व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)

गणित में, अवकलज बीजगणित पर फलन है जो अवकलज संकारक की कुछ विशेषताओं को सामान्यीकृत करता है। विशेष रूप से, वलय (गणित) या क्षेत्र (गणित) K के ऊपर बीजगणित A दिया गया है, K-अवकलज एक K-रैखिक मानचित्र है D : A → A जो लीबनिज का नियम को आपूर्ति करता है|:

$D(ab)=aD(b)+D(a)b.$

अधिक आम तौर पर, यदि M एक A-द्विप्रतिरूपक है, तो K-रैखिक मानचित्र D : A → M जो लीबनिज नियम को आपूर्ति करता है उसे अवकलज भी कहा जाता है। A के सभी K-अवकलज का संग्रह Der_K(A) द्वारा निरूपित किया जाता है। A-मॉड्यूल M में A के K-अवकलज का संग्रह Der_K(A, M) द्वारा दर्शाया गया है।

गणित के विविध क्षेत्रों में कई अलग-अलग संदर्भों में अवकलज होती हैं। एक चर के संबंध में आंशिक अवकलज Rⁿ पर वास्तविक- मान अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक R-अवकलज । एक सदिश क्षेत्र के संबंध में लाई अवकलज अलग-अलग डिफरेंशियल मैनिफोल्ड पर अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक R-अवकलज है; आम तौर पर यह कई गुना अधिक के प्रदिश बीजगणित पर अवकलज है। यह इस प्रकार है कि लाई बीजगणित का संलग्न प्रतिरूपण उस बीजगणित पर अवकलज है। पिंचरले अवकलज अमूर्त बीजगणित में अवकलज का एक उदाहरण है। यदि बीजगणित A गैर विनिमेय है, तो बीजगणित A के तत्व के संबंध में कम्यूटेटर A के रैखिक अंतःरूपता को परिभाषित करता है, जो कि K पर अवकलज है।

$[FG,N]=[F,N]G+F[G,N]$

जहाँ $[\cdot ,N]$ के संबंध में $N$ कम्यूटेटर है। विशिष्ट अवकलज d से लैस बीजगणित अवकल बीजगणित बनाता है, और यह अपने आप में अवकल गैलोज़ सिद्धांत जैसे क्षेत्रों में अध्ययन का महत्वपूर्ण उद्देश्य है।

गुण

यदि A एक के-बीजगणित है, के लिए एक अंगूठी है, और D: A → A एक के-अवकलज है, फिर

• यदि A की इकाई 1 है, तो D(1) = D(1²) = 2D(1), ताकि D(1) = 0. इस प्रकार K-रैखिकता द्वारा, D(k) = 0 सभी के लिए k ∈ K.
• यदि A क्रमविनिमेय है, तो D(x²) = xD(x) + D(x)x = 2xD(x), और D(x)ⁿ) = nxⁿ⁻¹D(x), लीबनिज़ नियम द्वारा।
• अधिक आम तौर पर, किसी के लिए x₁, x₂, …, x_n ∈ A, यह गणितीय प्रेरण द्वारा अनुसरण करता है

$D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}$

जो है ${\textstyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}$ अगर सभी के लिए i, D(x_i) के साथ यात्रा करता है $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1}$.

• एन> 1 के लिए, डीⁿ एक अवकलज नहीं है, इसके बजाय एक उच्च-क्रम लीबनिज़ नियम को आपूर्ति करता है:

$D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{n-k}(u)\cdot D^{k}(v).$

इसके अलावा, यदि M एक A-द्विप्रतिरूपक है, तो लिखें

$\operatorname {Der} _{K}(A,M)$

A से M तक K-अवकलज के सेट के लिए।

• Der_K(A, M) K के ऊपर एक मॉड्यूल (गणित) है।
• डेर_K(A) कम्यूटेटर द्वारा परिभाषित लाई ब्रैकेट के साथ एक लेट बीजगणित है:

$[D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.$

चूंकि यह आसानी से सत्यापित है कि दो व्युत्पत्तियों का कम्यूटेटर फिर से एक अवकलज है।

• एक A-मॉड्यूल है Ω_A/K (कह्लर अवकलन कहा जाता है) K-अवकलज के साथ d: A → Ω_A/K जिसके माध्यम से कोई अवकलज D: A → M कारक। यही है, किसी भी अवकलज डी के लिए A-मॉड्यूल नक्शा है φ साथ

$D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M$

पत्राचार $D\leftrightarrow \varphi$ A-मॉड्यूल का एक समरूपता है:

$\operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)$

• अगर k ⊂ K एक सबरिंग है, तो A को k-बीजगणित संरचना विरासत में मिली है, इसलिए इसमें एक समावेश है

$\operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),$

चूँकि कोई भी K-अवकलज एक fortiori k-अवकलज है।

वर्गीकृत अवकलज

एक वर्गीकृत बीजगणित A और ग्रेड के एक सजातीय रैखिक मानचित्र डी को देखते हुए |D| A पर, डी एक 'सजातीय अवकलज' है अगर

${D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}$

कम्यूटेटर कारक के लिए प्रत्येक सजातीय तत्व A और A के प्रत्येक तत्व बी के लिए ε = ±1. एक श्रेणीबद्ध अवकलज समान ε वाले सजातीय व्युत्पत्तियों का योग है।

अगर ε = 1, यह परिभाषा सामान्य मामले में कम हो जाती है। अगर ε = −1, तथापि, तब

${D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}$ विषम के लिए |D|, और D को 'एंटी-अवकलज' कहा जाता है।

विरोधी व्युत्पत्तियों के उदाहरणों में बाहरी अवकलज और विभेदक रूपों पर अभिनय करने वाले आंतरिक उत्पाद शामिल हैं।

algebra की श्रेणीबद्ध अवकलज (अर्थात 'Z'₂-श्रेणीबद्ध बीजगणित) को अक्सर सुपरडेरिवेशन कहा जाता है।

संबंधित धारणाएं

हस्से-श्मिट अवकलज K-बीजगणित समाकारिता हैं

$A\to A[[t]].$

मानचित्र के साथ आगे रचना करना जो एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला भेजता है $\sum a_{n}t^{n}$ गुणांक के लिए $a_{1}$ अवकलज देता है।

यह भी देखें

• अवकल ज्यामिति अवकलज में टेंगेंट स्पेस#डेफिनिशन वाया अवकलज है
• काहलर अवकल
• डेरिवेटिव से नफरत है
• p-अवकलज|p-अवकलज
• विर्टिंगर डेरिवेटिव
• घातीय मानचित्र का अवकलज

संदर्भ

• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Elements of mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Eisenbud, David (1999), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry (3rd. ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8.
• Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra, Mathematics lecture note series, W. A. Benjamin, ISBN 978-0-8053-7025-6.
• Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W. (1993), Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag.