हर्मिटियन संलग्न

गणित में, विशेष रूप से संकारक सिद्धांत में, प्रत्येक रैखिक संकारक $A$ आंतरिक उत्पाद स्थान पर एक हर्मिटियन आसन्न (या आसन्न) ऑपरेटर को परिभाषित करता है $A^{*}$ नियमानुसार उस स्थान पर

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,$

कहाँ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ सदिश स्थान पर आंतरिक उत्पाद है।

आसन्न को हर्मिटियन संयुग्म या केवल हर्मिटियन भी कहा जा सकता है चार्ल्स हर्मिट के बाद। इसे अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है A^† भौतिकी जैसे क्षेत्रों में, खासकर जब क्वांटम यांत्रिकी में ब्रा-केट नोटेशन के संयोजन के साथ प्रयोग किया जाता है। परिमित आयामों में जहां ऑपरेटरों को मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया जाता है, हर्मिटियन आसन्न संयुग्मित संक्रमण (जिसे हर्मिटियन ट्रांज़ोज़ के रूप में भी जाना जाता है) द्वारा दिया जाता है।

एक आसन्न ऑपरेटर की उपरोक्त परिभाषा शब्दशः हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर बाध्य ऑपरेटरों तक फैली हुई है $H$. इस परिभाषा को आगे बढ़ाया गया है ताकि असीमित सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर ऑपरेटरों को शामिल किया जा सके, जिसका डोमेन टोपोलॉजिकल रूप से सघन (टोपोलॉजी) है - लेकिन जरूरी नहीं कि इसके बराबर हो - $H.$

अनौपचारिक परिभाषा

एक रेखीय मानचित्र पर विचार करें $A:H_{1}\to H_{2}$ हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच। किसी भी विवरण का ध्यान रखे बिना, आसन्न ऑपरेटर (ज्यादातर मामलों में विशिष्ट रूप से परिभाषित) रैखिक ऑपरेटर है $A^{*}:H_{2}\to H_{1}$ को पूरा करने

$\left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},$

कहाँ $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}$ इनर प्रोडक्ट स्पेस # हिल्बर्ट स्पेस हिल्बर्ट स्पेस में है $H_{i}$, जो पहले निर्देशांक में रेखीय है और दूसरे निर्देशांक में प्रतिरैखिक है। विशेष मामले पर ध्यान दें जहां दोनों हिल्बर्ट रिक्त स्थान समान हैं और $A$ उस हिल्बर्ट स्पेस पर एक ऑपरेटर है।

जब कोई दोहरी जोड़ी के लिए आंतरिक उत्पाद का व्यापार करता है, तो एक ऑपरेटर के आसन्न को परिभाषित कर सकता है, जिसे रैखिक मानचित्र का स्थानान्तरण भी कहा जाता है। $A:E\to F$, कहाँ $E,F$ समान मानदंड (गणित) के साथ बनच स्थान हैं $\|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}$. यहां (फिर से किसी तकनीकी पर विचार नहीं करते हुए), इसके सहायक ऑपरेटर को इस रूप में परिभाषित किया गया है $A^{*}:F^{*}\to E^{*}$ साथ

$A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),$

अर्थात।, $\left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)$ के लिए $f\in F^{*},u\in E$.

ध्यान दें कि हिल्बर्ट स्पेस सेटिंग में उपरोक्त परिभाषा वास्तव में बनच स्पेस केस का एक अनुप्रयोग है जब कोई हिल्बर्ट स्पेस को उसके दोहरे स्थान से पहचानता है। तब यह स्वाभाविक ही है कि हम संकारक का आसन्न भी प्राप्त कर सकते हैं $A:H\to E$, कहाँ $H$ एक हिल्बर्ट स्थान है और $E$ एक बनच स्थान है। दोहरे को तब परिभाषित किया जाता है $A^{*}:E^{*}\to H$ साथ $A^{*}f=h_{f}$ ऐसा है कि

$\langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).$

== बनच रिक्त स्थान == के बीच असीमित ऑपरेटरों के लिए परिभाषा होने देना $\left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)$ Banach रिक्त स्थान हो। कल्पना करना $A:D(A)\to F$ और $D(A)\subset E$, और मान लीजिए $A$ एक (संभवतः अबाधित) रैखिक संकारक है जो सघन रूप से परिभाषित संकारक है (अर्थात, $D(A)$ में घना है $E$). तत्पश्चात् इसका सहसंयोजक $A^{*}$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। डोमेन है

$D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}$.

अब मनमानी के लिए लेकिन तय है $g\in D(A^{*})$ हमलोग तैयार हैं $f:D(A)\to \mathbb {R}$ साथ $f(u)=g(Au)$. पसंद से $g$ और की परिभाषा $D(A^{*})$, f (समान रूप से) निरंतर है $D(A)$ जैसा $|f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}$. फिर हैन-बनाक प्रमेय द्वारा या वैकल्पिक रूप से निरंतरता द्वारा विस्तार के माध्यम से यह एक विस्तार उत्पन्न करता है $f$, बुलाया ${\hat {f}}$ सभी पर परिभाषित $E$. ध्यान दें कि यह तकनीकी बाद में प्राप्त करने के लिए आवश्यक है $A^{*}$ एक ऑपरेटर के रूप में $D\left(A^{*}\right)\to E^{*}$ के बजाय $D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.$ यह भी टिप्पणी करें कि इसका मतलब यह नहीं है $A$ सभी पर बढ़ाया जा सकता है $E$ लेकिन विस्तार केवल विशिष्ट तत्वों के लिए काम करता है $g\in D\left(A^{*}\right)$.

अब हम के आसन्न को परिभाषित कर सकते हैं $A$ जैसा

${\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}\end{aligned}}$

मौलिक परिभाषित पहचान इस प्रकार है

$g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)$ के लिए $u\in D(A).$

== हिल्बर्ट रिक्त स्थान == के बीच बाध्य ऑपरेटरों के लिए परिभाषा कल्पना करना H आंतरिक उत्पाद के साथ एक जटिल हिल्बर्ट स्थान है $\langle \cdot ,\cdot \rangle$. एक सतत कार्य (टोपोलॉजी) रैखिक ऑपरेटर पर विचार करें A : H → H (रैखिक ऑपरेटरों के लिए, निरंतरता एक बाध्य ऑपरेटर होने के बराबर है)। फिर का जोड़ A सतत रैखिक संकारक है A^∗ : H → H संतुष्टि देने वाला

$\langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{for all }}x,y\in H.$

इस ऑपरेटर का अस्तित्व और विशिष्टता रिज प्रतिनिधित्व प्रमेय से अनुसरण करती है। इसे एक वर्ग मैट्रिक्स के आसन्न मैट्रिक्स के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है जिसमें मानक जटिल आंतरिक उत्पाद से संबंधित समान संपत्ति होती है।

गुण

बाउंडेड ऑपरेटरों के हर्मिटियन आसन्न के निम्नलिखित गुण तत्काल हैं:# इन्वोल्यूशन (गणित): A^∗∗ = A

1. अगर A उलटा है, तो ऐसा है A^∗, साथ ${\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}$
2. एंटीलाइनर नक्शा | एंटी-लीनियरिटी:
   • (A + B)^∗ = A^∗ + B^∗
   • (λA)^∗ = λA^∗, कहाँ λ सम्मिश्र संख्या के सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाता है λ
3. वितरण गुण (AB)^∗ = B^∗A^∗

यदि हम के ऑपरेटर मानदंड को परिभाषित करते हैं A द्वारा

$\|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}$

तब

$\left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.$

इसके अतिरिक्त,

$\left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.$

एक का कहना है कि एक मानदंड जो इस शर्त को पूरा करता है, एक सबसे बड़े मूल्य की तरह व्यवहार करता है, स्व-संलग्न ऑपरेटरों के मामले से एक्सट्रपलेशन।

एक जटिल हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों का सेट H साथ में आसन्न ऑपरेशन और ऑपरेटर मानदंड के साथ C*-बीजगणित का प्रोटोटाइप बनाते हैं।

== हिल्बर्ट रिक्त स्थान == के बीच घनी परिभाषित असीमित ऑपरेटरों का संयोजन

परिभाषा

आंतरिक उत्पाद दें $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ पहले तर्क में रैखिक हो। सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर A एक जटिल हिल्बर्ट स्थान से H अपने आप में एक रैखिक संकारक है जिसका डोमेन D(A) की सघन रैखिक उपसमष्टि है H और जिनके मान निहित हैं H. परिभाषा के अनुसार, डोमेन D(A^∗) इसके बगल में A^∗ सभी का समुच्चय है y ∈ H जिसके लिए एक है z ∈ H संतुष्टि देने वाला

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{for all }}x\in D(A).$

घनत्व के कारण $D(A)$ और रिज प्रतिनिधित्व प्रमेय, $z$ विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है, और, परिभाषा के अनुसार, $A^{*}y=z.$ गुण 1.-5। किसी फ़ंक्शन के डोमेन और कोडोमेन के बारे में उचित खंड के साथ पकड़ें। उदाहरण के लिए, अंतिम गुण अब बताता है कि (AB)^∗ का विस्तार है B^∗A^∗ अगर A, B और AB सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर हैं।

केर ए^*=(आईएम ए)^⊥

हरएक के लिए $y\in \ker A^{*},$ रैखिक कार्यात्मक $x\mapsto \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle$ समान रूप से शून्य है, और इसलिए $y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }.$ इसके विपरीत, धारणा है कि $y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }$ कार्यात्मक कारण बनता है $x\mapsto \langle Ax,y\rangle$ समान रूप से शून्य होना। चूंकि कार्यात्मक स्पष्ट रूप से बंधा हुआ है, इसकी परिभाषा $A^{*}$ विश्वास दिलाता है $y\in D(A^{*}).$ तथ्य यह है कि, प्रत्येक के लिए $x\in D(A),$ $\langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =0$ पता चलता है कि $A^{*}y\in D(A)^{\perp }={\overline {D(A)}}^{\perp }=\{0\},$ मान लें कि $D(A)$ घना है।

यह संपत्ति दर्शाती है $\operatorname {ker} A^{*}$ एक स्थैतिक रूप से बंद उप-स्थान तब भी है जब $D(A^{*})$ क्या नहीं है।

ज्यामितीय व्याख्या

अगर $H_{1}$ और $H_{2}$ हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं, फिर $H_{1}\oplus H_{2}$ आंतरिक उत्पाद के साथ एक हिल्बर्ट स्थान है

${\bigl \langle }(a,b),(c,d){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}{\stackrel {\text{def}}{=}}\langle a,c\rangle _{H_{1}}+\langle b,d\rangle _{H_{2}},$

कहाँ $a,c\in H_{1}$ और $b,d\in H_{2}.$ होने देना $J\colon H\oplus H\to H\oplus H$ सहानुभूतिपूर्ण मैट्रिक्स हो, अर्थात $J(\xi ,\eta )=(-\eta ,\xi ).$ फिर ग्राफ

$G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),\ y=A^{*}x\}\subseteq H\oplus H$

का $A^{*}$ का ऑर्थोगोनल पूरक है $JG(A):$

$G(A^{*})=(JG(A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:{\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }_{H\oplus H}=0\;\;\forall \xi \in D(A)\}.$

अभिकथन तुल्यता से अनुसरण करता है

${\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle ,$

और

${\Bigl [}\forall \xi \in D(A)\ \ \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle {\Bigr ]}\quad \Leftrightarrow \quad x\in D(A^{*})\ \&\ y=A^{*}x.$

परिणाम

ए^* बंद है

एक संचालिका $A$ बंद है अगर ग्राफ $G(A)$ स्थलाकृतिक रूप से बंद है $H\oplus H.$ लेखाचित्र $G(A^{*})$ आसन्न ऑपरेटर की $A^{*}$ एक उपसमष्टि का लांबिक पूरक है, और इसलिए बंद है।

== ए^* सघन रूप से परिभाषित है ⇔ A बंद करने योग्य है

एक संचालिका $A$ टोपोलॉजिकल क्लोजर होने पर क्लोजेबल है $G^{\text{cl}}(A)\subseteq H\oplus H$ ग्राफ का $G(A)$ एक समारोह का ग्राफ है। तब से $G^{\text{cl}}(A)$ एक (बंद) रेखीय उपसमष्टि है, शब्द फलन को रेखीय संकारक से बदला जा सकता है। इसी कारण से, $A$ बंद करने योग्य है अगर और केवल अगर $(0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)$ जब तक $v=0.$ सहायक $A^{*}$ सघन रूप से परिभाषित किया गया है अगर और केवल अगर $A$ बंद करने योग्य है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि, प्रत्येक के लिए $v\in H,$

$v\in D(A^{*})^{\perp }\ \Leftrightarrow \ (0,v)\in G^{\text{cl}}(A),$

जो, बदले में, समानता की निम्नलिखित श्रृंखला के माध्यम से सिद्ध होता है:

${\begin{aligned}v\in D(A^{*})^{\perp }&\Longleftrightarrow (v,0)\in G(A^{*})^{\perp }\Longleftrightarrow (v,0)\in (JG(A))^{\text{cl}}=JG^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,-v)=J^{-1}(v,0)\in G^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,v)\in G^{\text{cl}}(A).\end{aligned}}$

=== ए^** = ए^cl

समापन $A^{\text{cl}}$ एक ऑपरेटर का $A$ ऑपरेटर है जिसका ग्राफ है $G^{\text{cl}}(A)$ यदि यह ग्राफ किसी फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है। ऊपर के अनुसार, शब्द फ़ंक्शन को ऑपरेटर से बदला जा सकता है। आगे, $A^{**}=A^{\text{cl}},$ मतलब है कि $G(A^{**})=G^{\text{cl}}(A).$ इसे साबित करने के लिए, इसे देखें $J^{*}=-J,$ अर्थात। $\langle Jx,y\rangle _{H\oplus H}=-\langle x,Jy\rangle _{H\oplus H},$ हरएक के लिए $x,y\in H\oplus H.$ वास्तव में,

${\begin{aligned}\langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}&=\langle (-x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}=\langle -x_{2},y_{1}\rangle _{H}+\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}\\&=\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}+\langle x_{2},-y_{1}\rangle _{H}=\langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}.\end{aligned}}$

विशेष रूप से, प्रत्येक के लिए $y\in H\oplus H$ और हर उपक्षेत्र $V\subseteq H\oplus H,$ $y\in (JV)^{\perp }$ अगर और केवल अगर $Jy\in V^{\perp }.$ इस प्रकार, $J[(JV)^{\perp }]=V^{\perp }$ और $[J[(JV)^{\perp }]]^{\perp }=V^{\text{cl}}.$ स्थानापन्न $V=G(A),$ प्राप्त $G^{\text{cl}}(A)=G(A^{**}).$

=== ए^* = (ए^cl)^*

एक बंद करने योग्य ऑपरेटर के लिए $A,$ $A^{*}=\left(A^{\text{cl}}\right)^{*},$ मतलब है कि $G(A^{*})=G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right).$ वास्तव में,

$G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right)=\left(JG^{\text{cl}}(A)\right)^{\perp }=\left(\left(JG(A)\right)^{\text{cl}}\right)^{\perp }=(JG(A))^{\perp }=G(A^{*}).$

प्रति उदाहरण जहां आसन्न सघन रूप से परिभाषित नहीं है

होने देना $H=L^{2}(\mathbb {R} ,l),$ कहाँ $l$ रैखिक माप है। मापने योग्य, परिबद्ध, गैर-समान शून्य फ़ंक्शन का चयन करें $f\notin L^{2},$ और उठाओ $\varphi _{0}\in L^{2}\setminus \{0\}.$ परिभाषित करना

$A\varphi =\langle f,\varphi \rangle \varphi _{0}.$

यह इस प्रकार है कि $D(A)=\{\varphi \in L^{2}\mid \langle f,\varphi \rangle \neq \infty \}.$ उपस्थान $D(A)$ सभी शामिल हैं $L^{2}$ कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ काम करता है। तब से $\mathbf {1} _{[-n,n]}\cdot \varphi \ {\stackrel {L^{2}}{\to }}\ \varphi ,$ $A$ सघन रूप से परिभाषित है। हरएक के लिए $\varphi \in D(A)$ और $\psi \in D(A^{*}),$

$\langle \varphi ,A^{*}\psi \rangle =\langle A\varphi ,\psi \rangle =\langle \langle f,\varphi \rangle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle f,\varphi \rangle \cdot \langle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle \varphi ,\langle \varphi _{0},\psi \rangle f\rangle .$

इस प्रकार, $A^{*}\psi =\langle \varphi _{0},\psi \rangle f.$ आसन्न ऑपरेटर की परिभाषा की आवश्यकता है $\mathop {\text{Im}} A^{*}\subseteq H=L^{2}.$ तब से $f\notin L^{2},$ यह तभी संभव है जब $\langle \varphi _{0},\psi \rangle =0.$ इस कारण से, $D(A^{*})=\{\varphi _{0}\}^{\perp }.$ इस तरह, $A^{*}$ सघन रूप से परिभाषित नहीं है और समान रूप से शून्य पर है $D(A^{*}).$ नतीजतन, $A$ बंद करने योग्य नहीं है और इसका कोई दूसरा जोड़ नहीं है $A^{**}.$

हर्मिटियन ऑपरेटर

एक बंधा हुआ ऑपरेटर A : H → H को हर्मिटियन या स्व-आसन्न ऑपरेटर कहा जाता है | सेल्फ-एडज्वाइंट अगर

$A=A^{*}$

जो बराबर है

$\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ for all }}x,y\in H.$

कुछ अर्थों में, ये ऑपरेटर वास्तविक संख्याओं की भूमिका निभाते हैं (अपने स्वयं के जटिल संयुग्म के बराबर होते हैं) और एक वास्तविक सदिश स्थान बनाते हैं। वे क्वांटम यांत्रिकी में वास्तविक-मूल्यवान वेधशालाओं के मॉडल के रूप में काम करते हैं। पूर्ण इलाज के लिए सेल्फ-एडज्वाइंट ऑपरेटर्स पर लेख देखें।

एंटीलीनियर ऑपरेटरों के संयोजन

एक एंटीलाइनर मानचित्र के लिए जटिल संयुग्मन की भरपाई के लिए आसन्न की परिभाषा को समायोजित करने की आवश्यकता है। एंटीलीनियर ऑपरेटर का एक सहायक ऑपरेटर A एक जटिल हिल्बर्ट स्थान पर H एक एंटीलीनियर ऑपरेटर है A^∗ : H → H संपत्ति के साथ:

$\langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{for all }}x,y\in H.$

अन्य जोड़

समीकरण

$\langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle$

औपचारिक रूप से श्रेणी सिद्धांत में आसन्न फ़ैक्टरों के जोड़े के परिभाषित गुणों के समान है, और यही वह जगह है जहाँ से आसन्न फ़ैक्टरों को उनका नाम मिला।

यह भी देखें

• गणितीय अवधारणाएँ
  • हर्मिटियन ऑपरेटर
  • नॉर्म (गणित)
  • एक रेखीय मानचित्र का स्थानांतरण # स्थानांतरण
  • संयुग्म स्थानान्तरण
• भौतिक अनुप्रयोग
  • ऑपरेटर (भौतिकी)
  • †-बीजगणित

संदर्भ

• Brezis, Haim (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (first ed.), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
• Reed, Michael; Simon, Barry (2003), Functional Analysis, Elsevier, ISBN 981-4141-65-8.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.