कॉटन टेन्सर

अंतर ज्यामिति में, डायमेंशन n के एक (छद्म)-रीमैनियन कई गुना पर कॉटन टेन्सर, मीट्रिक टेंसर का तीसरा-क्रम टेंसर क्षेत्र सहवर्ती है। के लिए कपास टेंसर का गायब होना n = 3 आवश्यक स्थिति है और कई गुना समतल होने के लिए पर्याप्त स्थिति है। इसके विपरीत, आयामों में n ≥ 4, कॉटन टेन्सर का गायब होना आवश्यक है लेकिन मीट्रिक के अनुरूप सपाट होने के लिए पर्याप्त नहीं है; इसके बजाय, इन उच्च आयामों में संबंधित आवश्यक और पर्याप्त स्थिति वेइल टेन्सर का गायब होना है, जबकि कॉटन टेन्सर बस एक स्थिर समय बन जाता है वेइल टेंसर का विचलन। के लिए n < 3 कॉटन टेन्सर समान रूप से शून्य है। इस अवधारणा का नाम एमिल कॉटन के नाम पर रखा गया है।

शास्त्रीय परिणाम का प्रमाण जिसके लिए n = 3 कॉटन टेन्सर का गायब होना मीट्रिक के अनुरूप रूप से सपाट होने के बराबर है, जिसे लूथर पी। आइजनहार्ट ने एक मानक अभिन्नता की स्थिति तर्क का उपयोग करके दिया है। यह टेंसर घनत्व विशिष्ट रूप से इसके अनुरूप गुणों की विशेषता है, जो मांग के साथ युग्मित है कि यह मनमाना मेट्रिक्स के लिए भिन्न हो सकता है, जैसा कि दिखाया गया है (Aldersley 1979).

हाल ही में, त्रि-आयामी रिक्त स्थान का अध्ययन बहुत रुचि का हो रहा है, क्योंकि कॉटन टेन्सर रिक्की टेन्सर और आइंस्टीन समीकरणों में पदार्थ के ऊर्जा-संवेग टेंसर के बीच संबंध को प्रतिबंधित करता है और सामान्य सापेक्षता के हैमिल्टनियन औपचारिकता में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। .

परिभाषा

निर्देशांक में, और Ricci टेन्सर को R द्वारा निरूपित करना_ij और आर द्वारा अदिश वक्रता, कॉटन टेन्सर के घटक हैं

$C_{ijk}=\nabla _{k}R_{ij}-\nabla _{j}R_{ik}+{\frac {1}{2(n-1)}}\left(\nabla _{j}Rg_{ik}-\nabla _{k}Rg_{ij}\right).$

कॉटन टेन्सर को एक वेक्टर वैल्यू विभेदक रूप |2-फॉर्म के रूप में माना जा सकता है, और n = 3 के लिए हॉज स्टार ऑपरेटर का उपयोग करके इसे दूसरे ऑर्डर ट्रेस फ्री टेन्सर डेंसिटी में परिवर्तित किया जा सकता है।

$C_{i}^{j}=\nabla _{k}\left(R_{li}-{\frac {1}{4}}Rg_{li}\right)\epsilon ^{klj},$

कभी-कभी इसे कॉटन-जेम्स डब्ल्यू. यॉर्क टेंसर भी कहा जाता है।

गुण

अनुरूप रीस्केलिंग

मीट्रिक के अनुरूप पुनर्विक्रय के तहत ${\tilde {g}}=e^{2\omega }g$ कुछ अदिश समारोह के लिए $\omega$. हम देखते हैं कि क्रिस्टोफेल प्रतीक इस रूप में रूपांतरित होते हैं

${\widetilde {\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }+S_{\beta \gamma }^{\alpha }$

कहाँ $S_{\beta \gamma }^{\alpha }$ टेंसर है

$S_{\beta \gamma }^{\alpha }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\partial _{\beta }\omega +\delta _{\beta }^{\alpha }\partial _{\gamma }\omega -g_{\beta \gamma }\partial ^{\alpha }\omega$

रीमैन वक्रता टेन्सर के रूप में रूपांतरित होता है

${{\widetilde {R}}^{\lambda }}{}_{\mu \alpha \beta }={R^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }+\nabla _{\alpha }S_{\beta \mu }^{\lambda }-\nabla _{\beta }S_{\alpha \mu }^{\lambda }+S_{\alpha \rho }^{\lambda }S_{\beta \mu }^{\rho }-S_{\beta \rho }^{\lambda }S_{\alpha \mu }^{\rho }$

में $n$-डायमेंशनल मैनिफोल्ड्स, हम रिमेंन टेन्सर को अनुबंधित करके Ricci टेन्सर प्राप्त करते हैं ताकि इसे इस रूप में रूपांतरित होते देखा जा सके

${\widetilde {R}}_{\beta \mu }=R_{\beta \mu }-g_{\beta \mu }\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)\nabla _{\mu }\partial _{\beta }\omega +(n-2)(\partial _{\mu }\omega \partial _{\beta }\omega -g_{\beta \mu }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega )$

इसी प्रकार रिक्की अदिश के रूप में रूपांतरित होता है

${\widetilde {R}}=e^{-2\omega }R-2e^{-2\omega }(n-1)\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)(n-1)e^{-2\omega }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega$

इन सभी तथ्यों को एक साथ जोड़कर हमें कॉटन-यॉर्क टेन्सर के रूप में रूपांतरित होने का निष्कर्ष निकालने की अनुमति मिलती है

${\widetilde {C}}_{\alpha \beta \gamma }=C_{\alpha \beta \gamma }+(n-2)\partial _{\lambda }\omega {W_{\beta \gamma \alpha }}^{\lambda }$

या समन्वय स्वतंत्र भाषा का उपयोग करना

${\tilde {C}}=C\;+\;\operatorname {grad} \,\omega \;\lrcorner \;W,$

जहां ग्रेडिएंट को वेइल टेन्सर W के सममित भाग में प्लग किया जाता है।

समरूपता

कॉटन टेन्सर में निम्नलिखित समरूपताएँ होती हैं:

$C_{ijk}=-C_{ikj}\,$

और इसलिए

$C_{[ijk]}=0.\,$

इसके अलावा वेइल टेन्सर के लिए बियांची फॉर्मूला को फिर से लिखा जा सकता है

$\delta W=(3-n)C,\,$

कहाँ $\delta$ डब्ल्यू के पहले घटक में सकारात्मक विचलन है।

संदर्भ

• Aldersley, S. J. (1979). "Comments on certain divergence-free tensor densities in a 3-space". Journal of Mathematical Physics. 20 (9): 1905–1907. Bibcode:1979JMP....20.1905A. doi:10.1063/1.524289.
• Choquet-Bruhat, Yvonne (2009). General Relativity and the Einstein Equations. Oxford, England: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923072-3.
• Cotton, É. (1899). "Sur les variétés à trois dimensions". Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. II. 1 (4): 385–438. Archived from the original on 2007-10-10.
• Eisenhart, Luther P. (1977) [1925]. Riemannian Geometry. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08026-7.
• A. Garcia, F.W. Hehl, C. Heinicke, A. Macias (2004) "The Cotton tensor in Riemannian spacetimes", Classical and Quantum Gravity 21: 1099–1118, Eprint arXiv:gr-qc/0309008