समाकलन का स्थिरांक

कलन में, समाकलन का स्थिरांक, जिसे अक्सर निरूपित किया जाता है $C$ (या $c$), एक स्थिर शब्द है जो किसी फ़ंक्शन के antiderivative में जोड़ा जाता है $f(x)$ इंगित करने के लिए कि का अनिश्चितकालीन अभिन्न $f(x)$ (यानी, के सभी प्रतिपक्षी का सेट (गणित)। $f(x)$), एक जुड़े हुए सेट पर, केवल एक योज्य स्थिरांक तक परिभाषित किया गया है। यह स्थिरांक एंटीडेरिवेटिव्स के निर्माण में निहित अस्पष्टता को व्यक्त करता है।

अधिक विशेष रूप से, यदि कोई फ़ंक्शन $f(x)$ एक अंतराल (गणित) पर परिभाषित किया गया है, और $F(x)$ का प्रतिपक्षी है $f(x)$, फिर के सभी प्रतिपक्षी का सेट $f(x)$ कार्यों द्वारा दिया जाता है $F(x)+C$, कहाँ $C$ एक मनमाना स्थिरांक है (जिसका अर्थ है कि कोई भी मान $C$ करना होगा $F(x)+C$ एक वैध प्रतिपक्षी)। इसी कारण से, अनिश्चित समाकल को अक्सर इस रूप में लिखा जाता है ${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C}$, हालांकि एकीकरण के स्थिरांक को कभी-कभी सरलता के लिए समाकलों की सूची में छोड़ा जा सकता है।

उत्पत्ति

किसी भी निरंतर कार्य का व्युत्पन्न शून्य है। एक बार किसी को एक प्रतिपक्षी मिल जाता है $F(x)$ एक समारोह के लिए $f(x)$, किसी स्थिरांक को जोड़ना या घटाना $C$ हमें एक और प्रतिपक्षी देगा, क्योंकि ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x)}$. स्थिरांक यह व्यक्त करने का एक तरीका है कि कम से कम एक प्रतिपक्षी के साथ प्रत्येक कार्य में उनकी अनंत संख्या होगी।

होने देना $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ और $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ दो हर जगह अलग-अलग कार्य हो। लगता है कि $F\,'(x)=G\,'(x)$ प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए। फिर वहाँ एक वास्तविक संख्या मौजूद है $C$ ऐसा है कि $F(x)-G(x)=C$ प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए।

इसे सिद्ध करने के लिए, ध्यान दें $[F(x)-G(x)]'=0$. इसलिए $F$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $F-G$, और $G$ निरंतर कार्य द्वारा $0$, लक्ष्य को साबित करने के लिए कि एक हर जगह अलग-अलग फ़ंक्शन जिसका व्युत्पन्न हमेशा शून्य होता है, स्थिर होना चाहिए:

एक वास्तविक संख्या चुनें $a$, और जाने $C=F(a)$. किसी भी एक्स के लिए, कलन का मौलिक प्रमेय, एक साथ इस धारणा के साथ कि व्युत्पन्न $F$ गायब हो जाता है, जिसका अर्थ है

${\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\ dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F(x)-C\\&F(x)=C\\\end{aligned}}$

जिससे यह प्रदर्शित हो रहा है $F$ एक निरंतर कार्य है।

इस प्रमाण में दो तथ्य महत्वपूर्ण हैं। सबसे पहले, वास्तविक रेखा जुड़ा हुआ स्थान है। यदि वास्तविक रेखा जुड़ी नहीं होती, तो हम हमेशा अपने निश्चित a से किसी दिए गए x में एकीकृत नहीं हो पाते। उदाहरण के लिए, यदि हम अंतराल [0,1] और [2,3] के मिलन पर परिभाषित कार्यों के लिए पूछें, और यदि 0 थे, तो 0 से 3 तक एकीकृत करना संभव नहीं होगा, क्योंकि कार्य 1 और 2 के बीच परिभाषित नहीं है। यहां, दो स्थिरांक होंगे, एक फंक्शन डोमेन के प्रत्येक कनेक्टेड स्थान के लिए। सामान्य तौर पर, स्थिरांक को स्थानीय रूप से स्थिर कार्यों के साथ बदलकर, हम इस प्रमेय को डिस्कनेक्ट किए गए डोमेन तक बढ़ा सकते हैं। उदाहरण के लिए, एकीकरण के दो स्थिरांक हैं ${\textstyle \int dx/x}$, और असीम रूप से कई के लिए ${\textstyle \int \tan x\,dx}$, उदाहरण के लिए, 1/x के इंटीग्रल का सामान्य रूप है:

$\int {\frac {dx}{x}}={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$

दूसरा, $F$ और $G$ हर जगह अलग-अलग माना जाता था। अगर $F$ और $G$ एक बिंदु पर भी अवकलनीय नहीं हैं, तो प्रमेय विफल हो सकता है। एक उदाहरण के रूप में, चलो $F(x)$ हैवीसाइड स्टेप फंक्शन हो, जो कि x के ऋणात्मक मानों के लिए शून्य है और x के गैर-ऋणात्मक मानों के लिए एक है, और चलो $G(x)=0$. फिर की व्युत्पत्ति $F$ शून्य है जहाँ इसे परिभाषित किया गया है, और इसका व्युत्पन्न है $G$ हमेशा शून्य होता है। फिर भी यह स्पष्ट है $F$ और $G$ एक स्थिरांक से भिन्न नहीं है, भले ही यह मान लिया जाए $F$ और $G$ हर जगह निरंतर हैं और लगभग हर जगह अलग-अलग प्रमेय अभी भी विफल रहता है। उदाहरण के तौर पर लें $F$ कैंटर समारोह होने के लिए और फिर चलो $G=0$.

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि कोई इसका प्रतिपक्षी खोजना चाहता है $\cos(x)$. ऐसा ही एक प्रतिपक्षी है $\sin(x)$. एक और है $\sin(x)+1$. एक तीसरा है $\sin(x)-\pi$. इनमें से प्रत्येक का व्युत्पन्न है $\cos(x)$, इसलिए वे सभी के विरोधी हैं $\cos(x)$.

यह पता चला है कि स्थिरांक जोड़ना और घटाना एकमात्र लचीलापन है जो हमारे पास एक ही फ़ंक्शन के विभिन्न एंटीडेरिवेटिव खोजने में है। अर्थात्, सभी प्रतिपक्षी स्थिरांक तक समान होते हैं। इस तथ्य को व्यक्त करने के लिए $\cos(x)$, हम लिखते हैं:

$\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.$

की जगह $C$ एक संख्या से एक प्रतिपक्षी उत्पादन होगा। लेखन से $C$ हालांकि, एक संख्या के बजाय, के सभी संभावित प्रतिपक्षी का एक संक्षिप्त विवरण $\cos(x)$ प्राप्त होना। $C$ एकीकरण का स्थिरांक कहा जाता है। यह आसानी से निर्धारित किया जाता है कि ये सभी कार्य वास्तव में इसके विरोधी हैं $\cos(x)$:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}\sin(x)+{\frac {d}{dx}}C\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}$

आवश्यकता

पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि स्थिरांक अनावश्यक है, क्योंकि इसे शून्य पर सेट किया जा सकता है। इसके अलावा, कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए निश्चित समाकलों का मूल्यांकन करते समय, स्थिरांक हमेशा स्वयं के साथ रद्द हो जाएगा।

हालाँकि, स्थिरांक को शून्य पर सेट करने का प्रयास करना हमेशा समझ में नहीं आता है। उदाहरण के लिए, $2\sin(x)\cos(x)$ कम से कम तीन अलग-अलग तरीकों से एकीकृत किया जा सकता है:

${\begin{alignedat}{4}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-\cos ^{2}(x)+C=&&\sin ^{2}(x)-1+C=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)-{\frac {1}{2}}+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx=&&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C=&&\sin ^{2}(x)+C=&&-\cos ^{2}(x)+C\\\end{alignedat}}$

तो सेटिंग $C$ शून्य पर अभी भी एक स्थिरांक छोड़ सकते हैं। इसका मतलब यह है कि, किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए, कोई सरल प्रतिपक्षी नहीं है।

सेटिंग के साथ एक और समस्या $C$ शून्य के बराबर यह है कि कभी-कभी हम एक ऐसे प्रतिपक्षी को खोजना चाहते हैं जिसका एक दिए गए बिंदु पर दिया गया मान हो (जैसा कि प्रारंभिक मूल्य समस्या में है)। उदाहरण के लिए, का प्रतिपक्षी प्राप्त करने के लिए $\cos(x)$ जिसका x = π पर मान 100 है, तो का केवल एक मान है $C$ काम करेगा (इस मामले में $C=100$).

अंतर समीकरणों की भाषा में इस प्रतिबंध को फिर से परिभाषित किया जा सकता है। किसी फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न ढूँढना $f(x)$ अवकल समीकरण को हल करने के समान है ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}$. किसी भी अंतर समीकरण के कई समाधान होंगे, और प्रत्येक स्थिरांक एक अच्छी तरह से प्रस्तुत प्रारंभिक मूल्य समस्या के अद्वितीय समाधान का प्रतिनिधित्व करता है। यह शर्त लगाना कि हमारा प्रतिअवकलज x = π पर मान 100 लेता है, एक प्रारंभिक शर्त है। प्रत्येक प्रारंभिक स्थिति एक और केवल एक मान से मेल खाती है $C$, तो बिना $C$ समस्या का समाधान संभव नहीं होगा।

अमूर्त बीजगणित से आने वाला एक और औचित्य है। वास्तविक संख्याओं पर सभी (उपयुक्त) वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का स्थान एक सदिश स्थल और अंतर ऑपरेटर है ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ एक रैखिक संकारक है। परिचालक ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ किसी फ़ंक्शन को शून्य पर मैप करता है यदि और केवल यदि वह फ़ंक्शन स्थिर है। नतीजतन, की गिरी (बीजगणित)। ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ सभी स्थिर कार्यों का स्थान है। किसी दिए गए फ़ंक्शन की पूर्व-छवि खोजने के लिए अनिश्चितकालीन एकीकरण की मात्रा। किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए कोई कैनोनिकल प्री-इमेज नहीं है, लेकिन ऐसी सभी प्री-इमेज का सेट एक सह समुच्चय बनाता है। एक स्थिरांक चुनना सहसमुच्चय के एक अवयव को चुनने के समान है। इस संदर्भ में, एक प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने की व्याख्या प्रारंभिक स्थितियों द्वारा दिए गए hyperplane में पड़े रहने के रूप में की जाती है।