प्राथमिक अपघटन

गणित में, लास्कर-नोएदर प्रमेय कहता है कि प्रत्येक नोथेरियन वलय एक लस्कर वलय है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक आदर्श को एक चौराहे के रूप में विघटित किया जा सकता है, जिसे प्राथमिक अपघटन कहा जाता है, जो कि बहुत से प्राथमिक आदर्शों (जो संबंधित हैं, लेकिन प्रधान आदर्शों की शक्तियों के समान नहीं)। प्रमेय सबसे पहले किसके द्वारा सिद्ध किया गया था Emanuel Lasker (1905) बहुपद वलयों और अभिसारी शक्ति श्रृंखला वलयों के विशेष मामले के लिए, और इसके द्वारा इसकी पूर्ण व्यापकता में सिद्ध किया गया था Emmy Noether (1921).

लास्कर-नोएदर प्रमेय अंकगणित के मौलिक प्रमेय का विस्तार है, और आम तौर पर सभी नोथेरियन रिंगों के लिए अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों का मौलिक प्रमेय है। प्रमेय बीजगणितीय ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, यह दावा करते हुए कि प्रत्येक बीजगणितीय सेट विशिष्ट रूप से अप्रासंगिक घटकों के परिमित संघ में विघटित हो सकता है।

इसमें मॉड्यूल (गणित) के लिए एक सीधा विस्तार है, जिसमें कहा गया है कि नोथेरियन रिंग पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल का प्रत्येक सबमॉड्यूल प्राथमिक सबमॉड्यूल का एक परिमित चौराहा है। इसमें एक विशेष मामले के रूप में अंगूठियों के लिए मामला शामिल है, अंगूठी को अपने आप में एक मॉड्यूल के रूप में देखते हुए, ताकि आदर्श सबमॉड्यूल हों। यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर सूक्ष्मता से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय के प्राथमिक अपघटन रूप को भी सामान्य करता है, और एक क्षेत्र पर बहुपद के छल्ले के विशेष मामले के लिए, यह एक बीजगणितीय सेट के अपघटन को (अप्रासंगिक) किस्मों के परिमित संघ में सामान्यीकृत करता है। .

विशेषता 0 के एक क्षेत्र पर बहुपद छल्ले के लिए प्राथमिक अपघटन की गणना के लिए पहला एल्गोरिदम नोथेर के छात्र द्वारा प्रकाशित किया गया था Grete Hermann (1926). अपघटन सामान्य रूप से गैर-विनिमेय नोथेरियन रिंगों के लिए नहीं होता है। नोथेर ने एक गैर-कम्यूटेटिव नोथेरियन रिंग का एक सही आदर्श के साथ उदाहरण दिया जो प्राथमिक आदर्शों का प्रतिच्छेदन नहीं है।

== एक आदर्श == का प्राथमिक अपघटन होने देना $R$ एक नोथेरियन क्रमविनिमेय वलय हो। एक आदर्श $I$ का $R$ प्राथमिक आदर्श कहा जाता है यदि यह उचित आदर्श है और तत्वों की प्रत्येक जोड़ी के लिए है $x$ और $y$ में $R$ ऐसा है कि $xy$ में है $I$, दोनों में से एक $x$ या कुछ शक्ति $y$ में है $I$; समतुल्य, भागफल वलय में प्रत्येक शून्य-भाजक $R/I$ शक्तिहीन है। एक प्राथमिक आदर्श के एक आदर्श का कट्टरपंथी $Q$ एक प्रमुख आदर्श और है $Q$ बताया गया ${\mathfrak {p}}$- के लिए प्राथमिक ${\mathfrak {p}}={\sqrt {Q}}$.

होने देना $I$ में आदर्श बनो $R$. तब $I$ प्राथमिक आदर्शों में एक बेतुका प्राथमिक अपघटन है:

$I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{n}\$.

अतिरेक का अर्थ है:

• किसी को हटाना $Q_{i}$ चौराहे को बदलता है, अर्थात प्रत्येक के लिए $i$ अपने पास: $\cap _{j\neq i}Q_{j}\not \subset Q_{i}$.
• प्रमुख आदर्श ${\sqrt {Q_{i}}}$ सभी विशिष्ट हैं।

इसके अलावा, यह अपघटन दो तरह से अद्वितीय है:

• सेट $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है $I$, और
• अगर ${\mathfrak {p}}={\sqrt {Q_{i}}}$ उपरोक्त सेट का एक न्यूनतम तत्व है, तो $Q_{i}$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है $I$; वास्तव में, $Q_{i}$ की पूर्व छवि है $IR_{\mathfrak {p}}$ स्थानीयकरण मानचित्र के तहत $R\to R_{\mathfrak {p}}$.

प्राथमिक आदर्श जो गैर-न्यूनतम प्रमुख आदर्शों के अनुरूप हैं $I$ आम तौर पर अद्वितीय नहीं हैं (नीचे एक उदाहरण देखें)। अपघटन के अस्तित्व के लिए, नीचे संबद्ध अभाज्य संख्याओं से #प्राथमिक अपघटन देखें।

के तत्व $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ के प्रमुख विभाजक कहलाते हैं $I$ या प्राइम्स से संबंधित है $I$. मॉड्यूल सिद्धांत की भाषा में, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, सेट $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ की संबद्ध अभाज्य संख्याओं का समुच्चय भी है $R$-मापांक $R/I$. स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि तत्व मौजूद हैं $g_{1},\dots ,g_{n}$ में $R$ ऐसा है कि

${\sqrt {Q_{i}}}=\{f\in R\mid fg_{i}\in I\}.$

शॉर्टकट के माध्यम से, कुछ लेखक संबद्ध अभाज्य कहते हैं $R/I$ बस एक संबद्ध प्रधान $I$ (ध्यान दें कि यह अभ्यास मॉड्यूल सिद्धांत में उपयोग के साथ संघर्ष करेगा)।

• के न्यूनतम तत्व $\{{\sqrt {Q_{i}}}\mid i\}$ युक्त न्यूनतम प्रमुख आदर्शों के समान हैं $I$ और पृथक अभाज्य कहलाते हैं।
• दूसरी ओर गैर-न्यूनतम तत्वों को एम्बेडेड प्राइम्स कहा जाता है।

पूर्णांकों की अंगूठी के मामले में $\mathbb {Z}$, लस्कर-नोथेर प्रमेय अंकगणित के मौलिक प्रमेय के बराबर है। यदि एक पूर्णांक $n$ प्रधान गुणनखंड है $n=\pm p_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}}$, फिर आदर्श का प्राथमिक अपघटन $\langle n\rangle$ द्वारा उत्पन्न $n$ में $\mathbb {Z}$, है

$\langle n\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .$

इसी तरह, एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन में, यदि किसी तत्व का अभाज्य गुणनखंड है $f=up_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}},$ कहाँ $u$ एक इकाई (रिंग थ्योरी) है, तो द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श का प्राथमिक अपघटन $f$ है

$\langle f\rangle =\langle p_{1}^{d_{1}}\rangle \cap \cdots \cap \langle p_{r}^{d_{r}}\rangle .$

उदाहरण

खंड के उदाहरण प्राथमिक अपघटन के कुछ गुणों को दर्शाने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं, जो आश्चर्यजनक या प्रति-सहज के रूप में प्रकट हो सकते हैं। एक क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद अंगूठी में सभी उदाहरण आदर्श हैं k.

चौराहा बनाम उत्पाद

में प्राथमिक अपघटन $k[x,y,z]$ आदर्श का $I=\langle x,yz\rangle$ है

$I=\langle x,yz\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,z\rangle .$

डिग्री एक के जनरेटर की वजह से, I दो बड़े आदर्शों का उत्पाद नहीं है। इसी तरह का एक उदाहरण दिया गया है, दो अनिश्चित में द्वारा

$I=\langle x,y(y+1)\rangle =\langle x,y\rangle \cap \langle x,y+1\rangle .$

प्राथमिक बनाम प्रधान शक्ति

में $k[x,y]$, आदर्श $\langle x,y^{2}\rangle$ एक प्राथमिक आदर्श है जो है $\langle x,y\rangle$ संबद्ध प्रधान के रूप में। यह इसके संबद्ध प्राइम की शक्ति नहीं है।

गैर-विशिष्टता और एम्बेडेड प्राइम

प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए n, में एक प्राथमिक अपघटन $k[x,y]$ आदर्श का $I=\langle x^{2},xy\rangle$ है

$I=\langle x^{2},xy\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},xy,y^{n}\rangle .$

संबद्ध अभाज्य हैं

$\langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle .$

उदाहरण: मान लीजिए N = R = k[x, y] किसी फ़ील्ड k के लिए, और मान लीजिए M आदर्श (xy,  y) है²). फिर एम में दो अलग-अलग न्यूनतम प्राथमिक अपघटन होते हैं एम = (वाई) ∩ (एक्स, वाई²) = (y) ∩ (x + y, y²). न्यूनतम प्राइम (y) है और एम्बेडेड प्राइम (x, y) है।

दो संबद्ध अभाज्य संख्याओं के बीच असंबद्ध अभाज्य

में $k[x,y,z],$ आदर्श $I=\langle x^{2},xy,xz\rangle$ (गैर-अद्वितीय) प्राथमिक अपघटन है

$I=\langle x^{2},xy,xz\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},y^{2},z^{2},xy,xz,yz\rangle .$

संबद्ध प्रमुख आदर्श हैं $\langle x\rangle \subset \langle x,y,z\rangle ,$ और $\langle x,y\rangle$ एक गैर संबद्ध प्रधान आदर्श है जैसे कि

$\langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle \subset \langle x,y,z\rangle .$

एक जटिल उदाहरण

जब तक बहुत सरल उदाहरणों के लिए, एक प्राथमिक अपघटन की गणना करना कठिन हो सकता है और बहुत जटिल आउटपुट हो सकता है। निम्नलिखित उदाहरण इस तरह के एक जटिल आउटपुट प्रदान करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, और फिर भी, हस्तलिखित गणना के लिए सुलभ है।

होने देना

${\begin{aligned}P&=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}y+\cdots +a_{m}y^{m}\\Q&=b_{0}x^{n}+b_{1}x^{n-1}y+\cdots +b_{n}y^{n}\end{aligned}}$

में दो सजातीय बहुपद हो x, y, जिनके गुणांक $a_{1},\ldots ,a_{m},b_{0},\ldots ,b_{n}$ अन्य अनिश्चित में बहुपद हैं $z_{1},\ldots ,z_{h}$ एक मैदान के ऊपर k. वह है, P और Q के संबंधित $R=k[x,y,z_{1},\ldots ,z_{h}],$ और यह इस वलय में है कि आदर्श का प्राथमिक अपघटन $I=\langle P,Q\rangle$ खोजा जाता है। प्राथमिक अपघटन की गणना करने के लिए, हम पहले मानते हैं कि 1 बहुपद का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है P और Q.

इस शर्त का तात्पर्य है I में ऊंचाई (रिंग थ्योरी) का कोई प्राथमिक घटक नहीं है। जैसा I दो तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, इसका तात्पर्य है कि यह एक पूर्ण चौराहा है (अधिक सटीक रूप से, यह एक बीजगणितीय सेट को परिभाषित करता है, जो एक पूर्ण चौराहा है), और इस प्रकार सभी प्राथमिक घटकों की ऊंचाई दो होती है। इसलिए, के संबंधित primes I वास्तव में ऊंचाई दो के अभाज्य आदर्श हैं जिनमें शामिल हैं I.

यह इस प्रकार है कि $\langle x,y\rangle$ का संबद्ध प्रधान है I.

होने देना $D\in k[z_{1},\ldots ,z_{h}]$ परिणामी बनें # सजातीय परिणामी x, y का P और Q. के सबसे बड़े सामान्य विभाजक के रूप में P और Q एक स्थिर है, परिणामी है D शून्य नहीं है, और परिणामी सिद्धांत का तात्पर्य है I के सभी उत्पाद शामिल हैं D एक एकपद द्वारा x, y डिग्री m + n – 1. जैसा $D\not \in \langle x,y\rangle ,$ ये सभी मोनोमियल इसमें निहित प्राथमिक घटक से संबंधित हैं $\langle x,y\rangle .$ इस प्राथमिक घटक में शामिल है P और Q, और एक रिंग के स्थानीयकरण के तहत प्राथमिक अपघटन का व्यवहार दर्शाता है कि यह प्राथमिक घटक है

$\{t|\exists e,D^{e}t\in I\}.$

संक्षेप में, हमारे पास एक प्राथमिक घटक है, बहुत ही सरल संबद्ध प्राइम के साथ $\langle x,y\rangle ,$ ऐसे सभी जनरेटिंग सेट में सभी अनिश्चित शामिल होते हैं।

अन्य प्राथमिक घटक शामिल हैं D. कोई साबित कर सकता है कि अगर P और Q पर्याप्त रूप से सामान्य गुण हैं (उदाहरण के लिए यदि गुणांक P और Q विशिष्ट अनिश्चित हैं), तो केवल एक अन्य प्राथमिक घटक है, जो एक प्रमुख आदर्श है, और इसके द्वारा उत्पन्न होता है P, Q और D.

ज्यामितीय व्याख्या

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक सजातीय बीजगणितीय सेट V(I) को किसी आदर्श के फलन के उभयनिष्ठ शून्य के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है I बहुपद वलय का $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$ एक बेतुका प्राथमिक अपघटन

$I=Q_{1}\cap \cdots \cap Q_{r}$

का I के अपघटन को परिभाषित करता है V(I) बीजगणितीय समुच्चयों के संघ में V(Q_i), जो अलघुकरणीय हैं, दो छोटे बीजगणितीय सेटों का मिलन नहीं होने के कारण।

अगर $P_{i}$ का संबद्ध प्रधान है $Q_{i}$, तब $V(P_{i})=V(Q_{i}),$ और लस्कर-नोथेर प्रमेय यह दर्शाता है V(I) में अलघुकरणीय बीजगणितीय किस्मों में एक अद्वितीय अप्रासंगिक अपघटन है

$V(I)=\bigcup V(P_{i}),$ जहां संघ न्यूनतम संबद्ध अभाज्य संख्या तक सीमित है। ये न्यूनतम संबद्ध अभाज्य एक आदर्श के मूलांक के प्राथमिक घटक हैं I. इस कारण से, के कट्टरपंथी का प्राथमिक अपघटन I को कभी-कभी का प्रमुख अपघटन कहा जाता है I.

एक प्राथमिक अपघटन के घटक (साथ ही बीजगणितीय सेट अपघटन के घटक) न्यूनतम अभाज्य संख्या के अनुरूप कहलाते हैं, और अन्य कहलाते हैंembedded.

बीजगणितीय किस्मों के अपघटन के लिए, केवल न्यूनतम प्राइम दिलचस्प हैं, लेकिन चौराहे के सिद्धांत में, और अधिक सामान्यतः योजना सिद्धांत में, पूर्ण प्राथमिक अपघटन का एक ज्यामितीय अर्थ है।

संबद्ध प्राइम्स से प्राथमिक अपघटन

आजकल, संबद्ध प्राइम्स के सिद्धांत के भीतर आदर्शों और मॉड्यूलों का प्राथमिक अपघटन करना आम है। विशेष रूप से, निकोलस बोरबाकी की प्रभावशाली पाठ्यपुस्तक एल्गेब्रे कम्यूटेटिव, इस दृष्टिकोण को अपनाती है।

चलो 'आर' एक अंगूठी और 'एम' उस पर एक मॉड्यूल हो। परिभाषा के अनुसार, एक संबद्ध अभाज्य एक प्रमुख आदर्श है जो 'M' के एक गैर-शून्य तत्व का सर्वनाश (रिंग सिद्धांत) है; वह है, ${\mathfrak {p}}=\operatorname {Ann} (m)$ कुछ के लिए $m\in M$ (यह संकेत करता है $m\neq 0$). समतुल्य, एक प्रमुख आदर्श ${\mathfrak {p}}$ यदि आर-मॉड्यूल का इंजेक्शन है तो एम का एक संबद्ध प्राइम है $R/{\mathfrak {p}}\hookrightarrow M$.

एम के गैर-शून्य तत्वों के एनीहिलेटर्स के सेट का एक अधिकतम तत्व एक प्रमुख आदर्श के रूप में दिखाया जा सकता है और इस प्रकार, जब आर एक नोथेरियन रिंग है, तो एम का एक संबद्ध प्राइम मौजूद होता है और केवल अगर एम गैर-शून्य होता है।

M के संबंधित अभाज्य संख्याओं के समुच्चय को इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $\operatorname {Ass} _{R}(M)$ या $\operatorname {Ass} (M)$. सीधे परिभाषा से,

• अगर $M=\bigoplus _{i}M_{i}$, तब $\operatorname {Ass} (M)=\bigcup _{i}\operatorname {Ass} (M_{i})$.
• सटीक अनुक्रम के लिए $0\to N\to M\to L\to 0$, $\operatorname {Ass} (N)\subset \operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Ass} (N)\cup \operatorname {Ass} (L)$.
• यदि R एक नोथेरियन वलय है, तो $\operatorname {Ass} (M)\subset \operatorname {Supp} (M)$ कहाँ $\operatorname {Supp}$ एक मॉड्यूल के समर्थन को संदर्भित करता है। इसके अलावा, के न्यूनतम तत्वों का सेट $\operatorname {Ass} (M)$ के न्यूनतम तत्वों के सेट के समान है $\operatorname {Supp} (M)$.

यदि M, R के ऊपर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है, तो सबमॉड्यूल का एक सीमित आरोही क्रम है

$0=M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1}\subsetneq M_{n}=M\,$

ऐसा है कि प्रत्येक भागफल एम_i /एम_i−1 के लिए आइसोमोर्फिक है $R/{\mathfrak {p}}_{i}$ कुछ प्रमुख आदर्शों के लिए ${\mathfrak {p}}_{i}$, जिनमें से प्रत्येक आवश्यक रूप से एम के समर्थन में है। इसके अलावा, M का प्रत्येक संबद्ध अभाज्य अभाज्य संख्याओं के समुच्चय में आता है ${\mathfrak {p}}_{i}$; अर्थात।,

$\operatorname {Ass} (M)\subset \{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}\subset \operatorname {Supp} (M)$.

(सामान्य तौर पर, ये समावेशन समानताएं नहीं हैं।) विशेष रूप से, $\operatorname {Ass} (M)$ एक परिमित समुच्चय है जब M सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है।

होने देना $M$ नोएथेरियन रिंग R और N के M. दिए गए एक सबमॉड्यूल पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल हो $\operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{n}\}$, के संबद्ध प्राइम्स का सेट $M/N$, सबमॉड्यूल मौजूद हैं $Q_{i}\subset M$ ऐसा है कि $\operatorname {Ass} (M/Q_{i})=\{{\mathfrak {p}}_{i}\}$ और

$N=\bigcap _{i=1}^{n}Q_{i}.$

एम के एक सबमॉड्यूल एन को कहा जाता है${\mathfrak {p}}$-प्राथमिक अगर $\operatorname {Ass} (M/N)=\{{\mathfrak {p}}\}$. आर-मॉड्यूल आर का एक सबमॉड्यूल है ${\mathfrak {p}}$-प्राथमिक एक सबमॉड्यूल के रूप में अगर और केवल अगर यह एक है ${\mathfrak {p}}$-प्राथमिक आदर्श; इस प्रकार, कब $M=R$, उपरोक्त अपघटन ठीक एक आदर्श का प्राथमिक अपघटन है।

ले रहा $N=0$, उपरोक्त अपघटन कहता है कि एक अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल M के संबद्ध प्राइम्स का सेट समान है $\{\operatorname {Ass} (M/Q_{i})|i\}$ कब $0=\cap _{1}^{n}Q_{i}$ (बिना परिमित पीढ़ी के, असीम रूप से कई संबद्ध अभाज्य हो सकते हैं।)

संबद्ध प्राइम्स के गुण

होने देना $R$ एक नोथेरियन रिंग बनें। तब

• आर पर शून्य-विभाजक का सेट आर के संबंधित प्राइम्स के संघ के समान है (ऐसा इसलिए है क्योंकि आर के शून्य-विभाजक का सेट गैर-शून्य तत्वों के विनाशकों के सेट का संघ है, जिनमें से अधिकतम तत्व जुड़े हुए हैं प्राइम्स)।
• इसी कारण से, एक आर-मॉड्यूल एम के संबद्ध प्राइम्स का मिलन एम पर शून्य-विभाजक का सेट है, यानी एक तत्व आर ऐसा है कि एंडोमोर्फिज्म $m\mapsto rm,M\to M$ इंजेक्शन नहीं है।
• एक उपसमुच्चय दिया गया है $\Phi \subset \operatorname {Ass} (M)$, एम एक आर-मॉड्यूल, एक सबमॉड्यूल मौजूद है $N\subset M$ ऐसा है कि $\operatorname {Ass} (N)=\operatorname {Ass} (M)-\Phi$ और $\operatorname {Ass} (M/N)=\Phi$.
• होने देना $S\subset R$ गुणक उपसमुच्चय हो, $M$ एक $R$-मॉड्यूल और $\Phi$ के सभी प्रमुख आदर्शों का सेट $R$ प्रतिच्छेदन नहीं $S$. तब
  $${\mathfrak {p}}\mapsto S^{-1}{\mathfrak {p}},\,\operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi \to \operatorname {Ass} _{S^{-1}R}(S^{-1}M)$$
  एक आपत्ति है। भी, $\operatorname {Ass} _{R}(M)\cap \Phi =\operatorname {Ass} _{R}(S^{-1}M)$.
• एक आदर्श J समाविष्ट करने के संबंध में कोई न्यूनतम अभाज्य गुणजावली में है $\mathrm {Ass} _{R}(R/J).$ ये अभाज्य ठीक पृथक अभाज्य संख्याएँ हैं।
• R पर एक मॉड्यूल M की परिमित लंबाई होती है यदि और केवल यदि M परिमित रूप से उत्पन्न होता है और $\mathrm {Ass} (M)$ अधिकतम आदर्शों से युक्त है।
• होने देना $A\to B$ नोथेरियन रिंग्स और एफ ए बी-मॉड्यूल के बीच एक रिंग होमोमोर्फिज्म हो जो ए पर फ्लैट मॉड्यूल है। फिर, प्रत्येक ए-मॉड्यूल ई के लिए,

$\operatorname {Ass} _{B}(E\otimes _{A}F)=\bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} (E)}\operatorname {Ass} _{B}(F/{\mathfrak {p}}F)$.

गैर-नोथेरियन मामला

अगला प्रमेय किसी वलय के आदर्शों के लिए प्राथमिक अपघटन के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें देता है।

Theorem — Let R be a commutative ring. Then the following are equivalent.

1. Every ideal in R has a primary decomposition.
2. R has the following properties:
   • (L1) For every proper ideal I and a prime ideal P, there exists an x in R - P such that (I : x) is the pre-image of I R_P under the localization map R → R_P.
   • (L2) For every ideal I, the set of all pre-images of I S⁻¹R under the localization map R → S⁻¹R, S running over all multiplicatively closed subsets of R, is finite.

अतियाह-मैकडॉनल्ड के अध्याय 4 में अभ्यासों की एक श्रृंखला के रूप में प्रमाण दिया गया है। प्राथमिक अपघटन वाले आदर्श के लिए निम्नलिखित अद्वितीयता प्रमेय है।

Theorem — Let R be a commutative ring and I an ideal. Suppose I has a minimal primary decomposition $I=\cap _{1}^{r}Q_{i}$ (note: "minimal" implies ${\sqrt {Q_{i}}}$ are distinct.) Then

1. The set $E=\left\{{\sqrt {Q_{i}}}|1\leq i\leq r\right\}$ is the set of all prime ideals in the set $\left\{{\sqrt {(I:x)}}|x\in R\right\}$.
2. The set of minimal elements of E is the same as the set of minimal prime ideals over I. Moreover, the primary ideal corresponding to a minimal prime P is the pre-image of I R_P and thus is uniquely determined by I.

अब, किसी भी क्रमविनिमेय वलय R के लिए, एक आदर्श I और I के ऊपर एक न्यूनतम अभाज्य P, I R की पूर्व-छवि_P स्थानीयकरण मानचित्र के तहत I युक्त सबसे छोटा पी-प्राथमिक आदर्श है। इस प्रकार, पूर्ववर्ती प्रमेय की स्थापना में, प्राथमिक आदर्श क्यू न्यूनतम प्रधान पी के अनुरूप भी सबसे छोटा पी-प्राथमिक आदर्श है जिसमें आई है और इसे आई का पी-प्राथमिक घटक कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि शक्ति पीⁿ एक अभाज्य P का एक प्राथमिक अपघटन है, तो इसका P-प्राथमिक घटक P के एक अभाज्य आदर्श की n-वाँ सांकेतिक शक्ति है।

आदर्शों का योज्य सिद्धांत

यह परिणाम उस क्षेत्र में पहला है जिसे अब आदर्शों के योज्य सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जो आदर्शों के एक विशेष वर्ग के प्रतिच्छेदन के रूप में एक आदर्श का प्रतिनिधित्व करने के तरीकों का अध्ययन करता है। विशेष वर्ग, जैसे प्राथमिक आदर्शों पर निर्णय अपने आप में एक समस्या है। गैर-कम्यूटेटिव रिंगों के मामले में, तृतीयक आदर्शों का वर्ग प्राथमिक आदर्शों के वर्ग के लिए एक उपयोगी विकल्प है।

संदर्भ

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• Hermann, Grete (1926), "Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale", Mathematische Annalen (in Deutsch), 95: 736–788, doi:10.1007/BF01206635. English translation in Communications in Computer Algebra 32/3 (1998): 8–30.
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बाहरी संबंध

• "Is primary decomposition still important?". MathOverflow. August 21, 2012.