सरल लाय समूह

This article is about the Killing-Cartan classification. For a smaller list of groups that commonly occur in theoretical physics, see Table of Lie groups. For groups of dimension at most 3, see Bianchi classification.

गणित में, एक साधारण लाइ समूह एक जुड़ा हुआ स्थान गैर-अबेलियन समूह|नॉन-एबेलियन झूठ समूह जी है, जिसमें गैर-तुच्छ जुड़े सामान्य उपसमूह नहीं होते हैं। सरल लाई समूहों की सूची का उपयोग सरल लाई बीजगणित और रिमेंनियन सममित रिक्त स्थान की सूची को पढ़ने के लिए किया जा सकता है।

वास्तविक संख्याओं के क्रमविनिमेय लाई समूह के साथ, $\mathbb {R}$, और वह इकाई-परिमाण जटिल संख्या, सर्कल समूह | यू (1) (यूनिट सर्कल), सरल झूठ समूह परमाणु ब्लॉक देते हैं जो समूह विस्तार के संचालन के माध्यम से सभी (परिमित-आयामी) जुड़े हुए समूहों को बनाते हैं। कई आम तौर पर सामना किए जाने वाले झूठ समूह या तो सरल होते हैं या सरल होने के लिए 'करीब' होते हैं: उदाहरण के लिए, 1 के बराबर निर्धारक के साथ n मैट्रिक्स का तथाकथित विशेष रैखिक समूह SL(n) सभी n > 1 के लिए सरल है।

सरल झूठ समूहों का पहला वर्गीकरण विल्हेम हत्या द्वारा किया गया था, और यह कार्य बाद में एली कार्टन द्वारा सिद्ध किया गया था। अंतिम वर्गीकरण को अक्सर किलिंग-कार्टन वर्गीकरण के रूप में संदर्भित किया जाता है।

परिभाषा

दुर्भाग्य से, एक साधारण झूठ समूह की सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत परिभाषा नहीं है। विशेष रूप से, इसे हमेशा झूठ समूह के रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है जो कि सार समूह के रूप में सरल समूह है। लेखक इस बात पर भिन्न हैं कि क्या एक साधारण झूठ समूह को जोड़ा जाना है, या क्या इसे एक गैर-तुच्छ केंद्र की अनुमति है, या क्या $\mathbb {R}$ एक साधारण झूठ समूह है।

सबसे आम परिभाषा यह है कि एक झूठ समूह सरल है अगर यह जुड़ा हुआ है, गैर-अबेलियन है, और प्रत्येक बंद जुड़ा हुआ सामान्य उपसमूह या तो पहचान या संपूर्ण समूह है। विशेष रूप से, साधारण समूहों को गैर-तुच्छ केंद्र रखने की अनुमति है, लेकिन $\mathbb {R}$ सरल नहीं है।

इस आलेख में तुच्छ केंद्र के साथ जुड़े सरल झूठ समूह सूचीबद्ध हैं। एक बार जब ये ज्ञात हो जाते हैं, तो गैर-तुच्छ केंद्र वाले लोगों को निम्नानुसार सूचीबद्ध करना आसान हो जाता है। तुच्छ केंद्र के साथ किसी भी सरल झूठ समूह में एक कवरिंग स्पेस # यूनिवर्सल कवर होता है, जिसका केंद्र सरल झूठ समूह का मौलिक समूह होता है। केंद्र के एक उपसमूह द्वारा इस सार्वभौमिक आवरण के भागफल के रूप में गैर-तुच्छ केंद्र वाले संबंधित सरल झूठ समूहों को प्राप्त किया जा सकता है।

विकल्प

एक साधारण लाई समूह की समतुल्य परिभाषा लाई पत्राचार से होती है: एक जुड़ा हुआ लाई समूह सरल है यदि इसका लाई बीजगणित सरल लाई बीजगणित है। एक महत्वपूर्ण तकनीकी बिंदु यह है कि एक साधारण झूठ समूह में असतत सामान्य उपसमूह हो सकते हैं। इस कारण से, एक साधारण लाई समूह की परिभाषा एक लाई समूह की परिभाषा के बराबर नहीं है जो कि साधारण समूह है।

सरल झूठ समूहों में कई शास्त्रीय झूठ समूह शामिल हैं, जो फेलिक्स क्लेन के एर्लांगेन कार्यक्रम के अर्थ में गोलाकार ज्यामिति, प्रक्षेपी ज्यामिति और संबंधित ज्यामिति के लिए एक समूह-सैद्धांतिक आधार प्रदान करते हैं। यह सरल झूठ समूहों के सरल झूठ समूहों की सूची के दौरान उभरा है कि वहां कई असाधारण वस्तु संभावनाएं भी मौजूद हैं जो किसी भी परिचित ज्यामिति से संबंधित नहीं हैं। ये असाधारण समूह गणित की अन्य शाखाओं के साथ-साथ समकालीन सैद्धांतिक भौतिकी में कई विशेष उदाहरणों और विन्यासों के लिए जिम्मेदार हैं। एक प्रति उदाहरण के रूप में, सामान्य रेखीय समूह न तो सरल है, न ही अर्ध-सरल झूठ समूह। ऐसा इसलिए है क्योंकि पहचान के गुणक एक गैर-तुच्छ सामान्य उपसमूह बनाते हैं, इस प्रकार परिभाषा से बचते हैं। समतुल्य रूप से, संबंधित झूठ बीजगणित में एक पतित हत्या का रूप है, क्योंकि बीजगणित के शून्य तत्व के लिए पहचान मानचित्र के गुणक। इस प्रकार, संबंधित लाई बीजगणित भी न तो सरल है और न ही अर्धसरल। एक अन्य प्रति-उदाहरण सम आयाम में विशेष ऑर्थोगोनल समूह हैं। इनमें मैट्रिक्स है $-I$ केंद्र में (समूह सिद्धांत), और यह तत्व पहचान तत्व से जुड़ा हुआ है, और इसलिए ये समूह परिभाषा से बचते हैं। ये दोनों रिडक्टिव ग्रुप हैं।

संबंधित विचार

सरल झूठ बीजगणित

Main article: simple Lie algebra

लाई ग्रुप-लाई बीजगणित पत्राचार एक साधारण लाई बीजगणित है। यह ट्रिवियलिटी (गणित) केंद्र और 1 से अधिक आयाम के सरल झूठ बीजगणित के साथ जुड़े सरल झूठ समूहों के बीच एक-से-एक पत्राचार है।

सम्मिश्र संख्याओं पर अर्धसरल लाई बीजगणित को उनके डायनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो ABCDEFG प्रकार के होते हैं। यदि L एक वास्तविक सरल लाई बीजगणित है, तो इसकी जटिलता एक सरल जटिल लाई बीजगणित है, जब तक कि L पहले से ही एक लाई बीजगणित का जटिलीकरण न हो, जिस स्थिति में L का जटिलीकरण L की दो प्रतियों का एक उत्पाद है। यह समस्या को कम करता है वास्तविक सरल लाई बीजगणित को प्रत्येक जटिल सरल लाई बीजगणित के सभी वास्तविक रूपों को खोजने के लिए वर्गीकृत करना (यानी, वास्तविक लाई बीजगणित जिसका जटिल जटिल लाई बीजगणित है)। हमेशा कम से कम 2 ऐसे रूप होते हैं: एक विभाजित रूप और एक कॉम्पैक्ट रूप, और आमतौर पर कुछ अन्य होते हैं। विभिन्न वास्तविक रूप जटिल लाई बीजगणित के अधिकतम 2 क्रम के ऑटोमोर्फिज़्म के वर्गों के अनुरूप हैं।

सममित रिक्त स्थान

Main article: Symmetric space § Classification of Riemannian symmetric spaces

सममित रिक्त स्थान निम्नानुसार वर्गीकृत किए गए हैं।

सबसे पहले, एक सममित स्थान का सार्वभौमिक आवरण अभी भी सममित है, इसलिए हम केवल जुड़े सममित स्थानों के मामले में कम कर सकते हैं। (उदाहरण के लिए, वास्तविक प्रक्षेपी तल का सार्वभौमिक आवरण एक गोला है।)

दूसरा, सममित रिक्त स्थान का उत्पाद सममित है, इसलिए हम केवल अलघुकरणीय को आसानी से जुड़े लोगों को वर्गीकृत कर सकते हैं (जहाँ अलघुकरणीय का अर्थ है कि उन्हें छोटे सममित स्थानों के उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है)।

अलघुकरणीय सरल रूप से जुड़े सममित स्थान वास्तविक रेखा हैं, और प्रत्येक गैर-कॉम्पैक्ट सरल लाई समूह जी के अनुरूप दो सममित स्थान हैं, एक कॉम्पैक्ट और एक नॉन-कॉम्पैक्ट। गैर-कॉम्पैक्ट एक अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह एच द्वारा जी के भागफल का एक आवरण है, और कॉम्पैक्ट एक भागफल का एक आवरण है एक ही उपसमूह एच द्वारा जी का कॉम्पैक्ट रूप। कॉम्पैक्ट और गैर-कॉम्पैक्ट सममित रिक्त स्थान के बीच यह द्वंद्व गोलाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के बीच प्रसिद्ध द्वंद्व का एक सामान्यीकरण है।

हर्मिटियन सममित स्थान

संगत जटिल संरचना वाले सममित स्थान को हर्मिटियन कहा जाता है। कॉम्पैक्ट बस जुड़ा इरेड्यूसिबल हर्मिटियन सममित स्थान 4 अनंत परिवारों में आते हैं जिनमें 2 असाधारण परिवार बचे हैं, और प्रत्येक में एक गैर-कॉम्पैक्ट दोहरी है। इसके अलावा जटिल तल भी एक हर्मिटियन सममित स्थान है; यह अलघुकरणीय हर्मिटियन सममित स्थानों की पूरी सूची देता है।

चार परिवार A III, B I और D I के प्रकार हैं p = 2, D III, और C I, और दो असाधारण जटिल आयाम 16 और 27 के प्रकार E III और E VII हैं।

अंकन

$\mathbb {R,C,H,O}$वास्तविक संख्या, सम्मिश्र संख्या, चतुष्कोण और अष्टक के लिए खड़ा है।

ई जैसे प्रतीकों में₆^-26 असाधारण समूहों के लिए, एक्सपोनेंट -26 एक अपरिवर्तनीय सममित द्विरेखीय रूप का हस्ताक्षर है जो अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह पर नकारात्मक निश्चित है। यह अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह के आयाम से दो गुना कम समूह के आयाम के बराबर है।

नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध मौलिक समूह तुच्छ केंद्र के साथ साधारण समूह का मूलभूत समूह है। समान झूठ बीजगणित वाले अन्य सरल समूह इस मौलिक समूह के उपसमूहों के अनुरूप हैं (मॉड्यूलो बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह की क्रिया)।

पूर्ण वर्गीकरण

सरल झूठ समूह पूरी तरह से वर्गीकृत हैं। वर्गीकरण आमतौर पर कई चरणों में कहा जाता है, अर्थात्:

• सेमिसिंपल लाई बीजगणित#वर्गीकरण डायनकिन आरेखों द्वारा जटिल संख्याओं पर सरल लाई बीजगणित का वर्गीकरण।
• सटेक आरेख प्रत्येक सरल जटिल लाई बीजगणित में कई वास्तविक रूप (झूठ सिद्धांत) होते हैं, जिन्हें इसके डायनकिन आरेख की अतिरिक्त सजावट द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जिसे इचिरो साटेक के बाद सटेक आरेख कहा जाता है।
• प्रत्येक (वास्तविक या जटिल) सरल झूठ बीजगणित के लिए केंद्र रहित सरल झूठ समूहों का वर्गीकरण ${\mathfrak {g}}$, एक अनूठा केंद्रविहीन सरल झूठ समूह है $G$ जिसका झूठ बीजगणित है ${\mathfrak {g}}$ और जिसका तुच्छ केंद्र (समूह सिद्धांत) है।
• सरल झूठ बोलने वाले समूहों की सूची

कोई दिखा सकता है कि किसी भी झूठ समूह का मौलिक समूह असतत एबेलियन समूह है। एक (गैर-तुच्छ) उपसमूह दिया गया $K\subset \pi _{1}(G)$ कुछ झूठ समूह के मौलिक समूह की $G$, कोई नया समूह बनाने के लिए रिक्त स्थान को कवर करने के सिद्धांत का उपयोग कर सकता है ${\tilde {G}}^{K}$ साथ $K$ इसके केंद्र में। अब कोई भी (वास्तविक या जटिल) झूठ समूह इस निर्माण को केंद्र रहित झूठ समूहों पर लागू करके प्राप्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि इस तरह से प्राप्त वास्तविक झूठ समूह किसी भी जटिल समूह के वास्तविक रूप नहीं हो सकते हैं। इस तरह के वास्तविक समूह का एक बहुत ही महत्वपूर्ण उदाहरण मेटाप्लेक्टिक समूह है, जो अनंत-आयामी प्रतिनिधित्व सिद्धांत और भौतिकी में प्रकट होता है। जब कोई लेता है $K\subset \pi _{1}(G)$ पूर्ण मौलिक समूह, परिणामी झूठ समूह ${\tilde {G}}^{K=\pi _{1}(G)}$ केंद्रविहीन झूठ समूह का सार्वभौमिक आवरण है $G$, और बस जुड़ा हुआ है। विशेष रूप से, प्रत्येक (वास्तविक या जटिल) झूठ बीजगणित भी एक अद्वितीय जुड़ा हुआ और सरल रूप से जुड़ा हुआ अंतरिक्ष झूठ समूह से मेल खाता है ${\tilde {G}}$ उस लाई बीजगणित के साथ, जिसे सरलता से जुड़ा लाई समूह कहा जाता है ${\mathfrak {g}}.$

कॉम्पैक्ट झूठ समूह

Main article: root system

प्रत्येक साधारण जटिल लाई बीजगणित का एक अनूठा वास्तविक रूप होता है जिसका संबंधित केंद्र रहित लाई समूह कॉम्पैक्ट जगह होता है। यह पता चला है कि इन मामलों में बस जुड़ा हुआ समूह भी कॉम्पैक्ट है। पीटर-वेइल प्रमेय के कारण कॉम्पैक्ट लाइ समूहों के पास विशेष रूप से ट्रैक्टेबल प्रतिनिधित्व सिद्धांत है। साधारण जटिल लाई बीजगणित की तरह, केंद्र रहित कॉम्पैक्ट लाई समूहों को डायनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है (पहली बार विल्हेम किलिंग और एली कार्टन द्वारा वर्गीकृत)।

डाइनकिन आरेखों की अनंत (ए, बी, सी, डी) श्रृंखला के लिए, प्रत्येक डायकिन आरेख से जुड़े एक कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाई समूह को स्पष्ट रूप से एक मैट्रिक्स समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसमें संबंधित केंद्र रहित कॉम्पैक्ट लाई समूह को एक उपसमूह द्वारा भागफल के रूप में वर्णित किया गया है। अदिश आव्यूहों की। ए और सी प्रकार के लोगों के लिए हम मैट्रिक्स समूह के रूप में संबंधित बस जुड़े हुए समूह के स्पष्ट मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व पा सकते हैं।

वर्गीकरण का अवलोकन

ए_r इसके संबद्ध बस जुड़े हुए कॉम्पैक्ट समूह के रूप में विशेष एकात्मक समूह, विशेष एकात्मक समूह | एसयू (आर + 1) और इसके संबद्ध केंद्रहीन कॉम्पैक्ट समूह के रूप में प्रोजेक्टिव एकात्मक समूह प्रोजेक्टिव एकात्मक समूह | पीयू (आर + 1) है।

बी_r इसके संबद्ध केंद्रहीन कॉम्पैक्ट समूहों के रूप में विषम विशेष ऑर्थोगोनल समूह, विशेष ऑर्थोगोनल समूह | SO (2r + 1) है। हालांकि यह समूह केवल जुड़ा नहीं है: इसका सार्वभौमिक (डबल) आवरण स्पिन समूह है।

सी_r इसके संबद्ध सरल रूप से जुड़े समूह के रूप में सहानुभूतिपूर्ण समूह का समूह है, सहानुभूतिपूर्ण समूह | Sp(r) और इसके संबद्ध केंद्रहीन समूह के रूप में झूठा समूह PSp(r) = Sp(r)/{I, −I} प्रक्षेपी एकात्मक सहानुभूति मैट्रिक्स . सहानुभूति समूहों में मेटाप्लेक्टिक समूह द्वारा दोहरा आवरण होता है।

डी_r इसके संबद्ध कॉम्पैक्ट समूह के रूप में विशेष ऑर्थोगोनल समूह भी हैं, विशेष ऑर्थोगोनल समूह|SO(2r) और इसके संबद्ध केंद्र रहित कॉम्पैक्ट समूह के रूप में प्रोजेक्टिव विशेष ऑर्थोगोनल समूह PSO(2r) = SO(2r)/{I, −I} है। बी श्रृंखला के साथ, SO(2r) केवल जुड़ा नहीं है; इसका सार्वभौमिक आवरण फिर से स्पिन समूह है, लेकिन बाद में फिर से एक केंद्र है (cf. इसका लेख)।

डायग्राम डी₂ दो अलग-अलग नोड्स हैं, ए के समान₁ ∪ ए₁, और यह संयोग चतुर्धातुक गुणन द्वारा दिए गए SU(2) × SU(2) से SO(4) तक कवरिंग मैप होमोमोर्फिज्म से मेल खाता है; 4डी स्पेस में रोटेशन के रूप में क्वाटरनियंस और स्थानिक रोटेशन #यूनिट चार का समुदाय के जोड़े देखें। अतः SO(4) एक साधारण समूह नहीं है। साथ ही आरेख डी₃ ए के समान है₃एसयू (4) से एसओ (6) तक कवरिंग मैप होमोमोर्फिज्म के अनुरूप।

चार परिवारों के अलावा ए_i, बी_i, सी_i, और डी_i ऊपर, पाँच तथाकथित असाधारण डाइकिन डायग्राम G2 (गणित)|G हैं₂, F4 (गणित)|F₄, ई6 (गणित)|ई₆, ई7 (गणित)|ई₇, और E8 (गणित)|E₈; इन असाधारण डायकिन आरेखों में भी बस जुड़े हुए और केंद्र रहित कॉम्पैक्ट समूह जुड़े हुए हैं। हालांकि, असाधारण परिवारों से जुड़े समूहों का वर्णन करना अनंत परिवारों से जुड़े लोगों की तुलना में अधिक कठिन है, मुख्यतः क्योंकि उनके विवरण असाधारण वस्तुओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, जी से जुड़ा समूह₂ ऑक्टोनियंस का ऑटोमोर्फिज्म समूह है, और एफ से जुड़ा समूह है₄ एक निश्चित अल्बर्ट बीजगणित का ऑटोमोर्फिज्म समूह है।

E7 1/2|E भी देखें_7+1⁄2.

सूची

एबेलियन

See also: Abelian group

	Dimension	Outer automorphism group	Dimension of symmetric space	Symmetric space	Remarks
$\mathbb {R}$ (Abelian)	1	$\mathbb {R} ^{*}$	1	$\mathbb {R}$

टिप्पणियाँ

^† The group $\mathbb {R}$ is not 'simple' as an abstract group, and according to most (but not all) definitions this is not a simple Lie group. Further, most authors do not count its Lie algebra as a simple Lie algebra. It is listed here so that the list of "irreducible simply connected symmetric spaces" is complete. Note that $\mathbb {R}$ is the only such non-compact symmetric space without a compact dual (although it has a compact quotient S¹).

कॉम्पैक्ट

See also: Compact group

	Dimension	Real rank	Fundamental group	Outer automorphism group	Other names	Remarks
An (n ≥ 1) compact	n(n + 2)	0	Cyclic, order n + 1	1 if n = 1, 2 if n > 1.	projective special unitary group PSU(n + 1)	A1 is the same as B1 and C1
Bn (n ≥ 2) compact	n(2n + 1)	0	2	1	special orthogonal group SO2n+1(R)	B1 is the same as A1 and C1. B2 is the same as C2.
Cn (n ≥ 3) compact	n(2n + 1)	0	2	1	projective compact symplectic group PSp(n), PSp(2n), PUSp(n), PUSp(2n)	Hermitian. Complex structures of Hn. Copies of complex projective space in quaternionic projective space.
Dn (n ≥ 4) compact	n(2n − 1)	0	Order 4 (cyclic when n is odd).	2 if n > 4, S3 if n = 4	projective special orthogonal group PSO2n(R)	D3 is the same as A3, D2 is the same as A12, and D1 is abelian.
E6−78 compact	78	0	3	2
E7−133 compact	133	0	2	1
E8−248 compact	248	0	1	1
F4−52 compact	52	0	1	1
G2−14 compact	14	0	1	1		This is the automorphism group of the Cayley algebra.

विभाजन

See also: Split Lie algebra

	Dimension	Real rank	Maximal compact subgroup	Fundamental group	Outer automorphism group	Other names	Dimension of symmetric space	Compact symmetric space	Non-Compact symmetric space	Remarks
An I (n ≥ 1) split	n(n + 2)	n	Dn/2 or B(n−1)/2	Infinite cyclic if n = 1 2 if n ≥ 2	1 if n = 1 2 if n ≥ 2.	projective special linear group PSLn+1(R)	n(n + 3)/2	Real structures on Cn+1 or set of RPn in CPn. Hermitian if n = 1, in which case it is the 2-sphere.	Euclidean structures on Rn+1. Hermitian if n = 1, when it is the upper half plane or unit complex disc.
Bn I (n ≥ 2) split	n(2n + 1)	n	SO(n)SO(n+1)	Non-cyclic, order 4	1	identity component of special orthogonal group SO(n,n+1)	n(n + 1)			B1 is the same as A1.
Cn I (n ≥ 3) split	n(2n + 1)	n	An−1S1	Infinite cyclic	1	projective symplectic group PSp2n(R), PSp(2n,R), PSp(2n), PSp(n,R), PSp(n)	n(n + 1)	Hermitian. Complex structures of Hn. Copies of complex projective space in quaternionic projective space.	Hermitian. Complex structures on R2n compatible with a symplectic form. Set of complex hyperbolic spaces in quaternionic hyperbolic space. Siegel upper half space.	C2 is the same as B2, and C1 is the same as B1 and A1.
Dn I (n ≥ 4) split	n(2n - 1)	n	SO(n)SO(n)	Order 4 if n odd, 8 if n even	2 if n > 4, S3 if n = 4	identity component of projective special orthogonal group PSO(n,n)	n2			D3 is the same as A3, D2 is the same as A12, and D1 is abelian.
E66 I split	78	6	C4	Order 2	Order 2	E I	42
E77 V split	133	7	A7	Cyclic, order 4	Order 2		70
E88 VIII split	248	8	D8	2	1	E VIII	128			@ E8
F44 I split	52	4	C3 × A1	Order 2	1	F I	28	Quaternionic projective planes in Cayley projective plane.	Hyperbolic quaternionic projective planes in hyperbolic Cayley projective plane.
G22 I split	14	2	A1 × A1	Order 2	1	G I	8	Quaternionic subalgebras of the Cayley algebra. Quaternion-Kähler.	Non-division quaternionic subalgebras of the non-division Cayley algebra. Quaternion-Kähler.

कॉम्प्लेक्स

See also: Complex Lie group

	Real dimension	Real rank	Maximal compact subgroup	Fundamental group	Outer automorphism group	Other names	Dimension of symmetric space	Compact symmetric space	Non-Compact symmetric space
An (n ≥ 1) complex	2n(n + 2)	n	An	Cyclic, order n + 1	2 if n = 1, 4 (noncyclic) if n ≥ 2.	projective complex special linear group PSLn+1(C)	n(n + 2)	Compact group An	Hermitian forms on Cn+1 with fixed volume.
Bn (n ≥ 2) complex	2n(2n + 1)	n	Bn	2	Order 2 (complex conjugation)	complex special orthogonal group SO2n+1(C)	n(2n + 1)	Compact group Bn
Cn (n ≥ 3) complex	2n(2n + 1)	n	Cn	2	Order 2 (complex conjugation)	projective complex symplectic group PSp2n(C)	n(2n + 1)	Compact group Cn
Dn (n ≥ 4) complex	2n(2n − 1)	n	Dn	Order 4 (cyclic when n is odd)	Noncyclic of order 4 for n > 4, or the product of a group of order 2 and the symmetric group S3 when n = 4.	projective complex special orthogonal group PSO2n(C)	n(2n − 1)	Compact group Dn
E6 complex	156	6	E6	3	Order 4 (non-cyclic)		78	Compact group E6
E7 complex	266	7	E7	2	Order 2 (complex conjugation)		133	Compact group E7
E8 complex	496	8	E8	1	Order 2 (complex conjugation)		248	Compact group E8
F4 complex	104	4	F4	1	2		52	Compact group F4
G2 complex	28	2	G2	1	Order 2 (complex conjugation)		14	Compact group G2

अन्य

	Dimension	Real rank	Maximal compact subgroup	Fundamental group	Outer automorphism group	Other names	Dimension of symmetric space	Compact symmetric space	Non-Compact symmetric space	Remarks
A2n−1 II (n ≥ 2)	(2n − 1)(2n + 1)	n − 1	Cn	Order 2		SLn(H), SU∗(2n)	(n − 1)(2n + 1)	Quaternionic structures on C2n compatible with the Hermitian structure	Copies of quaternionic hyperbolic space (of dimension n − 1) in complex hyperbolic space (of dimension 2n − 1).
An III (n ≥ 1) p + q = n + 1 (1 ≤ p ≤ q)	n(n + 2)	p	Ap−1Aq−1S1			SU(p,q), A III	2pq	Hermitian. Grassmannian of p subspaces of Cp+q. If p or q is 2; quaternion-Kähler	Hermitian. Grassmannian of maximal positive definite subspaces of Cp,q. If p or q is 2, quaternion-Kähler	If p=q=1, split If |p−q| ≤ 1, quasi-split
Bn I (n > 1) p+q = 2n+1	n(2n + 1)	min(p,q)	SO(p)SO(q)			SO(p,q)	pq	Grassmannian of Rps in Rp+q. If p or q is 1, Projective space If p or q is 2; Hermitian If p or q is 4, quaternion-Kähler	Grassmannian of positive definite Rps in Rp,q. If p or q is 1, Hyperbolic space If p or q is 2, Hermitian If p or q is 4, quaternion-Kähler	If |p−q| ≤ 1, split.
Cn II (n > 2) n = p+q (1 ≤ p ≤ q)	n(2n + 1)	min(p,q)	CpCq	Order 2	1 if p ≠ q, 2 if p = q.	Sp2p,2q(R)	4pq	Grassmannian of Hps in Hp+q. If p or q is 1, quaternionic projective space in which case it is quaternion-Kähler.	Hps in Hp,q. If p or q is 1, quaternionic hyperbolic space in which case it is quaternion-Kähler.
Dn I (n ≥ 4) p+q = 2n	n(2n − 1)	min(p,q)	SO(p)SO(q)		If p and q ≥ 3, order 8.	SO(p,q)	pq	Grassmannian of Rps in Rp+q. If p or q is 1, Projective space If p or q is 2 ; Hermitian If p or q is 4, quaternion-Kähler	Grassmannian of positive definite Rps in Rp,q. If p or q is 1, Hyperbolic Space If p or q is 2, Hermitian If p or q is 4, quaternion-Kähler	If p = q, split If |p−q| ≤ 2, quasi-split
Dn III (n ≥ 4)	n(2n − 1)	⌊n/2⌋	An−1R1	Infinite cyclic	Order 2	SO*(2n)	n(n − 1)	Hermitian. Complex structures on R2n compatible with the Euclidean structure.	Hermitian. Quaternionic quadratic forms on R2n.
E62 II (quasi-split)	78	4	A5A1	Cyclic, order 6	Order 2	E II	40	Quaternion-Kähler.	Quaternion-Kähler.	Quasi-split but not split.
E6−14 III	78	2	D5S1	Infinite cyclic	Trivial	E III	32	Hermitian. Rosenfeld elliptic projective plane over the complexified Cayley numbers.	Hermitian. Rosenfeld hyperbolic projective plane over the complexified Cayley numbers.
E6−26 IV	78	2	F4	Trivial	Order 2	E IV	26	Set of Cayley projective planes in the projective plane over the complexified Cayley numbers.	Set of Cayley hyperbolic planes in the hyperbolic plane over the complexified Cayley numbers.
E7−5 VI	133	4	D6A1	Non-cyclic, order 4	Trivial	E VI	64	Quaternion-Kähler.	Quaternion-Kähler.
E7−25 VII	133	3	E6S1	Infinite cyclic	Order 2	E VII	54	Hermitian.	Hermitian.
E8−24 IX	248	4	E7 × A1	Order 2	1	E IX	112	Quaternion-Kähler.	Quaternion-Kähler.
F4−20 II	52	1	B4 (Spin9(R))	Order 2	1	F II	16	Cayley projective plane. Quaternion-Kähler.	Hyperbolic Cayley projective plane. Quaternion-Kähler.

छोटे आयाम के सरल झूठ समूह

निम्न तालिका में कुछ झूठ समूहों को छोटे के सरल झूठ बीजगणित के साथ सूचीबद्ध किया गया है आयाम। दी गई रेखा पर सभी समूहों का एक ही लाई बीजगणित होता है। आयाम 1 मामले में, समूह एबेलियन हैं और सरल नहीं हैं।

Dim	Groups		Symmetric space	Compact dual	Rank	Dim
1	$\mathbb {R}$, S1 = U(1) = SO2($\mathbb {R}$) = Spin(2)	Abelian	Real line		0	1
3	S3 = Sp(1) = SU(2)=Spin(3), SO3($\mathbb {R}$) = PSU(2)	Compact
3	SL2($\mathbb {R}$) = Sp2($\mathbb {R}$), SO2,1($\mathbb {R}$)	Split, Hermitian, hyperbolic	Hyperbolic plane $\mathbb {H} ^{2}$	Sphere S2	1	2
6	SL2($\mathbb {C}$) = Sp2($\mathbb {C}$), SO3,1($\mathbb {R}$), SO3($\mathbb {C}$)	Complex	Hyperbolic space $\mathbb {H} ^{3}$	Sphere S3	1	3
8	SL3($\mathbb {R}$)	Split	Euclidean structures on $\mathbb {R} ^{3}$	Real structures on $\mathbb {C} ^{3}$	2	5
8	SU(3)	Compact
8	SU(1,2)	Hermitian, quasi-split, quaternionic	Complex hyperbolic plane	Complex projective plane	1	4
10	Sp(2) = Spin(5), SO5($\mathbb {R}$)	Compact
10	SO4,1($\mathbb {R}$), Sp2,2($\mathbb {R}$)	Hyperbolic, quaternionic	Hyperbolic space $\mathbb {H} ^{4}$	Sphere S4	1	4
10	SO3,2($\mathbb {R}$), Sp4($\mathbb {R}$)	Split, Hermitian	Siegel upper half space	Complex structures on $\mathbb {H} ^{2}$	2	6
14	G2	Compact
14	G2	Split, quaternionic	Non-division quaternionic subalgebras of non-division octonions	Quaternionic subalgebras of octonions	2	8
15	SU(4) = Spin(6), SO6($\mathbb {R}$)	Compact
15	SL4($\mathbb {R}$), SO3,3($\mathbb {R}$)	Split	$\mathbb {R}$3 in $\mathbb {R}$3,3	Grassmannian G(3,3)	3	9
15	SU(3,1)	Hermitian	Complex hyperbolic space	Complex projective space	1	6
15	SU(2,2), SO4,2($\mathbb {R}$)	Hermitian, quasi-split, quaternionic	$\mathbb {R}$2 in $\mathbb {R}$2,4	Grassmannian G(2,4)	2	8
15	SL2($\mathbb {H}$), SO5,1($\mathbb {R}$)	Hyperbolic	Hyperbolic space $\mathbb {H} ^{5}$	Sphere S5	1	5
16	SL3($\mathbb {C}$)	Complex		SU(3)	2	8
20	SO5($\mathbb {C}$), Sp4($\mathbb {C}$)	Complex		Spin5($\mathbb {R}$)	2	10
21	SO7($\mathbb {R}$)	Compact
21	SO6,1($\mathbb {R}$)	Hyperbolic	Hyperbolic space $\mathbb {H} ^{6}$	Sphere S6
21	SO5,2($\mathbb {R}$)	Hermitian
21	SO4,3($\mathbb {R}$)	Split, quaternionic
21	Sp(3)	Compact
21	Sp6($\mathbb {R}$)	Split, hermitian
21	Sp4,2($\mathbb {R}$)	Quaternionic
24	SU(5)	Compact
24	SL5($\mathbb {R}$)	Split
24	SU4,1	Hermitian
24	SU3,2	Hermitian, quaternionic
28	SO8($\mathbb {R}$)	Compact
28	SO7,1($\mathbb {R}$)	Hyperbolic	Hyperbolic space $\mathbb {H} ^{7}$	Sphere S7
28	SO6,2($\mathbb {R}$)	Hermitian
28	SO5,3($\mathbb {R}$)	Quasi-split
28	SO4,4($\mathbb {R}$)	Split, quaternionic
28	SO∗8($\mathbb {R}$)	Hermitian
28	G2($\mathbb {C}$)	Complex
30	SL4($\mathbb {C}$)	Complex

बस सजी समूह

सरल रूप से सज्जित समूह एक लाई समूह होता है जिसके डायनकिन आरेख में केवल सरल कड़ियाँ होती हैं, और इसलिए संबंधित लाई बीजगणित की सभी गैर-शून्य जड़ों की लंबाई समान होती है। ए, डी और ई श्रृंखला समूह सभी बस लेस हैं, लेकिन बी, सी, एफ, या जी प्रकार का कोई समूह केवल लेस नहीं है।

यह भी देखें

• कार्टन मैट्रिक्स
• कॉक्सेटर मैट्रिक्स
• वेइल समूह
• कॉक्सेटर समूह
• केएसी-मूडी बीजगणित
• आपदा सिद्धांत

संदर्भ

• Jacobson, Nathan (1971). Exceptional Lie Algebras. CRC Press. ISBN 0-8247-1326-5.
• Fulton, William; Harris, Joe (2004). Representation Theory: A First Course. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-1-4612-0979-9.

अग्रिम पठन

• Besse, Einstein manifolds ISBN 0-387-15279-2
• Helgason, Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. ISBN 0-8218-2848-7
• Fuchs and Schweigert, Symmetries, Lie algebras, and representations: a graduate course for physicists. Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-54119-0