सह-समरूपता

गणित में, विशेष रूप से होमोलॉजी सिद्धांत और बीजगणितीय टोपोलॉजी में, कोहोलॉजी एबेलियन समूहों के अनुक्रम के लिए सामान्य शब्द है, जो सामान्यतः टोपोलॉजिकल स्पेस से जुड़ा होता है, जिसे अधिकांशतः कोचेन कॉम्प्लेक्स से परिभाषित किया जाता है। कोहोलॉजी को समरूपता की तुलना में अंतरिक्ष में समृद्ध बीजगणितीय आक्रमणकारियों को निर्दिष्ट करने की विधि के रूप में देखा जा सकता है। समरूपता के निर्माण को दोहराते हुए कोहोलॉजी के कुछ संस्करण उत्पन्न होते हैं। दूसरे शब्दों में, समरूपता सिद्धांत में श्रृंखला (बीजीय टोपोलॉजी) के समूह पर कोचेन कार्य (गणित) हैं।

टोपोलॉजी में इसकी शुरुआत से, यह विचार बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध के गणित में प्रमुख पद्धति बन गया। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीजगणितीय आक्रमणकारियों के निर्माण की विधि के रूप में होमोलॉजी के प्रारंभिक विचार से, होमोलॉजी और कोहोलॉजी सिद्धांतों के अनुप्रयोगों की श्रेणी पूरे ज्यामिति और सार बीजगणित में फैली हुई है। शब्दावली इस तथ्य को छिपाने की प्रवृत्ति रखती है कि कोहोलॉजी, सहप्रसरण और फंक्टर्स सिद्धांत का प्रतिप्रसरण, कई अनुप्रयोगों में होमोलॉजी की तुलना में अधिक स्वाभाविक है। बुनियादी स्तर पर, इसे ज्यामितीय स्थितियों में फ़ंक्शंस और पुलबैक (अंतर ज्यामिति) के साथ करना पड़ता है: दिए गए स्थान X और Y , और Y पर किसी प्रकार के फंक्शन F , किसी भी मानचित्र (गणित) के लिए f : X → Y, f के साथ संघटन एक फलन को जन्म देता है F ∘ f एक्स पर। सबसे महत्वपूर्ण कोहोलॉजी सिद्धांतों में एक उत्पाद है, कप उत्पाद, जो उन्हें एक अंगूठी (गणित) संरचना देता है। इस विशेषता के कारण, कोहोलॉजी आमतौर पर होमोलॉजी की तुलना में एक मजबूत अपरिवर्तनीय है।

एकवचन कोहोलॉजी

एकवचन कोहोलॉजी टोपोलॉजी में शक्तिशाली अपरिवर्तनीय है, जो किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस के साथ ग्रेडेड-कम्यूटेटिव रिंग को जोड़ता है। प्रत्येक निरंतर मानचित्र f: X → Y, Y के कोहोलॉजी रिंग से X के अंगूठी समरूपता को निर्धारित करता है; यह X से Y तक के संभावित नक्शों पर सख्त प्रतिबंध लगाता है। होमोटॉपी समूहों जैसे अधिक सूक्ष्म आक्रमणकारियों के विपरीत, कोहोलॉजी रिंग रुचि के स्थानों के लिए व्यवहार में संगणनीय होती है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए, एकवचन कोहोलॉजी की परिभाषा एकवचन श्रृंखला परिसर से शुरू होती है:

$$\cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to }}\ C_{i-1}\to \cdots$$

परिभाषा के अनुसार, एक्स की एकवचन होमोलॉजी इस चेन कॉम्प्लेक्स की होमोलॉजी है (एक होमोमोर्फिज्म मॉडुलो का कर्नेल पिछले की छवि)। अधिक विस्तार से, सी_iमानक आई-सिम्प्लेक्स से एक्स तक निरंतर मानचित्रों के सेट पर मुक्त एबेलियन समूह है (जिसे एक्स में एकवचन आई-सिंपलिस कहा जाता है), और ∂_i i-वीं सीमा समरूपता है। समूह सी_i i ऋणात्मक के लिए शून्य हैं।

अब एबेलियन ग्रुप ए को ठीक करें, और प्रत्येक ग्रुप सी को बदलें_iइसकी दोहरी जगह से $C_{i}^{*}:=\mathrm {Hom} (C_{i},A),$ और $\partial _{i}$ इसके दोहरे स्थान द्वारा # रेखीय मानचित्र का स्थानांतरण

$$d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.$$

यह कोचेन कॉम्प्लेक्स को छोड़कर, मूल परिसर के सभी तीरों को उलटने का प्रभाव है

$$\cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots$$

पूर्णांक i के लिए, i^th A में गुणांक वाले X के कोहोलॉजी समूह को ker(d) के रूप में परिभाषित किया गया है_i)/आईएम(अर्ताथi−1) और एच द्वारा चिह्नित^मैं(एक्स, ए). समूह एचⁱ(X, A) i ऋणात्मक के लिए शून्य है। के तत्व $C_{i}^{*}$ एकवचन i कहलाते हैं - A में गुणांक वाले कोचेन। (समतुल्य रूप से, X पर i-कोचैन को X से A में एकवचन i-सरलताओं के सेट से फ़ंक्शन के साथ पहचाना जा सकता है।) तत्व ker(d) और im(d) को क्रमशः कोसायकल और कोबाउंडरी कहा जाता है, जबकि ker(d)/im(d) = H के तत्व ⁱ(X, A) को 'कोहोमोलॉजी क्लासेस' कहा जाता है (क्योंकि वे कोसाइकल के समतुल्य वर्ग हैं)।

निम्नलिखित में, गुणांक समूह A को कभी-कभी नहीं लिखा जाता है। A को क्रमविनिमेय वलय R के रूप में लेना सामान्य है; तो कोहोलॉजी समूह आर-मॉड्यूल (गणित) हैं। मानक विकल्प पूर्णांकों का वलय 'Z' है।

कोहोलॉजी के औपचारिक गुणों में से कुछ होमोलॉजी के गुणों के केवल मामूली रूप हैं:

• एक सतत नक्शा $f:X\to Y$ पुशफॉरवर्ड होमोमोर्फिज्म निर्धारित करता है $f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)$ समरूपता और पुलबैक समरूपता पर $f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)$ कोहोलॉजी पर। यह कोहोमोलॉजी को टोपोलॉजिकल स्पेस से एबेलियन ग्रुप (या आर-मॉड्यूल) तक प्रतिपरिवर्ती संचालिका बनाता है।
• X से Y तक के दो होमोटोपिक मानचित्र कोहोलॉजी पर ही समरूपता को प्रेरित करते हैं (ठीक होमोलॉजी पर)।
• मेयर-विएटोरिस अनुक्रम कोहोमोलॉजी में महत्वपूर्ण कम्प्यूटरीकृत टूल है, जैसा कि होमोलॉजी में है। ध्यान दें कि कोहोलॉजी में सीमा समरूपता बढ़ती है (घटने के बजाय)। यही है, यदि कोई स्थान X खुले उपसमुच्चय U और V का मिलन है, तो लंबा सटीक क्रम है:
  $$\cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots$$
• रिश्तेदार होमोलॉजी समूह हैं $H^{i}(X,Y;A)$ किसी स्थान X के किसी भी उप-स्थान टोपोलॉजी Y के लिए। वे लंबे सटीक अनुक्रम द्वारा सामान्य कोहोलॉजी समूहों से संबंधित हैं:
  $$\cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to \cdots$$
• सार्वभौम गुणांक प्रमेय एक्सट समूहों का उपयोग करते हुए समरूपता के संदर्भ में कोहोलॉजी का वर्णन करता है। अर्थात्, संक्षिप्त सटीक क्रम है
  $$0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.$$
  संबंधित कथन यह है कि क्षेत्र (गणित) F के लिए, $H^{i}(X,F)$ सदिश स्थान का ठीक दोहरा स्थान है $H_{i}(X,F)$.
• यदि X टोपोलॉजिकल कई गुना या CW कॉम्प्लेक्स है, तो कोहोलॉजी समूह $H^{i}(X,A)$ X के आयाम से अधिक i के लिए शून्य हैं। यदि X कॉम्पैक्ट जगह मैनिफोल्ड (संभवतः सीमा के साथ), या CW कॉम्प्लेक्स है जिसमें प्रत्येक आयाम में सूक्ष्म रूप से कई सेल हैं, और R कम्यूटेटिव नोथेरियन रिंग है, तो R-मॉड्यूल Hⁱ(X,R) प्रत्येक i के लिए अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है।

दूसरी ओर, कोहोमोलॉजी की महत्वपूर्ण संरचना है जो होमोलॉजी नहीं करती है: किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स और कम्यूटेटिव रिंग आर के लिए, द्विरेखीय नक्शा होता है, जिसे 'कप प्रोडक्ट' कहा जाता है:

$$H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),$$

एकवचन कोचेन्स पर स्पष्ट सूत्र द्वारा परिभाषित। कोहोलॉजी कक्षाओं यू और वी के उत्पाद को यू ∪ वी या बस यूवी के रूप में लिखा जाता है। यह उत्पाद प्रत्यक्ष योग बनाता है

$$H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)$$

एक वर्गीकृत अंगूठी में, जिसे 'X' का कोहोलॉजी रिंग कहा जाता है। यह श्रेणीबद्ध-विनिमेय इस अर्थ में है कि:

$$uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).$$

किसी भी निरंतर मानचित्र के लिए $f\colon X\to Y,$ पुलबैक (कोहोलॉजी) $f^{*}:H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)$ वर्गीकृत आर-सहयोगी बीजगणित का समरूपता है। यह इस प्रकार है कि यदि दो रिक्त स्थान होमोटोपी समतुल्य हैं, तो उनके कोहोलॉजी के छल्ले आइसोमोर्फिक हैं।

यहाँ कप उत्पाद की कुछ ज्यामितीय व्याख्याएँ दी गई हैं। जब तक अन्यथा नहीं कहा जाता है, तब तक कई गुना सीमा के बिना समझा जाता है। 'क्लोज्ड मैनिफोल्ड' का अर्थ है कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड (बिना सीमा के), जबकि 'क्लोज्ड सबमेनिफोल्ड' एन ऑफ मेनिफोल्ड एम का मतलब सबमेनिफोल्ड है जो एम का बंद उपसमुच्चय है, जरूरी नहीं कि कॉम्पैक्ट हो (चूंकि एन स्वचालित रूप से कॉम्पैक्ट है अगर एम है)।

• एक्स को आयाम एन के कई गुना बंद उन्मुखता होने दें। फिर पोंकारे द्वैत समरूपता H देता हैⁱX ≅ H_n−iएक्स। परिणामस्वरूप, एक्स में codimension i का क्लोज्ड ओरिएंटेड सबमनीफोल्ड एस एच में कोहोलॉजी क्लास निर्धारित करता हैⁱX, जिसे [S] कहा जाता है। इन शब्दों में, कप उत्पाद सबमनिफोल्ड्स के प्रतिच्छेदन का वर्णन करता है। अर्थात्, यदि S और T कोडिमेंशन i और j के सबमेनफोल्ड हैं जो ट्रांसवर्सलिटी (गणित) को काटते हैं, तो
  $$[S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),$$
  जहां प्रतिच्छेदन S ∩ T कोडिमेंशन i + j का सबमैनिफोल्ड है, S, T, और X के ओरिएंटेशन द्वारा निर्धारित ओरिएंटेशन के साथ। चिकना कई गुना ्स के स्थिति में, यदि S और T ट्रांसवर्सली इंटरसेक्ट नहीं करते हैं, तो यह फॉर्मूला अभी भी हो सकता है चौराहा अनुप्रस्थ बनाने के लिए S या T को परेशान करके कप उत्पाद [S] [T] की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है। अधिक सामान्यतः, यह मानने के बिना कि X का ओरिएंटेशन है, X का बंद सबमनीफोल्ड अपने सामान्य बंडल पर ओरिएंटेशन के साथ X पर कॉहोलॉजी क्लास निर्धारित करता है। यदि X नॉनकॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है, तो क्लोज्ड सबमनिफोल्ड (जरूरी नहीं कि कॉम्पैक्ट) कॉहोलॉजी निर्धारित करता है। X पर कक्षा। दोनों ही स्थितियों में, कप उत्पाद को फिर से सबमेनिफोल्ड्स के चौराहों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। ध्यान दें कि रेने थॉम ने चिकनी 14-कई गुना पर डिग्री 7 के अभिन्न कोहोलॉजी वर्ग का निर्माण किया जो कि किसी भी चिकनी उप-कणिका का वर्ग नहीं है। दूसरी ओर, उन्होंने दिखाया कि चिकनी मैनिफोल्ड पर सकारात्मक डिग्री के प्रत्येक इंटीग्रल कोहोलॉजी क्लास में पॉजिटिव मल्टीपल होता है जो कि स्मूथ सबमनीफोल्ड का वर्ग होता है। साथ ही, मैनिफोल्ड पर हर इंटीग्रल कोहोलॉजी क्लास को स्यूडोमेनिफोल्ड द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो कि सिंपल कॉम्प्लेक्स है जो कम से कम 2 कोडिमेंशन के बंद उपसमुच्चय के बाहर कई गुना है।
• एक चिकनी कई गुना एक्स के लिए, डी राम के प्रमेय का कहना है कि वास्तविक संख्या गुणांक वाले एक्स के एकवचन कोहोलॉजी एक्स के डी रम कोहोलॉजी के लिए आइसोमोर्फिक है, जो अलग-अलग रूपों का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। कप उत्पाद विभेदक रूपों के उत्पाद से मेल खाता है। इस व्याख्या का लाभ यह है कि विभेदक रूपों पर उत्पाद श्रेणीबद्ध-विनिमेय है, जबकि एकल कोचेन पर उत्पाद केवल श्रृंखला होमोटोपी तक श्रेणीबद्ध-विनिमेय है। वास्तव में, पूर्णांकों में गुणांक वाले एकवचन कोचेन की परिभाषा को संशोधित करना असंभव है $\mathbb {Z}$ या में $\mathbb {Z} /p$ अभाज्य संख्या p के लिए उत्पाद को नाक पर श्रेणीबद्ध-विनिमेय बनाने के लिए। कोचेन स्तर पर ग्रेडेड-कम्यूटेटिविटी की विफलता मॉड पी कोहोलॉजी पर स्टीनरोड संचालन की ओर ले जाती है।

बहुत ही अनौपचारिक रूप से, किसी भी सांस्थितिक स्थान X के लिए, के तत्व $H^{i}(X)$ एक्स के कोडिमेंशन-आई सबस्पेस द्वारा प्रतिनिधित्व के रूप में सोचा जा सकता है जो एक्स पर स्वतंत्र रूप से स्थानांतरित हो सकता है। उदाहरण के लिए, तत्व को परिभाषित करने का तरीका $H^{i}(X)$ सामान्य बंडल पर अभिविन्यास के साथ एक्स से निरंतर मानचित्र एफ को कई गुना एम और एम के बंद कोडिमेंशन-आई सबमनीफोल्ड एन देना है। अनौपचारिक रूप से, कोई परिणामी वर्ग के बारे में सोचता है $f^{*}([N])\in H^{i}(X)$ उप-क्षेत्र पर झूठ बोलने के रूप में $f^{-1}(N)$ एक्स का; यह उस वर्ग में उचित है $f^{*}([N])$ खुले उपसमुच्चय के कोहोलॉजी में शून्य तक सीमित है $X-f^{-1}(N).$ कोहोलॉजी वर्ग $f^{*}([N])$ एक्स पर स्वतंत्र रूप से इस अर्थ में आगे बढ़ सकता है कि एन को एम के अंदर एन के निरंतर विरूपण से बदला जा सकता है।

उदाहरण

निम्नलिखित में, कोहोलॉजी को पूर्णांक Z में गुणांक के साथ लिया जाता है, जब तक कि अन्यथा न कहा जाए।

• एक बिंदु की कोहोलॉजी रिंग डिग्री 0 में रिंग Z है। होमोटॉपी इनवेरियन द्वारा, यह किसी भी सिकुड़े हुए स्थान का कोहोलॉजी रिंग भी है, जैसे कि यूक्लिडियन स्पेस आर^एन.
• 

  2-आयामी टोरस के पहले कोहोलॉजी समूह का आधार दिखाए गए दो सर्किलों के वर्गों द्वारा दिया गया है।
  धनात्मक पूर्णांक n के लिए, n-गोले का कोहोलॉजी वलय $S^{n}$ Z[x]/(x है²) (दिए गए आदर्श (रिंग थ्योरी) द्वारा बहुपद वलय का भागफल वलय), जिसमें x डिग्री n में है। पोंकारे द्वैत के संदर्भ में जैसा कि ऊपर बताया गया है, x गोले पर बिंदु का वर्ग है।
• टोरस्र्स का कोहोलॉजी रिंग $(S^{1})^{n}$ डिग्री 1 में n जनरेटर पर Z के ऊपर बाहरी बीजगणित है। उदाहरण के लिए, पी सर्कल में बिंदु निरूपित करते हैं $S^{1}$, और क्यू बिंदु (पी, पी) 2-आयामी टोरस में $(S^{1})^{2}$. फिर की कोहोलॉजी (एस¹)² का फ्री मॉड्यूल के रूप में आधार है। फॉर्म का फ्री जेड-मॉड्यूल: एलिमेंट 1 डिग्री 0 में, x := [P × S¹] और y := [एस¹ × P] डिग्री 1 में, और xy = [Q] डिग्री 2 में। ], ग्रेडेड-कम्यूटेटिविटी द्वारा।
• अधिक सामान्यतः, आर को कम्यूटेटिव रिंग होने दें, और एक्स और वाई को कोई भी टोपोलॉजिकल स्पेस दें जैसे कि एच^*(X,R) प्रत्येक डिग्री में सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मुक्त आर-मॉड्यूल है। (Y पर किसी धारणा की आवश्यकता नहीं है।) फिर कुनेथ सूत्र देता है कि उत्पाद स्थान X × Y की कोहोलॉजी रिंग आर-बीजगणित के बीजगणित का टेन्सर उत्पाद है:
  $$H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).$$
• वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान आरपी का कोहोलॉजी रिंगⁿ 'Z'/2 गुणांक के साथ 'Z'/2[x]/(xⁿ⁺¹), डिग्री 1 में x के साथ। यहाँ x hyperplane 'RP' का वर्ग हैⁿ⁻¹ 'RP' में^एन; यह समझ में आता है भले ही 'आरपी'^j j सम और धनात्मक के लिए उन्मुख नहीं है, क्योंकि 'Z'/2 गुणांकों के साथ Poincaré द्वैत मनमाने मैनिफोल्ड के लिए कार्य करता है। पूर्णांक गुणांकों के साथ, उत्तर थोड़ा अधिक जटिल है। आरपी का जेड-कोहोलॉजी^2a में डिग्री 2 का तत्व y है जैसे कि संपूर्ण कोहोलॉजी 'Z' की प्रति का प्रत्यक्ष योग है जो तत्व 1 द्वारा डिग्री 0 में 'Z'/2 की प्रतियों के साथ तत्वों y द्वारा फैलाई गई हैⁱ for i=1,...,a. 'आरपी' का 'जेड'-कोहोलॉजी^2a+1 2a+1 डिग्री में 'Z' की अतिरिक्त प्रति के साथ समान है।
• जटिल प्रक्षेप्य स्थान सीपी का कोहोलॉजी रिंगⁿ 'Z' है[x]/(xⁿ⁺¹), डिग्री 2 में x के साथ। यहाँ x हाइपरप्लेन 'CP' का वर्ग हैⁿ⁻¹ 'सीपी' में^एन. अधिक सामान्यतः, एक्स^j रैखिक उपसमष्टि 'CP' का वर्ग है^n−j 'सीपी' में^एन.
• जीनस (गणित) जी ≥ 0 के बंद उन्मुख सतह एक्स की कोहोलॉजी रिंग के रूप में मुक्त 'जेड'-मॉड्यूल के रूप में आधार है: तत्व 1 डिग्री 0, ए में₁,...,ए_g और बी₁,...,बी_g डिग्री 1 में, और डिग्री 2 में बिंदु का वर्ग पी। उत्पाद द्वारा दिया गया है: ए_iA_j = बी_iB_j = 0 सभी i और j, A के लिए_iB_j = 0 यदि i ≠ j, और A_iB_i = पी सभी के लिए मैं। ग्रेडेड-कम्यूटेटिविटी द्वारा, यह उसका अनुसरण करता है B_iA_i = −P.
• किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस पर, कोहोलॉजी रिंग की ग्रेडेड-कम्यूटेटिविटी का मतलब है कि 2x² = 0 सभी ऑड-डिग्री कोहोलॉजी क्लास x के लिए। यह इस प्रकार है कि रिंग आर के लिए 1/2 युक्त, एच के सभी विषम-डिग्री तत्व^*(X,R) का वर्ग शून्य है। दूसरी ओर, यदि R 'Z'/2 या 'Z' है, तो विषम-डिग्री तत्वों के लिए वर्ग शून्य की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि 'RP' के उदाहरण में देखा गया है।² (Z/2 गुणांकों के साथ) या RP⁴ × आरपी² (Z गुणांकों के साथ)।

विकर्ण

कोहोलॉजी पर कप उत्पाद को विकर्ण मानचित्र Δ: X → X × X, x ↦ (x, x) से आने के रूप में देखा जा सकता है। अर्थात्, किसी भी स्थान X और Y के लिए कोहोलॉजी कक्षाओं के साथ यू ∈ एचⁱ(X,R) और v ∈ H^j(Y,R), 'बाहरी उत्पाद' (या 'क्रॉस उत्पाद') कोहोलॉजी वर्ग u × v ∈ H है^i+j(X × Y,R). कक्षाओं यू ∈ एच का कप उत्पादⁱ(X,R) और v ∈ H^j(X,R) को विकर्ण द्वारा बाहरी उत्पाद के पुलबैक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

$$uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).$$

वैकल्पिक रूप से, बाहरी उत्पाद को कप उत्पाद के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। रिक्त स्थान X और Y के लिए, दो अनुमानों के लिए f: X × Y → X और g: X × Y → Y लिखें। फिर कक्षाओं यू ∈ एच का बाहरी उत्पादⁱ(X,R) और v ∈ H^j(Y,R) है:

$$u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).$$

पोंकारे द्वैत

Main article: Poincaré duality

पोंकारे द्वैत की और व्याख्या यह है कि बंद उन्मुख मैनिफोल्ड की कोहोलॉजी रिंग मजबूत अर्थ में स्व-दोहरी है। अर्थात्, X को आयाम n के बंद जुड़े स्थान उन्मुख कई गुना होने दें, और F को क्षेत्र होने दें। तब एचⁿ(X,F) F और उत्पाद के लिए तुल्याकारी है

$H^{i}(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F$

प्रत्येक पूर्णांक i के लिए आदर्श युग्म है। विशेष रूप से, सदिश समष्टियाँ H^मैं(एक्स, एफ) और एचⁿ⁻ⁱ(X,F) का ही (परिमित) आयाम है। इसी तरह, एच में मूल्यों के साथ इंटीग्रल कोहोलॉजी मॉड्यूलो टोरसन उपसमूह पर उत्पादⁿ(X,'Z') ≅ 'Z', 'Z' के ऊपर उत्तम जोड़ी है।

विशेषता वर्ग

Main article: Characteristic class

टोपोलॉजिकल स्पेस X पर रैंक r का उन्मुख वास्तविक वेक्टर बंडल E, X पर कोहोलॉजी क्लास निर्धारित करता है, 'यूलर वर्ग ' χ(E) ∈ H^आर(एक्स, 'जेड')। अनौपचारिक रूप से, यूलर वर्ग ई के सामान्य खंड (फाइबर बंडल) के शून्य सेट का वर्ग है। उस व्याख्या को और अधिक स्पष्ट किया जा सकता है जब ई चिकनी कई गुना एक्स पर चिकनी वेक्टर बंडल है, तब से सामान्य चिकनी खंड X के कोडिमेंशन-r सबमनीफोल्ड पर X गायब हो जाता है।

सदिश बंडलों के लिए कई अन्य प्रकार के विशिष्ट वर्ग हैं जो कोहोलॉजी में मान लेते हैं, जिनमें चेर्न वर्ग, स्टीफ़ेल-व्हिटनी वर्ग और पोंट्रीगिन वर्ग सम्मिलित हैं।

ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेस

Main article: Eilenberg–MacLane space

प्रत्येक एबेलियन समूह ए और प्राकृतिक संख्या जे के लिए स्थान है $K(A,j)$ जिसका j-th होमोटॉपी समूह A के लिए आइसोमोर्फिक है और जिसके अन्य समरूप समूह शून्य हैं। ऐसी जगह को 'ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेस' कहा जाता है। इस स्थान की उल्लेखनीय संपत्ति है कि यह कोहोलॉजी के लिए 'वर्गीकरण स्थान' है: इसमें प्राकृतिक तत्व यू है $H^{j}(K(A,j),A)$, और प्रत्येक स्थान X पर डिग्री j का प्रत्येक कोहोलॉजी वर्ग कुछ निरंतर मानचित्र द्वारा u का पुलबैक है $X\to K(A,j)$. अधिक सटीक रूप से, कक्षा यू को वापस खींचने से आपत्ति होती है

$[X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)$

सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के होमोटॉपी प्रकार के साथ प्रत्येक स्थान एक्स के लिए। यहाँ $[X,Y]$ एक्स से वाई तक निरंतर मानचित्रों के होमोटॉपी वर्गों के सेट को दर्शाता है।

उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष $K(\mathbb {Z} ,1)$ (समरूपता तुल्यता तक परिभाषित) को वृत्त के रूप में लिया जा सकता है $S^{1}$. तो उपरोक्त विवरण कहता है कि प्रत्येक तत्व का $H^{1}(X,\mathbb {Z} )$ बिंदु पर कक्षा यू से वापस खींच लिया जाता है $S^{1}$ किसी नक़्शे से $X\to S^{1}$.

किसी भी एबेलियन समूह ए में गुणांक के साथ पहले कोहोलॉजी का संबंधित विवरण है, सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स एक्स के लिए कहते हैं। अर्थात्, $H^{1}(X,A)$ समूह ए के साथ एक्स के रिक्त स्थान को कवर करने वाले गैलोज़ के आइसोमोर्फिज़्म वर्गों के सेट के साथ एक-से-एक पत्राचार में है, जिसे प्रिंसिपल बंडल भी कहा जाता है। एक्स पर प्रिंसिपल ए-बंडल। एक्स से जुड़े होने के लिए, यह इस प्रकार है $H^{1}(X,A)$ के लिए आइसोमोर्फिक है $\operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)$, कहाँ $\pi _{1}(X)$ एक्स का मौलिक समूह है। उदाहरण के लिए, $H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)$ तत्व के साथ X के डबल कवरिंग स्पेस को वर्गीकृत करता है $0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)$ तुच्छ दोहरे आवरण के अनुरूप, X की दो प्रतियों का असंयुक्त मिलन।

कैप उत्पाद

Main article: Cap product

किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए, 'कैप प्रोडक्ट' बिलिनियर मैप है

$\cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)$

किसी भी पूर्णांक i और j और किसी भी क्रमविनिमेय वलय R के लिए। परिणामी नक्शा

$H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)$

X के विलक्षण समरूपता को X के एकवचन कोहोलॉजी रिंग के ऊपर मॉड्यूल बनाता है।

i = j के लिए, कैप उत्पाद प्राकृतिक समरूपता देता है

$H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),$

जो R a क्षेत्र के लिए तुल्याकारिता है।

उदाहरण के लिए, एक्स को उन्मुख कई गुना होने दें, जरूरी नहीं कि कॉम्पैक्ट हो। फिर बंद उन्मुख कोडिमेंशन-आई एक्स का सबमेनिफोल्ड वाई (जरूरी नहीं कि कॉम्पैक्ट) एच का तत्व निर्धारित करता हैⁱ(X,R), और X का कॉम्पैक्ट ओरिएंटेड j-डायमेंशनल सबमेनिफोल्ड Z, H का तत्व निर्धारित करता है_j(एक्स, आर)। टोपी उत्पाद [वाई] ∩ [जेड] ∈ एच_j−i(एक्स, आर) की गणना वाई और जेड को परेशान करके उन्हें अनुप्रस्थ रूप से प्रतिच्छेद करने के लिए की जा सकती है और फिर उनके चौराहे की कक्षा ले सकती है, जो कि आयाम j - i का कॉम्पैक्ट उन्मुख सबमनीफोल्ड है।

आयाम एन के बंद उन्मुख कई गुना एक्स में एच में मौलिक वर्ग [एक्स] है_n(एक्स, आर)। पोंकारे द्वैत समरूपता

$$H^{i}(X,R){\overset {\cong }{\to }}H_{n-i}(X,R)$$

एक्स के मौलिक वर्ग के साथ कैप उत्पाद द्वारा परिभाषित किया गया है।

एकवचन कोहोलॉजी का संक्षिप्त इतिहास

यद्यपि कोहोलॉजी आधुनिक बीजगणितीय टोपोलॉजी के लिए मौलिक है, इसके महत्व को होमोलॉजी के विकास के लगभग 40 वर्षों के बाद नहीं देखा गया था। दोहरी कोशिका संरचना की अवधारणा, जिसे हेनरी पोनकारे ने अपने पोंकारे द्वंद्व प्रमेय के अपने प्रमाण में उपयोग किया, में कोहोलॉजी के विचार की शुरुआत सम्मिलित थी, किन्तु इसे बाद में नहीं देखा गया था।

कोहोलॉजी के विभिन्न अग्रदूत थे। 1920 के दशक के मध्य में, जेम्स वैडेल अलेक्जेंडर II|जे. डब्ल्यू। अलेक्जेंडर और सोलोमन लेफशेट्ज़ ने कई गुना चक्रों के प्रतिच्छेदन सिद्धांत की स्थापना की। बंद ओरिएंटेड एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड एम पर आई-चक्र और गैर-खाली चौराहे के साथ जे-चक्र, यदि सामान्य स्थिति में, उनके चौराहे के रूप में (i + j − n)-चक्र होगा। इससे होमोलॉजी कक्षाओं का गुणन होता है

$H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),$

जो (पूर्वव्यापी में) एम के कोहोलॉजी पर कप उत्पाद के साथ पहचाना जा सकता है।

एक्स में विकर्ण के छोटे पड़ोस पर समारोह के रूप में अंतरिक्ष एक्स पर आई-कोचैन के बारे में सोचकर अलेक्जेंडर ने 1930 तक कोचेन की पहली धारणा को परिभाषित किया था।^मैं+1.

1931 में, गेर्गेस डी रहम संबंधित होमोलॉजी और डिफरेंशियल फॉर्म, De_Rham_cohomology#De_Rham's_theorem|de Rham's प्रमेय को साबित करते हुए। इस परिणाम को कोहोलॉजी के संदर्भ में और अधिक सरलता से कहा जा सकता है।

1934 में, लेव पोंट्रीगिन ने पोंट्रीगिन द्वैत प्रमेय को सिद्ध किया; टोपोलॉजिकल समूहों पर परिणाम। यह (बल्कि विशेष स्थितियों में) समूह चरित्र (गणित) के संदर्भ में पोंकारे द्वैत और अलेक्जेंडर द्वैत की व्याख्या प्रदान करता है।

मास्को में 1935 के सम्मेलन में, एंड्री कोलमोगोरोव और अलेक्जेंडर दोनों ने कोहोलॉजी की शुरुआत की और कोहोलॉजी उत्पाद संरचना बनाने की कोशिश की।

1936 में, नॉर्मन स्टीनरोड ने चेक समरूपता को दोहरा कर चेक कोहोलॉजी का निर्माण किया।

1936 से 1938 तक, हस्लर व्हिटनी और एडुआर्ड चेक ने कप उत्पाद (कोहोलॉजी को श्रेणीबद्ध रिंग में बनाते हुए) और कैप उत्पाद विकसित किया, और महसूस किया कि कैप उत्पाद के संदर्भ में पोंकारे द्वैत को बताया जा सकता है। उनका सिद्धांत अभी भी परिमित कोशिका परिसरों तक ही सीमित था।

1944 में, सैमुअल एलेनबर्ग ने तकनीकी सीमाओं को पार कर लिया, और एकवचन होमोलॉजी और कोहोलॉजी की आधुनिक परिभाषा दी।

1945 में, ईलेनबर्ग और स्टीनरोड ने होमोलॉजी या कोहोलॉजी सिद्धांत को परिभाषित करने वाले ईलेनबर्ग-स्टीनरोड सिद्धांतों को बताया, जिसकी चर्चा नीचे की गई है। उनकी 1952 की किताब, फ़ाउंडेशन ऑफ़ बीजगणितीय टोपोलॉजी में, उन्होंने साबित किया कि सम्मिलिता होमोलॉजी और कोहोलॉजी सिद्धांत वास्तव में उनके स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं।

1946 में, जॉन लेरे ने शीफ कोहोलॉजी को परिभाषित किया।

1948 में एडविन स्पैनियार्ड , अलेक्जेंडर और कोलमोगोरोव के कार्य पर निर्माण करते हुए, अलेक्जेंडर-स्पैनियर कोहोलॉजी विकसित किया।

शीफ कोहोलॉजी

Main article: Sheaf cohomology

शीफ कॉहोमोलॉजी एकवचन कोहोलॉजी का समृद्ध सामान्यीकरण है, जो केवल एबेलियन समूह की तुलना में अधिक सामान्य गुणांक की अनुमति देता है। टोपोलॉजिकल स्पेस X पर एबेलियन समूहों E के प्रत्येक शेफ (गणित) के लिए, कोहोलॉजी समूह H है।ⁱ(X,E) पूर्णांकों के लिए i. विशेष रूप से, एबेलियन समूह ए से जुड़े एक्स पर निरंतर शीफ के स्थिति में, परिणामी समूह एचⁱ(X,A) X के लिए मैनिफोल्ड या CW कॉम्प्लेक्स (चूंकि मनमाना स्थान X के लिए नहीं) के लिए एकवचन कोहोलॉजी के साथ मेल खाता है। 1950 के दशक से शुरू होकर, शीफ कोहोलॉजी बीजगणितीय ज्यामिति और जटिल विश्लेषण का केंद्रीय हिस्सा बन गया है, आंशिक रूप से नियमित कार्यों के शीफ या होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के शीफ के महत्व के कारण।

अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने होमोलॉजिकल बीजगणित की भाषा में शीफ कोहोलॉजी को सुरुचिपूर्ण ढंग से परिभाषित और चित्रित किया। आवश्यक बिंदु यह है कि स्पेस एक्स को ठीक किया जाए और शेफ कोहोलॉजी को एक्स पर एबेलियन समूहों के एबेलियन श्रेणी के शेफ्स से फ़ंक्टर के रूप में सोचा जाए। एक्स, ई (एक्स) पर वैश्विक वर्गों के अपने एबेलियन समूह में एक्स पर शेफ ई लेने वाले फ़ैक्टर के साथ शुरू करें। यह फ़नकार सटीक फ़नकार छोड़ दिया गया है, किन्तु जरूरी नहीं कि सही सटीक हो। ग्रोथेंडिक ने शेफ कोहोलॉजी समूहों को बाएं सटीक फ़ैक्टर ई ↦ ई (एक्स) के सही व्युत्पन्न फ़ंक्शंस के रूप में परिभाषित किया।

वह परिभाषा विभिन्न सामान्यीकरणों का सुझाव देती है। उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के कोहोलॉजी को किसी भी परिसर में गुणांक के साथ परिभाषित किया जा सकता है, जिसे पहले hypercohomology कहा जाता था (किन्तु सामान्यतः अब केवल कोहोलॉजी)। उस दृष्टिकोण से, शीफ कोहोलॉजी एक्स पर एबेलियन समूहों के लिए शेवों की व्युत्पन्न श्रेणी से फंक्शनलर्स का क्रम बन जाता है।

शब्द के व्यापक अर्थ में, कोहोलॉजी का प्रयोग अधिकांशतः एबेलियन श्रेणी पर बाएं सटीक फ़ैक्टर के दाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर के लिए किया जाता है, जबकि होमोलॉजी का उपयोग दाएं सटीक फ़ैक्टर के बाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, रिंग R के लिए, Tor functors Tor_i^R(M,N) प्रत्येक चर में होमोलॉजी सिद्धांत बनाते हैं, टेंसर उत्पाद M⊗ के बाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर_Rआर-मॉड्यूल के एन। इसी तरह, Ext समूह Ext^{मैं_R(एम, एन) को प्रत्येक चर में कोहोलॉजी सिद्धांत के रूप में देखा जा सकता है, होम फंक्शनल होम के सही व्युत्पन्न फ़ैक्टर_R(एम, एन)।}

शीफ कोहोलॉजी की पहचान प्रकार के एक्सट ग्रुप से की जा सकती है। अर्थात्, टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स पर शीफ ई के लिए, एचⁱ(X,E) Ext के तुल्याकारी है^और(जेजेड_X, ई), जहां 'जेड'_X पूर्णांक Z के साथ जुड़े निरंतर शीफ को दर्शाता है, और Ext को 'X' पर पूलों की एबेलियन श्रेणी में लिया जाता है।

प्रकारों की कोहोलॉजी

बीजगणितीय प्रकारों के कोहोलॉजी की गणना के लिए कई मशीनें बनाई गई हैं। विशेषता के क्षेत्र में चिकनी प्रोजेक्टिव प्रकारों के लिए कोहोलॉजी का निर्धारण सबसे सरल स्थिति है $0$. हॉज सिद्धांत के उपकरण, जिन्हें हॉज संरचना कहा जाता है, इस प्रकार की प्रकारों (अधिक परिष्कृत जानकारी के अतिरिक्त) के कोहोलॉजी की गणना करने में मदद करते हैं। सरलतम स्थिति में चिकनी हाइपरसफेस की कोहोलॉजी $\mathbb {P} ^{n}$ अकेले बहुपद की डिग्री से निर्धारित किया जा सकता है।

एक परिमित क्षेत्र, या विशेषता के क्षेत्र में प्रकारों पर विचार करते समय $p$, अधिक शक्तिशाली उपकरणों की आवश्यकता होती है क्योंकि होमोलॉजी / कोहोलॉजी की मौलिक परिभाषाएँ टूट जाती हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि परिमित क्षेत्रों में किस्में केवल बिंदुओं का परिमित समूह होंगी। ग्रोथेंडिक ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के लिए विचार के साथ आया और सीमित क्षेत्र में प्रकारों के लिए कोहोलॉजी सिद्धांत को परिभाषित करने के लिए ईटेल टोपोलॉजी पर शीफ कोहोलॉजी का उपयोग किया। विशेषता के क्षेत्र में विविधता के लिए ईटेल टोपोलॉजी का उपयोग करना $p$ कोई निर्माण कर सकता है $\ell$-ऐडिक कोहोलॉजी के लिए $\ell \neq p$. इसे इस रूप में परिभाषित किया गया है

$H^{k}(X;\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim H_{et}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }$

अगर हमारे पास परिमित प्रकार की योजना है

$X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}}\right)$

फिर बेट्टी कोहोलॉजी के लिए आयामों की समानता है $X(\mathbb {C} )$ और यह $\ell$-एडिक कोहोलॉजी ऑफ $X(\mathbb {F} _{q})$ जब भी दोनों क्षेत्रों में विविधता चिकनी हो। इन कोहोलॉजी सिद्धांतों के अलावा अन्य कोहोलॉजी सिद्धांत भी हैं जिन्हें वेइल कोहोलॉजी सिद्धांत कहा जाता है जो एकवचन कोहोलॉजी के समान व्यवहार करते हैं। अभिप्रायों का अनुमानित सिद्धांत है जो वेइल कोहोलॉजी के सभी सिद्धांतों का आधार है। अन्य उपयोगी कम्प्यूटरीकृत टूल ब्लौअप सीक्वेंस है। कोडिमेंशन दिया $\geq 2$ उप योजना $Z\subset X$ कार्टेशियन वर्ग है

${\begin{matrix}E&\longrightarrow &Bl_{Z}(X)\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\longrightarrow &X\end{matrix}}$

इससे जुड़ा लंबा सटीक क्रम है

$\cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))\to H^{n}(E)\to H^{n+1}(X)\to \cdots$

यदि सबवैरायटी $Z$ चिकना है, तो कनेक्टिंग मोर्फिज़्म सभी तुच्छ हैं, इसलिए

$H^{n}(Bl_{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E)$

स्वयंसिद्ध और सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत

See also: List of cohomology theories

टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए कोहोलॉजी को परिभाषित करने के कई तरीके हैं (जैसे कि सिंगुलर कोहोलॉजी, सीच कोहोलॉजी, अलेक्जेंडर-स्पैनियर कोहोलॉजी या शेफ कोहोलॉजी)। (यहां शीफ कोहोलॉजी को केवल स्थिर शीफ में गुणांक के साथ माना जाता है।) ये सिद्धांत कुछ स्थानों के लिए अलग-अलग उत्तर देते हैं, किन्तु रिक्त स्थान का बड़ा वर्ग है जिस पर वे सभी सहमत हैं। इसे स्वयंसिद्ध रूप से सबसे सरलता से समझा जा सकता है: इलेनबर्ग-स्टीनरोड स्वयंसिद्धों के रूप में ज्ञात गुणों की सूची है, और कोई भी दो निर्माण जो उन गुणों को साझा करते हैं, कम से कम सभी सीडब्ल्यू परिसरों पर सहमत होंगे। होमोलॉजी थ्योरी के साथ-साथ कोहोलॉजी थ्योरी के लिए स्वयंसिद्धों के संस्करण हैं। कुछ सिद्धांतों को विशेष टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए एकवचन कोहोलॉजी की गणना के लिए उपकरण के रूप में देखा जा सकता है, जैसे कि सरल जटिल के लिए सिंपल कोहोलॉजी, सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के लिए सेलुलर समरूपता और स्मूथ मैनिफोल्ड के लिए डी राम कोहोलॉजी।

कोहोलॉजी सिद्धांत के लिए ईलेनबर्ग-स्टीनरोड स्वयंसिद्धों में से आयाम स्वयंसिद्ध है: यदि पी बिंदु है, तो एचⁱ(P) = 0 सभी के लिए i ≠ 0. 1960 के आसपास, जॉर्ज डब्ल्यू. व्हाइटहेड ने देखा कि आयाम स्वयंसिद्ध को पूरी तरह से छोड़ना उपयोगी है: यह सामान्यीकृत समरूपता सिद्धांत या सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत की धारणा देता है, नीचे परिभाषित। सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत हैं जैसे कि के-थ्योरी या कॉम्प्लेक्स कोबोर्डिज्म जो टोपोलॉजिकल स्पेस के बारे में समृद्ध जानकारी देते हैं, जो एकवचन कोहोलॉजी से सीधे उपलब्ध नहीं है। (इस संदर्भ में, एकवचन कोहोलॉजी को अधिकांशतः साधारण कोहोलॉजी कहा जाता है।)

परिभाषा के अनुसार, 'सामान्यीकृत होमोलॉजी थ्योरी' फंक्शनलर्स h का क्रम है_i (पूर्णांक i के लिए) CW-टोपोलॉजिकल जोड़ी (X, A) की श्रेणी (गणित) से (इसलिए X CW कॉम्प्लेक्स है और A सबकॉम्प्लेक्स है) एबेलियन समूहों की श्रेणी में, साथ में प्राकृतिक परिवर्तन के साथ ∂_i: h_i(X, A) → h_i−1(A) सीमा समरूपता कहा जाता है (यहां एच_i−1(ए) एच के लिए आशुलिपि है_i−1(ए, ∅))। स्वयंसिद्ध हैं:

1. 'होमोटॉपी': अगर $f:(X,A)\to (Y,B)$ के लिए होमोटोपिक है $g:(X,A)\to (Y,B)$, तो समरूपता पर प्रेरित समरूपता समान हैं।
2. सटीकता: प्रत्येक जोड़ी (X,A) समावेशन के माध्यम से समरूपता में लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करती है f: A → X और g: (X,∅) → (X,A):
   $$\cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\to }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\to }}h_{i-1}(A)\to \cdots .$$
3. छांटना प्रमेय: यदि X उपपरिसरों A और B का मिलन है, तो समावेशन f: (A,A∩' 'बी) → (एक्स,बी) समरूपता को प्रेरित करता है
   $$h_{i}(A,A\cap B){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X,B)$$
   हर मैं के लिए
4. 'एडिटिविटी': अगर (एक्स, ए) जोड़े के सेट का अलग संघ है (एक्स_α,ए_α), फिर समावेशन (X_α,ए_α) → (एक्स, ए) मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग से समरूपता को प्रेरित करता है # मॉड्यूल के मनमाने परिवार के लिए निर्माण:
   $$\bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)$$
   हर मैं के लिए

मोटे तौर पर बोलकर, तीरों को उलट कर सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत के स्वयंसिद्धों को प्राप्त किया जाता है। अधिक विस्तार से, 'सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत' प्रतिपरिवर्ती फलनकार h का क्रम हैⁱ (पूर्णांक i के लिए) सीडब्ल्यू-जोड़े की श्रेणी से एबेलियन समूहों की श्रेणी में, साथ प्राकृतिक परिवर्तन के साथ d: hⁱ(A) → hⁱ⁺¹(X,A) सीमा समरूपता कहा जाता है (लेखन एचⁱ(ए) एच के लिएⁱ(ए,∅))। स्वयंसिद्ध हैं:

1. 'होमोटॉपी': होमोटोपिक मैप्स कोहोलॉजी पर समान समरूपता को प्रेरित करते हैं।
2. 'सटीकता': प्रत्येक जोड़ी (एक्स, ए) समावेशन के माध्यम से कोहोलॉजी में लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करती है: एफ: ए → एक्स और जी: (एक्स, ∅) → (एक्स, ए):
   $$\cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .$$
3. छांटना: यदि X उपपरिसर A और B का मिलन है, तो समावेशन f: (A,A∩ बी) → (एक्स,बी) समरूपता को प्रेरित करता है
   $$h^{i}(X,B){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A,A\cap B)$$
   हर मैं के लिए
4. 'एडिटिविटी': अगर (एक्स, ए) जोड़े के सेट का अलग संघ है (एक्स_α,ए_α), फिर समावेशन (X_α,ए_α) → (एक्स, ए) समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद # अनंत प्रत्यक्ष उत्पादों के लिए समरूपता को प्रेरित करता है:
   $$h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })$$
   हर मैं के लिए

एक स्पेक्ट्रम (टोपोलॉजी) सामान्यीकृत गृहविज्ञान सिद्धांत और सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत दोनों को निर्धारित करता है। ब्राउन, व्हाइटहेड और फ्रैंक एडम्स के मौलिक परिणाम का कहना है कि हर सामान्यीकृत समरूपता सिद्धांत स्पेक्ट्रम से आता है, और इसी तरह हर सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत स्पेक्ट्रम से आता है। यह ईलेनबर्ग-मैकलेन रिक्त स्थान द्वारा सामान्य कोहोलॉजी की प्रतिनिधित्व क्षमता को सामान्य करता है।

एक सूक्ष्म बिंदु यह है कि सीडब्ल्यू-जोड़े पर स्थिर होमोटोपी श्रेणी (स्पेक्ट्रा की होमोटोपी श्रेणी) से सामान्यीकृत होमोलॉजी सिद्धांतों का फ़ैक्टर समानता नहीं है, चूंकि यह समरूपता वर्गों पर आक्षेप देता है; स्थिर होमोटॉपी श्रेणी (जिसे प्रेत मानचित्र कहा जाता है) में गैर-शून्य मानचित्र हैं जो सीडब्ल्यू-जोड़े पर समरूपता सिद्धांतों के बीच शून्य मानचित्र को प्रेरित करते हैं। इसी तरह, सीडब्ल्यू-जोड़े पर स्थिर होमोटॉपी श्रेणी से सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांतों का फ़ैक्टर समानता नहीं है। यह स्थिर होमोटॉपी श्रेणी है, न कि ये अन्य श्रेणियां, जिनमें त्रिकोणीय श्रेणी होने जैसे अच्छे गुण हैं।

यदि कोई होमोलॉजी या कोहोलॉजी सिद्धांतों को सीडब्ल्यू परिसरों के बजाय सभी टोपोलॉजिकल स्पेस पर परिभाषित करना पसंद करता है, तो मानक दृष्टिकोण यह है कि स्वयंसिद्ध को सम्मिलित करना है कि हर कमजोर होमोटॉपी तुल्यता होमोलॉजी या कोहोलॉजी पर आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करती है। (यह एकवचन समरूपता या एकवचन कोहोलॉजी के लिए सही है, किन्तु उदाहरण के लिए, शीफ कोहोलॉजी के लिए नहीं।) चूंकि प्रत्येक स्थान सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स से कमजोर होमोटोपी तुल्यता को स्वीकार करता है, यह स्वयंसिद्ध सीडब्ल्यू पर संबंधित सिद्धांत के लिए सभी स्थानों पर होमोलॉजी या कोहोलॉजी सिद्धांतों को कम करता है। परिसरों।

सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांतों के कुछ उदाहरण हैं:

• स्थिर कोहोमोटॉपी समूह $\pi _{S}^{*}(X).$ संगत समरूपता सिद्धांत का अधिक बार उपयोग किया जाता है: स्थिर समरूपता सिद्धांत $\pi _{*}^{S}(X).$
• कोबोर्डवाद समूहों के विभिन्न प्रकार, स्थान से कई गुना तक के सभी मानचित्रों पर विचार करके स्थान का अध्ययन करने के आधार पर: गैर-उन्मुख सहवादवाद $MO^{*}(X)$ उन्मुख सहवाद $MSO^{*}(X),$ जटिल सहवादवाद $MU^{*}(X),$ और इसी तरह। होमोटॉपी सिद्धांत में जटिल सह-बोर्डवाद विशेष रूप से शक्तिशाली निकला है। यह डेनियल क्विलेन के प्रमेय के माध्यम से औपचारिक समूहों से निकटता से संबंधित है।
• टोपोलॉजिकल कश्मीर सिद्धांत के विभिन्न प्रकार, किसी स्थान पर सभी वेक्टर बंडलों पर विचार करके अध्ययन के आधार पर: $KO^{*}(X)$ (वास्तविक आवधिक के-सिद्धांत), $ko^{*}(X)$ (वास्तविक संयोजी के-सिद्धांत), $K^{*}(X)$ (जटिल आवधिक के-सिद्धांत), $ku^{*}(X)$ (जटिल संयोजी K-सिद्धांत), और इसी तरह।
• ब्राउन-पीटरसन कोहोलॉजी, मोराविया के-सिद्धांत , मोरवा ई-थ्योरी, और जटिल कोबोर्डिज़्म से निर्मित अन्य सिद्धांत।
• अण्डाकार कोहोलॉजी के विभिन्न स्वाद।

इनमें से कई सिद्धांतों में सामान्य कोहोलॉजी की तुलना में अधिक समृद्ध जानकारी होती है, किन्तु गणना करना कठिन होता है।

एक कोहोलॉजी सिद्धांत ई को 'गुणक' कहा जाता है यदि $E^{*}(X)$ प्रत्येक स्थान X के लिए ग्रेडेड रिंग की संरचना है। स्पेक्ट्रा की भाषा में, रिंग स्पेक्ट्रम की कई और सटीक धारणाएँ हैं, जैसे कि अत्यधिक संरचित रिंग स्पेक्ट्रम|E_∞ रिंग स्पेक्ट्रम, जहां उत्पाद मजबूत अर्थ में क्रमविनिमेय और साहचर्य है।

अन्य कोहोलॉजी सिद्धांत

एक व्यापक अर्थ में कोहोलॉजी सिद्धांत (टोपोलॉजिकल स्पेस के बजाय अन्य बीजगणितीय या ज्यामितीय संरचनाओं के अपरिवर्तनीय) में सम्मिलित हैं:

• बीजगणितीय के-सिद्धांत
• आंद्रे-क्विलन कोहोलॉजी
• परिबद्ध कोहोलॉजी
• बीआरएसटी कोहोलॉजी
• चेक कोहोलॉजी
• सुसंगत शीफ कोहोलॉजी
• क्रिस्टलीय कोहोलॉजी
• चक्रीय कोहोलॉजी
• डेलिग्न कोहोलॉजी
• समतुल्य कोहोलॉजी
• एटले कोहोलॉजी
• विस्तार समूह
• फ्लैट कोहोलॉजी
• फ्लोर होमोलॉजी
• गैलोइस कोहोलॉजी
• समूह कोहोलॉजी
• होशचाइल्ड कोहोलॉजी
• इंटरसेक्शन कोहोलॉजी
• खोवानोव समरूपता
• झूठ बीजगणित कोहोलॉजी
• स्थानीय कोहोलॉजी
• प्रेरक कोहोलॉजी
• गैर-अबेलियन कोहोलॉजी
• क्वांटम कोहोलॉजी

यह भी देखें

• जटिल-उन्मुख कोहोलॉजी सिद्धांत

संदर्भ

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• "Cohomology", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994].
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