सबऑब्जेक्ट वर्गिकारक

श्रेणी सिद्धांत में, उपवस्तु वर्गिकारक एक श्रेणी का विशेष वस्तु Ω है, जैसे कि, सहजता से, श्रेणी में किसी भी वस्तु X के उपवस्तु 'X' से Ω तक आकारिकी के अनुरूप होते हैं। विशिष्ट उदाहरणों में, आकारिकी उपवस्तु के तत्वों को "सही" और X के अन्य तत्वों को गलत प्रदर्शित करती है। इसलिए, एक उपवस्तु वर्गिकारक को एक "वास्तविक मान वस्तु" के रूप में भी जाना जाता है और तर्क के स्पष्ट विवरण में इस अवधारणा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हालांकि ध्यान दें कि उपवस्तु वर्गिकारक प्रायः साधारण बाइनरी लॉजिक ट्रूथ वैल्यू {true, false} की तुलना में बहुत अधिक जटिल होते हैं।

परिचयात्मक उदाहरण

एक उदाहरण के रूप में, सेट Ω = {0,1} सेट और फ़ंक्शंस की श्रेणी में एक उपवस्तु वर्गिकारक है: समावेशन फ़ंक्शन j द्वारा परिभाषित S के प्रत्येक सबसेट A के लिए: A → S हम फ़ंक्शन χ असाइन कर सकते हैं_AS से Ω तक जो A से 1 के तत्वों को सटीक रूप से मैप करता है (संकेतक फ़ंक्शन देखें)। S से Ω तक प्रत्येक फलन ठीक एक उपसमुच्चय A से इस प्रकार उत्पन्न होता है।

अधिक स्पष्ट होने के लिए, S (A ⊆ S) के उपसमुच्चय A पर विचार करें, जहाँ S एक समुच्चय है। उपसमुच्चय होने की धारणा को गणितीय रूप से तथाकथित अभिलाक्षणिक फलन χ का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है_A : एस → {0,1}, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$\chi _{A}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x\notin A\\1,&{\mbox{if }}x\in A\end{cases}}$

(यहाँ हम 1 को सत्य और 0 को असत्य के रूप में व्याख्या करते हैं।) अभिलाक्षणिक फलन की भूमिका यह निर्धारित करना है कि कौन से तत्व उपसमुच्चय A से संबंधित हैं। वास्तव में, χ_A ए के तत्वों पर सटीक रूप से सच है।

इस प्रकार, S के सभी उपसमुच्चयों का संग्रह और S से Ω = {0,1} तक के सभी मानचित्रों का संग्रह समरूपी है।

इस धारणा को वर्गीकृत करने के लिए, याद रखें कि, श्रेणी सिद्धांत में, एक सबोबजेक्ट वास्तव में एक जोड़ी है जिसमें एक वस्तु और एक एकरूपता (किसी अन्य वस्तु में शामिल होने के रूप में व्याख्या की गई) शामिल है। तदनुसार, 'true' तत्व 1 को संदर्भित करता है, जिसे तीर द्वारा चुना गया है: 'true': {0} → {0, 1} जो 0 से 1 को मैप करता है। S के सबसेट A को अब पुलबैक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है ( श्रेणी सिद्धांत) विशेषता समारोह χ के साथ 'सत्य' का_A, निम्नलिखित आरेख पर दिखाया गया है:

इस तरह से परिभाषित, χ एक आकृतिवाद उप है_C(स) → होम_C(एस, Ω)। परिभाषा के अनुसार, Ω एक उपवस्तु वर्गिकारक है यदि यह रूपवाद एक समरूपतावाद है।

परिभाषा

सामान्य परिभाषा के लिए, हम एक श्रेणी C से शुरू करते हैं जिसमें एक टर्मिनल वस्तु होता है, जिसे हम 1 से निरूपित करते हैं। C की वस्तु Ω C के लिए एक उपवस्तु वर्गिकारक है यदि कोई आकारिकी मौजूद है

1 → Ω

निम्नलिखित संपत्ति के साथ:

प्रत्येक मोनोमोर्फिज्म जे के लिए: यू → एक्स में एक अद्वितीय आकारिकी है χ _j: X → Ω ऐसा है कि निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख

: एक पुलबैक आरेख है—अर्थात्, U आरेख की सीमा (श्रेणी सिद्धांत) है:

रूपवाद χ _jइसके बाद j द्वारा दर्शाए गए उप-विषय के लिए 'वर्गीकरण रूपवाद' कहा जाता है।

आगे के उदाहरण

सेट के ढेर

टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स खुला सेट के शीफ (गणित) की श्रेणी में एक उप-ऑब्जेक्ट क्लासिफायरियर Ω है जिसे निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: एक्स के किसी भी खुले सेट यू के लिए, Ω(यू) यू के सभी खुले उपसमुच्चयों का सेट है। टर्मिनल ऑब्जेक्ट शीफ 1 है जो एक्स के हर खुले सेट यू को सिंगलटन (गणित) {*} असाइन करता है। आकृतिवाद η:1 → Ω नक्शे के परिवार द्वारा दिया गया है η_U : 1(यू) → Ω(यू) एन द्वारा परिभाषित_U(*) = X के प्रत्येक खुले सेट U के लिए U। X पर एक शीफ F और एक सब-शेफ j दिया है: G → F, वर्गीकृत आकारिकी χ _j: F → Ω मानचित्र χ के परिवार द्वारा दिया गया है _j,U: एफ (यू) → Ω (यू), जहां एक्स _j,U(एक्स) यू के सभी खुले सेट वी का संघ है जैसे एक्स से वी (शेव के अर्थ में) का प्रतिबंध जे में निहित है_V(जी (वी))।

मोटे तौर पर इस टोपोस के अंदर एक अभिकथन बोलना सत्य या असत्य है, और एक खुले उपसमुच्चय यू के दृष्टिकोण से इसका सत्य मूल्य यू का खुला उपसमुच्चय है जहां अभिकथन सत्य है।

प्रीशेव्स

एक छोटी श्रेणी दी गई $C$, presheaves की श्रेणी $\mathrm {Set} ^{C^{op}}$ (अर्थात् फ़ैक्टर श्रेणी जिसमें सभी कॉन्ट्रावैरिएंट फ़ैक्टर शामिल हैं $C$ को $\mathrm {Set}$) किसी भी भेजने वाले फ़ंक्टर द्वारा दिया गया सबऑब्जेक्ट क्लासिफ़र है $c\in C$ छलनी (श्रेणी सिद्धांत) के सेट पर $c$. ऊपर दिए गए ढेरों के सेट उदाहरण में वर्गीकृत आकारिकी काफी हद तक समान रूप से बनाई गई हैं।

प्राथमिक टोपोई

ऊपर दिए गए दोनों उदाहरणों को निम्नलिखित सामान्य तथ्य से सम्मिलित किया गया है: परिमित सीमा (श्रेणी सिद्धांत) और शक्ति वस्तुओं के साथ एक श्रेणी के रूप में परिभाषित प्रत्येक प्राथमिक टोपोस, आवश्यक रूप से एक सबोबजेक्ट क्लासिफायरियर है। ऊपर दिए गए दो उदाहरण टोपोस हैं, और प्रत्येक ग्रोथेंडिक टोपोस एक प्राथमिक टोपोस है।

संबंधित अवधारणाएँ

एक casitopos में एक वस्तु होती है जो लगभग एक उपवस्तु वर्गिकारकियर होती है; यह केवल मजबूत विषयों का वर्गीकरण करता है।

संदर्भ

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