पैकिंग घनत्व

पैकिंग घनत्व या किसी स्थान में पैकिंग का पैकिंग अंश पैकिंग बनाने वाले आंकड़ों द्वारा भरे गए स्थान का अंश (गणित) है। सरल शब्दों में, यह अंतरिक्ष में पिंडों के आयतन और स्वयं अंतरिक्ष के आयतन का अनुपात है। पैकिंग समस्याओं में, उद्देश्य आमतौर पर अधिकतम संभव घनत्व की पैकिंग प्राप्त करना होता है।

कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान में

अगर K₁,...,K_n कॉम्पैक्ट जगह अंतरिक्ष को मापें के मापनीय उपसमुच्चय हैं X और उनके अंदरूनी हिस्से जोड़े में नहीं मिलते हैं, फिर संग्रह [K_i] में पैकिंग है X और इसकी पैकिंग घनत्व है

$\eta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\mu (K_{i})}{\mu (X)}}$.

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में

यदि पैक किया जा रहा स्थान माप में अनंत है, जैसे कि यूक्लिडियन अंतरिक्ष, यह घनत्व को बड़े और बड़े रेडी की गेंदों में प्रदर्शित घनत्व की सीमा के रूप में परिभाषित करने के लिए प्रथागत है। अगर B_t त्रिज्या की गेंद है t मूल पर केंद्रित है, फिर पैकिंग का घनत्व [K_i : i∈$\mathbb {N}$] है

$\eta =\lim _{t\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{\infty }\mu (K_{i}\cap B_{t})}{\mu (B_{t})}}$.

चूंकि यह सीमा हमेशा मौजूद नहीं होती है, यह ऊपरी और निचले घनत्व को परिभाषित करने के लिए भी उपयोगी होता है क्योंकि क्रमशः ऊपर की सीमा श्रेष्ठ और सीमा अवर होती है। यदि घनत्व मौजूद है, तो ऊपरी और निचले घनत्व समान हैं। बशर्ते कि यूक्लिडियन अंतरिक्ष की कोई भी गेंद पैकिंग के केवल बहुत से तत्वों को काटती है और तत्वों के व्यास ऊपर से बंधे होते हैं, (ऊपरी, निचला) घनत्व उत्पत्ति की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, और μ(K_i∩B_t) द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है μ(K_i) प्रतिच्छेद करने वाले प्रत्येक तत्व के लिए B_t. गेंद को किसी अन्य उत्तल पिंड के फैलाव से भी बदला जा सकता है, लेकिन सामान्य तौर पर परिणामी घनत्व समान नहीं होते हैं।

इष्टतम पैकिंग घनत्व

एक व्यक्ति अक्सर एक निश्चित आपूर्ति संग्रह के तत्वों का उपयोग करने के लिए प्रतिबंधित पैकिंग में रुचि रखता है। उदाहरण के लिए, आपूर्ति संग्रह किसी दिए गए त्रिज्या के सभी गेंदों का सेट हो सकता है। आपूर्ति संग्रह से जुड़ा इष्टतम पैकिंग घनत्व या पैकिंग स्थिरांक पैकिंग द्वारा प्राप्त ऊपरी घनत्वों का सर्वोच्च है जो आपूर्ति संग्रह के उप-संग्रह हैं। यदि आपूर्ति संग्रह में बंधे हुए व्यास के उत्तल पिंड होते हैं, तो एक पैकिंग मौजूद होती है जिसका पैकिंग घनत्व पैकिंग स्थिरांक के बराबर होता है, और यह पैकिंग स्थिरांक भिन्न नहीं होता है यदि घनत्व की परिभाषा में गेंदों को किसी अन्य उत्तल पिंड के फैलाव से बदल दिया जाता है .

ब्याज का एक विशेष आपूर्ति संग्रह एक निश्चित उत्तल शरीर के सभी यूक्लिडियन गति हैं K. इस मामले में, हम पैकिंग स्थिरांक को पैकिंग स्थिरांक कहते हैं K. केपलर अनुमान 3-गेंदों के संकुलन स्थिरांक से संबंधित है। उलम के पैकिंग अनुमान में कहा गया है कि 3-गेंदों में किसी भी उत्तल ठोस का सबसे कम पैकिंग स्थिरांक होता है। एक निश्चित निकाय के सभी अनुवाद (ज्यामिति) भी ब्याज का एक सामान्य आपूर्ति संग्रह है, और यह उस शरीर के ट्रांसलेटिव पैकिंग स्थिरांक को परिभाषित करता है।

यह भी देखें

• परमाणु पैकिंग कारक
• क्षेत्र पैकिंग
• ज्ञात पैकिंग स्थिरांक वाली आकृतियों की सूची

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Packing Density". MathWorld.