सुसंगत अनुमानक

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{T₁, T₂, T₃, ...} पैरामीटर θ के लिए अनुमानकों का अनुक्रम है₀, जिसका सही मान 4 है। यह क्रम सुसंगत है: अनुमानक वास्तविक मान θ के समीप अधिक से अधिक केंद्रित हो रहे हैं₀; साथ ही, ये अनुमानक पक्षपाती हैं। अनुक्रम का सीमित वितरण एक पतित यादृच्छिक चर है जो θ के बराबर है₀ संभाव्यता 1 के साथ।

आँकड़ों में, एक सुसंगत अनुमानक या स्पर्शोन्मुख रूप से सुसंगत अनुमानक एक अनुमानक है - एक पैरामीटर 'θ₀- के अनुमानों की गणना के लिए एक नियम है - जिसमें गुण होने के कारण उपयोग किए जाने वाले डेटा बिंदुओं की संख्या अनिश्चित काल तक बढ़ जाती है, अनुमानों के परिणामी क्रम में संभाव्यता में अभिसरण θ₀ में परिवर्तित हो जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि अनुमानों के वितरण अनुमानित पैरामीटर के वास्तविक मान के समीप अधिक से अधिक केंद्रित हो जाते हैं, जिससे कि अनुमानक के यादृच्छिक रूप से θ₀ के समीप होने की संभावना एक में परिवर्तित हो जाती है।

अभ्यास में एक आकार n के उपलब्ध प्रतिदर्श के एक फलन के रूप में एक अनुमानक का निर्माण करता है, और फिर कल्पना करता है कि डेटा एकत्र करने और प्रतिदर्श विज्ञापन अनन्तता का विस्तार करने में सक्षम है। इस प्रकार से n द्वारा अनुक्रमित अनुमानों का एक क्रम प्राप्त होगा, और स्थिरता एक गुण है जो प्रतिदर्श आकार "अनंत तक बढ़ती है" के रूप में होती है। यदि अनुमानों के अनुक्रम को गणितीय रूप से संभाव्यता में वास्तविक मान θ₀ में अभिसरण करने के लिए दिखाया जा सकता है, तो इसे एक सुसंगत अनुमानक कहा जाता है; अन्यथा अनुमानक को असंगत कहा जाता है।

यहाँ परिभाषित संगति को कभी-कभी मन्द संगति के रूप में संदर्भित किया जाता है। जब हम संभाव्यता में अभिसरण को लगभग सुनिश्चित अभिसरण से प्रतिस्थापित करते हैं, तो अनुमानक को दृढ़ता से सुसंगत कहा जाता है। संगति पूर्वाग्रह से संबंधित है; पूर्वाग्रह बनाम निरंतरता देखें।

परिभाषा

औपचारिक रूप से बोलते हुए, एक अनुमानक T_nपैरामीटर के θ को 'सुसंगत' कहा जाता है, यदि यह प्रायिकता में पैरामीटर के वास्तविक मान में अभिसरण करता है:

${\underset {n\to \infty }{\operatorname {plim} }}\;T_{n}=\theta .$

अर्थात यदि, सभी ε> 0 के लिए

$\lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}|T_{n}-\theta |>\varepsilon {\big )}=0.$

एक अधिक कठोर परिभाषा इस तथ्य को ध्यान में रखती है कि θ वास्तव में अज्ञात है, और इस प्रकार संभाव्यता में अभिसरण इस पैरामीटर के प्रत्येक संभव मान के लिए होना चाहिए। मान लीजिए {p_θ: θ ∈ Θ} वितरण का एक वर्ग है (पैरामीट्रिक मॉडल), और X^θ = {X₁, X₂, … : X_i ~ p_θ} वितरण P_θ से एक अनंत सांख्यिकीय प्रतिदर्श है। माना { T_n(X^θ) } कुछ पैरामीटर g(θ) के लिए अनुमानकों का अनुक्रम हो। सामान्यतः T_nएक प्रतिदर्श के पूर्व n अवलोकनों पर आधारित होगा। फिर इस क्रम {T_n} को ( मन्द ) 'सुसंगत' कहा जाता है यदि

${\underset {n\to \infty }{\operatorname {plim} }}\;T_{n}(X^{\theta })=g(\theta ),\ \ {\text{for all}}\ \theta \in \Theta .$

यह परिभाषा केवल θ के बजाय जी (θ) का उपयोग करती है, क्योंकि अक्सर एक निश्चित फ़ंक्शन या अंतर्निहित पैरामीटर के उप-वेक्टर का अनुमान लगाने में रुचि होती है। अगले उदाहरण में हम मॉडल के स्थान पैरामीटर का अनुमान लगाते हैं, लेकिन पैमाने का नहीं:

उदाहरण

=== एक सामान्य यादृच्छिक चर === का प्रतिदर्श माध्य

मान लीजिए कि किसी के समीप स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत) अवलोकनों का एक क्रम है {X₁, X₂, ...} सामान्य बंटन से | सामान्य N(μ, s²) वितरण। पूर्व n प्रेक्षणों के आधार पर μ का अनुमान लगाने के लिए, प्रतिदर्श माध्य का उपयोग किया जा सकता है: T_n= (X₁ + ... + X_n)/एन। यह प्रतिदर्श आकार n द्वारा अनुक्रमित अनुमानकों के अनुक्रम को परिभाषित करता है।

सामान्य बंटन के गुणों से, हम इस आँकड़े का प्रतिचयन वितरण जानते हैं: T_n औसत μ और विचरण σ के साथ ही सामान्य रूप से वितरित किया जाता है²/एन। समान रूप से, $\scriptstyle (T_{n}-\mu )/(\sigma /{\sqrt {n}})$ एक मानक सामान्य वितरण है:

$\Pr \!\left[\,|T_{n}-\mu |\geq \varepsilon \,\right]=\Pr \!\left[{\frac {{\sqrt {n}}\,{\big |}T_{n}-\mu {\big |}}{\sigma }}\geq {\sqrt {n}}\varepsilon /\sigma \right]=2\left(1-\Phi \left({\frac {{\sqrt {n}}\,\varepsilon }{\sigma }}\right)\right)\to 0$

जैसा कि n अनंत की ओर जाता है, किसी निश्चित के लिए ε > 0। इसलिए, अनुक्रम T_nप्रतिदर्श माध्य जनसंख्या माध्य के लिए सुसंगत है μ (इसे याद करते हुए $\Phi$ सामान्य बंटन का संचयी बंटन फलन है)।

संगति स्थापित करना

स्पर्शोन्मुख संगति की धारणा बहुत समीप है, प्रायिकता में अभिसरण की धारणा का लगभग पर्यायवाची है। जैसे, कोई भी प्रमेय, लेम्मा, या गुण जो संभाव्यता में अभिसरण स्थापित करती है, का उपयोग संगति को साबित करने के लिए किया जा सकता है। ऐसे कई उपकरण मौजूद हैं:

• परिभाषा से सीधे संगति प्रदर्शित करने के लिए असमानता का उपयोग किया जा सकता है

$\Pr \!{\big [}h(T_{n}-\theta )\geq \varepsilon {\big ]}\leq {\frac {\operatorname {E} {\big [}h(T_{n}-\theta ){\big ]}}{h(\varepsilon )}},$

फ़ंक्शन h के लिए सबसे सामान्य विकल्प या तो निरपेक्ष मान है (जिस स्थिति में इसे मार्कोव असमानता के रूप में जाना जाता है), या द्विघात फ़ंक्शन (क्रमशः चेबीशेव की असमानता)।

• एक अन्य उपयोगी परिणाम निरंतर मानचित्रण प्रमेय है: यदि T_nθ के लिए संगत है और g(·) बिंदु θ पर निरंतर एक वास्तविक-मानवान फलन है, फिर g(T_n) g(θ) के लिए संगत होगा:

$T_{n}\ \xrightarrow {p} \ \theta \ \quad \Rightarrow \quad g(T_{n})\ \xrightarrow {p} \ g(\theta )$

• स्लटस्की के प्रमेय का उपयोग कई अलग-अलग अनुमानकों, या गैर-यादृच्छिक अभिसरण अनुक्रम वाले अनुमानक को संयोजित करने के लिए किया जा सकता है। यदि T_n→<सुप स्टाइल= पोजीशन:रिलेटिव;टॉप:-.2em;लेफ्ट:-1em; >डीα, और एस_n→<सुप स्टाइल= पोजीशन:रिलेटिव;टॉप:-.2em;लेफ्ट:-1em; >pβ, फिर

${\begin{aligned}&T_{n}+S_{n}\ \xrightarrow {d} \ \alpha +\beta ,\\&T_{n}S_{n}\ \xrightarrow {d} \ \alpha \beta ,\\&T_{n}/S_{n}\ \xrightarrow {d} \ \alpha /\beta ,{\text{ provided that }}\beta \neq 0\end{aligned}}$

• यदि अनुमानक T_nएक स्पष्ट सूत्र द्वारा दिया गया है, तो सबसे अधिक संभावना है कि सूत्र यादृच्छिक चर के योगों को नियोजित करेगा, और फिर बड़ी संख्या के नियम का उपयोग किया जा सकता है: अनुक्रम {X के लिए_n} यादृच्छिक चर और उपयुक्त परिस्थितियों में,

${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}g(X_{i})\ \xrightarrow {p} \ \operatorname {E} [\,g(X)\,]$

• यदि अनुमानक T_nनिहित रूप से परिभाषित किया गया है, उदाहरण के लिए एक मान के रूप में जो निश्चित उद्देश्य फलन को अधिकतम करता है (चरम अनुमानक देखें), फिर एक अधिक जटिल तर्क जिसमें स्टोकेस्टिक समानता शामिल है, का उपयोग किया जाना है।

पूर्वाग्रह बनाम संगति

निष्पक्ष लेकिन सुसंगत नहीं

एक अनुमानक पक्षपाती अनुमानक हो सकता है लेकिन सुसंगत नहीं। उदाहरण के लिए, एक iid प्रतिदर्श के लिए {x
₁,..., x
_n} कोई T का उपयोग कर सकता है
_n(X) = X
_n तात्पर्य ई [X] के अनुमानक के रूप में। ध्यान दें कि यहाँ T का प्रतिदर्श वितरण
_n अंतर्निहित वितरण के समान है (किसी भी n के लिए, क्योंकि यह सभी बिंदुओं को छोड़कर अंतिम को अनदेखा करता है), इसलिए E[T
_n(X)] = E[X] और यह निष्पक्ष है, लेकिन यह किसी भी मान में परिवर्तित नहीं होता है।

हालाँकि, यदि अनुमानकों का एक क्रम निष्पक्ष है और एक मान में परिवर्तित हो जाता है, तो यह सुसंगत है, क्योंकि इसे सही मान पर अभिसरण करना चाहिए।

पक्षपाती लेकिन सुसंगत

वैकल्पिक रूप से, एक अनुमानक पक्षपाती लेकिन सुसंगत हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि माध्य द्वारा अनुमानित किया जाता है ${1 \over n}\sum x_{i}+{1 \over n}$ यह पक्षपाती है, लेकिन जैसा $n\rightarrow \infty$, यह सही मान तक पहुँचता है, और इसलिए यह संगत है।

महत्वपूर्ण उदाहरणों में प्रतिदर्श विचरण और प्रतिदर्श मानक विचलन शामिल हैं। बेसेल के सुधार के बिना (अर्थात, प्रतिदर्श आकार का उपयोग करते समय $n$ स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी) के बजाय $n-1$), ये दोनों नकारात्मक रूप से पक्षपाती लेकिन सुसंगत अनुमानक हैं। सुधार के साथ, सही प्रतिदर्श विचलन निष्पक्ष है, जबकि सही प्रतिदर्श मानक विचलन अभी भी पक्षपाती है, लेकिन कम है, और दोनों अभी भी सुसंगत हैं: प्रतिदर्श आकार बढ़ने पर सुधार कारक 1 में परिवर्तित हो जाता है।

यहाँ एक और उदाहरण है। होने देना $T_{n}$ के लिए अनुमानकों का एक क्रम हो $\theta$।

$\Pr(T_{n})={\begin{cases}1-1/n,&{\mbox{if }}\,T_{n}=\theta \\1/n,&{\mbox{if }}\,T_{n}=n\delta +\theta \end{cases}}$

हम देख सकते हैं कि $T_{n}\xrightarrow {p} \theta$, $\operatorname {E} [T_{n}]=\theta +\delta$, और पूर्वाग्रह शून्य में परिवर्तित नहीं होता है।

यह भी देखें

• कुशल अनुमानक
• फिशर की संगति - वैकल्पिक, हालांकि अनुमान लगाने वालों के लिए कंसिस्टेंसी की अवधारणा का शायद ही कभी इस्तेमाल किया जाता है
• प्रतिगमन मन्द पड़ना
• सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण
• वाद्य चर अनुमान

संदर्भ

• Amemiya, Takeshi (1985). Advanced Econometrics. Harvard University Press. ISBN 0-674-00560-0.
• Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998). Theory of Point Estimation (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98502-6.
• Newey, W. K.; McFadden, D. (1994). "Chapter 36: Large sample estimation and hypothesis testing". In Robert F. Engle; Daniel L. McFadden (eds.). Handbook of Econometrics. Vol. 4. Elsevier Science. ISBN 0-444-88766-0. S2CID 29436457.
• Nikulin, M. S. (2001) [1994], "Consistent estimator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Sober, E. (1988), "Likelihood and convergence", Philosophy of Science, 55 (2): 228–237, doi:10.1086/289429.

बाहरी संबंध

• Econometrics lecture (topic: unbiased vs. consistent) on YouTube by Mark Thoma