गुणक (फूरियर विश्लेषण)

फूरियर विश्लेषण में, एक गुणक ऑपरेटर एक प्रकार का रैखिक ऑपरेटर या गणितीय फ़ंक्शन का रूपांतरण होता है। ये ऑपरेटर इसके फूरियर रूपांतरण को बदलकर एक फ़ंक्शन पर कार्य करते हैं। विशेष रूप से वे गुणक या प्रतीक के रूप में जाने वाले निर्दिष्ट फ़ंक्शन द्वारा फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण को गुणा करते हैं। कभी-कभी, ' गुणक ऑपरेटर' शब्द को एकमात्र 'मल्टीप्लायर' तक छोटा कर दिया जाता है। सरल शब्दों में, गुणक किसी भी कार्य में सम्मलित आवृत्तियों को पुनः आकार देता है। ऑपरेटरों का यह वर्ग व्यापक हो जाता है: सामान्य सिद्धांत से पता चलता है कि एक समूह (गणित) पर अनुवाद-अपरिवर्तनीय ऑपरेटर जो कुछ (बहुत हल्के) नियमितता शर्तों का पालन करता है, एक गुणक ऑपरेटर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और इसके विपरीत। कई परिचित ऑपरेटर, जैसे कि अनुवाद और भेदभाव (गणित), गुणक ऑपरेटर हैं, चूंकि हिल्बर्ट रूपांतरण जैसे कई और जटिल उदाहरण हैं।

संकेत आगे बढ़ाना में, गुणक ऑपरेटर को फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) कहा जाता है, और गुणक फ़िल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया (या स्थानांतरण फ़ंक्शन) होता है।

व्यापक संदर्भ में, गुणक ऑपरेटर वर्णक्रमीय गुणक ऑपरेटरों के विशेष स्थितियों हैं, जो एक ऑपरेटर (या आने वाले ऑपरेटरों के परिवार) के कार्यात्मक कलन से उत्पन्न होते हैं। वे छद्म अंतर ऑपरेटर के विशेष स्थितियों भी हैं, और सामान्यतः फूरियर इंटीग्रल ऑपरेटर है। इस क्षेत्र में कुछ महत्वपूर्ण प्रश्न अभी भी खुले हैं, जैसे L^p में सीमित गुणक ऑपरेटरों को वर्णन करना (नीचे देखें)।

गुणक ऑपरेटर लैग्रेंज गुणक से संबंधित नहीं होते हैं, एकमात्र यही कि दोनों में उन्हें गुणा आपरेशन सम्मलित होता है।

फ़ोरियर परिवर्तन के लिए आवश्यक पृष्ठ पर देखें। इसके अतिरिक्त, महत्वपूर्ण पृष्ठों पर और भी महत्वपूर्ण बेकग्राउंड मिल सकता है, जैसे ऑपरेटर नॉर्म और L^p स्थान है।

उदाहरण

यदि हम यूनिट सर्कल पर पीरियडिक फ़ंक्शंस पर चर्चा करें, तो किसी फ़ंक्शन के फूरियर गुणांक का अनुक्रम है। यह देखने के लिए कि अवकलन को गुणक के रूप में अनुभूत किया जा सकता है, आवधिक फलन के व्युत्पन्न के लिए फूरियर श्रृंखला पर विचार करें $f(t).$ फूरियर गुणांक की परिभाषा में भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करने के बाद हमारे पास वह है

${\mathcal {F}}(f')(n)=\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)e^{-int}\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }(in)f(t)e^{-int}\,dt=in\cdot {\mathcal {F}}(f)(n)$.

इसलिए, समयशीलतापूर्वक, यह परिणाम मिलता है कि डिफ़रेंशिएशन के लिए फ़ॉरियर श्रृंगार बस $f$ के फ़ॉरियर श्रृंगार को एक गुणक $in$. से गुणित करने के समान होता है। इसका यही मतलब है कि डिफ़रेंशिएशन एक गुणक ऑपरेटर है जिसका गुणक $in$ है।

वास्तव में, वास्तविक रेखा पर कार्य करने वाले एक गुणक ऑपरेटर का उदाहरण हिलबर्ट परिवर्तन है। हिलबर्ट परिवर्तन एक गुणक ऑपरेटर है जिसका गुणक $m(\xi )=-i\operatorname {sgn} (\xi )$होता है, जहां sgn संकेत फ़ंक्शन है।

अंत में गुणक का एक और महत्वपूर्ण उदाहरण इकाई घन का विशिष्ट कार्य है $\mathbb {R} ^{n}$ जो फूरियर रूपांतरण के लिए आंशिक योगों के अध्ययन में उत्पन्न होता है।(फूरियर श्रृंखला का अभिसरण देखें)।

परिभाषा

गुणक ऑपरेटर विभिन्न समूह G पर परिभाषित किए जा सकते हैं जिनके लिए फ़ौरियर परिवर्तन भी परिभाषित होता है (विशेष रूप से, किसी भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह पर)। सामान्य परिभाषा इस प्रकार होती है। यदि $f:G\to \mathbb {C}$ एक पर्याप्त विधि से स्वाभाविक फ़ंक्शन है, तो उसके फ़ौरियर परिवर्तन को दर्शाने के लिए ${\hat {f}}:{\hat {G}}\to \mathbb {C}$ कहें। एक और फ़ंक्शन, जिसे हम गुणक कहेंगे, को $m:{\hat {G}}\to \mathbb {C}$ दर्शाएं, तब इस संकेत के लिए एसोसिएटेड गुणक ऑपरेटर $T=T_{m}$ फ़ॉर्मूला के माध्यम से परिभाषित होता है।

${\widehat {Tf}}(\xi ):=m(\xi ){\hat {f}}(\xi ).$

दूसरे शब्दों में, फ़्यूरियर परिवर्तन Tf की एक आवृत्ति ξ पर दी गई है उस आवृत्ति पर f के फ़ॉरियर परिवर्तन का गुणन उस आवृत्ति पर गुणक के मान से, जिसे हम "मल्टीप्लायर" कहते हैं। यह "मल्टीप्लायर" शब्द प्रयोग की व्याख्या करता है।

ध्यान दें कि उपरोक्त परिभाषा एकमात्र Tf को स्पष्ट रूप से परिभाषित करती है; टीएफ को स्पष्ट रूप से पुनर्प्राप्त करने के लिए फूरियर ट्रांसफॉर्म को उलटने की जरूरत है। यह आसानी से किया जा सकता है यदि f और m दोनों पर्याप्त मात्रा में मुलायम और अंतर्वस्त्रीय हैं। इस विषय में मुख्य समस्याओं में से एक यह है कि किसी भी निर्दिष्ट गुणक m के लिए, क्या संबंधित फ़ॉरियर गुणक ऑपरेटर व्यावहारिक रहता है जब f में बहुत कम नियमितता होती है, उदाहरण के लिए यदि एकमात्र एक L^p स्थान में स्थित माना जाता है। "बाउंडेडनेस समस्या" पर नीचे चर्चा देखें। एक न्यूनतम के रूप में, सामान्यतः गुणक एम को बाध्य और मापने योग्य होने की आवश्यकता होती है; यह सीमितता स्थापित करने के लिए पर्याप्त है $L^{2}$ किन्तु सामान्यतः इतना मजबूत नहीं है कि अन्य स्थानों पर सीमाबद्धता दे सके।

एक यह भी दृष्टिकोण है कि गुणक ऑपरेटर T को तीन ऑपरेटरों का संयोजन के रूप में देखा जा सकता है, जिनमें से पहला है फ़ॉरियर परिवर्तन, द्वितीय है m द्वारा अंकगुणन के द्वारा बिन्दुवत मूल्य का गुणन, और फिर उलट फ़ॉरियर परिवर्तन। समतुल्य रूप से, T फ़ॉरियर परिवर्तन द्वारा गुणक ऑपरेटर द्वारा संयुक्त होता है। इस प्रकार, गुणक ऑपरेटर को उसे देखा जा सकता है जिसे फ़ॉरियर परिवर्तन द्वारा डायागोनलीज़ किया जाता है।

सामान्य समूहों पर गुणक ऑपरेटर

अब हम उपरोक्त सामान्य परिभाषा को विशेष रूप से निर्दिष्ट समूह G के लिए विशेष करते हैं। पहले यूनिट सर्कल $G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ;$ G पर फ़ंक्शन इसलिए सोचे जा सकते हैं कि वे वास्तविक रेखा पर 2π-आवृत्ति वाले फ़ंक्शन हैं। इस समूह में, पोंट्र्यागिन ड्यूल गणित वृत्त होता है,${\hat {G}}=\mathbb {Z} .$ फ़ूरियर परिवर्तन (पर्याप्त विधि से नियमित फ़ंक्शनों के लिए) निम्नलिखित रूप में दिया जाता है।

${\hat {f}}(n):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}dt$

और व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण द्वारा दिया जाता है

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n)e^{int}.$

इस सेटिंग में एक गुणक एकमात्र एक क्रम है $(m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }$ संख्याओं का, और ऑपरेटर $T=T_{m}$ इस गुणक से संबंधित तब सूत्र द्वारा दिया जाता है

$(Tf)(t):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int},$

कम से कम गुणक के पर्याप्त अच्छे व्यवहार वाले विकल्पों के लिए $(m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }$ और फ़ंक्शन एफ।

अब G को यूक्लिडियन अंतरिक्ष होने दें $G=\mathbb {R} ^{n}$. यहाँ द्वैत समूह भी यूक्लिडियन है, ${\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n},$ और फूरियर और व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण सूत्रों द्वारा दिए गए हैं

${\begin{aligned}{\hat {f}}(\xi ):={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx\\f(x)={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi .\end{aligned}}$

इस सेटिंग में गुणक एक फ़ंक्शन है $m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,$ और संबंधित गुणक ऑपरेटर $T=T_{m}$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$Tf(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi ,$

गुणक और कार्य पर फिर से पर्याप्त रूप से मजबूत नियमितता और परिबद्धता धारणाएं मानते हुए।

वितरण (गणित) के अर्थ में, गुणक ऑपरेटरों और कनवल्शन ऑपरेटरों के बीच कोई अंतर नहीं है; प्रत्येक गुणक T को कुछ वितरण K के लिए Tf = f∗K के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, जिसे T का कनवल्शन कर्नेल कहा जाता है। इस दृष्टि से, x₀ राशि का अनुवाद डिराक डेल्टा फ़ंक्शन δ(· − x₀), के साथ कनवल्शन है। , अवकलन δ' के साथ कनवल्शन है। आगे के उदाहरण नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं।

डायग्राम

अन्य उदाहरण

यूनिट सर्कल पर

निम्न तालिका यूनिट सर्कल पर गुणक ऑपरेटरों के कुछ सामान्य उदाहरण दिखाती है $G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .$

नाम	गुणक, $m_{n}$	ऑपरेटर, $Tf(t)$	गुठली, $K(t)$
पहचान ऑपरेटर	1	f(t)	डिराक डेल्टा फ़ंक्शन $\delta (t)$
एक स्थिर सी से गुणा	c	cf(t)	$c\delta (t)$
एस द्वारा अनुवाद	$e^{-ins}$	f(t − s)	$\delta (t-s)$
डिस्क्रिमिनेशन	in	$f'(t)$	$\delta '(t)$
k-फोल्ड  डिफ्रेंटिएशन	$(in)^{k}$	$f^{(k)}(t)$	$\delta ^{(k)}(t)$
लगातार गुणांक अंतर ऑपरेटर	$P(in)$	$P\left({\frac {d}{dt}}\right)f(t)$	$P\left({\frac {d}{dt}}\right)\delta (t)$
आदेश का आंशिक व्युत्पन्न 𝛼r $\alpha$	$|n|^{\alpha }$	$\left|{\frac {d}{dt}}\right|^{\alpha }f(t)$	$\left|{\frac {d}{dt}}\right|^{\alpha }\delta (t)$
औसत मूल्य	$1_{n=0}$	${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt$	1
मीन मुक्त घटक	$1_{n\neq 0}$	$f(t)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt$	$\delta (t)-1$
एकीकरण (औसत मुक्त घटक का)	${\frac {1}{in}}1_{n\neq 0}$	${\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(\pi -s)f(t-s)\,ds$	सॉटूथ फ़ंक्शन ${\frac {1}{2}}\left(1-\left\{{\frac {t}{2\pi }}\right\}\right)$
आवधिक हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म H	$1_{n\geq 0}-1_{n<0}$	$Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {f(s)}{e^{i(t-s)}-1}}\,ds$	$p.v.2{\frac {f(s)}{e^{i(t-s)}-1}}\,ds$
डिरिचलेट योग $D_{N}$	$1_{-N\leq n\leq N}$	$\sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}}(n)e^{int}$	डिरीशले कर्नल ${\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}t\right)}}$
Fejér summation $F_{N}$	$\left(1-{\frac {|n|}{N}}\right)1_{-N\leq n\leq N}$	गणित>\sum_{n=-N}^N \बाएं(1 - \frac{|n|}{N}\right) \hat f(n) e^{int}</math>	फेजर कर्नेल गणित>\frac{1}{N} \बाएं(\frac{\sin\left(\frac{1}{2}Nt\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}t\ दाएं)}\दाएं)^2</गणित>
सामान्य गुणक	गणित>m_n</गणित>	गणित>\sum_{n=-\infty}^\infty m_n \hat f(n) e^{int}</math>	गणित> T\delta(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty m_n e^{int}</math>
सामान्य कनवल्शन ऑपरेटर	गणित>f*K(t) := \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(s) K(t - s) \, ds</math>	गणित> के (टी) </ गणित>

यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर

निम्न तालिका यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर गुणक ऑपरेटरों के कुछ सामान्य उदाहरण दिखाती है $G=\mathbb {R} ^{n}$.

नाम	गुणक, $m(\xi )$	ऑपरेटर, $Tf(x)$	गुठली, $K(x)$
पहचान ऑपरेटर	1	f(x)	$\delta (x)$
एक स्थिर सी से गुणा	c	cf(x)	$c\delta (x)$
वाई द्वारा अनुवाद	$e^{2\pi iy\cdot \xi }$	$f(x-y)$	$\delta (x-y)$
यौगिक${\frac {d}{dx}}$ (एकमात्र एक आयाम)	$2\pi i\xi$	${\frac {df}{dx}}(x)$	$\delta '(x)$
आंशिक व्युत्पन्न ${\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$	$2\pi i\xi _{j}$	${\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x)$	${\frac {\partial \delta }{\partial x_{j}}}(x)$
लाप्लासियन $\Delta$	$-4\pi ^{2}|\xi |^{2}$	$\Delta f(x)$	$\Delta \delta (x)$
लगातार गुणांक अंतर ऑपरेटर $P(\nabla )$	$P(i\xi )$	$P(\nabla )f(x)$	$P(\nabla )\delta (x)$
आदेश का आंशिक व्युत्पन्न $\alpha$	$(2\pi |\xi |)^{\alpha }$	$(-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}f(x)$	$(-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\delta (x)$
आदेश की रिज क्षमता order $\alpha$	$(2\pi |\xi |)^{-\alpha }$	$(-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)$	$(-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}\delta (x)=c_{n,\alpha }|x|^{\alpha -n}$
ऑर्डर की बेसेल क्षमता $\alpha$	$\left(1+4\pi ^{2}|\xi |^{2}\right)^{-{\frac {\alpha }{2}}}$	$(1-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)$	${\frac {1}{(4\pi )^{\frac {\alpha }{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\pi }{s}}|x|^{2}}e^{-{\frac {s}{4\pi }}}s^{\frac {-n+\alpha }{2}}{\frac {ds}{s}}$
हीट फ्लो ऑपरेटर $\exp(t\Delta )$	$\exp \left(-4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)$	$\exp(t\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,dy$	Heat kernel ${\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {|x|^{2}}{4t}}}$
श्रोडिंगर समीकरण विकास संचालक$\exp(it\Delta )$	$\exp \left(-i4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)$	$\exp(it\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi it)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,dy$	Schrödinger kernel ${\frac {1}{(4\pi it)^{\frac {n}{2}}}}e^{i{\frac {|x|^{2}}{4t}}}$
हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म H (एकमात्र एक आयाम)	$-i\operatorname {sgn}(\xi )$	$Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(y)}{x-y}}\,dy$	$p.v.{\frac {1}{\pi x}}$
रिज आरजे को बदल देता है Rj		$p.v.{\frac {c_{n}x_{j}}{|x|^{n+1}}},\quad c_{n}={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}(n+1)\right)}{\pi ^{{\frac {1}{2}}(n+1)}}}$
आंशिक फूरियर अभिन्न $S_{R}^{0}$ (एकमात्र एक आयाम)	$1_{-R\leq \xi \leq R}$	$\int _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx$	${\frac {\sin(2\pi Rx)}{\pi x}}$
डिस्क गुणक $S_{R}^{0}$	$1_{|\xi |\leq R}$	$\int _{|\xi |\leq R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx$	$|x|^{-{\frac {n}{2}}}J_{\frac {n}{2}}(2\pi |x|)$ (J is a Bessel function)
बोचनेर –रिज़्ज़ ऑपरेटरों $S_{R}^{\delta }$	$\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }$	$\int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\ d\xi$	$\int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi$
सामान्य गुणक	$m(\xi )$	$\int _{R^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi$	$\int _{R^{n}}m(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\ d\xi$
सामान्य कनवल्शन ऑपरेटर	${\hat {K}}(\xi )$	$f*K(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)K(x-y)\,dy$	$K(x)$

सामान्य विचार

मानचित्र $m\mapsto T_{m}$ C*-एल्गेब्रों का एक होमोमॉर्फ़िज़म है। इसका परिणामस्वरूप है कि दो गुणक ऑपरेटरों $T_{m}$ और $T_{m'}$ का योग भी गुणक ऑपरेटर है जिसका गुणक $m+m'$, होता है, इन दो गुणक ऑपरेटरों का संयोजन भी गुणक ऑपरेटर है जिसका गुणक $mm',$ होता है, और एक गुणक ऑपरेटर $T_{m}$ का संयोजी एक और गुणक ऑपरेटर है जिसका गुणक ${\overline {m}}$ होता है।

विशेष रूप से, हम देखते हैं कि किसी भी दो गुणक ऑपरेटरों का समानांतर होता है। यह ज्ञात है कि गुणक ऑपरेटर अनुवाद-अवर्ती होते हैं। परास्परिक रूप से, हम प्रदर्शित कर सकते हैं कि L²(G) पर सीमित और अनुवाद-अवर्ती रूप में होने वाले किसी भी अनुवाद-अवर्ती रूप में रखे गए लीनियर ऑपरेटर को एक गुणक ऑपरेटर के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।

L^p परिबद्धता समस्या

दिए गए समूह G के लिए एलपी बाउंडेडनेस समस्या (किसी विशेष p के लिए) यह है कि संबंधित गुणक ऑपरेटर L^p(G) से L^p(G) के लिए सीमित होने वाला है या नहीं। ऐसे गुणक को सामान्यतः "L^p मल्टीप्लायर्स" के रूप में संदर्भित किया जाता है। ध्यान दें कि गुणक ऑपरेटर सदैव रैखिक होते हैं, इसलिए वे सीमित हैं यदि और एकमात्र यदि वे निरंतर हैं। यह समस्या सामान्यतः बहुत कठिन मानी जाती है, किन्तु कई विशेष स्थितियों को इसका समाधान किया जा सकता है। प्रश्न p पर बहुत आधारित होता है, चूंकि एक परस्परता संबंध होता है: यदि $1/p+1/q=1$ और 1 ≤ p, q ≤ ∞, तो एक गुणक ऑपरेटर L^p पर सीमित है यदि और एकमात्र यदि यह L^q. पर सीमित है।

रियेस-थोरिन का सिद्धांत दिखाता है कि यदि एक गुणक ऑपरेटर दो अलग-अलग L^p स्थानों पर सीमित है, तो यह सभी बीच के स्थानों पर भी सीमित होगा। इस प्रकार हम प्राप्त करते हैं कि मल्टीप्लायर्स का स्थान L¹ औरL^∞ के लिए सबसे छोटा होता है और L² के पास जब आते हैं तो स्थान सबसे बड़ा होता है।

L² पर परिबद्धता

यह सबसे आसान स्थिति है। पार्सेवल का सिद्धांत इस समस्या को पूरी प्रकार से हल करने देता है और प्राप्त करता है कि एक फ़ंक्शन m एक L²(G) गुणक है यदि और एकमात्र यदि यह परिबद्ध और मापने योग्य है।

L¹ या L^∞ पर परिबद्धता

यह स्थिति हिलबर्टियन (L²) स्थितियोंसे अधिक जटिल है, किन्तु पूरी प्रकार से हल होता है। निम्नलिखित सत्य है:

प्रमेय: यूक्लिडियन स्थान $\mathbb {R} ^{n}$ में एक फ़ंक्शन $m(\xi )$ एक L¹ गुणक (समकक्षीय रूप से L^∞ मल्टीप्लायर) है यदि और एकमात्र यदि एक सीमित बोरेल मापदंड μ उपस्थित है जिसके फ़ौरियर परिवर्तन m है।

("यदि" भाग एक सरल गणना है। "एकमात्र यदि" भाग यहां अधिक जटिल है।)

1 <p < ∞ के लिए L^p पर परिबद्धता

इस सामान्य स्थितियों में, सीमितता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों की स्थापना नहीं की गई है, यह यूक्लिडियन स्थान या इकाई वृत्त के लिए भी नहीं। चूंकि, कई आवश्यक शर्तें और पर्याप्त शर्तें ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, एक गुणक आपरेटर को कम से कम एक L^p स्थान पर परिबद्ध होने के लिए, गुणक सीमित और मापनीय होना चाहिए (यह L² गुणक के वर्णन और समावेश संपत्ति के परिणाम से प्राप्त होता है)। चूंकि, यह एकमात्र p = 2 के लिए पर्याप्त नहीं है।

परिबद्धता के लिए पर्याप्त शर्त देने वाले परिणाम को गुणक सिद्धांत कहा जाता है। नीचे तीन ऐसे परिणाम दिए गए हैं।

मार्सिंक्यूविज़ गुणक प्रमेय

मान लें $m:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ एक सीमित फ़ंक्शन है जो प्रत्येक सेट$\left(-2^{j+1},-2^{j}\right)\cup \left(2^{j},2^{j+1}\right)$ के रूप में अधिकतर सतत अविभाज्य है और ऐसा कि उसका अवकलन ऐसा है कि $j\in \mathbb {Z}$

$\sup _{j\in \mathbb {Z} }\left(\int _{-2^{j+1}}^{-2^{j}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi +\int _{2^{j}}^{2^{j+1}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi \right)<\infty .$

तब हर1 <p < ∞ के लिए m एक L^p गुणक है।

मिखलिन गुणक प्रमेय

मान लें कि m एक सीमित फ़ंक्शन है $\mathbb {R} ^{n}$पर जो एकमात्र मूलस्थान पर संभवतः सहज है, और ऐसा कि फ़ंक्शन ${\textstyle |x|^{k}\left|\nabla ^{k}m\right|}$ सभी पूर्णांक के लिए संख्यात्मक ${\textstyle 0\leq k\leq {\frac {n}{2}}+1}$ हेतु सीमित होती है: तो मानों m हर 1 < p < ∞.के लिए एक L^p गुणक है।

यह हॉर्मेंडर-मिखलिन गुणक प्रमेय का एक विशेष स्थिति है।

इन दो सिद्धांतों के प्रमाण बहुत ही कठिन होते हैं, जिसमें कैल्डेरॉन-जिगमंड सिद्धांत और मार्सिंकिविच अंतर्मध्यान सिद्धांत के तकनीकों का उपयोग किया जाता है: मूल सिद्धांत के लिए, मिखलिन (1956) या मिखलिन (1965, pp. 225–240) देखें।

रेडियल गुणक

रेडियल मल्टीप्लायरों के लिए, कुछ प्रतिबंधित श्रेणी के लिए $L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ में परिबद्धता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त जानी जाती है। यदि $n\geq 4$ और ${\textstyle 1<p<2{\frac {n-1}{n+1}}}$है, तो मान लें कि $m$ मूलस्थान से सम्पूर्णता समर्थित द्वारा संकुचित है। तो $m$ एक $L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ गुणक होगा यदि और एकमात्र यदि $m$ के फ़ूरियर परिवर्तन $L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$में सम्मिलित होता है।

यह हेओ, फेडर नाज़रोव और एंड्रियास सीगर का एक सिद्धांत है। उन्होंने भी एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त प्रदान की है जो $m$ पर संकुचित समर्थन की अनुमानित आवश्यकता के बिना मान्य है।

उदाहरण

अनुवाद L^p पर परिबद्ध आपरेटर्स होते हैं। डिफरेंशिएशन किसी भी L^p पर परिबद्ध नहीं होता है। हिलबर्ट परिवर्तन एकमात्र p के बीच 1 और ∞ सख्ती से होता है। यह सत्य है कि यह L^∞ पर सीमित नहीं है, क्योंकि एक पदचिह्न के हिलबर्ट परिवर्तन का असीमित होना प्रसिद्ध है। द्वैतीयता p = 1 के लिए भी यही बात है। चूंकि, मार्सिंकिविच और मिखलिन गुणक सिद्धांत दोनों दिखाते हैं कि हिलबर्ट परिवर्तन L^p में सभी 1 < p < ∞ के लिए परिबद्ध होता है।

यूनिट सर्कल पर एक दिलचस्प स्थिति यह है जब क्रमशः बढ़ता समूह $(x_{n})$ (जो प्रतिप्रस्थान के रूप में प्रस्तावित किया जा रहा है) प्रत्येक सेट के लिए n के लिए स्थाई होता है: $\left\{2^{n},\ldots ,2^{n+1}-1\right\}$ और $\left\{-2^{n+1}+1,\ldots ,-2^{n}\right\}.$ मार्सिंकिविच गुणक सिद्धांत (यूनिट सर्कल के संदर्भ में अनुकूलित) से हम देखते हैं कि किसी भी ऐसे समूह (निश्चित रूप से बाध्य माना जाता है) प्रत्येक 1 < p < ∞के लिए एक गुणक है।

एक आयाम में, डिस्क गुणक ऑपरेटर $S_{R}^{0}$(ऊपर दी गई तालिका देखें) प्रत्येक 1 < p < ∞ के लिए L^p पर परिबद्ध होता है। चूंकि, 1972 में, चार्ल्स फ़ेफ़रमैन ने अद्भुत परिणाम दिखाया कि दो और अधिक आयामों में डिस्क गुणक आपरेटर $S_{R}^{0}$ प्रत्येक p ≠ 2 के लिए L^p पर सीमित नहीं होता है। बोच्नर-रिएस मल्टीप्लायर्स के लिए संबंधित समस्या का एकमात्र आंशिक निराकरण किया गया है; बोच्नर-रिएस संदेह भी देखें।

यह भी देखें

• काल्डेरोन-ज़िगमंड लेम्मा
• मार्सिंकविज़ प्रमेय
• एकवचन अभिन्न
• कनवल्शन टाइप के सिंगुलर इंटीग्रल ऑपरेटर्स

टिप्पणियाँ

उद्धृत कार्य

• Duoandikoetxea, Javier (2001), Fourier Analysis, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2172-5
• Stein, Elias M. (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press

सामान्य संदर्भ

• Grafakos, Loukas (2008), Classical Fourier Analysis (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-09431-1
• Katznelson, Yitzhak (2004), An Introduction to Harmonic Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54359-0
• Hörmander, Lars (1960), "Estimates for translation invariant operators in L^p spaces", Acta Mathematica, 104: 93–140, doi:10.1007/bf02547187
• Hörmander, Lars (1990), The analysis of linear partial differential operators, I. Distribution theory and Fourier analysis (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52343-X
• Mikhlin, Solomon G. (1956), "On the multipliers of Fourier integrals", Doklady Akademii Nauk SSSR, 109: 701–703, Zbl 0073.08402 (रूसी भाषा में)।
• Mikhlin, Solomon G. (1965), Multidimensional singular integrals and integral equations, International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, vol. 83, Pergamon Press, Zbl 0129.07701. इसमें प्रकाशन के समय ज्ञात सभी परिणामों का व्यापक सर्वेक्षण सम्मलित है, जिसमें इतिहास का एक रेखाचित्र भी सम्मलित है।
• Rudin, Walter (1962), Fourier Analysis on Groups, Interscience
• Torchinsky, Alberto (2004), Real-Variable Methods in Harmonic Analysis, Dover, ISBN 0-486-43508-3