क्रमपरिवर्तन समूह

गणित में, एक क्रमचय समूह एक समूह (गणित) G होता है जिसके तत्व किसी दिए गए सेट (गणित) M के क्रमचय होते हैं और जिसका समूह संचालन G में क्रमचय का संयोजन होता है (जो सेट 'M से खुद के लिए विशेषण कार्यों के रूप में सोचा जाता है)। एक सेट M के सभी क्रमपरिवर्तन का समूह M का सममित समूह है, जिसे अक्सर Sym(M) के रूप में लिखा जाता है। शब्द क्रमचय समूह इस प्रकार सममित समूह का एक उपसमूह है। अगर M = {1, 2, ..., n} तो Sym(M) को आमतौर पर S से दर्शाया जाता हैn, और n अक्षरों पर सममित समूह कहा जा सकता है।

केली के प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक समूह कुछ क्रमचय समूह के लिए तुल्याकारी है।

जिस तरह से एक क्रमचय समूह के तत्व सेट के तत्वों को क्रमबद्ध करते हैं, उसे समूह क्रिया (गणित) कहा जाता है। समूह क्रियाओं का अनुप्रयोग सममिति, संयोजक और गणित, भौतिकी और रसायन विज्ञान की कई अन्य शाखाओं के अध्ययन में होता है।

1974 में अर्नो रूबिक द्वारा आविष्कार की गई लोकप्रिय पहेली रूबिक क्यूब का उपयोग क्रमचय समूहों के चित्रण के रूप में किया गया है। घन की एक परत के प्रत्येक घुमाव के परिणामस्वरूप सतह के रंगों का क्रमपरिवर्तन होता है और यह समूह का सदस्य होता है। घन के क्रमपरिवर्तन समूह को रुबिक का घन समूह कहा जाता है।

बुनियादी गुण और शब्दावली

एक सममित समूह का एक उपसमूह होने के नाते, समूह (गणित) सिद्धांतों को संतुष्ट करने के लिए क्रमपरिवर्तन के एक सेट के लिए आवश्यक है और क्रमपरिवर्तन समूह यह है कि इसमें पहचान क्रमचय शामिल है, इसमें शामिल प्रत्येक क्रमचय का व्युत्क्रम तत्व, और बंद होना इसके क्रमपरिवर्तन की कार्य संरचना के तहत। परिमित समूहों की एक सामान्य संपत्ति का अर्थ है कि सममित समूह का एक परिमित गैर-रिक्त उपसमुच्चय फिर से एक समूह है यदि और केवल अगर यह समूह संचालन के तहत बंद है। एक परिमित सेट के क्रमचय के समूह की डिग्री सेट में प्रमुखता है। समूह का क्रम (किसी भी प्रकार का) समूह में तत्वों (कार्डिनैलिटी) की संख्या है। Lagrange के प्रमेय (समूह सिद्धांत) द्वारा | Lagrange के प्रमेय, डिग्री n के किसी भी परिमित क्रमचय समूह का क्रम n को विभाजित करना चाहिए! चूँकि n-कारख़ाने का सममित समूह S का क्रम है_n.

नोटेशन

Main article: Permutation § Notations

चूँकि क्रमचय एक समुच्चय के द्विभाजन हैं, उन्हें ऑगस्टिन-लुई कॉची के दो-पंक्ति संकेतन द्वारा दर्शाया जा सकता है। यह संकेतन पहली पंक्ति में एम के प्रत्येक तत्व को सूचीबद्ध करता है, और प्रत्येक तत्व के लिए, दूसरी पंक्ति में इसके नीचे क्रमचय के तहत इसकी छवि। अगर $\sigma$ सेट का क्रमपरिवर्तन है $M=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ तब,

$\sigma ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\\sigma (x_{1})&\sigma (x_{2})&\sigma (x_{3})&\cdots &\sigma (x_{n})\end{pmatrix}}.$

उदाहरण के लिए, समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} के एक विशेष क्रमचय को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}};$

इसका अर्थ है कि σ σ(1) = 2, σ(2) = 5, σ(3) = 4, σ(4) = 3, और σ(5) = 1 को संतुष्ट करता है। पहली पंक्ति में विशेष क्रम, इसलिए उसी क्रमचय को इस रूप में भी लिखा जा सकता है

$\sigma ={\begin{pmatrix}3&2&5&1&4\\4&5&1&2&3\end{pmatrix}}.$

क्रमपरिवर्तन भी अक्सर चक्र संकेतन (चक्रीय रूप) में लिखे जाते हैं इसलिए कि सेट M = {1, 2, 3, 4} दिया गया है, g(1) = 2, g(2) = 4, g(4) = 1 और g(3) = 3 के साथ M का क्रमपरिवर्तन g (1, 2, 4) (3), या अधिक सामान्यतः, (1, 2, 4) के रूप में लिखा जाएगा क्योंकि 3 अपरिवर्तित छोड़ दिया गया है; यदि वस्तुओं को एकल अक्षरों या अंकों से दर्शाया जाता है, तो अल्पविराम और रिक्त स्थान को भी हटाया जा सकता है, और हमारे पास (124) जैसा एक अंकन है। ऊपर 2-पंक्ति संकेतन में लिखे गए क्रमचय को चक्र संकेतन के रूप में लिखा जाएगा $\sigma =(125)(34).$

क्रमपरिवर्तनों का संघटन-समूह उत्पाद

दो क्रमपरिवर्तन के उत्पाद को उनके कार्य संरचना के रूप में कार्यों के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए $\sigma \cdot \pi$ वह फ़ंक्शन है जो सेट के किसी तत्व x को मैप करता है $\sigma (\pi (x))$. ध्यान दें कि जिस तरह से फ़ंक्शन रचना लिखी जाती है, उसके कारण सबसे सही क्रमपरिवर्तन पहले तर्क पर लागू होता है। कुछ लेखक सबसे बाएँ कारक को पहले अभिनय करना पसंद करते हैं, लेकिन इसके लिए क्रमपरिवर्तन को उनके तर्क के दाईं ओर लिखा जाना चाहिए, अक्सर एक ऊपर की ओर लिखा हुआ के रूप में, इसलिए क्रमचय $\sigma$ तत्व पर कार्य करता है $x$ छवि में परिणाम $x^{\sigma }$. इस सम्मेलन के साथ, उत्पाद द्वारा दिया जाता है $x^{\sigma \cdot \pi }=(x^{\sigma })^{\pi }$. हालांकि, यह क्रमपरिवर्तन को गुणा करने के लिए एक अलग नियम देता है। क्रमपरिवर्तन समूह साहित्य में आमतौर पर इस सम्मेलन का उपयोग किया जाता है, लेकिन यह लेख उस सम्मेलन का उपयोग करता है जहां सबसे सही क्रमपरिवर्तन पहले लागू किया जाता है।

चूँकि दो द्विविभाजकों का संघटन सदैव एक अन्य आक्षेप देता है, दो क्रमपरिवर्तनों का गुणनफल पुनः एक क्रमचय होता है। दो-पंक्ति संकेतन में, दो क्रमचय का गुणनफल दूसरे (सबसे बाएँ) क्रमचय के स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करके प्राप्त किया जाता है ताकि इसकी पहली पंक्ति पहली (दाहिनी ओर) क्रमचय की दूसरी पंक्ति के समान हो। उत्पाद को तब संशोधित दूसरे क्रमपरिवर्तन की दूसरी पंक्ति पर पहली क्रमचय की पहली पंक्ति के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, दिए गए क्रमचय,

$P={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&3&5\end{pmatrix}}\quad {\text{ and }}\quad Q={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&2&1\end{pmatrix}},$

उत्पाद क्यूपी है:

$QP={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&3&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&4&1&3&5\\4&2&5&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&3&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&5&3&1\end{pmatrix}}.$

क्रमपरिवर्तन की संरचना, जब वे चक्र संकेतन में लिखे जाते हैं, तो दो क्रमपरिवर्तन (बाईं ओर लिखे गए दूसरे क्रमांक के साथ) को जोड़कर प्राप्त किया जाता है और फिर वांछित होने पर एक असम्बद्ध चक्र रूप को सरल बनाया जाता है। इस प्रकार, उपरोक्त उत्पाद द्वारा दिया जाएगा:

$Q\cdot P=(15)(24)\cdot (1243)=(1435).$

चूँकि फ़ंक्शन संरचना साहचर्य है, इसलिए क्रमपरिवर्तन पर उत्पाद संचालन है: $(\sigma \cdot \pi )\cdot \rho =\sigma \cdot (\pi \cdot \rho )$. इसलिए, दो या दो से अधिक क्रमचयों के गुणनफल आमतौर पर व्यक्त समूहन में कोष्ठक जोड़े बिना लिखे जाते हैं; वे आम तौर पर गुणा को इंगित करने के लिए एक बिंदु या अन्य चिह्न के बिना लिखे जाते हैं (पिछले उदाहरण के बिंदुओं को जोर देने के लिए जोड़ा गया था, इसलिए इसे केवल इस रूप में लिखा जाएगा $\sigma \pi \rho$).

तटस्थ तत्व और व्युत्क्रम

पहचान क्रमचय, जो सेट के हर तत्व को अपने आप में मैप करता है, इस उत्पाद के लिए तटस्थ तत्व है। दो-पंक्ति संकेतन में, पहचान है

${\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots &n\\1&2&3&\cdots &n\end{pmatrix}}.$

चक्र संकेतन में, ई = (1)(2)(3)...(n) जिसे परिपाटी द्वारा भी केवल (1) या यहां तक ​​कि () द्वारा निरूपित किया जाता है। चूँकि आक्षेपों का व्युत्क्रम फलन होता है, इसलिए क्रमपरिवर्तन और व्युत्क्रम σ होता है^{σ का −1} फिर से एक क्रमचय है। स्पष्ट रूप से, जब भी σ(x)=y किसी के पास भी σ होता है⁻¹(y)=x. दो-पंक्ति संकेतन में व्युत्क्रम दो पंक्तियों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जा सकता है (और स्तंभों को क्रमबद्ध करना यदि कोई चाहता है कि पहली पंक्ति किसी दिए गए क्रम में हो)। उदाहरण के लिए

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}2&5&4&3&1\\1&2&3&4&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&1&4&3&2\end{pmatrix}}.$

एक चक्र का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, हम इसके तत्वों के क्रम को उलट देते हैं। इस प्रकार,

$(125)^{-1}=(521)=(152).$

चक्रों के गुणनफल का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, हम पहले चक्रों के क्रम को उल्टा करते हैं, और फिर हम प्रत्येक का व्युत्क्रम ऊपर की तरह लेते हैं। इस प्रकार,

$[(125)(34)]^{-1}=(34)^{-1}(125)^{-1}=(43)(521)=(34)(152).$

एक साहचर्य उत्पाद, एक पहचान तत्व, और इसके सभी तत्वों के व्युत्क्रम होने से, M के सभी क्रमपरिवर्तनों का एक समूह (गणित), Sym(M) में सेट हो जाता है; एक क्रमपरिवर्तन समूह।

उदाहरण

निम्नलिखित सेट जी पर विचार करें₁ समुच्चय M = {1, 2, 3, 4} के क्रमचयों की संख्या:

• ई = (1)(2)(3)(4) = (1)
  • यह पहचान है, तुच्छ क्रमचय जो प्रत्येक तत्व को ठीक करता है।
• ए = (1 2)(3)(4) = (1 2)
  • यह क्रमचय 1 और 2 को आपस में बदल देता है, और 3 और 4 को ठीक कर देता है।
• बी = (1)(2)(3 4) = (3 4)
  • पिछले वाले की तरह, लेकिन 3 और 4 का आदान-प्रदान करना, और दूसरों को ठीक करना।
• अब = (1 2) (3 4)
  • यह क्रमचय, जो पिछले दो का संयोजन है, एक साथ 1 का 2 से, और 3 का 4 से आदान-प्रदान करता है।

जी₁ एक समूह बनाता है, क्योंकि आ = बीबी = ई, बीए = एबी, और अबाब = ई। यह क्रमचय समूह, एक अमूर्त समूह के रूप में, क्लेन समूह V है₄.

एक अन्य उदाहरण के रूप में समूहों के उदाहरणों पर विचार करें # एक वर्ग का समरूपता समूह: आदेश 8 का डायहेड्रल समूह। वर्ग के शीर्षों को 1, 2, 3 और 4 लेबल करें (शीर्ष बाएं कोने में 1 से शुरू होने वाले वर्ग के चारों ओर वामावर्त ). समरूपता को शीर्षों की छवियों द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो क्रमपरिवर्तन द्वारा वर्णित किया जा सकता है। वर्ग के केंद्र के बारे में 90° (घड़ी की विपरीत दिशा में) घूर्णन को क्रमचय (1234) द्वारा वर्णित किया गया है। 180° और 270° घुमाव क्रमशः (13)(24) और (1432) द्वारा दिए गए हैं। केंद्र के माध्यम से क्षैतिज रेखा के बारे में प्रतिबिंब (12) (34) द्वारा दिया गया है और संबंधित लंबवत रेखा प्रतिबिंब (14) (23) है। 1,3-विकर्ण रेखा के बारे में प्रतिबिंब (24) है और 2,4-विकर्ण रेखा के बारे में प्रतिबिंब (13) है। एकमात्र शेष समरूपता पहचान (1)(2)(3)(4) है। इस क्रमचय समूह को सार समूह के रूप में जाना जाता है, क्रम 8 के डायहेड्रल समूह के रूप में।

समूह क्रियाएं

Main article: Group action (mathematics)

एक वर्ग के समरूपता समूह के उपरोक्त उदाहरण में, क्रमपरिवर्तन समरूपता के समूह द्वारा प्रेरित वर्ग के शीर्षों की गति का वर्णन करता है। यह कहना सामान्य है कि ये समूह तत्व वर्ग के शीर्षों के समुच्चय पर कार्य कर रहे हैं। समूह क्रिया को औपचारिक रूप से परिभाषित करके इस विचार को सटीक बनाया जा सकता है। G को एक समूह (गणित) और M को एक गैर-खाली सेट (गणित) होने दें। M पर G की एक 'क्रिया' एक फलन f: G × M → M ऐसा है कि

• f(1, x) = x, M में सभी x के लिए (1 समूह G का पहचान तत्व (तटस्थ) तत्व है), और
• f(g, f(h, x)) = f(gh, x), G में सभी g,h और M में सभी x के लिए।

शर्तों की इस जोड़ी को यह कहते हुए भी व्यक्त किया जा सकता है कि कार्रवाई G से Sym(M) में एक समूह समरूपता को प्रेरित करती है।ऐसी किसी भी समाकारिता को M पर G का (क्रमपरिवर्तन) निरूपण कहा जाता है।

किसी क्रमचय समूह के लिए, जो क्रिया (g, x) → g(x) भेजती है, उसे M पर G की 'प्राकृतिक क्रिया' कहा जाता है।वर्ग के समरूपता समूह के उदाहरण में, शिखरों के सेट पर समूह की क्रिया प्राकृतिक क्रिया है। हालाँकि, यह समूह वर्ग में चार त्रिकोणों के सेट पर भी एक क्रिया को प्रेरित करता है, जो हैं: टी₁ = 234, टी₂ = 134, टी₃ = 124 और टी₄ = 123. यह दो विकर्णों पर भी कार्य करता है: d₁ = 13 और डी₂ = 24.

Group element	Action on triangles	Action on diagonals
(1)	(1)	(1)
(1234)	(t1 t2 t3 t4)	(d1 d2)
(13)(24)	(t1 t3)(t2 t4)	(1)
(1432)	(t1 t4 t3 t2)	(d1 d2)
(12)(34)	(t1 t2)(t3 t4)	(d1 d2)
(14)(23)	(t1 t4)(t2 t3)	(d1 d2)
(13)	(t1 t3)	(1)
(24)	(t2 t4)	(1)

सकर्मक क्रियाएं = समुच्चय M पर समूह G की क्रिया को सकर्मक कहा जाता है, यदि M के प्रत्येक दो तत्वों s, t के लिए, कुछ समूह तत्व g ऐसा हो कि g(s) = t। समान रूप से, समुच्चय M, G की क्रिया के तहत एकल कक्षा (समूह सिद्धांत) बनाता है। उदाहरणों में से, {1, 2, 3, 4} के क्रमपरिवर्तन का समूह {e, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)} सकर्मक नहीं है (कोई समूह तत्व नहीं लेता है 1 से 3) लेकिन एक वर्ग की सममितियों का समूह शीर्षों पर सकर्मक होता है।

आदिम क्रियाएं

Main article: Primitive permutation group

एक गैर-रिक्त परिमित समुच्चय M पर सकर्मक रूप से कार्य करने वाला एक क्रमपरिवर्तन समूह G अभेद्य है यदि M का कुछ गैर-तुच्छ सेट विभाजन है जो G की क्रिया द्वारा संरक्षित है, जहां गैर-तुच्छ का अर्थ है कि विभाजन सिंगलटन सेट में विभाजन नहीं है और न ही विभाजन केवल एक भाग के साथ। अन्यथा, यदि G सकर्मक है, लेकिन M के किसी भी गैर-तुच्छ विभाजन को संरक्षित नहीं करता है, तो समूह G आदिम है।

उदाहरण के लिए, किसी वर्ग की सममितियों का समूह शीर्षों पर अपरिमेय होता है: यदि उन्हें चक्रीय क्रम में 1, 2, 3, 4 क्रमांकित किया जाता है, तो विभाजन {{1, 3}, {2, 4}} विपरीत जोड़े में प्रत्येक समूह तत्व द्वारा संरक्षित किया जाता है। दूसरी ओर, सेट एम पर पूर्ण सममित समूह हमेशा आदिम होता है।

केली प्रमेय

Main article: Cayley's theorem

कोई भी समूह G स्वयं पर कार्य कर सकता है (समूह के तत्वों को समुच्चय M के रूप में माना जाता है) कई तरीकों से। विशेष रूप से, समूह में (बाएं) गुणन द्वारा दी गई एक नियमित समूह क्रिया होती है। अर्थात, G में सभी g और x के लिए f(g, x) = gx। प्रत्येक नियत g के लिए, फलन f_g(x) = gx, G पर एक आक्षेप है और इसलिए G के तत्वों के समुच्चय का एक क्रमचय है। G के प्रत्येक तत्व को इस तरह एक क्रमचय के रूप में माना जा सकता है और इसलिए G एक क्रमचय समूह के लिए समरूप है; यह केली के प्रमेय की सामग्री है।

उदाहरण के लिए, समूह जी पर विचार करें₁ ऊपर दिए गए सेट {1, 2, 3, 4} पर कार्य करना। मान लीजिए कि इस समूह के तत्वों को e, a, b और c = ab = ba द्वारा निरूपित किया जाता है। जी. की कार्रवाई₁ स्वयं केली के प्रमेय में वर्णित निम्नलिखित क्रमचय प्रतिनिधित्व देता है:

एफ_e ↦ (ई) (ए) (बी) (सी)

एफ_a ↦ (ईए) (बीसी)

एफ_b ↦ (ईबी) (और)

एफ_c ↦ (ec)(ab).

क्रमचय समूहों की समरूपता

यदि G और H क्रिया f के साथ सेट X और Y पर दो क्रमचय समूह हैं₁ और एफ₂ क्रमशः, तो हम कहते हैं कि जी और एच क्रमचय आइसोमोर्फिक हैं (या क्रमपरिवर्तन समूहों के रूप में समाकृतिकता ) यदि कोई आक्षेप मौजूद है λ : X → Y और एक समूह समरूपता ψ : G → H ऐसा है कि

λ (एफ₁(जी, एक्स)) = एफ₂(ψ(g), λ(x)) G में सभी g और X में x के लिए।

अगर X = Y यह G और H के समान है जो कि Sym(X) के उपसमूहों के रूप में संयुग्मित है। विशेष मामला जहां G = H और ψ एक पहचान मानचित्र है जो एक समूह की समतुल्य क्रियाओं की अवधारणा को जन्म देता है। ऊपर दिए गए वर्ग के समरूपता के उदाहरण में, सेट {1,2,3,4} पर प्राकृतिक क्रिया त्रिकोण पर कार्रवाई के बराबर है। सेट के बीच की आपत्ति λ द्वारा दी गई है i ↦ t_i. समूह जी की प्राकृतिक क्रिया₁ ऊपर और स्वयं पर इसकी क्रिया (बाएं गुणन के माध्यम से) समतुल्य नहीं है क्योंकि प्राकृतिक क्रिया के निश्चित बिंदु होते हैं और दूसरी क्रिया नहीं होती है।

ओलिगोमॉर्फिक समूह

जब एक समूह G एक सेट (गणित) S पर कार्य करता है, तो क्रिया स्वाभाविक रूप से कार्टेशियन उत्पाद S तक विस्तारित हो सकती है^{S का n}, जिसमें S के तत्वों के n-टुपल्स शामिल हैं: n-ट्यूपल (s) पर एक तत्व g की क्रिया₁, ..., एस_n) द्वारा दिया गया है

जी (एस₁, ..., एस_n) = (जी (एस₁), ..., जी (एस_n)).

समूह G को ओलिगोमोर्फिक कहा जाता है यदि S पर क्रिया होⁿ में प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए केवल परिमित रूप से कई कक्षाएँ होती हैं। (यदि S परिमित है तो यह स्वत: है, इसलिए S अनंत होने पर यह शब्द विशेष रूप से रुचिकर है।)

ओलिगोमॉर्फिक समूहों में रुचि आंशिक रूप से मॉडल सिद्धांत के लिए उनके आवेदन पर आधारित है, उदाहरण के लिए जब स्वचालित रूप से श्रेणीबद्ध सिद्धांत में automorphism पर विचार किया जाता है।

इतिहास

Main article: History of group theory

समूह (गणित) का अध्ययन मूल रूप से क्रमचय समूहों की समझ से विकसित हुआ। बहुपद समीकरणों के बीजगणितीय समाधानों पर अपने काम में 1770 में Lagrange द्वारा क्रमचय का गहन अध्ययन किया गया था। यह विषय फला-फूला और 19वीं शताब्दी के मध्य तक क्रमचय समूहों का एक सुविकसित सिद्धांत मौजूद था, जिसे केमिली जॉर्डन ने अपनी पुस्तक ट्रेटे डेस सबस्टिट्यूशंस एट डेस इक्वेशन अल्जेब्रिक्स ऑफ 1870 में संहिताबद्ध किया। बदले में, जॉर्डन की पुस्तक बचे हुए कागजात पर आधारित थी। 1832 में Évariste Galois द्वारा।

जब आर्थर केली ने एक सार समूह की अवधारणा पेश की, तो यह तुरंत स्पष्ट नहीं था कि यह ज्ञात क्रमपरिवर्तन समूहों (जिसकी परिभाषा आधुनिक से अलग थी) की तुलना में वस्तुओं का एक बड़ा संग्रह था या नहीं। केली ने साबित किया कि केली के प्रमेय में दो अवधारणाएं समान थीं। क्रमपरिवर्तन समूहों पर कई अध्यायों वाला एक अन्य शास्त्रीय पाठ 1911 के विलियम बर्नसाइड के परिमित आदेश के समूहों का सिद्धांत है। बीसवीं शताब्दी की पहली छमाही सामान्य रूप से समूह सिद्धांत के अध्ययन में एक परती अवधि थी, लेकिन 1950 के दशक में H. Wielandt द्वारा क्रमपरिवर्तन समूहों में रुचि को पुनर्जीवित किया गया था, जिनके जर्मन व्याख्यान नोट्स को 1964 में परिमित क्रमपरिवर्तन समूह के रूप में पुनर्मुद्रित किया गया था।

यह भी देखें

• 2- सकर्मक समूह
• रैंक 3 क्रमचय समूह
• मैथ्यू समूह

संदर्भ

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice-Hall, ISBN 0-13-004763-5
• Cameron, Peter J. (1994), Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms, Cambridge University Press, ISBN 0-521-45761-0
• Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996), Permutation Groups, Graduate Texts in Mathematics 163), Springer-Verlag, ISBN 0-387-94599-7
• Rotman, Joseph J. (2006), A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.), Pearson Prentice-Hall, ISBN 0-13-186267-7

अग्रिम पठन

• Akos Seress. Permutation group algorithms. Cambridge Tracts in Mathematics, 152. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
• Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller and Peter M. Neumann. Notes on Infinite Permutation Groups. Number 1698 in Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
• Peter J. Cameron. Permutation Groups. LMS Student Text 45. Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
• Peter J. Cameron. Oligomorphic Permutation Groups. Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

बाहरी संबंध

• "Permutation group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Alexander Hulpke. GAP Data Library "Transitive Permutation Groups".