इंटरेक्शन तस्वीर

क्वांटम यांत्रिकी में, अंतःक्रिया चित्र (पॉल डिराक के बाद इंटरेक्शन प्रतिनिधित्व या डायराक चित्र के रूप में भी जाना जाता है) श्रोडिंगर चित्र और हाइजेनबर्ग चित्र के बीच एक मध्यवर्ती गतिशील चित्र है। जबकि अन्य दो चित्रों में या तो क्वांटम राज्य या ऑपरेटर (भौतिकी) समय पर निर्भरता रखते हैं, अंतःक्रियात्मक चित्र में दोनों अवलोकनों की समय निर्भरता का हिस्सा होते हैं। इंटरेक्शन के कारण वेव फ़ंक्शंस और वेधशालाओं में परिवर्तन से निपटने के लिए इंटरैक्शन पिक्चर उपयोगी है। अधिकांश क्षेत्र-सैद्धांतिक गणनाएँ अंतःक्रिया प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं क्योंकि वे कई-निकाय श्रोडिंगर समीकरण के समाधान को मुक्त-कण समस्या के समाधान के साथ-साथ कुछ अज्ञात अंतःक्रियात्मक भागों के रूप में निर्मित करते हैं।

समीकरण जिनमें अलग-अलग समय पर अभिनय करने वाले ऑपरेटर शामिल होते हैं, जो अंतःक्रियात्मक तस्वीर में पकड़ रखते हैं, श्रोडिंगर या हाइजेनबर्ग तस्वीर में जरूरी नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समय-निर्भर एकात्मक परिवर्तन एक तस्वीर में ऑपरेटरों को दूसरों के अनुरूप ऑपरेटरों से संबंधित करता है।

अंतःक्रिया चित्र हैमिल्टनियन और राज्य वैक्टर पर लागू एकात्मक परिवर्तन (क्वांटम यांत्रिकी) का एक विशेष मामला है।

परिभाषा

इंटरैक्शन पिक्चर में ऑपरेटर्स और स्टेट वैक्टर उन्हीं ऑपरेटरों और श्रोडिंगर पिक्चर में स्टेट वैक्टर के आधार (एकात्मक परिवर्तन) के परिवर्तन से संबंधित हैं।

इंटरेक्शन पिक्चर में स्विच करने के लिए, हम श्रोडिंगर पिक्चर हेमिल्टनियन (क्वांटम मैकेनिक्स) को दो भागों में विभाजित करते हैं:

$H_{\text{S}}=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}.$

भागों के किसी भी संभावित विकल्प से एक मान्य अंतःक्रिया चित्र प्राप्त होगा; लेकिन एक समस्या के विश्लेषण को सरल बनाने में उपयोगी होने के लिए बातचीत की तस्वीर के लिए, भागों को आम तौर पर चुना जाएगा ताकि एच_0,S अच्छी तरह से समझा और बिल्कुल हल करने योग्य है, जबकि एच_1,S इस प्रणाली में कुछ कठिन-से-विश्लेषण गड़बड़ी शामिल है।

यदि हैमिल्टनियन के पास स्पष्ट समय-निर्भरता है (उदाहरण के लिए, यदि क्वांटम सिस्टम लागू बाहरी विद्युत क्षेत्र के साथ इंटरैक्ट करता है जो समय में भिन्न होता है), तो आमतौर पर एच के साथ स्पष्ट रूप से समय-निर्भर शर्तों को शामिल करना फायदेमंद होगा।_1,S, एच छोड़कर_0,S समय स्वतंत्र। हम यह मानकर आगे बढ़ते हैं कि यह मामला है। यदि कोई ऐसा संदर्भ है जिसमें एच होना समझ में आता है_0,S समय पर निर्भर हो, तो कोई प्रतिस्थापित करके आगे बढ़ सकता है $\mathrm {e} ^{\pm \mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }$ संबंधित श्रोडिंगर चित्र द्वारा नीचे दी गई परिभाषाओं में समय-विकास संचालिका।

राज्य वैक्टर

होने देना $|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{\text{S}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle$ श्रोडिंगर तस्वीर में समय-निर्भर राज्य वेक्टर बनें। इंटरेक्शन चित्र में एक राज्य वेक्टर, $|\psi _{\text{I}}(t)\rangle$, एक अतिरिक्त समय-निर्भर एकात्मक परिवर्तन के साथ परिभाषित किया गया है।

$|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ={\text{e}}^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{\text{S}}(t)\rangle .$

ऑपरेटर

इंटरेक्शन पिक्चर में एक ऑपरेटर को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$A_{\text{I}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }A_{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.$

ध्यान दें कि ए_S(टी) आम तौर पर निर्भर नहीं होगा t और केवल A के रूप में फिर से लिखा जा सकता है_S. पर ही निर्भर करता है t यदि ऑपरेटर के पास स्पष्ट समय निर्भरता है, उदाहरण के लिए, लागू बाहरी समय-भिन्न विद्युत क्षेत्र पर इसकी निर्भरता के कारण। स्पष्ट समय निर्भरता का एक और उदाहरण तब हो सकता है जब ए_S(टी) एक घनत्व मैट्रिक्स है (नीचे देखें)।

हैमिल्टन ऑपरेटर

ऑपरेटर के लिए $H_{0}$ स्वयं, अंतःक्रिया चित्र और श्रोडिंगर चित्र मेल खाते हैं:

$H_{0,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}}.$

यह आसानी से इस तथ्य के माध्यम से देखा जाता है कि ऑपरेटर क्रमविनिमेयता स्वयं के अलग-अलग कार्यों के साथ। इस विशेष ऑपरेटर को तब बुलाया जा सकता है $H_{0}$ अस्पष्टता के बिना।

गड़बड़ी हैमिल्टनियन के लिए $H_{1,{\text{I}}}$, हालाँकि,

$H_{1,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar },$

जहां इंटरेक्शन-पिक्चर गड़बड़ी हैमिल्टन एक समय-निर्भर हैमिल्टनियन बन जाता है, जब तक कि [एच_1,S, एच_0,S] = 0।

समय-निर्भर हैमिल्टन एच के लिए अंतःक्रियात्मक चित्र प्राप्त करना संभव है_0,S(टी) भी, लेकिन एच द्वारा उत्पन्न विकास के लिए एकात्मक प्रचारक द्वारा घातांक को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है_0,S(टी), या अधिक स्पष्ट रूप से समय-आदेशित घातीय अभिन्न के साथ।

घनत्व मैट्रिक्स

घनत्व मैट्रिक्स को किसी अन्य ऑपरेटर की तरह ही इंटरेक्शन पिक्चर में बदलने के लिए दिखाया जा सकता है। विशेष रूप से, चलो ρ_I और ρ_S क्रमशः इंटरैक्शन पिक्चर और श्रोडिंगर पिक्चर में डेंसिटी मैट्रिसेस हो। अगर संभावना है p_n भौतिक अवस्था में होना | ψ_n⟩, तब

${\begin{aligned}\rho _{\text{I}}(t)&=\sum _{n}p_{n}(t)\left|\psi _{n,{\text{I}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{I}}}(t)\right|\\&=\sum _{n}p_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\left|\psi _{n,{\text{S}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{S}}}(t)\right|\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\rho _{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.\end{aligned}}$

समय-विकास

राज्यों का समय-विकास

श्रोडिंगर समीकरण को अंतःक्रियात्मक चित्र में बदलना देता है

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =H_{1,{\text{I}}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ,$

जो बताता है कि अंतःक्रियात्मक चित्र में, हैमिल्टन के अंतःक्रियात्मक भाग द्वारा एक क्वांटम अवस्था विकसित होती है, जैसा कि अंतःक्रियात्मक चित्र में व्यक्त किया गया है। फेटर और वालेका में एक प्रमाण दिया गया है।

ऑपरेटरों का समय-विकास

यदि संचालिका ए_S समय-स्वतंत्र है (यानी, स्पष्ट समय पर निर्भरता नहीं है; ऊपर देखें), तो ए के लिए इसी समय का विकास_I(टी) द्वारा दिया गया है

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}].$

इंटरेक्शन तस्वीर में ऑपरेटर समय के साथ विकसित होते हैं जैसे हेइजेनबर्ग तस्वीर में हैमिल्टनियन के साथ ऑपरेटर H' = H₀.

घनत्व मैट्रिक्स का समय-विकास

इंटरेक्शन पिक्चर में डेंसिटी मैट्रिक्स का विकास है

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],$

अंतःक्रिया चित्र में श्रोडिंगर समीकरण के साथ संगति में।

अपेक्षा मूल्य

एक सामान्य ऑपरेटर के लिए $A$, इंटरएक्शन पिक्चर में उम्मीद का मूल्य किसके द्वारा दिया गया है

$\langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{I}}(t)|A_{\text{I}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}\,A_{\text{S}}\,e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle A_{\text{S}}(t)\rangle .$

अपेक्षित मूल्य के लिए घनत्व-मैट्रिक्स अभिव्यक्ति का उपयोग करके, हम प्राप्त करेंगे

$\langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} {\big (}\rho _{\text{I}}(t)\,A_{\text{I}}(t){\big )}.$

श्विंगर-टोमोनागा समीकरण

अंतःक्रियात्मक प्रतिनिधित्व शब्द का आविष्कार श्विंगर ने किया था। इस नए मिश्रित प्रतिनिधित्व में राज्य सदिश अब सामान्य रूप से स्थिर नहीं है, लेकिन यदि खेतों के बीच कोई युग्मन नहीं है तो यह स्थिर है। प्रतिनिधित्व का परिवर्तन सीधे टॉमोनागा-श्विंगर समीकरण की ओर जाता है::$ihc{\frac {\partial \Psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}={\hat {H}}(x)\Psi (\sigma )$

${\hat {H}}(x)=-{\frac {1}{c}}j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)$

जहां इस मामले में हैमिल्टनियन QED इंटरैक्शन हैमिल्टनियन है, लेकिन यह एक सामान्य इंटरैक्शन भी हो सकता है, और $\sigma$ एक अंतरिक्ष जैसी सतह है जो बिंदु से गुजर रही है $x$. व्युत्पन्न औपचारिक रूप से दी गई सतह पर भिन्नता का प्रतिनिधित्व करता है $x$ हल किया गया। इस समीकरण की सटीक गणितीय औपचारिक व्याख्या देना कठिन है। श्विंगर द्वारा इस दृष्टिकोण को फेनमैन आरेखों के अभिन्न और कण दृष्टिकोण के विपरीत अंतर और क्षेत्र दृष्टिकोण कहा जाता है। मूल विचार यह है कि यदि अंतःक्रिया में एक छोटा युग्मन स्थिरांक होता है (अर्थात ठीक संरचना स्थिरांक के क्रम के विद्युत चुंबकत्व के मामले में) उत्तरोत्तर अनुत्पादक शब्द युग्मन स्थिरांक की शक्तियाँ होंगी और इसलिए छोटी होंगी।

प्रयोग

इंटरेक्शन पिक्चर का उद्देश्य एच के कारण हर समय निर्भरता को अलग करना है₀ ऑपरेटरों पर, इस प्रकार उन्हें स्वतंत्र रूप से विकसित करने की अनुमति देता है, और केवल एच को छोड़ देता है_1,I राज्य वैक्टर के समय-विकास को नियंत्रित करने के लिए।

एक छोटे से अंतःक्रियात्मक शब्द, H के प्रभाव पर विचार करते समय अंतःक्रिया चित्र सुविधाजनक होता है_1,S, हल किए गए सिस्टम के हैमिल्टनियन में जोड़ा जा रहा है, एच_0,S. अंतःक्रियात्मक चित्र का उपयोग करके, एच ​​के प्रभाव को खोजने के लिए गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) # समय-निर्भर गड़बड़ी सिद्धांत | समय-निर्भर गड़बड़ी सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं।_1,I, उदाहरण के लिए, फर्मी के सुनहरे नियम की व्युत्पत्ति में, या डायसन श्रृंखला क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में: 1947 में, शिनिचिरो टोमोनागा और जूलियन श्विंगर ने सराहना की कि सहसंयोजक गड़बड़ी सिद्धांत को अंतःक्रियात्मक चित्र में सुरुचिपूर्ण ढंग से तैयार किया जा सकता है, क्योंकि क्षेत्र संचालक मुक्त क्षेत्रों के रूप में समय के साथ विकसित हो सकते हैं, यहाँ तक कि अंतःक्रियाओं की उपस्थिति में भी, अब व्यवहार किया जाता है। इस तरह की डायसन श्रृंखला में गड़बड़ी।

सभी चित्रों में विकास की सारांश तुलना

एक समय-स्वतंत्र हैमिल्टनियन एच_S, जहां एच_0,S मुक्त हैमिल्टनियन है,

Evolution	Picture ()
of:	Schrödinger (S)	Heisenberg (H)	Interaction (I)
Ket state	$|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle$	constant	$|\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle$
Observable	constant	$A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	$A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$
Density matrix	$\rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	constant	$\rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$

अग्रिम पठन

• L.D. Landau; E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1.
• Townsend, John S. (2000). A Modern Approach to Quantum Mechanics (2nd ed.). Sausalito, California: University Science Books. ISBN 1-891389-13-0.

यह भी देखें

• ब्रा-केट संकेतन
• श्रोडिंगर समीकरण
• हाग की प्रमेय

श्रेणी:क्वांटम यांत्रिकी

hi: समय विकास छवि