजगणितीय संरचनाएँ. Universitext. London: Springer. Theorem 4.4. doi:10.1007/1-84628-127-X_4. ISBN 978-1-85233-905-0.
↑ Blyth, T. S. (2005). "Modular lattices". जालक और क्रमबद्ध बीजगणितीय संरचनाएँ. Universitext. London: Springer. p. 65. doi:10.1007/1-84628-127-X_4. ISBN 978-1-85233-905-0.
↑ In a distributive lattice, the following holds: $(a\wedge b)\vee (x\wedge b)=((a\wedge b)\vee x)\wedge ((a\wedge b)\vee b)$ . Moreover, the absorption law, $(a\wedge b)\vee b=b$ , is true for any lattice. Substituting this for the second conjunct of the right-hand side of the former equation yields the Modular Identity.
↑ Dilworth, R. P. (1954), "Proof of a conjecture on finite modular lattices", Annals of Mathematics, Second Series, 60 (2): 359–364, doi:10.2307/1969639, JSTOR 1969639, MR 0063348. Reprinted in Bogart, Kenneth P.; Freese, Ralph; Kung, Joseph P. S., eds. (1990), "Proof of a Conjecture on Finite Modular Lattices", The Dilworth Theorems: Selected Papers of Robert P. Dilworth, Contemporary Mathematicians, Boston: Birkhäuser, pp. 219–224, doi:10.1007/978-1-4899-3558-8_21, ISBN 978-1-4899-3560-1
↑ The French term for modular pair is couple modulaire. A pair (a, b) is called a paire modulaire in French if both (a, b) and (b, a) are modular pairs.
↑ Some authors, e.g. Fofanova (2001), refer to such lattices as semimodular lattices. Since every M-symmetric lattice is semimodular and the converse holds for lattices of finite length, this can only lead to confusion for infinite lattices.
↑ ^{Jump up to: 9.0} ^9.1 ^9.2 ^9.3 ^9.4 ^9.5 ^9.6 Dedekind, Richard (1897), "Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Theiler" (PDF), Festschrift der Herzogl. Technischen Hochschule Carolo-Wilhelmina bei Gelegenheit der 69. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte in Braunschweig, Friedrich Vieweg und Sohn
↑ Dedekind, Richard (1900), "Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe", Mathematische Annalen, 53 (3): 371–403, doi:10.1007/BF01448979, S2CID 122529830

संदर्भ

Corry, Leo (2003-11-27), Modern algebra and the rise of mathematical structures (2nd ed.), pp. 121–129, ISBN 978-3-7643-7002-2
Fofanova, T. S. (2001) [1994], "Semi-modular lattice", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Maeda, Shûichirô (1965), "On the symmetry of the modular relation in atomic lattices", Journal of Science of the Hiroshima University, 29: 165–170
Rota, Gian-Carlo (1997), "The many lives of lattice theory" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 44 (11): 1440–1445, ISSN 0002-9920
Skornyakov, L. A. (2001) [1994], "Modular lattice", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Stern, Manfred (1999), Semimodular lattices, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46105-4

बाहरी संबंध

"Modular lattice". PlanetMath.
OEIS sequence A006981 (Number of unlabeled modular lattices with n elements)
Free Modular Lattice Generator An open-source browser-based web application that can generate and visualize some free modular lattices।

[1] "Why are modular lattices important?". Mathematics Stack Exchange. Retrieved 2018-09-17.

[2] The following is true for any lattice: $a \lor (x \land b) \leq (a \lor x) \land (a \lor b)$ . Also, whenever $a \leq b$ , then $a \lor b = b$ .

[:0-3] Blyth, T. S. (2005). "Modular lattices". जालक और क्रमबद्ध बीजगणितीय संरचनाएँ. Universitext. London: Springer. Theorem 4.4. doi:10.1007/1-84628-127-X_4. ISBN 978-1-85233-905-0.

[4] Blyth, T. S. (2005). "Modular lattices". जालक और क्रमबद्ध बीजगणितीय संरचनाएँ. Universitext. London: Springer. p. 65. doi:10.1007/1-84628-127-X_4. ISBN 978-1-85233-905-0.

[5] In a distributive lattice, the following holds: $(a\wedge b)\vee (x\wedge b)=((a\wedge b)\vee x)\wedge ((a\wedge b)\vee b)$ . Moreover, the absorption law, $(a\wedge b)\vee b=b$ , is true for any lattice. Substituting this for the second conjunct of the right-hand side of the former equation yields the Modular Identity.

[6] Dilworth, R. P. (1954), "Proof of a conjecture on finite modular lattices", Annals of Mathematics, Second Series, 60 (2): 359–364, doi:10.2307/1969639, JSTOR 1969639, MR 0063348. Reprinted in Bogart, Kenneth P.; Freese, Ralph; Kung, Joseph P. S., eds. (1990), "Proof of a Conjecture on Finite Modular Lattices", The Dilworth Theorems: Selected Papers of Robert P. Dilworth, Contemporary Mathematicians, Boston: Birkhäuser, pp. 219–224, doi:10.1007/978-1-4899-3558-8_21, ISBN 978-1-4899-3560-1

[7] The French term for modular pair is couple modulaire. A pair (a, b) is called a paire modulaire in French if both (a, b) and (b, a) are modular pairs.

[8] Some authors, e.g. Fofanova (2001), refer to such lattices as semimodular lattices. Since every M-symmetric lattice is semimodular and the converse holds for lattices of finite length, this can only lead to confusion for infinite lattices.

[Dedekind.1897-9] {Jump up to: 9.0} ^9.1 ^9.2 ^9.3 ^9.4 ^9.5 ^9.6 Dedekind, Richard (1897), "Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Theiler" (PDF), Festschrift der Herzogl. Technischen Hochschule Carolo-Wilhelmina bei Gelegenheit der 69. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte in Braunschweig, Friedrich Vieweg und Sohn

[10] Dedekind, Richard (1900), "Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe", Mathematische Annalen, 53 (3): 371–403, doi:10.1007/BF01448979, S2CID 122529830

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