सामान्य बंद (समूह सिद्धांत)

This article is about एक समूह के एक सबसेट का सामान्य बंद होना. For एक क्षेत्र विस्तार का सामान्य बंद होना, see सामान्य बंद (क्षेत्र सिद्धांत).

समूह सिद्धांत में, समूह की (गणित) $G$ उपसमुच्चय $S$ का सामान्य संवरण $G$ युक्त $S.$

का सबसे छोटा सामान्य उपसमूह है ।

गुण और विवरण

औपचारिक रूप से, यदि $G$ समूह है और $S$, $G$का उपसमुच्चय है, तो सामान्य समापन$\operatorname {ncl} _{G}(S)$ का $S$ के सभी सामान्य उपसमूहों का प्रतिच्छेदन है $G$ युक्त $S$:

$$\operatorname {ncl} _{G}(S)=\bigcap _{S\subseteq N\triangleleft G}N.$$

सामान्य बंद $\operatorname {ncl} _{G}(S)$ का सबसे छोटा सामान्य उपसमूह है $G$ युक्त $S,$इस अर्थ में कि $\operatorname {ncl} _{G}(S)$ के प्रत्येक सामान्य उपसमूह का उपसमुच्चय है $G$ उसमें सम्मिलित है $S.$

उपसमूह $\operatorname {ncl} _{G}(S)$ सेट के माध्यम से समूह का सेट उत्पन्न कर रहा है $S^{G}=\{s^{g}:g\in G\}=\{g^{-1}sg:g\in G\}$ के तत्वों के सभी संयुग्मन वर्ग की $S$ में $G.$

इसलिए कोई भी लिख सकता है

$$\operatorname {ncl} _{G}(S)=\{g_{1}^{-1}s_{1}^{\epsilon _{1}}g_{1}\dots g_{n}^{-1}s_{n}^{\epsilon _{n}}g_{n}:n\geq 0,\epsilon _{i}=\pm 1,s_{i}\in S,g_{i}\in G\}.$$

कोई भी सामान्य उपसमूह उसके सामान्य बंद होने के बराबर है। खाली सेट का संयुग्म बंद होना $\varnothing$ तुच्छ उपसमूह है। साहित्य में सामान्य बंद करने के लिए कई अन्य नोटेशन का उपयोग किया जाता है, जिनमें सम्मलित हैं $\langle S^{G}\rangle ,$ $\langle S\rangle ^{G},$ $\langle \langle S\rangle \rangle _{G},$ और $\langle \langle S\rangle \rangle ^{G}.$

सामान्य बंद की अवधारणा के लिए दोहरी है सामान्य इंटीरियर या सामान्य कोर, इसमें निहित सभी सामान्य उपसमूहों के सम्मलित होने के रूप में परिभाषित किया गया है $S.$

समूह प्रस्तुतियाँ

एक समूह के लिए $G$ एक समूह की प्रस्तुति के माध्यम से दिया गया $G=\langle S\mid R\rangle$ जनरेटर के साथ $S$ और रिपोर्टर्स को परिभाषित करना $R,$ प्रेजेंटेशन नोटेशन का अर्थ है कि $G$ भागफल समूह है $G=F(S)/\operatorname {ncl} _{F(S)}(R),$ जहाँ $F(S)$ पर $S.$ निःशुल्क समूह है