तंत्रिका जटिल

प्लेन में 3 सेट वाले ओपन गुड कवर की नर्व का निर्माण।

टोपोलॉजी में, एक सेट परिवार का तंत्रिका परिसर एक सार सरल जटिल है जो परिवार में सेट के बीच के चौराहों के पैटर्न को रिकॉर्ड करता है। इसकी शुरुआत पावेल अलेक्जेंड्रोव ने की थी और अब इसके कई प्रकार और सामान्यीकरण हैं, उनमें से एक आवरण की सीच तंत्रिका है, जिसे बदले में hypercovering द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है। यह कई दिलचस्प टोपोलॉजिकल गुणों को एक एल्गोरिथम या कॉम्बिनेटरियल तरीके से कैप्चर करता है।

मूल परिभाषा

होने देना $I$ सूचकांकों का एक सेट हो और $C$ सेट का परिवार बनें $(U_{i})_{i\in I}$. की नस $C$ इंडेक्स सेट के परिमित सबसेट का एक सेट है$I$. इसमें सभी परिमित उपसमुच्चय शामिल हैं $J\subseteq I$ ऐसा है कि का चौराहा $U_{i}$ जिनके सबइंडिसिस में हैं $J$ खाली नहीं है:

$N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ finite set}}{\bigg \}}.$

अलेक्जेंड्रोव की मूल परिभाषा में, सेट $(U_{i})_{i\in I}$ कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस के खुला सेट हैं $X$.

सेट $N(C)$ सिंगलटन हो सकते हैं (element $i\in I$ ऐसा है कि $U_{i}$ खाली नहीं है), जोड़े (तत्वों के जोड़े $i,j\in I$ ऐसा है कि $U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset$), ट्रिपलेट इत्यादि। अगर $J\in N(C)$, फिर का कोई उपसमुच्चय $J$ में भी है $N(C)$, बनाना $N(C)$ एक सार सरल जटिल। इसलिए एन (सी) को अक्सर का तंत्रिका परिसर कहा जाता है $C$.

उदाहरण

1. माना X वृत्त है $S^{1}$ और $C=\{U_{1},U_{2}\}$, कहाँ $U_{1}$ के ऊपरी आधे हिस्से को कवर करने वाला एक चाप है $S^{1}$ और $U_{2}$ एक चाप है जो इसके निचले आधे हिस्से को ढकता है, दोनों तरफ कुछ ओवरलैप के साथ (सभी को कवर करने के लिए उन्हें दोनों तरफ ओवरलैप करना चाहिए $S^{1}$). तब $N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$, जो एक सार 1-सिम्प्लेक्स है।
2. माना X वृत्त है $S^{1}$ और $C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}$, जहां प्रत्येक $U_{i}$ एक तिहाई को कवर करने वाला एक चाप है $S^{1}$, आसन्न के साथ कुछ ओवरलैप के साथ $U_{i}$. तब $N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}$. ध्यान दें कि {1,2,3} अंदर नहीं है $N(C)$ चूँकि तीनों समुच्चयों का उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन खाली है; इसलिए $N(C)$ एक अधूरा त्रिकोण है।

सीच तंत्रिका

खुला ढक्कन दिया $C=\{U_{i}:i\in I\}$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $X$, या अधिक आम तौर पर ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी में एक कवर, हम जोड़ीवार पुलबैक_(श्रेणी_सिद्धांत) पर विचार कर सकते हैं। $U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}$, जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के मामले में बिल्कुल चौराहे हैं $U_{i}\cap U_{j}$. ऐसे सभी चौराहों के संग्रह को कहा जा सकता है $C\times _{X}C$ और ट्रिपल चौराहों के रूप में $C\times _{X}C\times _{X}C$.

प्राकृतिक मानचित्रों पर विचार करके $U_{ij}\to U_{i}$ और $U_{i}\to U_{ii}$, हम एक साधारण वस्तु का निर्माण कर सकते हैं $S(C)_{\bullet }$ द्वारा परिभाषित $S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C$, एन-गुना फाइबर उत्पाद। यह सीच तंत्रिका है। जुड़े हुए घटकों को लेने से हमें एक साधारण सेट मिलता है, जिसे हम स्थैतिक रूप से महसूस कर सकते हैं: $|S(\pi _{0}(C))|$.

तंत्रिका प्रमेय

तंत्रिका परिसर $N(C)$ एक साधारण संयोजन वस्तु है। अक्सर, यह अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस (सेट में सेट का संघ) की तुलना में बहुत सरल होता है $C$). इसलिए, एक स्वाभाविक प्रश्न यह है कि क्या टोपोलॉजी है $N(C)$ की टोपोलॉजी के बराबर है $\bigcup C$.

सामान्य तौर पर, यह मामला नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, कोई भी किसी भी N-sphere|n-sphere को दो अनुबंधित सेटों के साथ कवर कर सकता है $U_{1}$ और $U_{2}$ जिसमें एक गैर-खाली चौराहा है, जैसा कि ऊपर उदाहरण 1 में है। इस मामले में, $N(C)$ एक अमूर्त 1-सिम्प्लेक्स है, जो एक रेखा के समान है लेकिन एक गोले के समान नहीं है।

हालाँकि, कुछ मामलों में $N(C)$ एक्स की टोपोलॉजी को प्रतिबिंबित करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक सर्कल को तीन खुले चापों द्वारा कवर किया जाता है, जैसा ऊपर उदाहरण 2 में जोड़ों में प्रतिच्छेद करता है, तो $N(C)$ एक 2-सिंप्लेक्स है (इसके आंतरिक भाग के बिना) और यह होमोटॉपी-मूल सर्कल के बराबर है। एक तंत्रिका प्रमेय (या तंत्रिका लेम्मा) एक प्रमेय है जो गारंटी देने के लिए सी पर पर्याप्त शर्तें देता है $N(C)$ कुछ अर्थों में, की टोपोलॉजी को दर्शाता है$\bigcup C$.

लेरे की तंत्रिका प्रमेय

जॉन लेरे के मूल तंत्रिका प्रमेय का कहना है कि, यदि कोई प्रतिच्छेदन सेट होता है $N(C)$ संविदात्मक स्थान है (समतुल्य: प्रत्येक परिमित के लिए $J\subset I$ सेट $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ या तो खाली है या सिकुड़ा जा सकता है; समतुल्य: सी एक अच्छा कवर है), फिर $N(C)$ होमोटॉपी-समतुल्य है$\bigcup C$.

बोरसुक का तंत्रिका प्रमेय

एक असतत संस्करण है, जिसका श्रेय करोल बोरसुक को दिया जाता है। माना के₁,...,क_nसार सरल जटिल हो, और K. Let U द्वारा उनके संघ को निरूपित करें_i= ||के_i|| = K का सार सरल जटिल_i, और {यू की तंत्रिका को निरूपित करें₁, ... , यू_n} द्वारा एन.

यदि, प्रत्येक गैर-खाली के लिए $J\subset I$, चौराहा $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ या तो खाली या सिकुड़ा जा सकता है, तो N होमोटॉपी-K के बराबर है।

एंडर्स ब्योर्नर द्वारा एक मजबूत प्रमेय सिद्ध किया गया था। यदि, प्रत्येक गैर-खाली के लिए $J\subset I$, चौराहा $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ या तो खाली है या एन-कनेक्टेड स्पेस|(के-|जे|+1)-कनेक्टेड है, तो प्रत्येक जे ≤ के लिए, एन का जे-वें होमोटोपी समूह के के जे-वें होमोटॉपी समूह के लिए आइसोमॉर्फिक है। विशेष रूप से , एन के-कनेक्टेड है अगर और केवल-अगर के के-कनेक्टेड है।

चेक तंत्रिका प्रमेय

एक अन्य तंत्रिका प्रमेय उपरोक्त चेक तंत्रिका से संबंधित है: यदि $X$ कॉम्पैक्ट है और सी में सेट के सभी चौराहे अनुबंधित या खाली हैं, फिर स्थान

$|S(\pi _{0}(C))|$ होमोटॉपी-समतुल्य है $X$.

होमोलॉजिकल तंत्रिका प्रमेय

निम्नलिखित तंत्रिका प्रमेय कवर में सेट के चौराहों के होमोलॉजी समूहों का उपयोग करता है। प्रत्येक परिमित के लिए $J\subset I$, निरूपित करें $H_{J,j}:={\tilde {H}}_{j}(\bigcap _{i\in J}U_{i})=$ जे-वें कम समरूपता समूह $\bigcap _{i\in J}U_{i}$.

अगर एच_J,jN(C) के k-कंकाल में सभी J के लिए तुच्छ समूह है और {0, ..., k-dim(J)} में सभी j के लिए है, तो N(C) समरूपता-समरूपता में X के बराबर है निम्नलिखित अर्थ:

• ${\tilde {H}}_{j}(N(C))\cong {\tilde {H}}_{j}(X)$ {0, ..., k} में सभी j के लिए;
• अगर ${\tilde {H}}_{k+1}(N(C))\not \cong 0$ तब ${\tilde {H}}_{k+1}(X)\not \cong 0$ .

यह भी देखें

• हाइपरकवरिंग