व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)

गणित में, व्युत्पत्ति एक क्षेत्र पर बीजगणित पर एक कार्य है जो व्युत्पन्न ऑपरेटर की कुछ विशेषताओं को सामान्यीकृत करता है। विशेष रूप से, एक वलय (गणित) या एक क्षेत्र (गणित) K के ऊपर एक बीजगणित A दिया गया है, एक K-व्युत्पत्ति एक K-रैखिक मानचित्र है D : A → A जो उत्पाद नियम को संतुष्ट करता है|लीबनिज का नियम:

$D(ab)=aD(b)+D(a)b.$

अधिक आम तौर पर, यदि एम एक ए-बिमॉड्यूल है, तो एक के-रैखिक मानचित्र D : A → M जो लीबनिज कानून को संतुष्ट करता है उसे व्युत्पत्ति भी कहा जाता है। ए के सभी के-व्युत्पन्नों का संग्रह डेर द्वारा निरूपित किया जाता है_K(ए)। ए-मॉड्यूल एम में ए के के-डेरिवेशन का संग्रह द्वारा दर्शाया गया है Der_K(A, M).

गणित के विविध क्षेत्रों में कई अलग-अलग संदर्भों में व्युत्पत्तियाँ होती हैं। एक चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न आर पर वास्तविक-मूल्यवान अलग-अलग कार्यों के बीजगणित पर एक आर-व्युत्पत्ति है^एन. सदिश क्षेत्र के संबंध में झूठ व्युत्पन्न एक अलग करने योग्य कई गुना पर अलग-अलग कार्यों के बीजगणित पर एक 'आर'-व्युत्पन्न है; अधिक आम तौर पर यह कई गुना के टेंसर बीजगणित पर एक व्युत्पत्ति है। यह इस प्रकार है कि झूठ बीजगणित का आसन्न प्रतिनिधित्व उस बीजगणित पर एक व्युत्पत्ति है। Pincherle व्युत्पन्न सार बीजगणित में व्युत्पत्ति का एक उदाहरण है। यदि बीजगणित ए गैर-अनुवर्ती है, तो बीजगणित ए के एक तत्व के संबंध में कम्यूटेटर ए के एक रैखिक एंडोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है, जो कि के पर एक व्युत्पत्ति है।

$[FG,N]=[F,N]G+F[G,N]$

कहाँ $[\cdot ,N]$ के संबंध में कम्यूटेटर है $N$. एक विशिष्ट व्युत्पत्ति d से लैस एक बीजगणित एक अंतर बीजगणित बनाता है, और यह अपने आप में अंतर गैलोज़ सिद्धांत जैसे क्षेत्रों में अध्ययन का एक महत्वपूर्ण उद्देश्य है।

गुण

यदि ए एक के-बीजगणित है, के लिए एक अंगूठी है, और D: A → A एक के-व्युत्पत्ति है, फिर

• यदि A की इकाई 1 है, तो D(1) = D(1²) = 2D(1), ताकि D(1) = 0. इस प्रकार K-रैखिकता द्वारा, D(k) = 0 सभी के लिए k ∈ K.
• यदि A क्रमविनिमेय है, तो D(x²) = xD(x) + D(x)x = 2xD(x), और D(x)ⁿ) = nxⁿ⁻¹D(x), लीबनिज़ नियम द्वारा।
• अधिक आम तौर पर, किसी के लिए x₁, x₂, …, x_n ∈ A, यह गणितीय प्रेरण द्वारा अनुसरण करता है

$D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}$

जो है ${\textstyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}$ अगर सभी के लिए i, D(x_i) के साथ यात्रा करता है $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1}$.

• एन> 1 के लिए, डीⁿ एक व्युत्पत्ति नहीं है, इसके बजाय एक उच्च-क्रम लीबनिज़ नियम को संतुष्ट करता है:

$D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{n-k}(u)\cdot D^{k}(v).$

इसके अलावा, यदि एम एक ए-बिमॉड्यूल है, तो लिखें

$\operatorname {Der} _{K}(A,M)$

ए से एम तक के-डेरिवेशन के सेट के लिए।

• Der_K(A, M) K के ऊपर एक मॉड्यूल (गणित) है।
• डेर_K(ए) कम्यूटेटर द्वारा परिभाषित झूठ ब्रैकेट के साथ एक लेट बीजगणित है:

$[D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.$

चूंकि यह आसानी से सत्यापित है कि दो व्युत्पत्तियों का कम्यूटेटर फिर से एक व्युत्पत्ति है।

• एक ए-मॉड्यूल है Ω_A/K (कह्लर अवकलन कहा जाता है) K-व्युत्पत्ति के साथ d: A → Ω_A/K जिसके माध्यम से कोई व्युत्पत्ति D: A → M कारक। यही है, किसी भी व्युत्पत्ति डी के लिए ए-मॉड्यूल नक्शा है φ साथ

$D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M$

पत्राचार $D\leftrightarrow \varphi$ ए-मॉड्यूल का एक समरूपता है:

$\operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)$

• अगर k ⊂ K एक सबरिंग है, तो A को k-बीजगणित संरचना विरासत में मिली है, इसलिए इसमें एक समावेश है

$\operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),$

चूँकि कोई भी K-व्युत्पत्ति एक fortiori k-व्युत्पत्ति है।

वर्गीकृत व्युत्पत्ति

एक वर्गीकृत बीजगणित ए और ग्रेड के एक सजातीय रैखिक मानचित्र डी को देखते हुए |D| ए पर, डी एक 'सजातीय व्युत्पत्ति' है अगर

${D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}$

कम्यूटेटर कारक के लिए प्रत्येक सजातीय तत्व ए और ए के प्रत्येक तत्व बी के लिए ε = ±1. एक श्रेणीबद्ध व्युत्पत्ति समान ε वाले सजातीय व्युत्पत्तियों का योग है।

अगर ε = 1, यह परिभाषा सामान्य मामले में कम हो जाती है। अगर ε = −1, तथापि, तब

${D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}$ विषम के लिए |D|, और D को 'एंटी-व्युत्पत्ति' कहा जाता है।

विरोधी व्युत्पत्तियों के उदाहरणों में बाहरी व्युत्पन्न और विभेदक रूपों पर अभिनय करने वाले आंतरिक उत्पाद शामिल हैं।

algebra की श्रेणीबद्ध व्युत्पत्ति (अर्थात 'Z'₂-श्रेणीबद्ध बीजगणित) को अक्सर सुपरडेरिवेशन कहा जाता है।

संबंधित धारणाएं

हस्से-श्मिट व्युत्पत्ति K-बीजगणित समाकारिता हैं

$A\to A[[t]].$

मानचित्र के साथ आगे रचना करना जो एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला भेजता है $\sum a_{n}t^{n}$ गुणांक के लिए $a_{1}$ व्युत्पत्ति देता है।

यह भी देखें

• अंतर ज्यामिति व्युत्पत्ति में टेंगेंट स्पेस#डेफिनिशन वाया व्युत्पत्ति है
• काहलर अंतर
• डेरिवेटिव से नफरत है
• p-व्युत्पत्ति|p-व्युत्पन्न
• विर्टिंगर डेरिवेटिव
• घातीय मानचित्र का व्युत्पन्न

संदर्भ

• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Elements of mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Eisenbud, David (1999), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry (3rd. ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8.
• Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra, Mathematics lecture note series, W. A. Benjamin, ISBN 978-0-8053-7025-6.
• Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W. (1993), Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag.