हाइजेनबर्ग चित्र

भौतिकी में, हाइजेनबर्ग चित्र या हाइजेनबर्ग प्रतिनिधित्व क्वांटम यांत्रिकी का एक गतिशील चित्र (1925 में वर्नर हाइजेनबर्ग के कारण) है जिसमें ऑपरेटर (भौतिकी) (अवलोकन योग्य और अन्य) समय पर निर्भरता शामिल करते हैं, लेकिन क्वांटम राज्य समय-स्वतंत्र हैं, एक मनमाना निश्चित आधार (रैखिक बीजगणित) ) दृढ़ता से सिद्धांत को अंतर्निहित करता है।

यह श्रोडिंगर तस्वीर के विपरीत है जिसमें ऑपरेटर स्थिर हैं, इसके बजाय, और राज्य समय के साथ विकसित होते हैं। समय-निर्भरता के संबंध में दो चित्र केवल एक आधार परिवर्तन से भिन्न होते हैं, जो सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तनों के बीच के अंतर से मेल खाता है। हाइजेनबर्ग चित्र एक मनमाना आधार पर मैट्रिक्स यांत्रिकी का सूत्रीकरण है, जिसमें हैमिल्टन आवश्यक रूप से विकर्ण नहीं है।

यह आगे एक तीसरे, संकर, चित्र, अंतःक्रियात्मक चित्र को परिभाषित करने का कार्य करता है।

गणितीय विवरण

क्वांटम यांत्रिकी के हाइजेनबर्ग चित्र में राज्य वैक्टर |ψ⟩ समय के साथ नहीं बदलते हैं, जबकि वेधशालाएँ A संतुष्ट करना

${\frac {d}{dt}}A_{\text{H}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H_{\text{H}},A_{\text{H}}(t)]+\left({\frac {\partial A_{\text{S}}}{\partial t}}\right)_{\text{H}},$

जहां एच और एस क्रमशः हाइजेनबर्ग और श्रोडिंगर चित्र में अवलोकनीय लेबल करते हैं, H हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है और [·,·] दो ऑपरेटरों के कम्यूटेटर को दर्शाता है (इस मामले में H और A). अपेक्षा मान लेने से स्वचालित रूप से एरेनफेस्ट प्रमेय उत्पन्न होता है, जो पत्राचार सिद्धांत में चित्रित किया गया है।

स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय द्वारा, हाइजेनबर्ग चित्र और श्रोडिंगर चित्र एकात्मक रूप से समतुल्य हैं, हिल्बर्ट अंतरिक्ष में केवल एक परिवर्तन सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी)। कुछ अर्थों में, वर्नर हाइजेनबर्ग चित्र समतुल्य श्रोडिंगर चित्र की तुलना में अधिक स्वाभाविक और सुविधाजनक है, विशेष रूप से सापेक्षता सिद्धांतों के सिद्धांत के लिए। हाइजेनबर्ग चित्र में लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस प्रकट होता है, क्योंकि राज्य वैक्टर समय या स्थान को अलग नहीं करते हैं।

इस दृष्टिकोण में शास्त्रीय भौतिकी के साथ अधिक प्रत्यक्ष समानता भी है: पॉइसन ब्रैकेट द्वारा उपरोक्त कम्यूटेटर को आसानी से बदलकर, हाइजेनबर्ग समीकरण हैमिल्टनियन यांत्रिकी में एक समीकरण को कम कर देता है।

श्रोडिंगर समीकरण के लिए हाइजेनबर्ग के समीकरण की समानता

शिक्षाशास्त्र के लिए, हाइजेनबर्ग चित्र को बाद के, लेकिन अधिक परिचित, श्रोडिंगर चित्र से यहाँ प्रस्तुत किया गया है।

दिए गए श्रोडिंगर राज्य |ψ(t)⟩ के लिए, एक प्रेक्षण योग्य ए का उम्मीद मूल्य, जो एक हर्मिटियन रैखिक ऑपरेटर है, द्वारा दिया गया है

$$\langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A|\psi (t)\rangle .$$

श्रोडिंगर तस्वीर में, राज्य |ψ(t)⟩ समय पर t राज्य से संबंधित है |ψ(0)⟩ समय 0 पर एकात्मक समय-विकास ऑपरेटर द्वारा, U(t),

$$|\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle .$$

हाइजेनबर्ग तस्वीर में, सभी राज्य वैक्टर को उनके प्रारंभिक मूल्यों पर स्थिर माना जाता है |ψ(0)⟩, जबकि ऑपरेटर समय के अनुसार विकसित होते हैं

$$A(t):=U^{\dagger }(t)AU(t)\,.$$

टाइम-इवोल्यूशन ऑपरेटर के लिए श्रोडिंगर समीकरण है

$${\frac {d}{dt}}U(t)=-{\frac {iH}{\hbar }}U(t)$$

जहां H हैमिल्टनियन है और ħ घटी हुई प्लैंक स्थिरांक है और i के बराबर है ${\sqrt {-1}}$.

अब यह इस प्रकार है

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A(t)&={\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)HAU(t)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)U(t)+{\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)A(-H)U(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)HU(t)U^{\dagger }(t)AU(t)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)U(t)-{\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)AU(t)U^{\dagger }(t)HU(t)\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(H(t)A(t)-A(t)H(t)\right)+U^{\dagger }(t)\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)U(t),\end{aligned}}$$

जहां उत्पाद नियम के अनुसार भेदभाव किया गया था। ध्यान दें कि हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) जो ऊपर की अंतिम पंक्ति में दिखाई देता है वह हाइजेनबर्ग हैमिल्टनियन एच (टी) है, जो श्रोडिंगर हैमिल्टनियन से भिन्न हो सकता है।

उपरोक्त समीकरण का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला प्राप्त होता है यदि हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) समय के साथ भिन्न नहीं होता है। तब समय-विकास संचालक को इस रूप में लिखा जा सकता है

$$U(t)=e^{-iHt/\hbar },$$

इसलिए,

$$\langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{+iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .$$

और,

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}A(t)&={\frac {i}{\hbar }}He^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }+e^{+iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }+{\frac {i}{\hbar }}e^{+iHt/\hbar }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hbar }\\&={\frac {i}{\hbar }}e^{iHt/\hbar }\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar }+e^{+iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(HA(t)-A(t)H\right)+e^{+iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }.\end{aligned}}$$

यहाँ ∂A/∂t प्रारंभिक ए का समय व्युत्पन्न है, परिभाषित ए (टी) ऑपरेटर नहीं। अंतिम समीकरण तब से है exp(−i H t/ħ) के साथ यात्रा करता है H.

समीकरण ऊपर परिभाषित ए (टी) द्वारा हल किया गया है, जैसा कि उपयोग से स्पष्ट है बीसीएच फॉर्मूला # एक महत्वपूर्ण लेम्मा,

$${e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots \,,$$

जो ये दर्शाता हे

$$A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{2}[H,[H,A]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{3}[H,[H,[H,A]]]+\cdots$$

यह संबंध शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए भी है, उपरोक्त की शास्त्रीय सीमा, पोइसन ब्रैकेट और commutators के बीच मोयल ब्रैकेट दिया गया है,

$$[A,H]\quad \longleftrightarrow \quad i\hbar \{A,H\}$$

शास्त्रीय यांत्रिकी में, ए के लिए कोई स्पष्ट समय निर्भरता नहीं है,

$$\{A,H\}={\frac {dA}{dt}}~,$$

तो फिर से ए (टी) के लिए अभिव्यक्ति टी = 0 के आसपास टेलर विस्तार है।

वास्तव में, मनमाने ढंग से कठोर हिल्बर्ट अंतरिक्ष आधार |ψ(0)⟩ दृश्य से पीछे हट गया है, और केवल विशिष्ट अपेक्षाओं के मूल्यों या वेधशालाओं के मैट्रिक्स तत्वों को लेने के अंतिम चरण पर विचार किया जाता है।

कम्यूटेटर संबंध

ऑपरेटरों की समय पर निर्भरता के कारण कम्यूटेटर संबंध श्रोडिंगर चित्र से भिन्न दिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, ऑपरेटरों पर विचार करें x(t₁), x(t₂), p(t₁) और p(t₂). उन ऑपरेटरों का समय विकास प्रणाली के हैमिल्टनियन पर निर्भर करता है। एक आयामी हार्मोनिक ऑसीलेटर को ध्यान में रखते हुए,

$$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}},$$

स्थिति और संवेग संचालकों का विकास इसके द्वारा दिया गया है:

$${\frac {d}{dt}}x(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,x(t)]={\frac {p}{m}},$$

$${\frac {d}{dt}}p(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,p(t)]=-m\omega ^{2}x.$$

दोनों समीकरणों का एक बार फिर अवकलन करना और उन्हें उचित प्रारंभिक शर्तों के साथ हल करना,

$${\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0},$$

$${\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}},$$

ओर जाता है

$$x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t),$$

$$p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega x_{0}\sin(\omega t).$$

प्रत्यक्ष संगणना अधिक सामान्य कम्यूटेटर संबंध उत्पन्न करती है,

$$[x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right),$$

$$[p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right),$$

$$[x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right).$$

के लिए $t_{1}=t_{2}$, सभी चित्रों में मान्य मानक विहित रूपांतरण संबंधों को आसानी से पुनर्प्राप्त करता है।

सभी चित्रों में विकास की सारांश तुलना

एक समय-स्वतंत्र हैमिल्टनियन एच_S, जहां एच_0,S मुक्त हैमिल्टनियन है,

Evolution	Picture ()
of:	Schrödinger (S)	Heisenberg (H)	Interaction (I)
Ket state	$|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle$	constant	$|\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle$
Observable	constant	$A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	$A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$
Density matrix	$\rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	constant	$\rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$

यह भी देखें

• ब्रा-केट नोटेशन
• सहभागिता चित्र
• श्रोडिंगर चित्र
• हाइजेनबर्ग-लैंगविन समीकरण
• चरण अंतरिक्ष सूत्रीकरण

संदर्भ

• Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. pp. 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
• Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.
• Merzbacher E., Quantum Mechanics (3rd ed., John Wiley 1998) p. 430-1 ISBN 0-471-88702-1
• L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1. Online copy
• R. Shankar (1994); Principles of Quantum Mechanics, Plenum Press, ISBN 978-0306447907.
• J. J. Sakurai (1993); Modern Quantum Mechanics (Revised Edition), ISBN 978-0201539295.

बाहरी संबंध

• Pedagogic Aides to Quantum Field Theory Click on the link for Chap. 2 to find an extensive, simplified introduction to the Heisenberg picture.
• Some expanded derivations and an example of the harmonic oscillator in the Heisenberg picture [1]
• The original Heisenberg paper translated (although difficult to read, it contains an example for the anharmonic oscillator): Sources of Quantum mechanics B.L. Van Der Waerden [2]
• The computations for the hydrogen atom in the Heisenberg representation originally from a paper of Pauli [3]