रोटेशन ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी)

For other uses, see Rotation operator (disambiguation).

यह आलेख ROTATION ऑपरेटर (भौतिकी) से संबंधित है, क्योंकि यह क्वांटम यांत्रिकी में प्रकट होता है।

क्वांटम यांत्रिक घुमाव

हर भौतिक घुमाव के साथ $R$, हम एक क्वांटम मैकेनिकल रोटेशन ऑपरेटर को पोस्ट करते हैं $D(R)$ जो क्वांटम यांत्रिक अवस्थाओं को घुमाता है।

$$|\alpha \rangle _{R}=D(R)|\alpha \rangle$$

रोटेशन के जनरेटर के संदर्भ में,

$$D(\mathbf {\hat {n}} ,\phi )=\exp \left(-i\phi {\frac {\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {J} }{\hbar }}\right),$$

कहाँ $\mathbf {\hat {n}}$ घूर्णन अक्ष है, $\mathbf {J}$ कोणीय गति ऑपरेटर है, और $\hbar$ प्लैंक स्थिरांक # मान है।

अनुवाद ऑपरेटर

Main article: Translation operator (quantum mechanics)

रोटेशन ऑपरेटर (भौतिकी) $\operatorname {R} (z,\theta )$, पहले तर्क के साथ $z$ रोटेशन कार्तीय समन्वय प्रणाली का संकेत और दूसरा $\theta$ रोटेशन कोण, विस्थापन ऑपरेटर के माध्यम से काम कर सकता है $\operatorname {T} (a)$ जैसा कि नीचे समझाया गया है, असीम घुमावों के लिए। यही कारण है कि, यह पहली बार दिखाया गया है कि ट्रांसलेशन ऑपरेटर स्थिति x पर एक कण पर कैसे कार्य कर रहा है (कण तब कितना राज्य में है) $|x\rangle$ क्वांटम यांत्रिकी के अनुसार)।

स्थिति पर कण का अनुवाद $x$ ठीक जगह लेना $x+a$: $\operatorname {T} (a)|x\rangle =|x+a\rangle$ क्योंकि 0 का अनुवाद कण की स्थिति को नहीं बदलता है, हमारे पास (1 अर्थ के साथ पहचान कार्य, जो कुछ भी नहीं करता है):

$$\operatorname {T} (0)=1$$

$$\operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)|x\rangle =\operatorname {T} (a)|x+da\rangle =|x+a+da\rangle =\operatorname {T} (a+da)|x\rangle \Rightarrow \operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a+da)$$

टेलर श्रृंखला विकास देता है:

$$\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (0)+{\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}da+\cdots =1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da$$

साथ

$$p_{x}=i\hbar {\frac {d\operatorname {T} (0)}{da}}$$

इससे निम्न है:

$$\operatorname {T} (a+da)=\operatorname {T} (a)\operatorname {T} (da)=\operatorname {T} (a)\left(1-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}da\right)\Rightarrow {\frac {\operatorname {T} (a+da)-\operatorname {T} (a)}{da}}={\frac {d\operatorname {T} }{da}}=-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}\operatorname {T} (a)$$

यह हल के साथ अवकल समीकरण है

$$\operatorname {T} (a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{x}a\right).$$

इसके अतिरिक्त, हैमिल्टन के समीकरण मान लीजिए $H$ से स्वतंत्र है $x$ पद। क्योंकि अनुवाद ऑपरेटर के संदर्भ में लिखा जा सकता है $p_{x}$, और $[p_{x},H]=0$, हम वह जानते हैं $[H,\operatorname {T} (a)]=0.$ इस परिणाम का अर्थ है कि सिस्टम के लिए रैखिक गति संरक्षित है।

कक्षीय कोणीय गति के संबंध में

Further information: Bloch sphere § Rotations

शास्त्रीय रूप से हमारे पास कोणीय गति है $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .$ क्वांटम यांत्रिकी पर विचार करने में यह वही है $\mathbf {r}$ और $\mathbf {p}$ ऑपरेटरों के रूप में। शास्त्रीय रूप से, एक असीम घूर्णन $dt$ वेक्टर का $\mathbf {r} =(x,y,z)$ के बारे में $z$-अक्ष को $\mathbf {r} '=(x',y',z)$ छोड़कर $z$ अपरिवर्तित को निम्नलिखित अपरिमेय अनुवादों (टेलर श्रृंखला का उपयोग करके) द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}x'&=r\cos(t+dt)=x-y\,dt+\cdots \\y'&=r\sin(t+dt)=y+x\,dt+\cdots \end{aligned}}$$

इससे राज्यों के लिए निम्नानुसार है:

$$\operatorname {R} (z,dt)|r\rangle =\operatorname {R} (z,dt)|x,y,z\rangle =|x-y\,dt,y+x\,dt,z\rangle =\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)|x,y,z\rangle =\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)|r\rangle$$

और इसके परिणामस्वरूप:

$$\operatorname {R} (z,dt)=\operatorname {T} _{x}(-y\,dt)\operatorname {T} _{y}(x\,dt)$$

का उपयोग करते हुए

$$T_{k}(a)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}p_{k}a\right)$$

ऊपर से साथ $k=x,y$ और टेलर विस्तार हमें मिलता है:

$$\operatorname {R} (z,dt)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(xp_{y}-yp_{x}\right)dt\right]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt\right)=1-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}dt+\cdots$$

साथ $L_{z}=xp_{y}-yp_{x}$ $z$शास्त्रीय क्रॉस उत्पाद के अनुसार कोणीय गति का घटक।

कोण के लिए रोटेशन प्राप्त करने के लिए $t$, हम स्थिति का उपयोग करके निम्नलिखित अंतर समीकरण का निर्माण करते हैं $\operatorname {R} (z,0)=1$:

$${\begin{aligned}&\operatorname {R} (z,t+dt)=\operatorname {R} (z,t)\operatorname {R} (z,dt)\\[1.1ex]\Rightarrow {}&{\frac {d\operatorname {R} }{dt}}={\frac {\operatorname {R} (z,t+dt)-\operatorname {R} (z,t)}{dt}}=\operatorname {R} (z,t){\frac {\operatorname {R} (z,dt)-1}{dt}}=-{\frac {i}{\hbar }}L_{z}\operatorname {R} (z,t)\\[1.1ex]\Rightarrow {}&\operatorname {R} (z,t)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\,t\,L_{z}\right)\end{aligned}}$$

अनुवाद ऑपरेटर के समान, अगर हमें हैमिल्टनियन दिया जाता है $H$ जो घूर्णी रूप से सममित है $z$-एक्सिस, $[L_{z},H]=0$ तात्पर्य $[\operatorname {R} (z,t),H]=0$. इस परिणाम का अर्थ है कि कोणीय संवेग संरक्षित है।

स्पिन कोणीय गति के बारे में उदाहरण के लिए $y$-अक्ष हम अभी बदलते हैं $L_{z}$ साथ ${\textstyle S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y}}$ (कहाँ $\sigma _{y}$ पॉल मैट्रिसेस है) और हमें स्पिन (भौतिकी) रोटेशन ऑपरेटर मिलता है

$$\operatorname {D} (y,t)=\exp \left(-i{\frac {t}{2}}\sigma _{y}\right).$$

स्पिन ऑपरेटर और क्वांटम राज्यों पर प्रभाव

Main article: Spin (physics) § Rotations

See also: Rotation group SO(3) § A note on Lie algebra, and Change of basis § Endomorphisms

ऑपरेटरों को मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। रैखिक बीजगणित से कोई जानता है कि एक निश्चित मैट्रिक्स $A$ परिवर्तन के माध्यम से दूसरे आधार (रैखिक बीजगणित) में प्रदर्शित किया जा सकता है

$$A'=PAP^{-1}$$

कहाँ $P$ आधार परिवर्तन मैट्रिक्स है। यदि वैक्टर $b$ क्रमश: $c$ z-अक्ष क्रमशः एक आधार पर दूसरे आधार पर हैं, वे एक निश्चित कोण के साथ y-अक्ष के लंबवत हैं $t$ उन दोनों के बीच। स्पिन ऑपरेटर $S_{b}$ पहले आधार में फिर स्पिन ऑपरेटर में तब्दील किया जा सकता है $S_{c}$ अन्य आधार के निम्नलिखित परिवर्तन के माध्यम से:

$$S_{c}=\operatorname {D} (y,t)S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)$$

मानक क्वांटम यांत्रिकी से हमारे पास ज्ञात परिणाम हैं ${\textstyle S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ और ${\textstyle S_{c}|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle }$ कहाँ $|b+\rangle$ और $|c+\rangle$ उनके संबंधित आधारों में शीर्ष स्पिन हैं। तो हमारे पास:

$${\frac {\hbar }{2}}|c+\rangle =S_{c}|c+\rangle =\operatorname {D} (y,t)S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle \Rightarrow$$

$$S_{b}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\operatorname {D} ^{-1}(y,t)|c+\rangle$$

इसके साथ तुलना ${\textstyle S_{b}|b+\rangle ={\frac {\hbar }{2}}|b+\rangle }$ पैदावार $|b+\rangle =D^{-1}(y,t)|c+\rangle$.

इसका अर्थ है कि यदि राज्य $|c+\rangle$ के बारे में घुमाया जाता है $y$-अक्ष एक कोण से $t$, यह राज्य बन जाता है $|b+\rangle$, एक परिणाम जिसे मनमाना अक्षों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

यह भी देखें

• क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता
• गोलाकार आधार
• ऑप्टिकल चरण अंतरिक्ष

संदर्भ

• L.D. Landau and E.M. Lifshitz: Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, Pergamon Press, 1985
• P.A.M. Dirac: The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, 1958
• R.P. Feynman, R.B. Leighton and M. Sands: The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley, 1965