सहसंबंध (प्रोजेक्टिव ज्यामिति)

This article is about correlation in projective geometry. For other uses, see Correlation (disambiguation).

प्रक्षेपी ज्यामिति में, एक सहसंबंध एक डी-डायमेंशनल प्रक्षेपण स्थान का परिवर्तन है जो प्रोजेक्टिव स्पेस को मैप करता है#डायमेंशन के प्रोजेक्टिव सबस्पेस के को डायमेंशन के सबस्पेस में मैप करता है d − k − 1, समावेशन को उलटना (सेट सिद्धांत) और घटना को संरक्षित करना (ज्यामिति)। सहसंबंधों को पारस्परिकता या पारस्परिक परिवर्तन भी कहा जाता है।

दो आयामों में

वास्तविक प्रक्षेपी तल में, बिंदु और रेखाएँ एक दूसरे के लिए द्वैत (प्रक्षेपी ज्यामिति) हैं। जैसा कॉक्सेटर द्वारा व्यक्त किया गया है,

एक सहसंबंध एक बिंदु से रेखा और एक रेखा से बिंदु परिवर्तन है जो द्वैत के सिद्धांत के अनुसार घटना के संबंध को संरक्षित करता है। इस प्रकार यह प्रक्षेप्य सीमा को पेंसिल (गणित) में, पेंसिल को रेंज में, चतुष्कोणों को चतुर्भुज में, और इसी तरह बदल देता है।

एक रेखा m और P को एक बिंदु दिया गया है जो m पर नहीं है, एक प्रारंभिक सहसंबंध निम्नानुसार प्राप्त होता है: m पर प्रत्येक Q के लिए रेखा PQ बनाते हैं। व्युत्क्रम फलन सहसंबंध P पर पेंसिल से शुरू होता है: इस पेंसिल में किसी भी रेखा q के लिए बिंदु लें m ∩ q. एक ही पेंसिल साझा करने वाले दो सहसंबंधों की कार्य संरचना एक परिप्रेक्ष्य है।

तीन आयामों में

एक 3-आयामी प्रोजेक्टिव स्पेस में एक सहसंबंध एक बिंदु को एक विमान (ज्यामिति) पर मैप करता है। जैसा कि एक पाठ्यपुस्तक में कहा गया है:

यदि κ एक ऐसा सहसंबंध है, तो प्रत्येक बिंदु P इसके द्वारा एक समतल में रूपांतरित हो जाता है π′ = κP, और इसके विपरीत, प्रत्येक बिंदु P उलटा परिवर्तन κ द्वारा एक अद्वितीय विमान π' से उत्पन्न होता है^-1.

त्रि-आयामी सहसंबंध भी रेखाओं को रेखाओं में बदल देते हैं, इसलिए उन्हें दो स्थानों के संयोग माना जा सकता है।

उच्च आयामों में

सामान्य एन-डायमेंशनल प्रोजेक्टिव स्पेस में, एक सहसंबंध एक hyperplane के लिए एक बिंदु लेता है। पॉल येल द्वारा इस संदर्भ का वर्णन किया गया था:

प्रोजेक्टिव स्पेस 'पी' (वी) का सहसंबंध 'पी' (वी) के उचित उप-स्थानों का एक समावेशन-प्रतिवर्ती क्रमपरिवर्तन है।

वह एक प्रमेय साबित करता है जिसमें कहा गया है कि एक सहसंबंध φ इंटरचेंज जुड़ता है और चौराहे करता है, और 'पी' (वी) के किसी भी प्रोजेक्टिव सबस्पेस डब्ल्यू के लिए, φ के तहत डब्ल्यू की छवि का आयाम है (n − 1) − dim W, जहां n सदिश स्थान V का आयाम है जिसका उपयोग प्रक्षेपी स्थान 'P'(V) उत्पन्न करने के लिए किया जाता है।

सहसंबंधों का अस्तित्व

यदि स्थान स्व-द्वैत है तो ही सहसंबंध मौजूद हो सकते हैं। आयाम 3 और उच्चतर के लिए, स्व-द्वैत का परीक्षण करना आसान है: एक समन्वयकारी तिरछा क्षेत्र मौजूद है और स्व-द्वंद्व विफल हो जाता है यदि और केवल यदि तिरछा क्षेत्र इसके विपरीत आइसोमोर्फिक नहीं है।

विशेष प्रकार के सहसंबंध

ध्रुवीयता

यदि एक सहसंबंध φ एक अंतर्वलन (गणित) है (अर्थात, सहसंबंध के दो अनुप्रयोग पहचान के बराबर होते हैं: φ²(P) = P सभी बिंदुओं के लिए पी) तो इसे एक ध्रुव और ध्रुवीय कहा जाता है। प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान की ध्रुवीयताएं ध्रुवीय रिक्त स्थान की ओर ले जाती हैं, जो कि सभी उप-स्थानों का संग्रह ले कर परिभाषित की जाती हैं जो उनकी छवि में ध्रुवीयता के अंतर्गत निहित हैं।

प्राकृतिक सहसंबंध

प्रक्षेपी स्थान P(V) और इसके दोहरे P(V के बीच प्रेरित एक प्राकृतिक सहसंबंध है^∗) प्राकृतिक जोड़ी द्वारा ⟨⋅,⋅⟩ अंतर्निहित वेक्टर रिक्त स्थान V और इसके दोहरे स्थान V के बीच^∗, जहां V की प्रत्येक उपसमष्टि W^∗ को इसके ऑर्थोगोनल पूरक W से मैप किया गया है^{V में ⊥}, के रूप में परिभाषित किया गया है W^⊥ = {v ∈ V | ⟨w, v⟩ = 0, ∀w ∈ W}.

इस प्राकृतिक सहसंबंध की रचना एक सेमिलिनियर मानचित्र द्वारा प्रेरित प्रक्षेप्य रिक्त स्थान के समरूपता के साथ स्वयं P(V) का सहसंबंध उत्पन्न करता है। इस तरह, हर गैर-डीजेनेरेटेड सेमीलीनियर मैप V → V^∗ खुद के लिए एक प्रोजेक्टिव स्पेस का सहसंबंध प्रेरित करता है।

संदर्भ

• Robert J. Bumcroft (1969), Modern Projective Geometry, Holt, Rinehart, and Winston, Chapter 4.5 Correlations p. 90
• Robert A. Rosenbaum (1963), Introduction to Projective Geometry and Modern Algebra, Addison-Wesley, p. 198